50 Dicas e Macetes de Matemática

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 Como estudar 
Matemática 
 Atenção que se deve ter 
na prova de Matemática 
 Dicas e Macetes 
diversos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mais de 50 dicas de 
Matemática para lhe 
ajudar na resolução 
de problemas 
Neste manual você vai encontrar várias e dicas e macetes que 
podem ajudar na resolução de muitos exercícios de 
matemática, mas ressaltamos que depois da implementação do 
modelo de avaliação do Exame Nacional do Ensino Médio 
(Enem), os grandes vestibulares mudaram suas questões e 
passaram a exigir mais raciocínio e menos aplicação de 
“decorebas”. "São provas muito bem feitas, nas quais o que 
realmente conta é a capacidade de análise, raciocínio e 
interpretação do candidato” o que vale dizer que o estudo das 
regras deve ser levado a sério. 
Abaixo algumas dicas de como devem ser observadas as 
questões de matemática para que possa resolvê-las usando seu 
próprio raciocínio e conhecimento. A seguir algumas dicas e 
macetes. 
I - LEIA COM ATENÇÃO TODO O ENUNCIADO 
Muitos alunos começam a ler a questão sem terminar de ler 
todo o enunciado, achando que já sabem o que o problema está 
pedindo e saem fazendo conta quando, na verdade, na maioria 
dos problemas a pergunta está justamente no fim da questão. 
Um exemplo de uma leitura equivocada. Imaginem a seguinte 
questão: 
Resolvendo a equação 3x é igual a 12...'. Aí o aluno para de 
ler e pensa: x é 12 dividido por 3, então x é 4. Então ele bate 
o olho na alternativa A, que está escrito 4, e já marca. Só que 
na realidade o enunciado continuava: 'resolvendo a equação 
3x é igual 12, então o valor de x ao quadrado é...'". 
Com esse exemplo você vê que uma questão muito fácil pode 
ser jogada fora por causa de uma má leitura do enunciado. 
Portanto, é aconselhável ler a questão mais de uma vez. "Faça 
uma primeira leitura para você se familiarizar com o problema. 
Numa segunda leitura, analise os dados e a pergunta da 
questão. É preciso encontrar a conexão entre os dados e a 
incógnita. Encontrada essa conexão, aí sim você deve partir 
para a resolução do problema. 
II - COMECE RESOLVENDO AS QUESTÕES MAIS FÁCEIS 
Em toda prova, existem questões fáceis, médias e difíceis. Os 
candidatos devem encarar as questões como um jogo de pegas-
varetas, resolva primeiro as mais fáceis, para depois partir para 
a resolução das questões de dificuldade consideradas médias e 
só no final de tudo encarar as difíceis, orienta. 
Aconselhamos, também, não ficar muito tempo em cima de 
uma única questão, pois quando você perde muito tempo em 
uma pergunta, além de ficar nervoso, você joga fora a 
possibilidade de resolver questões mais fáceis. Ou seja, perde a 
oportunidade de somar mais alguns pontinhos. 
III - ATENÇÃO PARA OS ASSUNTOS MAIS COBRADOS 
Existem alguns assuntos de matemática que são muito 
cobrados, em praticamente todos os vestibulares e que, 
provavelmente, irão aparecer em sua prova. Por isso, é 
recomendável estudo redobrado nos seguintes conteúdos: 
logaritmos, semelhança de triângulos, teorema de Pitágoras, 
progressão aritmética, progressão geométrica, área de figuras 
planas, análise combinatória, equações de reta e de 
circunferência e números complexos. 
IV- MUITO CÁLCULO? DESCONFIE 
Se você começar a fazer muitos cálculos e aplicar inúmeras 
fórmulas matemáticas para resolver uma única questão, 
desconfie. Algo está errado. A tendência do vestibular é cobrar 
o raciocínio lógico do aluno e não a simples "decoreba" de 
fórmulas ou grandes cálculos algébricos. 
Os examinadores estão preocupados em avaliar se você sabe ou 
não interpretar o texto, analisar os dados, fazer interligações 
entre assuntos e disciplinas e, a partir disso, encontrar alguma 
sequência lógica para solucionar o problema". 
Portanto, se ao resolver um exercício você deparar com contas 
imensas e números extremamente grandes, desconfie: o 
caminho que você está seguindo não é o correto, deve existir 
outro menos trabalhoso para solucionar o exercício. 
V - SAIBA APLICAR A REGRA DE TRÊS 
Quem sabe bem a regra de três já tem um meio caminho 
andado para se dar bem nas provas de química, física e 
matemática no vestibular. Como nos últimos anos tem se 
cobrado mais o raciocínio lógico do que a decoreba de 
fórmulas, muitas vezes a saída está na famosa e simples regra 
de três. A mesma pode ser aplicada em questões de álgebra, 
geometria plana e até mesmo aritmética. Basta saber usá-la de 
forma correta. Recomenda-se, também, o uso de desenhos 
para auxiliar nas questões de geometria, pois a resposta pode 
estar na própria imagem. 
VI - DICAS PARA RESOLVER QUESTÕES DE MATEMÁTICA 
EM PROVAS DE CONCURSOS 
A prova de Matemática dos concursos públicos costuma ser o 
“bicho de sete cabeças” para muitas pessoas. O que muita gente 
não sabe é que estudar para uma prova de Matemática exige 
muito mais do que saber resolver os exercícios. 
É preciso treiná-las e ter em mente que provas de Matemática 
cobram do aluno raciocínio lógico. 
Tenha em mente, ao resolver as questões de Matemática de 
uma prova de concurso, que os examinadores querem de você 
algo simples: raciocínio! Raciocinar pode fazer com que você 
acerte questões, aparentemente muito difíceis. 
Outra dica dada por muitos professores é tomar conta do 
nervosismo. Isso porque, ele é responsável por resultados 
negativos na prova. Pense positivo e que está preparado para 
resolver desde as questões mais simples às mais complicadas. 
Lembre-se: O nervosismo faz com que você não veja um 
pequeno detalhe do enunciado, o que pode induzi-lo ao erro. 
Respire fundo e fique calmo. 
Confira mais dicas de como você deve se preparar e estudar 
para provas de concurso, pelos EXPERTS em Matemática: 
I - Treinar a resolução de questões é fundamental para realizar 
uma boa prova de matemática. Comece pela primeira, esconda 
a resposta e tente fazer. Se você conseguiu, parta para a 
segunda. Caso contrário olhe a resolução e entenda. Entender 
não significa memorizar. No dia seguinte comece tudo de novo. 
Com o tempo, você irá desenvolver a sua capacidade de 
raciocinar; 
II - O fundamental é enfrentar problemas que exijam não só 
memorização, mas também estratégia, metodologia, 
criatividade. É importante que, ao escolher os exercícios você 
faça alguns de fixação, que é exatamente para fixar conceitos, e 
outros que peçam múltiplas estratégias; 
III - Concurseiros de primeira viagem devem ler bastante, pois 
uma boa leitura nos ajuda a adquirir conhecimentos gerais e 
aumenta a nossa capacidade de interpretação; 
IV - Leia o enunciado com atenção. Você deve ler 
cuidadosamente o texto do enunciado, extraindo dele o que 
está sendo pedido, e todos os fatos que o ajudem a chegar à 
solução. 
V - Faça primeiro as questões que você sente mais segurança. 
Feito isso, faça as que você tem mais dificuldade; 
VI - Desconfie de respostas com cálculos muito extensas. As 
contas que estão envolvidas na resolução das questões de 
concursos, geralmente, são simples. O foco está na 
interpretação de como resolver a questão; 
VII - Exercite seu cérebro e faça contas mentalmente. Na hora 
da prova, use um rascunho para fazer as contas; 
VIII - Apesar das dicas e macetes procure se preparar para a 
prova de um concurso fazendo exercícios e não confiando 
apenas nos macetes, pois até mesmo eles, exigem 
conhecimento da sua parte. 
IX - Há alguns assuntos de matemática que são muito 
cobrados em praticamente todos os concursos. Por isso, 
pesquise quais são estes temas. Você consegue esta 
informação, fazendo provas anteriores; 
X - Dias antes daprova revise o conteúdo. Isso significa 
refazer os exercícios, ter em mente as fórmulas e estar 
em dia com o raciocínio. Lembre-se: Matemática não se 
aprende em um mês. É preciso ter uma rotina de 
estudos! 
Essas são apenas algumas dicas para te ajudar a estudar 
e se dar bem em uma prova de matemática em concurso 
público. É importante ressaltar que através dessas dicas 
você poderá encontrar a melhor forma para estudar e 
realizar essas provas. Se conhecer é o caminho. 
Uma das matérias considerada um “bicho-papão”, devido 
à lógica que parece uma coisa muito difícil, mas não é, é a 
matemática que se resume em somar, dividir, 
multiplicar e subtrair, O importante é a concentração, 
atenção e pensar com a razão. 
 
Mas existem dicas e macetes que podem ajudar no 
momento de resolver uma determinada questão. 
Reunimos aqui algumas dicas que, com certeza podem 
ser úteis a você e que não aparecem em nenhum livro de 
matemática. 
 
Vamos a elas. Aproveite e memorize essas dicas e 
macetes para usá-las em provas e concursos. Vamos a 
elas 
 
DICA 01: Multiplicar um número por 10: 
 
Basta deslocar a vírgula uma casa decimal para a direita. 
Exemplo 1: 16 x 10 = 160 
Exemplo 2: 15,567 x 10 = 155,67 
 
DICA 02: Multiplicar um número por 10n 
 
Basta deslocar a vírgula n casas decimais para a direita. 
Exemplo 1: 16 x 103 = 16000 
Exemplo 2: 15,567 x 104 = 155670 
Então, se quisermos efetuar a seguinte multiplicação: 12 x 100. 
Sabemos que 100=102, então: 12 x 100 = 12 x 102 = 1200. 
 
DICA 03: Dividir um número por 10: 
 
Basta deslocar a vírgula uma casa decimal para a esquerda. 
Exemplo 1: 16 / 10 = 1,6 
Exemplo 2: 15,567 / 10 = 1,5567 
 
DICA 04: Dividir um número por 10n: 
 
Basta deslocar a vírgula n casas decimais para a esquerda. 
Exemplo 1: 16 / 103 = 0,016 
Exemplo 2: 15,567 / 102 = 0,15567 
Então, se quisermos efetuar a seguinte divisão: 12 / 1000. 
Sabemos que 1000=103, então que: 
12 / 1000 = 12 / 103 = 0,012. 
 
DICA 05: Multiplicar um número por 11: 
 
Quando o número for de 2 algarismos, basta somar esses 2 
algarismos e colocar o resultado no meio deles. Por exemplo, 
vamos efetuar a seguinte multiplicação: 26 x 11. 
 
Temos o número 26, somando seus 2 algarismos temos 2+6=8. 
Pronto! Agora é só colocar esse 8 no meio deles: a resposta 
é 286. Portanto 26 x 11 = 286. 
 
Outros exemplos: 
 
1) 34 x 11 - Somamos os algarismos do número 34: 3+4=7 
colocamos o resultado no meio deles: 374. Portanto 34x11 = 
374. 
 
2) 81 x 11 - Somamos os algarismos do número 81: 8+1=9 
colocamos o resultado no meio deles: 891. Portanto 81x11 = 
891. 
 
3) 37 x 11 - Somamos os algarismos do número 37: 3+7=10. 
Como deu um nº maior que 9, então não podemos colocar todo 
o número no meio deles. Colocamos apenas o algarismo das 
unidades (0) no meio deles, e o algarismo da dezena (1) é 
somado ao primeiro algarismo do número: 407. Portanto 
37x11 = 407. 
 
Quando o número for de 3 algarismos, então esse número 
multiplicado por 11 resultará em um número de 4 algarismos. 
Por exemplo, vamos efetuar a seguinte multiplicação: 135 x 11. 
 
Temos o número 135. Somando o 1º com o 2º algarismo desse 
número temos 1+3=4. Somando o 2º com o 3º algarismo desse 
número temos 3+5=8. Esses 2 resultados serão colocados no 
meio do número 135, tirando o seu algarismo do meio:1485. 
Portanto 135 x 11 = 1485. 
 
DICA 06: Multiplicar um número por 9: 
 
Nesse caso basta acrescentar um zero no final do número e 
subtrair pelo número inicial. Vamos efetuar a seguinte 
multiplicação: 44 x 9. 
Acrescentando um zero no final do número 44 ficamos 
com 440.Então subtraímos desse valor o valor inicial: 440-44 
= 396. Portanto 44 x 9 = 396. 
 
Outros exemplos: 
 
27 x 9 = 270-27 = 243. 
56 x 9 = 560-56 = 504. 
33 x 9 = 330-33 = 297. 
 
DICA 07: Multiplicar um número por 99: 
 
Nesse caso basta acrescentar 2 zeros no final do número e 
subtrair pelo número inicial. Vamos efetuar a seguinte 
multiplicação: 44 x 99. Acrescentando 2 zeros no final do 
número 44 ficamos com 4400. Então subtraímos desse valor o 
valor inicial: 4400-44 = 4356. Portanto 44 x 99 = 4356. 
Outros exemplos: 
27 x 99 = 2700-27 = 2673 
56 x 99 = 5600-56 = 5544 
 
DICA 08: Multiplicar um número por 101: 
 
Quando um número de 2 algarismos AB for multiplicado por 
101, o resultado será ABAB. 
 
Alguns exemplos 
43 x 101 = 4343 
32 x 101 = 3232 
14 x 101 = 1414 
 
DICA 09: Multiplicar 2 números (de 2 algarismos) que 
possuam o mesmo algarismo das dezenas, e a soma de 
seus algarismos das unidades seja 10. 
 
Exemplos de multiplicações que podem ser feitas com esse 
método: 42x48, 53x57, 21x29, 35x35, 87x83, 94x96, etc. 
Devem ser seguidos os seguintes passos: 
 
1) Multiplicamos o algarismo das dezenas (que é igual nos 2 
números) pelo número seguinte a ele; 
2) Multiplicamos os algarismos das unidades normalmente; 
3) Juntamos as duas partes. 
 
Vamos efetuar a seguinte multiplicação: 53 x 57: 
Passo 1: 
5x6 = 30 
Passo 2: 
3x7 = 21 
Passo 3: 
 
Juntamos os dois números: 3021. 
Portanto 53 x 57 = 3021. Barbada! 
 
Outro exemplo: 94 x 96: 
 
Passo 1: 
9x10 = 90 
Passo 2: 
4x6 = 24 
Passo 3: 
Juntamos os dois números: 9024. 
"Muitos alunos começam a ler a questão e, sem terminar de ler 
todo o enunciado, acham que já sabem o que o problema está 
pedindo e saem fazendo conta" Portanto 94 x 96 = 9024. 
Barbada! 
DICA 10: A soma dos n primeiros números 
naturais ímpares: 
 
A soma dos n primeiros números naturais ímpares é igual a n2. 
Exemplos: 
1) Soma dos 5 primeiros números naturais ímpares 
(1+3+5+7+9): 
A soma é igual a 52 = 25. 
2) Soma dos 15 primeiros números naturais ímpares: 
A soma é igual a 152 = 225. 
 
DICA 11: Multiplicar um número por 15: 
 
Some o número com a sua metade, e multiplique o resultado 
por 10. 
 
Exemplos: 
14×15 =(14+7)×10=210 
10,4×15=(10,4+5,2)×10=15,6×10=156 
 
DICA 12: Tabuada do 9: 
 
Se você tem dificuldades para decorar a tabuada do 9, pode 
fazer o seguinte: 
1) Considere o número anterior ao qual você irá multiplicar o 9. 
2) Veja quanto falta para ele chegar ao 9. 
3) Junte os dois números encontrados. 
 
Por exemplo: 
 
1) 9 x 2 => o número anterior ao dois é o 1. 
2) Para o 1 chegar ao 9, faltam 8. 
3) Agora basta unir os dois números: 18 
Portanto, 9 x 2 = 18. 
 
Da mesma forma pode ser feito para os outros números, até 
chegar em 9x9: 
 
1) 9 x 9 => o número anterior ao nove é o 8. 
2) Para o 8 chegar ao 9, falta 1 
3) Agora basta unir os dois números: 81 
 
Portanto, 9 x 9 = 81. 
 
DICA 13: Dividir qualquer número por 5: 
 
Basta multiplicar o número por 2 e "arrastar" a vírgula para a 
esquerda. 
 
Ex: 345 / 5 = 345 * 2 = 690. Arrastando a vírgula, temos 69,0. 
Ex: 1526 / 5 = 1526 * 2 = 3052. Arrastando a vírgula, temos 
305,2. 
 
DICA 14: Como descobrir o próximo quadrado? 
 
Some o quadrado anterior com duas vezes com o número do 
qual você quer descobrir o quadrado, e depois diminua uma 
unidade. Ex: Se 32=9, quanto vale 42? 
 
Aplicando a regra, temos: 
 
9 + 4 + 4 = 17 
17 - 1 = 16 
Portanto, 42 = 16 
 
DICA 15: Multiplicação de números terminados em 0 
 
Multiplicam-se as partes sem os zeros finais e acrescenta-se a 
quantidade de zeros finais. 
 
Exemplos: 
23 x 10 = (23 x 1)0 = 230 
45 x 20 = (45 x 2)0 = 900 
15 x 300 = (15 x 3)00 = 4500 
30 x 90 = (3 x 9)00 = 2700 
 
DICA 16 – Porcentagem 
 
Isso era “O” pesadelo para muitos na escola. Após essa dica, 
você será o senhor das porcentagens, sendo capaz de calcular 
4% de 200 em menos de 1 segundo. 
Primeiro, uma explicação. A palavra “porcentagem” já sugere 
“para cada cem”. Assim, 3% nada mais é que 3 “para cada cem”, 
12% é 12 “para cada cem”, e assim por diante. 
Como isso ajuda no cálculo de 4% de 200 ? Moleza.Lembre-se 
que 4% nada mais é que 4 “para cada cem”. Como você tem 
200, o resultado nada mais é que 4 + 4 = 8. Fosse 4% de 300, 
bastaria adicionar mais 4. 
Mais exemplos: 74% de 500 = 74 + 74 + 74 + 74 + 74 = 370 
20% de 150 = 20 “para cada cem”. Como 50 é metade de 100, o 
resultado é 20 + 10 = 30. Como dica final, porcentagens 
também podem ser calculadas invertendo-se os números: 5% 
de 12 é o mesmo que 12% de 5. 
 
DICA 17 - A soma dos dígitos de qualquer número 
inteiro multiplicado por 9 é sempre igual a 9 ou 
um múltiplo de 9. 
 
Ex: 13 x 9 = 117 (1 + 1 + 7 = 9). Isso é útil para saber se um 
número é divisível por 9 ou não (com resto zero) sem fazer 
conta. 
A mesma regra vale para os múltiplos de 3, cuja soma dos 
dígitos será sempre 3, 6 ou 9. E se o número for par, 
automaticamente será divisível por 6 também. 
 
DICA 18 - Para saber se um número é divisível 
por 11, calcule a diferença entre o último dígito e 
os restantes. Se for múltiplo de 11 ou 0 é divisível 
por ele. 
 
Ex: 3938 (393 – 8 = 385 → 38 – 5 = 33) 
Para saber se é divisível por 7, o procedimento é parecido com 
o do 11. A diferença é que o último dígito deve ser multiplicado 
por 2. Ex: 1113 (111 – (3 x 2) = 105 → 10 – 10 = 0) 
 
DICA 19 - Essa é um pouco mais complicada de entender: 
quando multiplicamos dois números quaisquer, se somarmos 
ao resultado deste produto a metade da diferença entre esses 
números ao quadrado, o resultado será a média dos dois ao 
quadrado. Ex: 28 x 12 = 336. A média de ambos é 20 (28 + 12 = 
40 e 40 dividido por 2 é igual a 20). A diferença é 16 (28 – 12). 
A metade da diferença é 8. 8 ao quadrado é 64. Se somarmos 
336 + 64, temos 400, que é o mesmo que 20 (a média entre 12 
e 28) elevada ao quadrado. 
 
DICA 20 - Considere um número x. Se dividirmos x por x – 1 
obteremos y. Em seguida, se somarmos ou multiplicarmos o x 
pelo y, o resultado será sempre o mesmo. Ex: Suponhamos que 
x seja 4. Nesse caso, x – 1 será igual a 3, e x dividido por y é 
igual a 1,33333... Se somarmos 4 + 1,3333..., teremos 5,33333.... 
Se multiplicarmos os dois números, o resultado também será 
5,3333.... 
 
DICA 21 - Multiplicar por 11. Todos sabem que quando 
queremos multiplicar qualquer número por 10 apenas 
devemos colocar um zero ao final. Você sabia que há um truque 
igualmente fácil para multiplicar por 11? Pegue qualquer 
número de dois dígitos e imagine um espaço em branco entre 
eles. Neste exemplo iremos usar 72: 7_2 Agora coloque o 
resultado da soma dos mesmos dois números no espaço em 
branco: 7_(7+2)_2. Simples assim, você chega à sua resposta: 
792. Caso a soma central gere um número com dois dígitos 
você terá que pegar o primeiro dígito desta soma e somar com 
o primeiro dígito do número original. Vamos utilizar o número 
93: 9_3 
9_(9+3)_3 
9_(12)_3 
(9+1)_2_3 
1023 – 
Nunca falha! 
 
DICA 22 - Elevar rapidamente ao quadrado 
 
Se você precisa do quadrado de qualquer número com dois 
dígitos que termine em 5 você pode utilizar esse truque 
simples. Multiplique o primeiro dígito por si mesmo +1 e 
coloque 25 no final. Só isso. 
 
352 = (3x(3+1) & 25 
1225 
 
DICA 23 - Multiplicando por 5 
 
Memorizar a tabuada do 5 é muito simples, mas quando 
precisamos operar dígitos maiores isso fica bem mais 
complexo, ou não? Esse truque é muito simples. Pegue 
qualquer número e divida por 2 (em outras palavras, a metade) 
Se o resultado for um inteiro coloque 0 ao final. Do contrário 
simplesmente apague a vírgula (colocando o 5 ao final). 
Também nunca falha. Vamos começar com 3.024: 
 
3024 x 5 = (3024/2) & 0 ou 5 
3024/2 = 1512 & 0 
15120 
Vamos tentar mais um (55): 
63 x 5 = (63/2) & 0 ou 5 
31,5 (ignore a vírgula deixando apenas o 5 que já está ao final) 
– 315 
 
DICA 24 – Progressão Aritmética 
 
Uma PROGRESSÃO ARITMÉTICA é uma sequencia numérica 
em que cada termo, a partir do segundo é igual ao anterior 
adicionado a um número fixo, chamado razão da progressão. 
Chamamos, mais comumente de PA. 
 
Representa uma progressão aritmética escrevendo seus 
termos, em ordem, primeiro termo, segundo, terceiro, etc, 
dentro de parênteses. 
Conforme definição, o segundo termo é a soma do primeiro 
termo e a razão, e assim sucessivamente. Segue estas somas na 
imagem acima (colocadas em chave). 
 
podemos dizer que ela é igual à diferença entre qualquer termo a 
partir do segundo, e o anterior. Matematicamente temos as relações 
mostradas na imagem abaixo. 
 
 
 
Abaixo a Fórmula da Razão de uma PA. 
 
 
 
MACETE: Fórmula do termo geral da Pa: Imagina duas 
meninas conversando. 
Moça 01: Na=A1+(n-1).r, Na=Ainda não arranjei um 
namorado rico! Fórmula da soma. 
Moça 02 responde: Sn=(A1+An).n/2. Sem namorado 
novo e divide para nós duas. 
 
DICA 24 - Adição de Arcos 
Para memorizar as fórmulas de adição de arcos 
 cos(A-B) = cosA.cosB + senA.senB 
(coça A, coça B + senta A, senta B) 
 
 cos(A+B) = cosA.cosB – senA.senB 
(coça A, coça B – senta A, sentaB) 
 
 sen(A-B) = senA.cosB – senB.cosA 
(senta A, coça B – senta B, coça A) 
 
 sen(A+B) = senA.cosB + senB.cosA 
(senta A, coça B + senta B, coça A) 
 
Você pode usar também o começo do poema de 
Gonçalves Dias para memorizar: 
 
Minha terra têm palmeiras, onde canta o sabiá - SENO 
A COSENO B, SENO B COSENO A. 
 
DICA 25 - Geometria Analítica: Equação 
Fundamental 
 
Fórmula: y – yo = m (x – xo) 
Uso: Para encontrar a equação fundamental da reta que 
passa pelo ponto P(xo, yo). 
Macete: YoYô, Mixoxô 
 
DICA 26 - Seno, cosseno e tangente 
Seno = co/hip à corri 
Cosseno = ca/hip à caí 
Tangente = co/ca à coca 
Frase: Corri, caí na coca. 
Posição do seno e cosseno 
Memorizar a frase: Quem tá de pé tá sem sono, quem tá 
deitado tá com sono. 
Sem = Seno / Com = Cosseno 
 
DICA 27 - Números racionais, irracionais e complexos - 
Frase para decorar o Conjunto dos números: I 
(irracionais), R (reais) e C (Complexos) 
Macete: Inteligente, Rico e Carinhoso 
 
DICA 28 - Análise Combinatória 
 
Ainda não posso! 
Não!!! 
Não posso!!! 
 
Comigo não pode!!! 
Não pode!!! 
Não pode !!! 
Não pode!!! 
Não pode !!! 
 
DICA 29 - Lei de Euler 
Fórmula : V + F = A + 2 
Uso: calcular n° de vértices, faces ou arestas de 
poliedros. 
Macete: Vamos Fazer Amor A Dois 
Outra frase: Vida Feliz A Dois 
 
DICA 30: Números complexos 
 
(1) O número raiz de -1 é chamado de unidade 
imaginária. Que foi aceita para dar sentido às 
respostas de algumas equações, que até então não 
possuíam soluções nos reais. 
 
Simplificando a notação criou-se o NÚMERO i, de 
modo que o quadrado desse número (i) é igual a -1. 
 
 
 
(2) Um número complexo qualquer "z" pode ser escrito 
na forma "a + bi", que chamamos de FORMA 
ALGÉBRICA, com a e b números reais e i a unidade 
imaginária. 
 
Em z = a + bi, o número a é denominado PARTE 
REAL de z e o número b é a PARTE IMAGINÁRIA. 
 
(3) Quando a parte imaginária do número complexo é 
nula, então o número é REAL. 
Quando a parte real do número complexo é nula, 
então é IMAGINÁRIO PURO. 
 
 
 
 
 
(4) Plano de Argand-Gauss 
Gauss observou que assim como cada ponto de uma reta 
corresponde a um número real, cada ponto do plano 
podia ser associado a um número complexo. 
Convencionou, então, associar o número complexo z ao 
ponto P (a, b), estabelecendo uma correspondência um a 
um entre os números complexos e os pontos do plano 
xOy. 
 
Assim, no eixo das abcissas, representa-se a parte real de 
z, no eixo das ordenadas, e a parte imaginária de z. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(5) Igualdade de números complexos 
Dois números complexos são iguais se, e somente se, 
suas partes reais e imaginárias forem respectivamenteiguais. 
 
 
 
(6) Conjugado de um Número Complexo 
Sendo z = a + bi, a e b reais, define-se como complexo 
conjugado de z o complexo "z barra", como na figura 
acima. 
 
 
 
(7) Complexos e Conjugados no Plano de Argond-
Gauss 
Veja que dois números complexos conjugados têm, 
respectivamente, partes reais iguais e partes imaginárias 
simétricas. 
Observe o complexo z = 3 + 4i e seu complexo indicado 
no plano na figura abaixo. 
 
(8) Operações na Forma Algébrica 
 
(a) Subtração - A subtração de dois números 
complexos é dada pela regra abaixo 
. 
 
 
 
 
 
 
 
(b) Adição - A soma de dois números complexos é 
dada pela regra abaixo 
 
. 
 
 
 
 
 
(c) Multiplicação - A multiplicação de dois 
números complexos é dada pela regra abaixo. 
 
 
 
(d) Divisão - A divisão de dois números complexos 
é dada pela regra abaixo. 
 
 
 
 
 
(9) Potências de “i” 
Para calcular potências de i, basta DIVIDIR O 
EXPOENTE n, n inteiro e positivo, por 4, e observando o 
 
 
 
 
 
 
resto desta divisão temos para as potências de i os 
resultados abaixo. 
(10) Escrevendo um número complexo na sua forma 
trigonométrica - Um número complexo pode ser escrito 
também na forma trigonométrica. Para determiná-lo, 
usando sua representação no plano de Argand-Gauss, 
usamos sua distância e o ângulo, ambos formado com a 
origem. 
(a) Consideremos o número complexo não-nulo, Z = a + 
bi, com a e b reais. Sua forma trigonométrica segue 
indicado na figura, a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
(b) Módulo de Z - Módulo de z é a distância de P (ponto 
representado no plano) até a origem O. Calculamos 
esta distância usando teorema de Pitágoras. 
 
Resumo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(c) Argumento de Z - Denomina-se argumento do 
complexo z a medida do ângulo formado pelo 
segmento op com o semieixo real Ox, medido no 
sentido anti-horário. 
 
Veja o Exemplo a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DICA 31 – Conjuntos 
(1) Definição e Nomenclatura - Sobre a noção de 
conjuntos temos: 
 Conjuntos numéricos são aqueles formados 
apenas por números. 
 Os componentes de um conjunto, são chamados 
de elementos. 
 No conjunto dos números naturais pares 
menores que 5, por exemplo, os elementos são: 
0,2 e 4. 
 Para escrever um conjunto usando sua 
representação por extensão nomeamos seus 
elementos, um a um, colocando-os entre chaves 
e separando-os por vírgula. 
 Para nomear um conjunto usamos uma letra 
maiúscula. 
 
(2) Conjunto Finito - A representação por extensão 
pode ser usada para conjuntos finitos. Veja um 
exemplo abaixo. 
 
 
 
 
 
(3) Conjunto Infinito - A representação por extensão 
pode ser usada para conjuntos infinitos, para isso 
colocamos "três pontos" antes de fechar a chave do 
conjunto. 
 
 
 
 
 
 
(04) Representação do Diagrama de Venn 
 
A representação por Diagrama de Venn faz-se usando 
uma figura. 
 
 
 
 
 
 
 
Observe a representação do conjunto A na figura. O 
conjunto A tem 4 elementos. Indicamos: n(A): 4 
Lê-se: o número de elementos do conjunto A é igual a 
quatro. 
 
(05) Representação de um conjunto por 
compreensão - Para representar um conjunto por 
compreensão, usamos uma propriedade 
característica dos elementos deste conjunto. 
 
 
 
 
(06) Igualdade de Conjuntos 
Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos 
elementos. Notação: A = B; conjunto A é igual ao 
conjunto B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
(07) Conjunto Universo 
É o conjunto ao qual pertencem os todos os elementos 
característicos do conjunto delimitado pelas 
características. 
 
(08) Conjunto Vazio 
Chama-se conjunto vazio aquele que não possui 
elemento. Reprenta-se o conjunto vazio conforme os 
símbolos da figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
(09) Conjunto Unitário - Chama-se conjunto unitário 
aquele conjunto que possui apenas um único 
elemento. 
 
(10) Operações entre conjuntos 
 
(a) Interseção - A interseção de dois conjuntos, A e B, 
é o conjunto formado pelos elementos que são 
comuns a A e a B, isto é, pelos elementos que 
pertencem a A e também pertencem a B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) União - A união de dois conjuntos A e B é o 
conjunto formado por todos os elementos que 
pertencem a A ou a B. Na figura acima, a união dos 
conjuntos A e B é o conjunto C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(c) Diferença - A diferença de dois conjuntos A e B é o 
conjunto dos elementos que pertencem a A, mas 
que não pertencem a B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DICA 32 – Funções 
Como uma função é um tipo especial de relação, define-
se FUNÇÃO: Sejam A e B dois conjuntos não vazios e f 
uma relação de A em B. Essa relação f é uma função de A 
em B quando a cada elemento x do conjunto A está 
associado em e apenas um elemento y do conjunto B. 
 
(01) Relação - Dados dois conjuntos A e B, dá-se o 
nome de relação R de A em B a qualquer 
subconjunto de A X B. Simbolicamente, segue 
imagem acima, lê-se: R é relação de A em B, se e 
somente se, o conjunto R estiver contido no produto 
cartesiano de A em B. 
 
(02) Produto Cartesiano – Dados, dois conjuntos 
não vazios A e B, denomina-se PRODUTO 
CARTESIANO, (indica-se A X B) de A por B o 
conjunto formado pelos pares ordenados nos quais o 
primeiro elemento pertence a A e o segundo 
pertence a B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(03) Linguagem e leitura de uma função 
 
 Quando cada valor de A associa-se a um valor 
de B - As letras x e y são largamente usadas para 
representar as variáveis de uma 
função. Considerando f : A ->B Lê-se a 
linguagem simbólica usada acima assim: " a cada 
valor de x que pertence ao conjunto "A", associa-
se um só valor y que pertence ao conjunto B." 
 
 Função f de A em B - Quando temos uma função 
de A em B, podemos representá-la usando a 
linguagem simbólica da imagem acima. Lê-se: 
Função de f de A em B. Mais simplificadamente, 
o nome dado a função é "f", e esta função é uma 
relação entre os conjuntos de nome A e o de 
nome B. 
 
 f de x - Quando representamos a função pela sua 
lei matemática podemos utilizar duas formas 
diferentes. 
 
 
 
A imagem acima indica estas duas formas. 
O símbolo f(x) lê-se f de x, tem o mesmo 
significado do y e pode simplificar a linguagem. 
Isto é, perguntar "qual o valor de y quando x=1?" 
é exatamente igual que perguntar "qual o valor 
de f(1)?" 
 
(04) Domínio, Contradomínio e Imagem 
 
 DOMÍNIO – D - O conjunto A é o domínio da função 
f. Notação do conjunto domínio: D 
 CONTRADOMÍNIO – CD 
O conjunto B é o contradomínio da função f. 
Notação do conjunto contradomínio: CD 
 IMAGEM - IM 
Denomina-se imagem da função f, o conjunto de 
todos elementos y tal que, a cada elemento x do 
domínio o elemento y do contradomínio seja 
correspondente. Notação do conjunto: IM 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O DOMÍNIO de uma função é obtido pela projeção do 
gráfico sobre o eixo das abscissas (eixo x). Isto é, são os 
valores que compõem o intervalo do eixo x, para os quais 
existe o gráfico. 
A IMAGEM é obtida pela projeção do gráfico sobre o eixo 
das ordenadas (eixo y). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(05) Gráfico de uma Função- Para construir 
gráficos de funções, será utilizado o SISTEMA 
CARTESIANO ORTOGONAL, para que utilizar sistema 
de coordenadas e montar os gráficos. 
 
O gráfico da função é é o conjunto de todos os pontos 
(x,y), do plano cartesiano, com x pertencendo ao 
domínio e y a imagem da função. 
 
Sendo que os valores do domínio estarão sempre no 
eixo x, também chamado de eixo das abscissas. E os 
valores da imagem no eixo y, ou eixo das 
coordenadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(06) Sistema Cartesiano Ortogonal 
 
Um sistema cartesiano ortogonal é composto de: 
 EIXOS: os eixos são representados por duas retas 
orientadas, perpendicular entre si no ponto O. A 
reta horizontal é denominada eixo x, ou eixo das 
abscissas. A reta vertical é denominada eixo y ou 
eixo das ordenadas. 
 PONTO DE ORIGEM: o ponto de origem é o ponto 
O ponto de intersecção dos eixos. 
 QUADRANTES: os eixos dividem o plano o plano 
em quatro regiões que se chamam quadrantes. Que 
são nomeados 1° 2°, 3° e 4° quadrantes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(07) Coordenadas de um Ponto - Dentro de um 
sistema cartesiano ortogonal podemos localizar um 
ponto tomando suas coordenadas. 
Assim dizemos que o ponto P tem abscissa "a" e 
ordenada "b". 
Os números reais "a" e "b", colocados entre 
parênteses e separados por vírgula formam um PAR 
ORDENADO representam as COORDENADAS do 
plano P no plano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(08) Função Crescente e Decrescente 
 
 
 Função Crescente - Uma função F é CRESCENTE 
num intervalo de seu domínio se, somente se, para 
quaisquer valores de x1 e x2 pertencentes ao 
domínio, com x1 menor que x2 (x1<x2), tivermos 
F(x1) menor que F(x2), F(x1)<F(x2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Função Decrescente - Uma função F é 
DECRESCENTE num intervalo de seu domínio se, 
somente se, para quaisquer valores de x1 e x2 
pertencentes ao domínio, com x1 menor que x2 
(x1<x2), tivermos F(x1) maior que F(x2), 
F(x1)>F(x2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(09) Função Composta 
Criar uma função composta é "obter" uma terceira 
função a partir de duas outras. Matematicamente, 
observe que na imagem abaixo, temos: 
 
f: A → B, uma função. 
g: B → C, outra função. 
 
 
 
 
A função composta g com f denominamos h: A → C. 
 
Notação: 
gof, lê-se: g bola f. 
(gof)(x) = g(f(x)). 
 
Ou em outras palavras, o elemento z, que pertence ao 
conjunto C é determinado de modo único pelo elemento 
x que pertence ao conjunto A. 
 Notação: z=g(y)=g(f(x)). 
 
DICA 33– Função polinomial de 1º grau 
 
(01) – Representação 
De maneira geral uma função polinomial do 1° grau, é 
representada pela forma: f(x) = ax + b , com "a" 
diferente de zero. Onde "a" é chamado de coeficiente 
angular e "b" de coeficiente linear. 
 
(02) Função Linear 
Tomando uma função polinomial de 1° grau,quando b=0, 
temos uma função linear que é dada pela fórmula: 
f(x) = ax, com "a" diferente de zero. Em consequência da 
sua lei de formação, esta função intercepta o eixo das 
ordenadas no ponto (0, b). O gráfico abaixo mostra um 
exemplo de função linear. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(03) Função Identidade 
Quando o coeficiente angular de uma função linear for 
igual a um temos uma função dada pela lei f(x) = x, cuja 
denominação é FUNÇÃO IDENTIDADE. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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