Lista V

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Fundação Universidade de Brasília
Departamento de Matemática - IE
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Lista V
A - Encontre todas as soluções das seguintes equações em R
• 1) f ′(x) = e3x + sin(x)
• 2) f ′′(x) = 2 + x
• 3) f (k) = 0, k ∈ N.
• 4) f (3) = x2.
B - Veri�que que as seguintes funções são solução das equações dadas
• 1) ϕ(x) = e− sin(x); f ′′(x) + cos(x)f(x) = 0
• 2) ϕ(x) = sin(x)− 1; f ′′(x) + cos(x)f(x) = sin(x) cos(x)
• 3) ϕ(x) = 1; f ′′(x)− f(x) = 0
• 4) ϕ(x) = ex; f ′′(x)− f(x) = 0
• 5) ϕ(x) = c1 cos(kx) + c2 sin(kx); f ′′(x) + k2f(x) = 0, k > 0.
C - Dada a equação diferencial f ′′(x) = 3x+ 1
• 1) Encontre todas as soluções no intervalo 0 ≤ x ≤ 1.
• 2) Encontre todas as soluções ϕ(x) que satisfazem ϕ(0) = 1, ϕ′(0) = 2.
• 3 ) Encontre todas as soluções ϕ(x) que satisfazem ϕ(0) = 0, ϕ(1) = 3.
D - Encontre todas as soluções das seguintes equações em R
• 1) f ′(x)− 2f(x) = 1.
• 2) f ′(x) + f(x) = ex.
• 3) f ′(x) + 2f(x) = x2 + x.
• 4) 3f ′(x) + f(x) = 2e−x.
E - Seja ϕ uma função que satisfaz a equação f ′(x) + af(x) = b1(x), seja ψ
uma função que satisfaz a equação f ′(x) + af(x) = b2(x), com b1(x) e b2(x)
de�nidas no mesmo intervalo I, a é uma constante.
• 1) Mostre que ϕ+ ψ satisfaz
f ′(x) + af(x) = b1(x) + b2(x)
em I.
• 2) Aplique o resultado de (1) para encontrar a solução de
f ′(x) + f(x) = sin(x) + 3 cos(2x)
cujo grá�co passa pela origem.
F - Encontre as soluções das seguintes equações diferenciais
• 1) f ′(x) + 2xf(x) = x
• 2) xf ′(x) + f(x) = 3x3 − 1, para x > 0
• 3) f ′(x) + exf(x) = 3ex
• 4) f ′(x)− tan(x)f(x) = esin(x)
• 5) f ′(x) + 2xf(x) = xe−x2
G - Encontre as soluções das seguintes equações diferenciais
• 1) y′ = x2y
• 2) y′ = x2y(1+x3)
• 3) y′ + y2 sin(x) = 0
• 4) y′ = cos2(x) cos2(2y)
• 5) y′ + 2xy = xe−x2
• 6) dydx = x−e
x
y+ey
• 7) xy′ =
√
1− y2
• 8) dydx = x
2
1+y2