Apostila Ajustamento - Compensação

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Compensação e Ajustamento Ricardo Ernesto Schaal STT EESC USP 
 
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COMPENSAÇÃO E AJUSTAMENTO 
 
COMPENSAÇÃO 
 
A compensação de um conjunto de medidas é um procedimento para retirar o erro 
sistemático do processo metrológico. 
O erro sistemático é determinado pela diferença entre as medidas e o valor de 
referência. 
 
Exemplo 1 
A Tabela 1 apresenta as medidas dos ângulos internos de um polígono plano de 8 
lados. Neste caso só é possível determinar o erro da soma dos ângulos em relação 
ao valor de referência dado pela expressão que define a soma dos ângulos 
internos de um polígono de n lados 
Tabela 1 Medidas de ângulos 
Ângulo Graus Minutos
1 135 3 
2 134 59 
3 134 59 
4 135 4 
5 134 59 
6 135 3 
7 134 59 
8 135 2 
SOMAS 1076 248 
 
Número de lados 8 lados 
Soma ângulos internos 180º·( 8-2) = 1080º 
Soma dos ângulos medidos 1076º + 248´ = 1080º 8´ 
Erro sistemático = S(ângulos medidos) – Valor calculado = 8 minutos 
 
A compensação simples consiste em subtrair o erro dividido pelo número de lados 
de cada medida A Tabela 2 apresenta os valores compensados das medidas dos 
ângulos internos. 
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Tabela 2 Ângulos compensados 
Ângulo Graus Minutos
1 135 2 
2 134 58 
3 134 58 
4 135 3 
5 134 58 
6 135 2 
7 134 58 
8 135 1 
SOMAS 1076 240 
 
Exemplo 2 
A Tabela 3 apresenta 8 medidas das distâncias horizontais alinhadas entre dois 
pontos cuja distância total é 264,200 m. 
Tabela 3 Medidas de distâncias 
Lance Medida 
1 26,987 
2 32,458 
3 47,126 
4 29,487 
5 17,895 
6 25,638 
7 35,784 
8 48,745 
SOMA 264,120 
REFE 264,200 
ERRO -0,080 
 
A compensação pode ser simples subtraindo o erro dividido pelo número de 
lances de cada uma das medidas. 
A compensação pode ser proporcional subtraindo o erro ponderado pela 
distância de cada lance de cada uma das medidas. 
 
A Tabela 4 apresenta os resultados para as duas compensações e as respectivas 
diferenças. 
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Tabela 4 Resultados das compensações 
Simples Proporcional 
Simples - 
Proporcional 
mm 
26.997 26.995 2 
32.468 32.468 0 
47.136 47.140 -5 
29.497 29.496 1 
17.905 17.900 4 
25.648 25.646 2 
35.794 35.795 -1 
48.755 48.760 -5 
264.200 264.200 0 
 
 
AJUSTAMENTO 
 
O ajustamento é um procedimento para determinar o valor mais provável de um 
conjunto de medidas. 
 
DEFINIÇÕES 
 
Equações de Observação: 
 
 Dado uma medida, define-se por resíduo (v) pela diferença entre o valor 
medido (x) e o valor mais provável (X), que queremos encontrar com: 
 
v = x – X (1) 
 
 O valor aproximado pode ser definido pela expressão: 
 
X = XA + C (2) 
Na qual: 
XA = valor aproximado 
C = correção 
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 Substituindo (2) em (1) 
 
v = x – XA + C (3) 
 
 Um conjunto de medidas apresenta um conjunto de resíduos vi que podem 
ser postos na forma matricial como um vetor coluna V. 
 
VT = [v1 v2 v3 ··· vN] (4) 
 
 O valor mais provável ocorre quando a soma dos resíduos ao quadrado é 
mínima: 
 
VTV = mínima (5) 
 
 A solução da expressão (5) consiste em somar o quadrado dos resíduos, 
derivar em relação às incógnitas e resolver a equação, na qual X é a 
incógnita. 
 
Exemplo 3 
A média um conjunto de medidas de uma mesma grandeza e obtidas nas mesmas 
condições é o valor mais provável da grandeza. 
Dado um conjunto de 4 medidas conhecidas, xi, cuja média X é a incógnita, os 
seus resíduos são expressos por: 
v1 = x1 – X 
v2 = x2 – X 
v3 = x3 – X 
v4 = x3 – X 
 
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VTV = [(x1 – X)2 +(x2 – X)2 +(x3 – X)2 +(x4 – X)2 ] (6) 
 
Desenvolvendo a expressão (6) 
VTV = [ x12 + x22 + x32 + x42 +4X2-2x1X-2x2X-2x3X-2x4X] 
 
Derivando em relação X 
d(VTV)/dX = [ 0+ 0 + 0 + 0 +8X-2x1-2x2-2x3-2x4] 
 
Igualando a zero: 
d(VTV)/dX = [8X-2x1-2x2-2x3-2x4]= 0 
 
Resolvendo a equação: 
X= [x1+x2+x3+x4]/4 (7) 
 
A expressão (7) é a média das medidas. 
 
Exemplo 4 
Dado o nivelamento de uma rede de 4 pontos, onde é conhecida apenas a cota A. 
Deseja-se determinar as cotas B, C e D (incógnitas) fazendo-se as seguintes 
medições: 
 
Lance Medida 
A → B 3,0 
A → C 2,0 
A → D 6,1 
B → C -1,5 
B → D 3,2 
C → D 3,5 
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Para saber quais são as cotas mais prováveis (B, C e D), pode-se recorrer a dois 
tipos de ajustamento: 
 LIVRE: quando todas as cotas são ajustadas. 
 COM INJUNÇÃO: quando, pelo menos, uma cota, não é ajustada. 
 
MÉTODO PARAMÉTRICO: 
 
O método paramétrico pode ser usado quando o número de equações de 
observação é maior que o número de incógnitas. 
Neste exemplo temos a injunção do ponto A, cuja cota não é ajustada. 
Assumindo que a cota A = 0,0 m podemos montar 6 equações independentes, 
nas quais as cotas B, C e D são as incógnitas: 
1ª equação 1·B + 0·C + 0·D = 3,0 
2ª equação 0·B + 1·C + 0·D = 2,0 
3ª equação 0·B + 0·C + 1·D = 6.1 
4ª equação -1·B+ 1·C + 0·D = -1,5 
5ª equação -1·B + 0·C + 1·D = 3,2 
6ª equação 0·B ─ 1·C + 1·D = 3,5 
 
Pelo Método Paramétrico, resolve-se o ajustamento diretamente por álgebra 
matricial, bastando montar as matrizes A e L: 
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A matriz A e constituída pelos parâmetros das equações que envolvem as 
incógnitas 
 
O vetor L é constituído pelas 6 medidas 
 
 
A solução do método parte da hipótese que a soma dos resíduos ao quadrado seja 
mínima (Método dos Mínimos Quadrados – MMQ) resultando a equação 
matricial: 
 
 
Resolvendo a equação matricial, se obtém as cotas dos pontos B, C e D: 
 
 
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MÉTODO DAS CONDIÇÕES: 
 
Este método deve ser utilizado quando o número de equações é menor que o 
número de incógnitas. Neste caso as equações devem ser montadas obedecendo a 
uma determinada condição. 
Neste método, as incógnitas são os resíduos que cada medida deve ter para 
obedecer à condição de fechamento. 
No caso de nivelamento a condição fundamental é que o erro de um 
caminhamento fechado até o mesmo ponto seja igual a zero (0). 
No exemplo do nivelamento é possível montar 3 caminhamentos independentes, 
resultando 3 equações: 
Caminhamento 1 0)1,6()2,3()0,3( 361  vvv 
Caminhamento 2 0)0,3()5,1()0,2( 142  vvv 
Caminhamento 3 0)1,6()5,3()0,2( 352  vvv 
Expandindo as equações: 
1·v1+0·v2 -1·v3+0·v4+0·v5+1·v6 + 3,0 +3,2 - 6,1 = 0 
-1·v1+1·v2 +0·v3+1·v4+0·v5+0·v6 +3,0 +3,2 - 6,1 = 0 
0·v1+1·v2 -1·v3+0·v4+1·v5+0·v6 + 3,0 +3,2 - 6,1 = 0 
 
No Método das Condições é necessário montar a matriz B e a matriz W. 
A matriz B e constituída pelos parâmetros das equações de condições: 
 
A matriz W é constituída pela soma das constantes das equações 
 
O vetor V dos resíduos que determinam as condições pode ser determinado pela 
equação matricial, baseada no MMQ: 
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As6 medidas ajustadas são determinadas somando-se os resíduos às medidas 
originais: 
 
Na qual o vetor L é constituído pelas 6 medidas originais: 
 
As medidas ajustadas são: 
 
Neste método, as 3 cotas ajustadas dos pontos B, C, e D são os 3 primeiros 
elementos do vetor, exatamente iguais às cotas ajustadas pelo Método 
Paramétrico. 
 
Prof. Ass. Ricardo E. Schaal 
STT EESC USP 
São Carlos, 10 de abril de 2010.