concreto - Exercicio Flexao Simples Dimensionamento

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EC702 – CONCRETO ARMADO I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FLEXÃO SIMPLES - DIMENSIONAMENTO 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
 
 
 
 
 Professores : ARMANDO LOPES MORENO JR. 
 MARIA CECILIA AMORIM TEIXEIRA DA SILVA 
 
 
 Monitoras PED: SUSANA DE LIMA PIRES - 2005 
 MARCELLE ANDRADE COSTA - 2004 
 
 Monitor PAD: RODOLFO GONÇALVES FURTADO LIMA - 2006 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2006 
 
1- Calcular e detalhar a armadura longitudinal para a viga de concreto armado abaixo, 
na seção de maior momento, dimensionando-a como peça sub-armada. 
 
2
s KN/cm 21000E = 
MPa 30fck = 
50-CA 
cm 3c = 
1,4γ f = 
1,4γ c = 
1,15γ s = 
Estribo 5.0mmφ 
 
 
RESOLUÇÃO 
 
a) Cálculo do momento: 
8
4.50.4,1
8
q.l1,4M
22
d == KN.cm14000KN.m140Md == 
 
b) Características da seção: 
Seção retangular Æ 0,8.x.bwAc = 
Adotando ⎩⎨
⎧
=
=
5cmd'
35cmd
 
 
c) Características dos materiais: 
 
Concreto: MPa 30fck = 
 2
c
ck
cd KN/cm14,2MPa 43,121,4
30
γ
f
f ==== 
 
Armadura: CA-50 
 2yk KN/cm05MPa 005f == 
 2
s
yk
yd KN/cm 5,431,15
50
γ
f
f === 
 0,207%0,00207
21000
43,5
E
f
ε
s
yd
yd ==== 
 
2,3
2,3
xd
x
1,0
0,35
−= 3,4
3,4
xd
x
0,207
0,35
−= 
2,32,3 x35,035d,0x −= 3,43,4 35x,035d,00,207x −= 
0,259dx 2,3 = d628,0x3,4 = 
9,1cmx 2,3 = 21,98cmx3,4 = 
 
d) Cálculo da armadura: 
 
50KN/m
400 cm
435
0,207 1
sσ (Mpa)
sε (%)
2
3
4
x2,3
x3,4
0,35%
0,207%
1%
20cm
40cm
1a Tentativa: 
• Armadura simples 
• Peça sub-armada Æ 
¾ Domínio 2 ou 3 
¾ Armadura escoando yds fσ = 
 
Equação de equilíbrio para o momento: (2ª equação) 
 0,4x)(dσA.zRM ccccd −== 
 0,4.x).(d,85.f0,8.x.bw.0M cdd −= 
 0,4.x).(df0,68.x.bw.M cdd −= d
x
β x = 
 )0,4.β(1.β.d0,68.bw.fM xx
2
cdd −= )0,4.β(1.β0,68.f
1k
xxcd
c −= 
 
c
2
d k
bw.dM = 
 75,1
14000
20.35
M
bw.dk
2
d
2
c === 
 Pela tabela 1 temos: 49,0β x = Æ ⎩⎨
⎧
=
=
cm15,17x
.dβx x Domínio 3!! . 
 029,0ks = 
 
 Equação de equilíbrio para a força normal: (1ª equação) 
 sc RR0 −= 
 sscc .σA.σA0 −= 
 sscd .σA,85.f0,8.x.bw.00 −= 
 ssxcd .σA.d.β0,68.bw.f0 −= 
 ss
x
d .σA
)0,4βd.(1
M
0 −−= 
 
)0,4β.d.(1σ
M
A
xs
d
s −= Æ tabela 1 Æ )0,4.β.(1σ
1k
xs
s −= 
 2dss 11,6cm35
140000,029
d
M
kA === 
 
Portanto: 2s cm6,11A = Æ 4φ 20mm(3,15 cm²/barra) 
 
 
e) Verificação do d e detalhamento: 
 
cm33
2
320,5340dreal =−−−−= 
adotadoreal dd < REDIMENSIONAR 
 
f) Redimensionando para 33cmd = : 
 
 
3
40cm
20cm
4φ 20mm 
• Armadura simples 
• Peça sub-armada 
 
¾ Domínio 2 ou 3 
¾ Armadura tracionada escoando Æ yds fσ = 
 
 0,259dx 2,3 = d628,0x3,4 = 
 cm55,8x 2,3 = cm72,20x3,4 = 
 
Equação de equilíbrio para o momento: (2ª equação) 
 0,4x)(dσA.zRM ccccd −== 
 
c
2
d k
bw.dM = 
 56,1
14000
20.33
M
bw.dk
2
d
2
c === 
 Pela tabela 1 temos: 57,0β x = Æ Como βx =0,57>0,5 →βx=0,5 ⎩⎨
⎧
=
=
cm5,16x
.dβx x 
 Domínio 3!! ---- Armadura dupla. 
 
Md = Rczc+Rs(d-d´) 
Md = Md1+ΔMd 
Md1 = Rczc = 0,8.x.bw.0,85.fcd.(d-0,4.x) 
 = 0,8.16,5.20.0,85.2,14.(33-0,4.16,5) = 12694,62KN/cm2 
 
Ou pela tabela 1 para βx = 0,5 → Kc = 1,716 → Ks = 0,029 
31,12692
716,1
33.20
k
bw.dM
2
1
c
2
d1 ==→= dM KN/cm2 
 
 
Equação de equilíbrio para a força normal: (1ª equação) 
 
s1c1 RR0 −= 
 ss1c1c1 .σA.σA0 −= 
 ss1cd .σA,85.f0,8.x.bw.00 −= 
 ss1xcd .σA.d.β0,68.bw.f0 −= 
 ss1
x
d1 .σA
)0,4βd.(1
M
0 −−= 
 
)0,4β.d.(1σ
M
A
xs
d1
s1 −= )0,4.β.(1σ
1k
xs
s −= 
 
33
12692,31029,0
d
M
kA d1ss1 == 
 2s1 cm15,11A = 
 
dd1d MMM Δ+= 
dM62,1269414000 Δ+= 
KN.cm38,1305ΔMd = 
 
)d'(dRΔM s2d −= )d'(d'RΔM sd −= 
)d'(d.σAΔM ss2d −= 
s
s2 σ
1k = )d'(d''.σAΔM ssd −= 'σ
1'k
s
s = 
)d'(d
ΔM
A d2s2 −= sk )d'(d
ΔM
''A ds −= sk 
 
Pela tabela 2 temos: 023,0k s2 = Pela tabela 3 – para βx=0,5 e η=0,15 
 023,0'k s = 
 
5)(33
1305,38023,0As2 −= 5)(33
1305,38023,0'As −= 
2
s2 cm07,1A = 2s cm07,1'A = 
 
2
s2s1s cm22,1207,115,11AAA =+=+= 
Portanto: 2s cm22,12A = Æ 4φ 20mm 
 2s cm07,1'A = Æ 2φ 10mm 
 
 
 
g) Verificação do d e detalhamento: 
 
cm332/320,5340d real =−−−−= 
adotadoreal dd = OK! 
 
Verificação do ah 
 
 
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
==
=
≥
cmmmmmmáxagreg
cmmmbarra
cmmm
ah
33025.2,1..2,1
220
220
φ 
 
ah = (20-2.3-2.0,5-2.2) = 9 cm → OK! 
3
40cm
20cm
4φ 20mm 
o o 
2- Para a viga contínua da figura, admitida como seção constante, determinar as 
armaduras para o apoio central: 
 
 
MPa 20fck = 
40-CA 
cm 3c = 
1,4γ f = 
1,4γ c = 
1,15γ s = 
Estribo 5.0mmφ 
 
 
RESOLUÇÃO 
 
Cálculo do momento: 
270KN.m
8
60.6
8
q.lM
22
apoio ===
KN.cm37800KN.m378M.4,1M apoiod === 
 
Características da seção: 
⎭⎬
⎫
<<
<<
12,5cmx0
10cmy0
 Æ 0,8.x.bwAc = 
 
⎭⎬
⎫
<<
<<
cm5,73xcm5,21
cm03y10cm Æ 32x60010)4.10.(y100.10Ac +=−+= 
 
⎭⎬
⎫
<<
<<
cm04xcm5,73
40cmycm03 Æ 120080x30)100.(y4.10.20100.10Ac −=−++= 
 
Adotando ⎩⎨
⎧
=
=
5cmd'
35cmd
 
 
Características dos materiais: 
 
Concreto: MPa 20fck = 
 2
c
ck
cd KN/cm43,1MPa 3,141,4
20
γ
f
f ==== 
6 m 6 m
60KN/m
40cm
10cm 20cm 10cm 20cm 10cm 20cm 10cm
10cm
20cm
10cm
100cm
 
Armadura: 40-CA 
 2yk KN/cm04MPa 004f == 
 2
s
yk
yd KN/cm 78,341,15
40
γ
f
f === 
%166,0
21000
34,78
E
f
ε
s
yd
yd === 
 
2,3
2,3
xd
x
1,0
0,35
−= 3,4
3,4
xd
x
0,166
0,35
−= 
2,32,3 x35,035d,0x −= 3,43,4 35x,035d,00,166x −= 
0,259dx 2,3 = d678,0x 3,4 = 
9,1cmx 2,3 = 23,73cmx 3,4 = 
 
Cálculo da armadura: 
 
1a Tentativa: 
• Armadura simples 
• 12,5cmx0 << Æ Seção retangular 
Armadura escoando yds fσ = 
Equação de equilíbrio para o momento: 
 0,4x)(dσA.zRM ccccd −== 
 0,4.x).(d,85.f0,8.x.bw.0M cdd −= 
 0,4.x).(df0,68.x.bw.M cdd −= d
x
β x = 
 )0,4.β(1.β.d0,68.bw.fM xx
2
cdd −= )0,4.β(1.β0,68.f
1k
xxcd
c −= 
 
c
2
d k
bw.dM = 
)0,4.β(1β0,68.1,43.
13,24
xx −
= 
 24,3
27000
100.35
M
bw.dk
2
d
2
c === 12,2β x1 = Falso!! 0,1β x1 < 
 372,0β x2 = 
372,0β x = Æ ⎩⎨
⎧
=
=
cm05,13x
.dβx x Domínio 3 – Hipótese falsa! 
 
2a Tentativa: 
• Armadura simples 
• 23,73cmx12,5 << 
• Armadura escoando yds fσ = 
 Observação : xdzc 4,01 −= e 52 −= dzc 
Equação de equilíbrio para o momento: 
 ccc zAzA σ)(.zRM 2211ccd +== 
 43,1.85,0)]5.(20.10.3).4,0.(.8,0.10.4[Md −+−= dxdx 
347,8
0,166 1
sσ (Mpa)
sε (%)
2
3
4
x2,3
x3,4
0,35%
0,166%
1%
 22,1]18000.1120.8,12[37800 2 −+−= xx 
d
x
β x = 
 013983,6-.x120112,8x- 2 =+ 
 x1= 13,75 cm→ 4,0β x1 = Æ Dentro do intervalo Æ OK!! 
 x2= 73,74 cm → 10,2β x1 = Æ Fora! 
 
Equação de equilíbrio para a força normal: 
 
 sc R -R0 = 
 sscc .σA-.σA0 = 
 78,34.78,34.35,2043,1.85,0)].20.10.3(0 sA−+= 
85,0.43,1].6009,13.32[78,34. +=sA 
 2s 51,36A cm= 
 
Portanto: 2s 51,36A cm= Æ 14φ 20mm – parte superior da viga 
 
 
Verificação do de detalhamento: 
cm50,35
2
2,00,5340d real =−−−= 
adotadoreal dd > OK!!! 
 
Verificação do ah 
 
 
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
==
=
≥
cmmmmmmáxagreg
cmmmbarra
cmmm
ah
33025.2,1..2,1
0,220
220
φ 
 
ah = (100-2.3,0-2.0,5-14.2,0)/13 = 5 cm → OK! 
 
 
3- Dada a viga, dimensioná-la, com armadura simples e detalhá-la na seção do apoio de 
tal maneira que no E.L.U tenhamos: 
 
I) tensão na armadura de tração de 40KN/cm2 
II) encurtamento do concreto de 0,32% 
 
Qual o melhor dimensionamento para a viga (I ou II)? Justifique sua resposta. 
 
 
Aço CA-50 
25MPafck = 
2
s 21000KN/cmE = 
3cmc = 
Estribo φ 6,3mm 
1,4γc = 
1,4γ f = 
1,15γ s = 
 
RESOLUÇÃO 
 
a) Cálculo do momento: 
KN.cm 4000KN.m 4020.2M === 
KN.cm 56001,4.MMd == 
 
b) Características da seção: 
Seção retangular Æ 0,8.x.bwAc = 
 
c) Característica dos materiais: 
 
Concreto: 25MPafck = 
 2cd 1,79KN/cmMPa9,17f == 
 
Armadura: Aço CA-50 
 2yk 50KN/cmMPa500f == 
 2yd 43,5KN/cmf = 
 0,207%ε yd = 
 
 
2,3
2,3
xd
x
1,0
0,35
−= 3,4
3,4
xd
x
0,207
0,35
−= 
2,32,3 x35,035d,0x −= 3,43,4 35x,035d,00,207x −= 
0,259dx2,3 = d628,0x 3,4 = 
 
 
I) Adotando tensão na armadura de tração igual à 40KN/cm2 
 
d) Cálculo da armadura: 
15cm
h =?
43,5
0,207 10
sσ (KN/cm )
2
sε (%)
2
3
4
x2,3
x3,4
0,35%
0,207%
1%
20KN
2 m 4 m 2 m
20KN
 
• Armadura Simples 
• yd2s f40KN/cmσ <= (Domínio 4) 
 
sss .Eεσ = xd
0,19
x
0,35
−= 
 .21000ε40 s= 0,35x0,35d0,19x −= 
 0,19%ε s = 0,647dx = 
 0,647
d
x
β x == 
 Equação de equilíbrio para o momento: 
 0,4x)(dσA.zRM ccccd −== 
 0,4.x).(d,85.f0,8.x.bw.0M cdd −= 
 0,4.x).(df0,68.x.bw.M cdd −= d
x
β x = 
 )0,4.β(1.β.d0,68.bw.fM xx
2
cdd −= 
 0,4.0,647).0,647(179.d0,68.15.1,6005 2 −= 
 25,29cmd = 
 
 Equação de equilíbrio para a força normal: 
sc RR0 −= 
 sscd .σA.x0,68.bw.f0 −= 
 ssxcd .σA.d.β0,68.bw.f0 −= 
 .d.β0,68.bw.f.σA xcdss = 
 
)0,4.βd.(1
M
.σA
x
d
ss −= )0,4.β(1σ
1k
xs
s −= 
 
d
M
kA dss = 034,00,4.0,647)40(1
1k s =−= 
29,25
5600034,0As = 
 2s cm53,7A = 
Portanto: 2s cm53,7A = Æ 4φ 16mm 
 
e) Detalhamento: 
 
32cm
2
36,10,633dh =++++= 
 
 
 
II) Adotando o encurtamento do concreto igual à 0,32%. 
 
f) Cálculo da armadura: 
 
• Armadura Simples 
x
d
0,35%
0,191%
32cm
15cm
4 16mmφ3
• 0,32%ε c = (Domínio 2) 
2
yds 43,5KN/cmfσ == 
 
xd
1%
x
0,32%
−= 
 x32,0d23,01,0x −= 
 d24,0x = 
0,24
d
x
β x == 
 
 )0,4.β.(1.β.d0,68.bw.fM xx
2
cdd −= 
 0,4.0,24).0,24.(179.d0,68.15,1,5600 2 −= 
 cm6,37d = 
 
)0,4.βd.(1
M
.σA
x
d
ss −= 
 
0,4.0,24)37,6.(1
5600.43,5As −= 
 2s cm79,3A = 
Portanto: 2s cm79,3A = Æ 2φ 16mm 
 
g) Detalhamento: 
 
 
42cm
2
1,60,634dh =+++= 
 
 
 
 
 
 
 
 De acordo com a NBR 6118/2003 o dimensionamento deve ser realizado com x/d≤ 0,5 
para fck≤ 35 MPa. Na primeira situação o dimensionamento foi efetuado com x/d>0,5, desta 
forma está não pode ser considerada uma situação aceitável de dimensionamento. 
 
d’
d
x
1%
0,32%
42cm
15cm
2 16mmφ
4- Dimensionar a viga de concreto armado abaixo supondo armadura de compressão no 
início do patamar de escoamento. 
 
CA-50 
20MPafck = 
Estribo φ 6,3 mm 
3cmc = 
2
s 21000KN/cmE = 
1,4γ c = 
1,4γ f = 
1,15γ s = 
 
RESOLUÇÃO 
 
a) Cálculo do momento: 
 
KN.m94,75
8
30.(4,5)
8
q.lM
22
=== 7594.4,1Md = 
KN.cm7594M = KN.cm60,10631Md = 
 
b) Características da seção: 
⎭⎬
⎫
<<
<<
cm5,73x0
30cmy0
 Æ 0,8.x.bwAc = 
 
⎭⎬
⎫
<<
<<
cm40x7,5cm3
cm04y30cm Æ 600-x2830)(y.3515.30Ac =−+= 
Adotando ⎩⎨
⎧
=
=
5cmd'
35cmd
 
 
c) Características dos materiais: 
 
Concreto: 20MPafck = 
 2cd KN/cm43,1MPa29,41f == 
 
Armadura: Aço CA-50 
 2yk 50KN/cmMPa500f == 
 2yd 43,5KN/cmf = 
 0,207%ε yd = 
 
2,3
2,3
xd
x
1,0
0,35
−= 3,4
3,4
xd
x
0,207
0,35
−= 
2,32,3 x35,035d,0x −= 3,43,4 35x,035d,00,207x −= 
0,259dx2,3 = d628,0x 3,4 = 
2
3
4
x2,3
x3,4
0,35%
0,207%
1%
435
0,207 1
Sσ
Sε (%)
(Mpa)
30cm
10cm
35cm
10cm10cm
15cm
9,1cmx 2,3 = 21,98cmx 3,4 = 
 
 
d) Cálculo da armadura: 
 
1a Tentativa: 
 
• Armadura simples 
• cm5,73x0 << Æ 0,8.x.bwAc = 
 
Armadura escoando yds fσ = 
Equação de equilíbrio para o momento: 
 0,4x)(dσA.zRM ccccd −== 
 0,4.x).(d,85.f0,8.x.bw.0M cdd −= 
 0,4.x).(df0,68.x.bw.M cdd −= d
x
β x = 
 )0,4.β(1.β.d0,68.bw.fM xx
2
cdd −= 
 ).4,01(35.43,1.15.68,025,10631 2 xx ββ −= 
 
 Então βx =1,54 (domínio 5 – incompatível) 
 Ou βx =0,96 (domínio 4). 
 
 Mas βx =0,96 ≥ 0,5, portanto deve-se REDIMENSIONAR! 
 
 
 
2a Tentativa: 
 
• Armadura dupla 
• Domínio 3 Æ cm98,21x,10cm9 << 
 
Armadura tracionada escoando Æ yds fσ = 
 
 
Supondo início de escoamento da armadura de compressão no domínio 2: 
 
 
x'd
d'- x'
1,0
'ε s
−= 
'x-d
d'- 'x 'ε yd = 
'x-35
5- 'x 0,207 = 
10,15cm x' = 
 Falso! Pois domínio 2 Æ cm10,9x < 
 
 
Supondo início de escoamento da armadura de compressão no domínio 3: 
d’
d
x’
1%
‘
Sε
 
x'
d'- x'
0,35
'ε s = 
 
x'
5- x'
0,35
'ε yd = 
 
x'
5- x'
0,35
0,207 = 
 cm 24,21 x' = 
OK! Escoamento inicia no domínio 3! 
 
 
Armadura comprimida escoando Æ 'f'σ yds = 
 
Adotando cm24,12x = 
 
Equação de equilíbrio para o momento: 
 )d'-d(R.zRM sccd += 
 dd1d MMM Δ+= 
c1c1d1 .zRM = 
0,4.x).(d,85.f0,8.x.bw.0M cdd1 −= 
)0,4.β(1.β.d0,68.bw.fM xx
2
cdd1 −= 
c
2
d1 k
bw.dM = 
35,0
35
12,24
d
x
β x === Pela tabela 1 temos: 027,0k
42,3k
s
c
=
=
 
2
2
c
2
d1 KN/cm81,53723,42
15.35
k
bw.dM === 
 
Equação de equilíbrio para a força normal: 
 
s1c1 RR0 −= 
 ss1c1c1 .σA.σA0 −= 
 ss1cd .σA,85.f0,8.x.bw.00 −= 
 ss1xcd .σA.d.β0,68.bw.f0 −= 
 ss1
x
d1 .σA
)0,4βd.(1
M
0 −−= 
 
)0,4β.d.(1σ
M
A
xs
d1
s1 −= )0,4.β.(1σ
1k
xs
s −= 
 
35
5372,81027,0
d
M
kA d1ss1 == 
 2s1 cm15,4A = 
 
dd1d MMM Δ+= 
dM81,53728400 Δ+= 
x’
0,35
Sε
d’
‘
KN.cm19,3027ΔMd = 
 
)d'(dRΔM s2d −= )d'(d'RΔM sd −= 
)d'(d.σAΔM ss2d −= 
s
s2 σ
1k = )d'(d''.σAΔM ssd −= 'σ
1'k
s
s = 
)d'(d
ΔM
A d2s2 −= sk )d'(d
ΔM
''A ds −= sk 
 
Pela tabela 2 temos: 023,0k s2 = Pela tabela 3 temos: 024,0'k s = 
 
5)(35
3027,19023,0As2 −= 5)(35
3027,19024,0'As −= 
2
s2 cm32,2A = 2s cm42,2'A = 
 
2
s2s1s cm47,632,215,4AAA =+=+= 
Portanto: 2s cm47,6A = Æ 6φ 12,5mm 
 2s cm42,2'A = Æ 2φ 12,5mm 
 
h) Verificação do d e detalhamento: 
 
cm75,35
2
1,250,63340d real =−−−= 
adotadoreal dd > OK! 
cm26,4
2
1,250,633d'real =++= 
 cm5d'd' adotadoreal =< OK! 
 
 
 
 
φ6 12.5mm
φ2 12.5mm
5- Dimensionar a armadura para a seção dada, sujeita a um momento fletor em serviço 
de 60 KN.m: 
 
CA-50 
20MPafck = 
Estribo φ 5.0 mm 
2,5cmc = 
2
s 21000KN/cmE = 
1,4γ c = 
1,4γ f = 
1,15γ s = 
 
 
RESOLUÇÃO 
 
i) Cálculo do momento: 
8400KN.cm84KN.m60KN.m.4,11,4.MM Kd ==== 
 
j) Características da seção: 
 
⎭⎬
⎫
<<
<<
cm25,6x0
5cmy0
 Æ Seção retangular 
 
⎭⎬
⎫
<<
<<
cm5,12x,25cm6
cm10y5cm Æ Seção vazada 
 
⎭⎬
⎫
<<
<<
cm25x2,5cm1
cm20y10cmÆ Seção vazada 
 
⎭⎬
⎫
<<
<<
cm5,37x5cm2
cm30y20cm Æ Seção vazada 
 
⎭⎬
⎫
<<
<<
cm50x7,5cm3
cm50y30cm Æ Seção vazada 
 
Adotando ⎩⎨
⎧
=
=
5cmd'
45cmd
 
 
k) Características dos materiais: 
 
 
Concreto: MPa 20fck = 
 2
c
ck
cd KN/cm43,1MPa 3,141,4
20
γ
f
f ==== 
 
 
M
20cm
5cm 5cm
5cm
5cm
10cm
50cm
10cm
10cm
20cm
Armadura: CA-50 
 2yk KN/cm05MPa 005f == 
 2
s
yk
yd KN/cm 5,431,15
50
γ
f
f === 
 0,207%0,00207
21000
43,5
E
f
ε
s
yd
yd ==== 
 
2,3
2,3
xd
x
1,0
0,35
−= 3,4
3,4
xd
x
0,207
0,35
−= 
2,32,3 x35,035d,0x −= 3,43,4 35x,035d,00,207x −= 
0,259dx 2,3 = d628,0x 3,4 = 
cm66,11x 2,3 = cm26,82x 3,4 = 
 
 
l) Cálculo da armadura: 
 
1a Tentativa: 
 
• Armadura simples 
• cm25x2,5cm1 << Æ c3c2c1c AAA.2A ++= 
50-x1610)0.(y15.10.y5.2Ac =−++= 
 
0,8.x.5.20,8.x.bw.2Ac1 == Æ .x8Ac1 = 
0,4.x-540,4.x-dz1 == 
 
5.10Ac2 = Æ 50KNAc2 = 
42,5cm2,5452,5dz2 =−=−= 
 ( )10-y10.Ac3 = Æ 100-.x8Ac3 = 
0,4x50
2
10-0,8x-45
2
10-y-dz3 −=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛= 
Armadura escoando yds fσ = 
Equação de equilíbrio para o momento: 
c3c3c2c2c1c1ccd .zR.zR.zR.zRM ++== 
 0,4x)(50σA(42,5)σA0,4x)(45σAM c3c3c2c2c1c1d −++−= 
 0,4x)(50f100).0,85.-x8((42,5)50.0,85.f0,4x)(458.x.0,85.fM cdcdcdd −++−= 
 100)-x8(0,4x)..(50f.85,0.f25,18060,4x)(45.x.f8,6M cdcdcdd −++−= 
 100)-8x(0,4x)..(5043,1.85,0.1,4325,18060,4x)x.1,43(45.8,64008 −++−= 
 
1,35cm11x1 = Falso ! 
cm76,13x 2 = OK! Domínio 3! 
Equação de equilíbrio para a força normal: 
 
sc RR0 −= 
435
0,207 1
sσ (Mpa)
sε (%)
2
3
4
x2,3
x3,4
0,35%
0,207%
1%
1 1
2
3
sc3c2c1 RRRR0 −++= 
 ssc3c3c2c2c1c1 .σA.σA.σA.σA0 −++= 
 sscdcdcd .σAf100).0,85.-8x(50.0,85.f8.x.0,85.f0 −++= 
cdcdcdss f100).0,85.-8x(.f5,24.x.f8,6.σA ++= 
 
s
cdcdcd
s σ
f100).0,85.-8x(.f5,24.x.f8,6
A
++= 
43,5
1,43100).0,85.-.13,768(.1,435,243.13,76.1,48,6As
++= 
2
s 4,75cmA = 
 
Portanto: 2s cm75,4A = Æ 4φ 12,5mm 
 
 
m) Verificação do d e detalhamento: 
 
cm38,46
2
1,250,52,550d real =−−−= 
45dd adotadoreal => OK! 
 
 
 
 φ4 12.5mm