Ajustamento de Observações
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Ajustamento de Observações


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UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
CURSO DE ENGENHARIA DE AGRIMENSURA E CARTOGRÁFICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AJUSTAMENTO DE OBSERVAÇÕES 
(VERSÃO DE 1998) 
 
 Pro f . Joe l Gr i pp Jun io r 
 
 
 
 
 
 
V içosa - 2012 
 
 
Ajustamento de Observações 
( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as \u2013\u2013\u2013\u2013 V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a \u2013\u2013\u2013\u2013 1998199819981998 )))) 
Pro f . J oe l Gr i pp J r 
 
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CAPÍTULO 1 
AJUSTAM ENTO DE OBSERVAÇÕES 
 
 
1.1. INTRODUÇÃO 
 
 Ao ob te r uma med ida que se reque r con f iança , qua lque r 
pessoa , in tu i t i vamente repe t i rá obse rvações e não i rá con f ia r em 
apenas uma observação . Mas a pa r t i r de vá r ias obse rvações de 
uma mesma grandeza , que resu l tado f ina l represen ta ma io r 
con f iança e que se ja ún ico deve rá ser u t i l i zado? 
 O a jus tamento de obse rvações cu ida da reso lução de 
p rob lemas des te t ipo , bem como a es t imat i va de p rec isão da 
so lução ado tada . 
 O a jus tamento de obse rvações leva , a lém de uma so lução 
ún ica , a coerênc ia de obse rvações a mode los ma temát icos 
ap rop r iados a cada caso . Nos casos ma is s imp les rea l i za -se 
med idas sob re as p róp r ias g randezas incógn i tas . Quando ta is 
i ncógn i tas se l i gam po r equações de cond ição o p rob lema se to rna 
menos s imp les . Out ras vezes medem-se g randezas que se 
v incu lam às incógn i tas a t ravés de re lações func iona is conhec idas , 
é o caso de obse rvações ind i re tas ou parâmet ros (ex . 
coo rdenadas, a l t i tudes , e t c . ) . Em qua lque r caso o que se busca , é 
pu r i f i ca r as obse rvações das incons is tênc ias que as acompanham, 
ou me lho r d i zendo , a jus tá - las , j un tamente com pa râmet ros 
(quando ex is tem) , a um mode lo matemát i co . 
Ajustamento de Observações 
( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as \u2013\u2013\u2013\u2013 V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a \u2013\u2013\u2013\u2013 1998199819981998 )))) 
Pro f . J oe l Gr i pp J r 
 
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 A lgumas d i f i cu ldades podem su rg i r quando se p re tende 
ponderar as obse rvações onde se deve a t r ibu i r "ma is peso" 
àque las que merecem ma io r con f iança ; i s to p ressupõe o 
conhec imen to da p rec isão com que as med idas são e fe tuadas . 
 Se ja os segu in tes exemp los pa ra en fa t i za r a lguns pon tos 
impo r tan tes do pon to de v i s ta p rá t ico : 
 Exemplo .1 : 
 A F igu ra 1 .1 esquemat i za uma pequena rede de n ive lamento 
geomét r i co ; em função dos desn íve is med idos a a l t i t ude de RN1 
pode se r t ranspor tada a té RN2; como são inúmeros os cam inhos 
poss íve is resu l ta rá inúmeras so luções . 
RN1
RN2
 
F i g 1 . 1 \u2013 Rede de n i v e l amen t o geomé t r i c o 
 
O a jus tamento , en t re tan to , conduzi rá a uma so lução ún ica 
to rnando as obse rvações coe ren tes com um mode lo matemá t i co . 
 A l t e rna t i vamen te , a a l t i t ude de RN2 pode se r " f i xada" como 
a de RN1; nes te caso as observações são a jus tadas de ta l 
mane i ra que o t ranspo r te de a l t i tudes a pa r t i r de RN1 p roduza em 
RN2 um va lo r idên t i co p ré - f i xado . 
 
 
 
 
 
 
Ajustamento de Observações 
( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as \u2013\u2013\u2013\u2013 V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a \u2013\u2013\u2013\u2013 1998199819981998 )))) 
Pro f . J oe l Gr i pp J r 
 
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 Exemplo .2 : 
A
B
C
Q
P
 
F i g . 1 . 2 \u2013 Rede de t r i a ngu l aç ão e p o l i g ona l 
 
 P e Q são vé r t i ces de uma cade ia de t r iangu lação já 
a jus tados , razão pe la qua l suas coo rdenadas são cons ide radas 
" f i xas" . Na po l i gona l P AB C Q medem-se os lados (e le t ron icamente ) 
e os ângu los . Adm i t indo que ta is obse rvações se jam, num caso 
idea l , i sen tos de e r ros ; mesmo ass im as coordenadas 
t ranspo r tadas a pa r t i r de P não " fecham" em Q. Neste caso em 
que não há e r ros de observações o que faz com que as 
coo rdenadas ca lcu ladas a pa r t i r de P não " fecham" em Q, poderá 
ser o mode lo matemát i co do cá lcu lo do t ranspo r te numa supe r f íc ie 
d i f e ren te da super f íc ie em que fo ram ca lcu ladas P e Q . Po is bem, 
o a jus tamen to deve rá a l te ra r os va lo res co r re tos para ga ran t i r 
aque les fechamentos em obed iênc ia a um mode lo matemát i co , 
 Exemplo .3 : 
1
2 3
4
5
6
7
8
A B
CD 
F i g . 1 . 3 \u2013 Quad r i l á t e r o c omp l e t o d e uma t r i a ngu l aç ão 
 
Ajustamento de Observações 
( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as \u2013\u2013\u2013\u2013 V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a \u2013\u2013\u2013\u2013 1998199819981998 )))) 
Pro f . J oe l Gr i pp J r 
 
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 Os ângu los med idos de um quad r i l á1 te ro comple to de uma 
t r iangu lação geodés ica ; Após a jus tados , a soma dos ângu los de 
todos os t r iângu los es fé r icos do quad r i lá te ro deve rão sa t i s faze r a 
cond ição matemát i ca de que o co r responden te é igua l a 180 o ma is 
o excesso es fé r ico . 
 
1 . 2 . O M É T O D O D O S M Í N I M O S Q U AD R AD O S ( M. M. Q ) 
 Cons ide rando o caso da med ida d i re ta de uma grandeza x ; 
se jam b 1 ,b 2 , . . . , b n os va lo res ob t idos em uma sér ie de n 
obse rvações . 
 Na imposs ib i l idade de ob te r o ve rdade i ro va lo r de x devem-
se con ten ta r os com uma es t imat i va que se ja con f iáve l . Ado tando 
o va lo r x como base em um de te rm inado c r i té r io e ca lcu lando as 
d i f e renças : 
x - b 1 = v 1 
x - b 2 = v 2 
x - b 3 = v 3 
. . . 
. . . 
x - b n = v n . 
ou x - b i = v i pa ra i = 1 , 2 , 3 . . . . ,n 
 
 Ta is d i f e renças (v i ) são os res íduos , i s to é , os va lo res , a 
p r io r i desconhec idos , que somados às obse rvações reproduzem o 
va lo r esco lh ido x . 
 Poder -se - ia , mudando o c r i té r io e lege r um va lo r d i fe ren te x ' ; 
resu l ta r ia um novo con jun to de res íduos : 
 x bi vi' '\u2212 = 
e ass im por d ian te : 
 x bi vi'' ''\u2212 = 
 Qua l \u201cdos va lo res x , x \u2019 , x \u201d deve -se ado ta r? Em ou t ras 
pa lavras , como esco lhe r um c r i té r io que pe rmi te , das obse rvações 
Ajustamento de Observações 
( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as \u2013\u2013\u2013\u2013 V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a \u2013\u2013\u2013\u2013 1998199819981998 )))) 
Pro f . J oe l Gr i pp J r 
 
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repe t idas b i , d i sc repan tes en t re s i , ex t ra i r