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UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
CURSO DE ENGENHARIA DE AGRIMENSURA E CARTOGRÁFICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AJUSTAMENTO DE OBSERVAÇÕES 
(VERSÃO DE 1998) 
 
 Pro f . Joe l Gr i pp Jun io r 
 
 
 
 
 
 
V içosa - 2012 
 
 
Ajustamento de Observações 
( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) 
Pro f . J oe l Gr i pp J r 
 
2 
CAPÍTULO 1 
AJUSTAM ENTO DE OBSERVAÇÕES 
 
 
1.1. INTRODUÇÃO 
 
 Ao ob te r uma med ida que se reque r con f iança , qua lque r 
pessoa , in tu i t i vamente repe t i rá obse rvações e não i rá con f ia r em 
apenas uma observação . Mas a pa r t i r de vá r ias obse rvações de 
uma mesma grandeza , que resu l tado f ina l represen ta ma io r 
con f iança e que se ja ún ico deve rá ser u t i l i zado? 
 O a jus tamento de obse rvações cu ida da reso lução de 
p rob lemas des te t ipo , bem como a es t imat i va de p rec isão da 
so lução ado tada . 
 O a jus tamento de obse rvações leva , a lém de uma so lução 
ún ica , a coerênc ia de obse rvações a mode los ma temát icos 
ap rop r iados a cada caso . Nos casos ma is s imp les rea l i za -se 
med idas sob re as p róp r ias g randezas incógn i tas . Quando ta is 
i ncógn i tas se l i gam po r equações de cond ição o p rob lema se to rna 
menos s imp les . Out ras vezes medem-se g randezas que se 
v incu lam às incógn i tas a t ravés de re lações func iona is conhec idas , 
é o caso de obse rvações ind i re tas ou parâmet ros (ex . 
coo rdenadas, a l t i tudes , e t c . ) . Em qua lque r caso o que se busca , é 
pu r i f i ca r as obse rvações das incons is tênc ias que as acompanham, 
ou me lho r d i zendo , a jus tá - las , j un tamente com pa râmet ros 
(quando ex is tem) , a um mode lo matemát i co . 
Ajustamento de Observações 
( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) 
Pro f . J oe l Gr i pp J r 
 
3 
 A lgumas d i f i cu ldades podem su rg i r quando se p re tende 
ponderar as obse rvações onde se deve a t r ibu i r "ma is peso" 
àque las que merecem ma io r con f iança ; i s to p ressupõe o 
conhec imen to da p rec isão com que as med idas são e fe tuadas . 
 Se ja os segu in tes exemp los pa ra en fa t i za r a lguns pon tos 
impo r tan tes do pon to de v i s ta p rá t ico : 
 Exemplo .1 : 
 A F igu ra 1 .1 esquemat i za uma pequena rede de n ive lamento 
geomét r i co ; em função dos desn íve is med idos a a l t i t ude de RN1 
pode se r t ranspor tada a té RN2; como são inúmeros os cam inhos 
poss íve is resu l ta rá inúmeras so luções . 
RN1
RN2
 
F i g 1 . 1 – Rede de n i v e l amen t o geomé t r i c o 
 
O a jus tamento , en t re tan to , conduzi rá a uma so lução ún ica 
to rnando as obse rvações coe ren tes com um mode lo matemá t i co . 
 A l t e rna t i vamen te , a a l t i t ude de RN2 pode se r " f i xada" como 
a de RN1; nes te caso as observações são a jus tadas de ta l 
mane i ra que o t ranspo r te de a l t i tudes a pa r t i r de RN1 p roduza em 
RN2 um va lo r idên t i co p ré - f i xado . 
 
 
 
 
 
 
Ajustamento de Observações 
( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) 
Pro f . J oe l Gr i pp J r 
 
4 
 Exemplo .2 : 
A
B
C
Q
P
 
F i g . 1 . 2 – Rede de t r i a ngu l aç ão e p o l i g ona l 
 
 P e Q são vé r t i ces de uma cade ia de t r iangu lação já 
a jus tados , razão pe la qua l suas coo rdenadas são cons ide radas 
" f i xas" . Na po l i gona l P AB C Q medem-se os lados (e le t ron icamente ) 
e os ângu los . Adm i t indo que ta is obse rvações se jam, num caso 
idea l , i sen tos de e r ros ; mesmo ass im as coordenadas 
t ranspo r tadas a pa r t i r de P não " fecham" em Q. Neste caso em 
que não há e r ros de observações o que faz com que as 
coo rdenadas ca lcu ladas a pa r t i r de P não " fecham" em Q, poderá 
ser o mode lo matemát i co do cá lcu lo do t ranspo r te numa supe r f íc ie 
d i f e ren te da super f íc ie em que fo ram ca lcu ladas P e Q . Po is bem, 
o a jus tamen to deve rá a l te ra r os va lo res co r re tos para ga ran t i r 
aque les fechamentos em obed iênc ia a um mode lo matemát i co , 
 Exemplo .3 : 
1
2 3
4
5
6
7
8
A B
CD 
F i g . 1 . 3 – Quad r i l á t e r o c omp l e t o d e uma t r i a ngu l aç ão 
 
Ajustamento de Observações 
( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) 
Pro f . J oe l Gr i pp J r 
 
5 
 Os ângu los med idos de um quad r i l á1 te ro comple to de uma 
t r iangu lação geodés ica ; Após a jus tados , a soma dos ângu los de 
todos os t r iângu los es fé r icos do quad r i lá te ro deve rão sa t i s faze r a 
cond ição matemát i ca de que o co r responden te é igua l a 180 o ma is 
o excesso es fé r ico . 
 
1 . 2 . O M É T O D O D O S M Í N I M O S Q U AD R AD O S ( M. M. Q ) 
 Cons ide rando o caso da med ida d i re ta de uma grandeza x ; 
se jam b 1 ,b 2 , . . . , b n os va lo res ob t idos em uma sér ie de n 
obse rvações . 
 Na imposs ib i l idade de ob te r o ve rdade i ro va lo r de x devem-
se con ten ta r os com uma es t imat i va que se ja con f iáve l . Ado tando 
o va lo r x como base em um de te rm inado c r i té r io e ca lcu lando as 
d i f e renças : 
x - b 1 = v 1 
x - b 2 = v 2 
x - b 3 = v 3 
. . . 
. . . 
x - b n = v n . 
ou x - b i = v i pa ra i = 1 , 2 , 3 . . . . ,n 
 
 Ta is d i f e renças (v i ) são os res íduos , i s to é , os va lo res , a 
p r io r i desconhec idos , que somados às obse rvações reproduzem o 
va lo r esco lh ido x . 
 Poder -se - ia , mudando o c r i té r io e lege r um va lo r d i fe ren te x ' ; 
resu l ta r ia um novo con jun to de res íduos : 
 x bi vi' '− = 
e ass im por d ian te : 
 x bi vi'' ''− = 
 Qua l “dos va lo res x , x ’ , x ” deve -se ado ta r? Em ou t ras 
pa lavras , como esco lhe r um c r i té r io que pe rmi te , das obse rvações 
Ajustamento de Observações 
( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) 
Pro f . J oe l Gr i pp J r 
 
6 
repe t idas b i , d i sc repan tes en t re s i , ex t ra i rum va lo r ún ico pa ra 
rep resen ta r a incógn i ta x? 
 
 Há ma is de do is sécu los o geodes is ta f ez sua opção , 
segu indo o cam inho ind icado por GAUSS e LEGENDRE: 
 
 A C E I T A R C O M O M E L H O R E S T I M A T I V A D E X O V A L O R Q U E 
T O R N A M Í N I M A A S O M A D O S Q U A D R A D O S D O S R E S Í D U O S . 
 
 O c r i té r io sup ra ca rac te r i za o mé todo dos m ín imos quad rados 
(M . M. Q ) ins t i tu ído independentemente pe los do is g randes 
matemá t i cos , ac ima c i tados . 
 A té a bem pouco , o M. M. Q , quando re fe r ido , conse rvava a 
no tação o r ig ina l de Gauss , respe i tada un ive rsa lmen te [v.v] = 
min , o co lche te ind icando somató r io , como va r iações 
suben tend ida de 1 a n e sem u t i l i za r expoen tes . 
 Quando as observações não o fe recem o mesmo grau de 
con f iança são "homoge in i zados" a t ravés de pesos p i : 
 ∑
=
=∗
n
i
vipi
1
2 min ou [ ]p v v∗ ∗ = min 
 Modernamen te p re fe re -se a l inguagem ma t r i c ia l : 
 min=VV T , sendo V o ve to r co luna dos res íduos . 
 min=PVV T , sendo P uma mat r i z quad rada (mat r i z dos 
pesos ) . 
 
 Como se rá v is to com o desenvo lve r do assun to , o 
a jus tamento é uma grande fe r ramenta às vá r ias á reas da 
engenha r ia de levan tamentos , ta is como: Topogra f ia , Geodés ia , 
Fo togramet r ia , As t ronom ia , e t c . 
 
Ajustamento de Observações 
( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) 
Pro f . J oe l Gr i pp J r 
 
7 
 Suponha x o va lo r ado tado como es t ima t i va de uma 
grandeza sob re a qua l f o ram execu tadas n obse rvações repe t idas 
em cond ições supos tamente s im i la res , os co r respondentes 
res íduos se rão : 
 x -b1 = v1, x -b2 = v2, . . . , x -bn = vn 
 
 
O p r inc íp io do método dos m ín imos quad rados (MMQ) d i z : 
 φ = V TV = [ v . v ] = ( )x b
i
i
n
−
=
∑ 2
1
 = m ín imo. 
 A p r ime i ra de r i vada da função φ i gua lada a ze ro e reso lv ida , 
p roduz i rá so lução m ín ima. 
 
 
∂φ
∂x
x b
i
i
n
= − =
=
∑2 0
1
. ( ) ou 
 
 ( x -b 1 ) + ( x -b 2 ) . . . + ( x -b n ) = 0 
 
n . x = b 1+b 2 + . . . + b n 
n
b
x
n
i
i∑
== 1 o que p rova que quando se ado ta a méd ia 
a r i tmét ica como es t imat i va , se ap l ica o mé todo dos m ín imos 
quad rados . 
 
 
 
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( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) 
Pro f . J oe l Gr i pp J r 
 
8 
CAPÍTULO 2 
TEORI A DOS ERROS 
 
2 . 1 . I N T R O D U Ç ÃO 
 
 Na med ida de uma de te rm inada g randeza , ce r tos fa to res 
como a l im i tação humana , impe r fe ição ins t rumenta l e i ns tab i l idade 
da na tu reza fazem com que as med idas nunca tenham exa t idão 
abso lu ta . Um ope rado r repe t indo vá r ias vezes uma mesma 
med ida , os resu l tados p rovave lmen te não se rão idên t i cos , po r 
ma is que se ja o cu idado u t i l i zado nas observações . Ass im, pode-
se a f i rmar que todas as med idas con têm e r ros . 
 Com a f i na l idade de conhecer bem a teo r ia dos e r ros , se rá 
ap resen tado , a segu i r , a lguns conce i tos impo r tan tes e de uso 
comum no a jus tamento de obse rvações . 
 
2 . 2 . AL G U NS C O N C E I T O S 
2 . 2 . 1 . E r r o Ab s o l u t o V e r d a d e i r o 
 
 É a d i f e rença , em va lo r abso lu to , en t re a med ição de uma 
grandeza f ís i ca e o seu ve rdade i ro va lo r . 
 Na p rá t i ca , não se conhece o va lo r rea l ou verdade i ro da 
g randeza ; conhece -se o va lo r ma is p rováve l des ta g randeza . 
 
 
 
 
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Pro f . J oe l Gr i pp J r 
 
9 
2 . 2 . 2 . E r r o Ab s o l u t o Ap a r e n te (E ) 
 
 É a d i f e rença , em va lo r abso lu to , en t re a med ição de uma 
grandeza (x i ) e seu va lo r ma is p rováve l ( x ) . 
 
 Ei xi x= − 
 
2 . 2 . 3 . E r r o ve r d a d e i r o e E r r o Ap a r e n te 
 
 Po r ana log ia ao conce i to an te r io r , só que se cons ide rando o 
s ina l da d i f e rença en t re a med ida . 
 e x xi i= − 
 
2 . 2 . 4 . Re s í d u o ( v) 
 No a jus tamento denom ina -se de res íduo o inve rso do e r ro 
apa ren te , ou se ja , é a co r reção que tem s ina l con t rá r io do e r ro 
apa ren te . 
 v x xi i= − 
 
2 . 2 . 5 . D i s c r e p â n c i a 
 É a d i f e rença en t re os va lo res de duas med idas de uma 
mesma grandeza , ob t idas por do is ope rado res d i f e ren tes . As 
vezes é inco r re tamente chamada de e r ro . 
 
 
2 . 2 . 6 . E r r o Re l a t i vo ( e r ) 
 É a re lação en t re o e r ro abso lu to apa ren te e o va lo r ma is 
p rováve l da g randeza ( x ) . 
 
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Pro f . J oe l Gr i pp J r 
 
10 
 
e
E
xr
=
 
 
 Cons ide rando um grupo de obse rvações resu l tan te de 
repe t i ções , o e r ro re la t i vo é ma is u t i l i zado , em a jus tamento de 
obse rvações , como sendo a re lação en t re o desv io pad rão de uma 
sér ie de de te rm inações da g randeza e o va lo r ma is p rováve l 
co r respondente . Comumente , se exp ressa o e r ro re la t i vo , em 
te rmos de f ração , co locando a un idade no numerador . 
 
 Exemplo : 
 Se x = 229 ,314 m 
 e σn = 0 ,012 m 
 en tão , 
 
 er = =
0 012
229 314
1
19109
,
, .
 
 
2 . 2 . 7 . E r r o T o l e r á ve l (T o l e r â n c i a ) 
 Cons ide ra -se no rma lmente como sendo o t r ip lo do desv io 
pad rão da méd ia . 
 
 tol
n
= 3.σ 
 
 A razão de se ado ta r a exp ressão an te r io r se rá es tudada 
opo r tunamente . 
 
 
 
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( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) 
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11 
2 . 3 . T I P O S DE E R RO S E M F U N Ç ÃO D A S U A O R I G E M E 
C AR AC T E RÍ S T I CAS 
2 . 3 . 1 . E r r o s G r o s s e i r o s 
 E r ros comet idos nas med ições por desa tenção ou con fusãodo operado r . Es tas med ições devem se r repe t idas . Exemplos : e r ro 
de ano tação , e r ro na le i tu ra de um ângu lo , e r ro de cá lcu lo , e t c . 
 Pa ra ev i ta r e r ros g rosse i ros deve -se sempre repe t i r 
cu idadosamente as med ições . 
 
 
2 . 3 . 2 . E r r o s S i s te m á t i c o s 
 Podem se r exp ressos po r uma função matemát ica . Se as 
causas dos e r ros são conhec idas , pode -se ca lcu la r o e r ro e 
e l im iná - lo . São e r ros cumu la t i vos . 
 Ca rac te r i zam-se po r oco r re r sempre em um mesmo sen t ido e 
conse rva rem em med ições sucess ivas , o mesmo va lo r . Deco r rem 
das impe r fe i ções do obse rvado r , do ins t rumen to e do mé todo 
usado . São t rês os t ipos de e r ros s is temát icos : 
 
 a )E r r o s s i s te m á t i c o s i n t r o d u z i d o s p e l o o b s e r va d o r . 
Ex . : E r ros comet idos po r de f ic iênc ia de v i são , 
 
 b ) E r r o s s i s te m á t i c o s i n tr o d u z i d o s p e l o i n s t r u m e n t o . 
Ex . : Uso de ins t rumentos em cond ições d i f e ren tes daque las pa ra 
as qua is f o ram ca l i b radas ou , po r exemplo : suponha uma d is tânc ia 
ob t ida a pa r t i r de o i to t renadas , supondo que cada t renada 
equ iva le a 10 m, a d i s tânc ia to ta l se r ia de 80 met ros . De tec tando 
pos te r io rmente que a t rena tem na rea l i dade 10 ,10m. , conc lu i -se 
que a d is tânc ia tem um e r ro s is temát i co de 80 cm. 
 Como ou t ros exemp los têm-se : e r ro de índ ice num ângu lo 
ve r t i ca l ; número ge rado r e r rado , e t c . 
 
 
Ajustamento de Observações 
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c ) E r r o s s i s te m á t i c o s i n tr o d u z i d o s p e l o m é t o d o. 
Ex . : Ut i l i zação de um método baseado em equação matemá t ica 
não represen ta t i va da rea l i dade do fenômeno. 
 Sempre que poss íve l , os e r ros pessoa is podem ser 
m in im izados pe la subs t i tu ição do obse rvado r humano po r um 
mecân ico ou e le t rôn ico , e tc . 
 Os e r ros ins t rumenta is são reduz idos po r me io de uma 
a fe r i ção ou ca l ib ração do apa re lho , po r comparação com um 
pad rão de con f iança . 
 As vezes pode-se co r r ig i r o i ns t rumento fazendo o mesmo 
fo rnece r resu l tados sem e r ros s i s temá t i cos ou , en tão ca lcu la r o 
e r ro e co r r ig i r os resu l tados das med ições . 
 
2 . 3 . 3 . E r r o s Ac i d e n ta i s 
 Oco r rem de causas desconhec idas e incon t ro láve is . 
 Ca rac te r i zam-se po r ocor re rem ao acaso qua isque r que 
se jam os obse rvado res , os ins t rumen tos e os métodos . Em ge ra l 
são e r ros pequenos, po rém inev i táve is e encon t rados em todas as 
obse rvações causando d isc repânc ia que a p r inc íp io ap resen tam 
sem qua lquer con fo rm idade matemát i ca . A sua in f luênc ia sob re as 
obse rvações é a lea tó r ia , não pe rm i t indo ou t ro t ra tamento se não 
baseado na teor ia da p robab i l i dade . 
 Pode-se d i ze r que os e r ros ac iden ta i s são os que a inda 
res tam na de te rminação de uma grandeza , em que fo ram tomados 
todos os cu idados para e l im inar as obse rvações com er ros 
g rosse i ros , bem como os s is temát i cos fo ram pesqu isados , 
ca lcu lados e levados em cons ide ração . 
 Se fo r rea l i zado um número g rande de obse rvações , a 
expe r iênc ia tem demonst rado que es tes e r ros reve lam a lguma 
regu la r idade , ou se ja , seguem uma d is t r ibu ição de f reqüênc ia que 
mu i to se ap rox ima da d is t r ibu ição no rma l . 
 
 
Ajustamento de Observações 
( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) 
Pro f . J oe l Gr i pp J r 
 
13 
 
2 . 4 . CL AS S I F I C AÇ ÃO D AS O BS E RV AÇ Õ E S 
 
2 . 4 . 1 Di r e ta s 
 As med ições são e fe tuadas d i re tamente , em re lação à 
g randeza p rocu rada , sem que ex is tam me ios pa ra ve r i f i cação do 
e r ro , uma vez que não se conhecem os seus va lo res rea is ou 
teór i cos . Exemplo : uma d is tânc ia ou ângu lo iso lado . 
 
 
 
2 . 4 . 2 I n d i r e ta s 
 As obse rvações não são fe i tas d i re tamente sob re as 
g randezas p rocu radas , mas a ou t ras a e las l i gadas po r me io de 
re lações conhec idas . Exemp lo : coo rdenadas , á reas , e t c . 
 
2 . 4 . 3 Di r e ta s Co n d i c i o n a d a s 
 As observações são fe i tas d i re tamen te , e são independentes 
en t re s i , po rém se p rendem a a lguma equação de cond ição 
conhec ida . Exemp lo : Na med ida de t rês ângu los (a , b , c ) de um 
t r iângu lo p lano , tem-se que a + b + c = 180 . 
 
2 . 5 . V AL O R M AI S P R O V ÁV E L D E UM A G R AN D E Z A 
 O va lo r ma is p rováve l de uma grandeza , med ida d i ve rsas 
vezes pe lo mesmo ope rado r , u t i l i zando o mesmo equ ipamento e o 
mesmo método , ou se ja , med idas com um grau idên t i co de 
con f iab i l idade , é a Méd ia A r i tmét ica dos va lo res encon t rados . 
No caso de obse rvações ob t idas com d i f e ren tes g raus de 
con f iab i l idade , o va lo r ma is p rováve l deve rá se r ob t ido 
cons ide rando -se um fa to r de p roporc iona l idade ao qua l 
denom inamos PESO. 
 Obser vação : Opor tunamente o PESO se rá e luc i dado em de ta l hes 
 
Ajustamento de Observações 
( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) 
Pro f . J oe l Gr i pp J r 
 
14 
2 . 6 . ME DI D AS DE P RE CI S ÃO 
 P rec isão é a cons is tênc ia da med ida ou o g rau de 
re f inamen to de um grupo de med idas . Nas med ições os te rmos 
ma is comumente usados pa ra exp ressa r a p rec isão são a 
va r iânc ia e o desv io pad rão ou e r ro méd io quad rá t i co . 
 
2 . 6 . 1 . V a r i â n c i a 
 É de f in ida como a méd ia do quad rado dos e r ros apa ren tes . É 
comum pa ra o cá lcu lo da va r iânc ia , ado ta r o segu in te c r i té r io : 
 
 - se o número de obse rvações (n ) f o r meno r do que 30 , a 
va r iânc ia é ob t ida por : 
 σ 2
2
1 1
=
−
=
=
∑
e
n
somatório do quadrado dos erros aparentes
número de observações menos um
i
i
n 
 
 - Se o número de obse rvações n fo r ma io r do que 30 : 
 
 σ 2
2
1
=
=
∑
e
n
i
i
n
 
 
2 . 6 . 2 . De s vi o P a d r ã o 
 É a ra i z quad rada da va r iânc ia . 
 
 σ =
−=
∑
e
n
i
i
n
2
1 1
 ou σ =
=
∑
e
n
i
i
n
2
1
 
 Se ja qua l f or o t i po de obse rvação , o resu l t ado te rá ma io r 
va lo r , se a lém de ap resen tado o va lo r pa ra a g randeza dese jada , 
f o r ap resen tado também a p rec isão com que es ta f o i ob t ida . 
 Dependendo da g randeza , ao invés de se te r o desv io padrão 
como prec isão , é comum ap resen ta r o e r ro re la t i vo no luga r des te , 
é o caso , po r exemp lo , de d is tânc ias . 
Ajustamento de Observações 
( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) 
Pro f . J oe l Gr i pp J r 
 
15 
 
 
CAPÍTULO 3 
DISTRIBUIÇÃO NORM AL 
 
3 . 1 I NT RO D U Ç ÃO 
 
 Como já f o i menc ionado, os e r ros ac iden ta i s oco r rem de 
fo rma a lea tó r ia e tendendo a obedece r a d is t r ibu ição norma l ou 
Le i de Gauss . 
 Cons ide rando uma operação qua lque r de med ição e fe tuada 
um grande número de vezes , nas mesmas cond ições (mesmo 
ope rador , ins t rumen to , mé todo , e tc . ) a teo r ia das p robab i l idades 
mos t ra e a expe r iênc ia pe rm i te ve r i f i ca r que os e r ros ac iden ta i s 
p roduz idos gozam das segu in tes p rop r iedades . 
 
 1 a . A um e r ro pos i t i vo co r responde um er ro nega t i vo de 
mesmo va lo r abso lu to (os e r ros pos i t i vos e nega t ivos de mesmo 
va lo r abso lu to tem igua l p robab i l idade ) 
 
 2 a . Os e r ros pequenos são os ma is numerosos (o e r ro nu lo é 
o ma is p rováve l ) . 
 
 A curva que rep resen ta a Le i de Gauss tem a fo rma de um 
s ino e goza das segu in tes p ropr iedades : 
 
 
Ajustamento de Observações 
( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) 
Pro f . J oe l Gr i pp J r 
 
16 
 
 Y 
 
 
 
 
 
 −σ +σ X 
 a ) É s imé t r i ca em re lação ao e i xo do Y , i s to é , os e r ros 
pos i t i vos e nega t i vos do mesmo va lo r abso lu to tem igua is 
p robab i l idades ; 
 b ) As o rdenadas cor respondentes aos e r ros pequenos são as 
ma io res , i s to é , os e r ros pequenos têm ma io r p robab i l idade do 
que os grandes ; 
 c ) A curva tem po r ass ín to ta o e i xo dos x , i s to é , o e r ro 
i n f in i to tem uma probab i l i dade nu la ; 
 d ) A cu rva ap resen ta do is pon tos de in f lexão 
cor respondentes a ma is ou menos σ (desv io pad rão ) ; 
 e ) A p robab i l idade de se comete r um e r ro , em va lo r abso lu to , 
meno r que ∆ (e r ro compreend ido en t re + ∆ e - ∆ ) é i gua l a á rea 
ass ina lada na f i gu ra . 
 Y 
 ( )P F E dE= 
 
 
 
 
 −∆ +∆ X 
 
Ajustamento de Observações 
( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) 
Pro f . J oe l Gr i pp J r 
 
17 
f ) A á rea to ta l l im i tada pe la cu rva , i s to é , a p robab i l idade de 
se comete r s imu l taneamente todos os e r ros é , po r tan to , i gua l a 
un idade (100%). 
 A cu rva da le i de Gauss pode se r rep resen tada 
ana l i t i camen te pe la equação : 
( )F E e
E
=
∗
∗
− ∗
∗
1
2
1
2
2
2
π
σ
 
 Onde: 
 σ = desv io padrão 
 E= e r ro cons ide rado , ou se temos uma med ida x e uma 
méd ia x , E x x= − . 
 
 Se fo r cons ide rado na equação da Le i de Gauss desv ios 
pad rões σ= 1 , σ= 2 e σ= 3 , as cu rvas cor responden tes ser iam: 
 Y 
 σ=1 
 
 σσσσ=2 
 
 σσσσ=3 
 
 
 
 
ou se ja , quan to ma io r f o r o desv io pad rão (meno r p rec isão ) , ma is 
acha tada se rá a curva , é comum encon t ra r tabe las que fo rnecem 
os va lo res resu l tan tes das in tegra is (que represen tam 
p robab i l idades) : 
 
 P e dE
E
E x
E
e= −
∗
∗
=∞
=
− ∗
∫ ∗1
2
1 2 2
1
π
σ 
Ajustamento de Observações 
( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) 
Pro f . J oe l Gr i pp J r 
 
18 
Ou P=p robab i l idade=á rea sob a curva 
 
 Como ap l icação s imp les , pode -se faze r : 
1 ) Encon t ra r a p robab i l i dade dos e r ros menores , em va lo r 
abso lu to , do que um desv io padrão (1σ ) (ou encon t ra r a 
á rea sob a curva e l im i tada pe las absc issas +σ e -σ ) . 
2 ) 
 Pe la tabe la das p robab i l i dades , ob tém-se : 
 p1 ( < -σ ) =0 , 1 5865 p 2 ( <σ ) =0 , 8 4184 
 
 P 
 
 -σ +σ -σ +σ 
 A d i f e rença en t re p 2 e p 1 f o rnece P = 68 ,26%. 
2 ) Pa ra o mesmo rac ioc ín io an te r io r , cons ide rando -se 2σ , 
ob tém-se : 
 
 P=95 ,45% 
 
 
 
 
 -2σ +2σ 
 3 ) idem, cons ide rando 3σ : 
 
 P=99 ,73% 
 
 
 
 
 -3σ +3σ 
Ajustamento de Observações 
( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) 
Pro f . J oe l Gr i pp J r 
 
19 
Obs. : As ap l icações an te r io res se rão ú te i s quando fo r ap resen tado 
o es tudo da to le rânc ia nos levan tamentos . 
 Na p rá t i ca , se o número de observações fo r g rande , pode -se 
ve r i f i ca r uma concordânc ia per fe i ta com a cu rva de Gauss , se fo r 
marcado em absc issas as g randezas dos e r ros (e r ros apa ren tes ) , 
e em o rdenadas, o número de oco r rênc ias co r responden tes . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ajustamento de Observações 
( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) 
Pro f . J oe l Gr i pp J r 
 
20 
CAPÍTULO 4 
LEI DE PROPAG AÇÃO DE ERROS 
F Ó RM A AL G É B RI C A 
 
4 . 1 . I N T R O D U Ç ÃO 
 Se a pa r t i r de uma re lação matemát i ca ob têm-se a lguma 
grandeza em função de ou t ras que possuem e r ros , en tão a 
g randeza ob t ida também con te rá e r ros . Ass im, po r exemplo , se fo r 
ob t ido a á rea de umquad r i lá te ro cu jos lados são L 1 e L 2 com 
desv io pad rão σ 1 e σ 2 , en tão a á rea ob t ida te rá um desv io pad rão 
σA dev ido a p ropagação de σ L 1 e σ L 2 . 
 Com a f ina l idade de consegu i r va r iânc ias (ou desv ios 
pad rões ) de g randezas ob t idas ass im, ind i re tamente , f az -se o uso 
da Le i de Propagação de E r ros . 
 A Le i de P ropagação de E r ros (ou va r iânc ias ) deve se r 
recor r ida quando se dese ja f azer uma aná l ise de e r ros v i sando , 
po r exemp lo , a rea l i zação de uma p ré -aná l ise . 
 In i c ia lmen te se rá deduz ida a le i de p ropagação de e r ros 
envo lvendo apenas g randezas não cor re lac ionadas. 
 
4 . 2 . DE D UÇ ÃO D A E Q U AÇ ÃO D A L E I DE P RO P AG AÇ ÃO D E 
E R RO S : 
 Suponha y= F (x 1 , x 2 ) , f unção das g randezas não 
cor re lac ionadas x 1 e x 2 de desv ios pad rão conhec idos σ x 1 e σ x 2 . 
Se numa dada med ida da sé r ie de obse rvações t i ve rmos os e r ros 
e x 1 e e x 2 nas g randezas x 1 e x 2 , a co r respondente função f i ca rá : 
 
Ajustamento de Observações 
( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) 
Pro f . J oe l Gr i pp J r 
 
21 
( )y e F x e x ey x x+ = + +1 1 2 2, 
 
 Desenvo lvendo a função F em sé r ie de Tay lo r e desp rezando 
os te rmos de 2 a o rdem e supe r io res , vem: 
 
( )y e F x x e ey F
x
x
F
x
x+ = + ∗ + ∗1 2
1
1
2
2,
σ
σ
σ
σ
 
 
e en tão , como : ( )y F x x=
1 2
, 
 
e
F
x
e
F
x
ey x x= ∗ + ∗
∂
∂
∂
∂1
1
2
2 
que e levando ao quad rado f i ca : 
e
F
x
e
F
x
F
x
e
x
e
x
F
x
e
xy x
2
1
2
2
1 2
1 2
2
2
2
1= ∗ + ∗ ∗ ∗ ∗ + ∗






























∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
 
 
 Cons ide rando que as g randezas x 1 e x 2 f o ram med idas com 
vá r ias repe t i ções e somando os va lo res ob t idos dev ido a es tas 
repe t i ções , vem: 
 
e
F
x
e
F
x
F
x
e e
F
x
ey
i
n
F
x
i
n
x
i
n
x x
i
n
2
1 1
2
1
2
1 1 2
1
1
2
2
2
2
2
1
2
= = = =
∑ ∑ ∑ ∑=





 ∗ + ∗ ∗





∗ ∗ +





 ∗
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
 
mas sendo x 1 e x 2 não cor re lac ionados, e ex x1 2 0∑ ∗ = , logo : 
e
F
x
e
F
x
ey
i
n
x
i
n
x
i
n
2
1 1
2
1
2
1 2
2
2
2
1= = =
∑ ∑ ∑=





 ∗ +





 ∗
∂
∂
∂
∂
 
 
 D iv id indo pe lo número de vezes em que as g randezas fo ram 
med idas , vem: 
Ajustamento de Observações 
( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) 
Pro f . J oe l Gr i pp J r 
 
22 
e
n
F
x
e
n
F
x
e
n
y
i
n
x
i
n
x
i
n2
1 1
2
1
2
1 2
2
2
2
1= = =
∑ ∑ ∑=





 ∗ +





 ∗
∂
∂
∂
∂
 
mas : 
σ
σ
σ
y
y
x
x
x
x
e
n
e
n
e
n
2
2
1
2 1
2
2
2 2
2
=
=
=
∑
∑
∑
 logo , 
2
2
2
2
1
2
2
1
2 x
x
F
x
x
F
y σ∂
∂
σ
∂
∂
σ ∗





+∗





= 
 Cons ide rando y como sendo função de m ou t ras g randezas 
ou y=F(x 1 , x 2 , . . . , xm ) . 
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2 ... xm
m
xxy x
F
x
F
x
F
σ
∂
∂
σ
∂
∂
σ
∂
∂
σ ∗





++∗





+∗





= 
 Que é a equação ge ra l de le i de p ropagação de e r ros para os 
casos em que não há co r re lação en t re as g randezas med idas . 
 
4 . 3 . E X E MP L O S D E AP L I C AÇ ÃO D A L E I DE P R O P AG AÇ ÃO D E 
E R RO S : 
1 - Uma d is tânc ia de ap rox imadamente 490 m deve se r med ida com 
uma t rena de 50 m de compr imen to . Sendo que o desv io pad rão de 
cada " t renada" é conhec ido e cons ide rado igua l a σ= 5 mm, qua l 
se r ia o desv io pad rão da d is tânc ia to ta l D ? 
 A função que re lac iona a d is tânc ia t o ta l D ao segmentos d i 
é : 
D d d d= + + +
1 2 10
... 
 As de r i vadas parc ia is são : 
Ajustamento de Observações 
( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) 
Pro f . J oe l Gr i pp J r 
 
23 
 
∂
∂
∂
∂
∂
∂
D
d
D
d
D
d
1
2
1 0
1
1
1
=
=
=
. . . . . . . . .
 
 E a equação da le i de p ropagação de e r ros se to rna : 
σ σ σ σ
σ
σ
D d d d
D
D
mm
mm
= + + +
=
=
1
2
2
2
10
2
2 2250
16
...
 
2 - Qua l o desv io pad rão da á rea de um lo te re tangu la r que tem os 
segu in tes lados : 
 L 1= 30 m . ,σ L 1 = 50 mm, 
 L 2= 10 m . , σ L 2= 30 mm, 
 A á rea pode se r ob t ida po r A = L 1 *L 2 . 
 As de r i vadas parc ia is são : 
 
 
∂
∂
∂
∂
A
L
L
A
L
L
1
2
2
1
=
=
 
σ
∂
∂
σ
∂
∂
σA L L
A
L
A
L
2
1
2
1
2
2
2
2
2=





 ∗ +





 ∗ 
 σ 2A = L 2
2 . σ 2 L 1 + L 1
2 . σ 2 L 2 
 σA 2 = 10 2 . (0 ,050) 2 + 30 2 . (0 ,030 ) 2 
 σA 2 = 0 ,250 + 0 ,810 
 σA 2 = 1 ,060(m 2 ) 2 
 σA = 1 ,0296 m 2 
 
Ajustamento de Observações 
( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) 
Pro f . J oe l Gr i pp J r 
 
24 
3 - Suponha um ângu lo ver t i ca l α med ido do pon to A pa ra o pon to 
B , e sendo α=30 o 00 ' , com σ α= 1 ' , e a d is tânc ia D i=330 m. com 
σ D= 0 ,5 m. Pa ra es tas 
cond ições , encon t ra r o desv io 
pad rão da d is tânc ia ho r i zon ta l 
co r respondente , 
 
 
σ
α
= = = ∗ =1 60 60 1 0 000290888' ' ' ' ' sen ' ' ,
 r d 
 
A equação que re lac iona as g randezas é : 
Dr Di= ∗cosα 
 Ap l icando a le i de p ropagação de e r ros , vem: 
σ
∂
∂
σ
∂
δ α
σ α2 2 2Dr r
i
Di
rD
D
D
=





∗ +





∗ 
 
 As de r i vadas parc ia is são : 
 
( )
∂
∂
α
∂
∂α
α
D
D
D
Di
r
i
r
=
= ∗ −
cos
sen
 en tão 
σ 2D r = cos 2 α . σD i 2 +D i 2 . sen 2 α σ α 2 
 
 Subs t i tu indo os va lo res conhec idos :σ2 2 0 2 2 2 0 230 00 0 5 330 30 00 0 000290888Dr sen= ∗ + ∗ ∗cos ' , ' , 
 
σ
σ
2 0 1875 0 002303665
0 436
Dr
Dr
m
= +
=
, ,
,
 
Dr
Di
α
Ajustamento de Observações 
( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) 
Pro f . J oe l Gr i pp J r 
 
25 
 Nes te exemp lo , pode -se no ta r que a ma io r con t r ibu ição pa ra 
o e r ro da d is tânc ia Dr vem da med ida da d i s tânc ia D i , i s to é , 
0 ,1875 que é mu i to ma io r que 0 ,002303665. Ass im, se o e r ro σD r = 
0 ,436m es t i ve r f ora de um l im i te de to le rânc ia , uma mane i ra lóg ica 
de me lho ra r o resu l tado é ado ta r um mé todo ma is p rec iso pa ra 
med i r a d i s tânc ia D i . , 
 
4 - O ângu lo β e a d i s tânc ia D fo ram med idos pa ra se ca lcu la r as 
coo rdenadas do pon to C. As coo rdenadas de A e B são 
conhec idas e são cons ideradas l i v res de e r ros . Qua l se rá o desv io 
pad rão das novas coordenadas Xc e Yc se os desv ios pad rões de 
D e β são σD= 2cm e σβ= 10" ? 
 
Dados: Y 
 XB = 1000m , Az 
 YB= 200m , C 
 D = 500 ,00m, 
 σD = 2cm A B 
 β= 120 0 00 '00" , X 
 σβ= 10" ou σβ= 0 ,0000484 rd , 
 O az imute de AB = 90 0 00 '00" e cons ide rado como l i v re de 
e r ro . 
 O az imute de BC será : 
 AzBC= 90
0 + 120 0 - 180 0 = 30 0 ( ve r regra de ângu los 
ho rá r ios= in te rnos ou ex te rnos ) 
 As funções que pe rmi tem a ob tenção de Xc e Yc são : 
BCBC
BCBC
AzDYY
senAzDXX
cos∗+=
∗+=
 
 Desde que XB e YB são cons ide rados l i v res de e r ros , e les 
deve rão se r t ra tados como cons tan tes nas de r i vações para 
ap l icação da le i de p ropagação de e r ros . 
Ajustamento de Observações 
( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) 
Pro f . J oe l Gr i pp J r 
 
26 
 As de r i vadas parc ia is são : 
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
x
D
Az
x
Az
D Az
y
D
Az
y
Az
D Az
c
BC
c
BC
BC
c
BC
c
BC
BC
= = =
= ∗ = ∗ =
= = =
= − ∗ = − ∗ = −
sen sen ,
cos cos ,
cos cos ,
sen sen
30 0 5000
500 30 433 0130
30 0 866025
500 30 250
0
0
0
0
 
 En tão in t roduz indo na equação da le i de p ropagação de 
e r ros , lembrando que o desv io pad rão σA zBC deve rá se r in t roduz ido 
em rad ianos , vem: 
 
( ) ( ) ( ) ( )
σ
∂
∂
σ
∂
∂
σ
σ
σ
σ
σ σ
2
2
2
2
2
2 2 2 2 2
2
2
0 500 0 02 433 013 0 0000484
0 0001 0 0004407
0 0005407
0 023 2 3
xc D
BC
BC
xc
xc
xc
xc xc
x
D
x
Az
Az
m ou cm
=





 ∗ +





 ∗
= ∗ + ∗
= +
=
= =
, , , ,
, ,
,
, ,
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
σ
∂
∂
σ
∂
∂
σ
σ
σ
σ
σ σ
2
2
2
2
2
2 2 2 2 2
2
2
0 866 0 02 250 0 0000484
0 0003 0 00014641
0 00044641
0 021 2 1
xc D
BC
BC
xc
xc
xc
xc xc
y
D
y
Az
Az
m ou cm
=





 ∗ +





 ∗
= ∗ + − ∗
= +
=
= =
, , ,
, ,
,
, ,
 
 
5 - Dê a exp ressão do e r ro da d i s tânc ia , pa ra a med ição com mi ra 
ho r i zon ta l . Cons ide re in i c ia lmente que o fab r i can te fo rneceu o 
compr imento da m i ra como sendo b = 2m. com σ b = bx 10
- 5 . O que 
in f luenc ia ma is na med ição da d is tânc ia , o compr imento da m i ra 
ou o ângu lo med ido? Faça um grá f i co pa ra o compor tamento do 
Ajustamento de Observações 
( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) 
Pro f . J oe l Gr i pp J r 
 
27 
e r ro da d is tânc ia med ida cons ide rando d is tânc ias en t re 10 e 
200m. b 
( )
( )
tg
b
D
D
b
tg
D
b
g
α
α
α
2
2
2 2
2 2





 =
=
∗
= ∗





cot
 D 
 
 Ap l icando a le i de p ropagação de e r ros : 
σ
∂
∂
σ
∂
∂α
σ α2
2
2
2
2
D b
D
b
D
=





 ∗ +





 ∗ 
 As de r i vadas parc ia is são : 
( )
∂
∂
α
∂
∂α α
D
b
g
D b
= ∗




= ∗
1
2 2
4
1
2
2
cot
sen
 
 
en tão : 
 
σ
α
σ α σ α
2
2
2
2
2
2
1
2 2 4
1
2
D bg
b
sen
= ∗





 ∗ + ∗







 ∗cot
 
é a expressão comp le ta . 
 Cons ide rando a lgumas d is tânc ias : 10 , 20 e 30 met ros e 
ca lcu lando in i c ia lmente , qua l se rá o α co r respondente ? 
(Suponha σα= 1" = 0 ,000004848 rd ) 
 
D
b
g= ∗
2 2
cot
α ` mas b = 2 
 
α 
Ajustamento de Observações 
( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) 
Pro f . J oe l Gr i pp J r 
 
28 
D g D
tg
tg
D
arctg
D
= ∴ =
= ∴ = ∗
cot
α
α
α
α
2
1
2
2
1
2
1
 
 Pa ra 10m α= 11 0 25 '16 ,27" 
 Pa ra 20m α= 5 0 43 '29 ,32" 
 Pa ra 30m α= 3 0 49 '05 ,90" 
 In t roduz indo na exp ressão comple ta , e f azendo os cá lcu los 
po r par te : 
 Pa ra 10m. : 
 ( ) ( ) ( )σ2 2 5 2 2 25 2 10 50 5 0 000004848D = ∗ ∗ + ∗−( ) , , 
 σ2 0 000000001 0 000000059D = +, , 
 σ
D
= 0 0002644, 
 ou 
 σ
D
mm= 0 26, 
 
 Pa ra 20m. : 
 ( ) ( ) ( )σ2 2 5 2 2 210 2 10 200 499995 0 000004848D = ∗ ∗ + ∗−( ) , , 
 σ2 0 00000004 0 000000944D = +, , 
 σ
D
= 0 000992, 
 ou 
 σ
D
mm= 0 992, 
 
 Pa ra 30m. : 
 ( ) ( ) ( )σ2 2 5 2 2 215 2 10 450 4998 0 000004848D = ∗ ∗ + ∗−( ) , , 
 σ2 0 00000009 0 000004769D = +, , 
 σ
D
= 0 0022043, 
 ou 
 σ
D
mm= 2 20, 
 
 Da í , já dá para ve r que a in f luênc ia de e r ro na med ição do 
ângu lo t em ma io r p redom inânc ia . Pe los exemp los an te r io res t i ra -
Ajustamento de Observações 
( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) 
Pro f . J oe l Gr i pp J r 
 
29 
se um con jun to de passos que podem se r segu idos em ap l icação 
da equação da le i de p ropagação para aná l ise de e r ros de 
g randezas não cor re lac ionadas. 
 1 0 Es tabe lece r a f unção quere lac iona as grandezas 
 2 0 Es t imar ou ob te r as va r iânc ias das obse rvações 
 3 0 Encon t ra r as de r i vadas pa rc ia is da função em re lação a 
todas as obse rvações 
 4 0 Subs t i tu i r nas de r i vadas as quan t idades conhec idas 
 5 0 In t roduz i r os resu l tados na equação da le i de p ropagação 
de e r ros . 
 A aná l i se de e r ros com a ap l i cação da le i de p ropagação de 
e r ros (ou var iânc ias ) é mu i to ú t i l , p r inc ipa lmente em es tudos 
p re l im ina res aos levan tamentos , ob je t i vando a esco lha de 
métodos e ins t rumentos . A um es tudo des te t ipo denom ina -se p ré -
aná l ise . 
 
6 - Med iu -se uma base d i v id ida em duas pa r tes . Uma das pa r tes 
fo i med ida com uma régua que poss ib i l i t a ob te r um e r ro méd io 
quad rá t i co de σ 1= 0 ,00004m e a ou t ra σ 2= 0 ,00002m pa ra cada 
med ida . Fo i necessá r io u t i l i za r cada uma das réguas 250 vezes . 
Qua l o e r ro méd io quad rá t ico da base? 
1 0 - PASSO: A função pode se r : 
 X L L= ∗ + ∗250 250
1 2
 
 
2 0 - PASSO: P re l im ina rmente já se sabe que : 
 
σ
σ
1
2
0 00004
0 00002
=
=
,
,
m
m
 
 
3 0 - PASSO: 
 ( ) ( )σ σ σ2 2
1
2 2
2
2
250 250X = ∗ + ∗ 
 
4 0 - PASSO: 
Ajustamento de Observações 
( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) 
Pro f . J oe l Gr i pp J r 
 
30 
 ( ) ( ) ( ) ( )σ2 2 2 2 2250 0 00004 250 0 00002X = ∗ + ∗, , 
 
5 0 - PASSO: 
 
 σ
X
= 0 0118, 
 
 
 
7 - Pa ra a ob tenção da a l t i tude de B fo i rea l i zado um n ive lamento 
t r i gonomét r i co a pa r t i r do pon to A , cu ja a l t i tude é hA= 148 ,32m 
com σA = 0 ,15m. 
Fo ram ob t idos os segu in tes dados : 
D = 1 .000 ,00m com σD= 0 ,10m 
Z = 87 0 42 '13" com σZ= 20" 
i t 1= 1 ,40m. com σ i t= 0 ,01m 
i a= 1 ,80m. com σ i a= 0 ,01m 
 
 
 
 Qua l o desv io pad rão da a l t i tude de B não cons ide rando o 
e fe i to da re f ração? 
1 0 - PASSO: Fo rmu la r equação 
h h D gZ it iaB A= + ∗ + −cot 
 
2 0 - PASSO: Va r iânc ias (v ide enunc iado ) 
3 0 - PASSO: D i fe renc ia r 
 
Z 
D 
ia 
i t 
Ajustamento de Observações 
( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) 
Pro f . J oe l Gr i pp J r 
 
31 
 
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
h
h
h
D
g z
h
Z
D
z
h
i
h
i
B
A
B
B
B
t
B
a
=
=
=
=
= −
1
1
1
2
cot
sen
 
 
 Pe la f ó rmu la a lgéb r ica da le i de p ropagação de e r ros , tem-
se : 
 
σ
∂
∂
σ
∂
∂
σ
∂
∂
σ
∂
∂
σ
∂
∂
σ2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
hB
B
A
hA
B
D
B
Z
B
t
it
B
a
ia
h
h
h
D
h
Z
h
i
h
i
=





 ∗ +





 ∗ +





 ∗ +





 ∗ +





 ∗ 
 
σ σ σ σ σ σ2 2 2 2
2
2
2 2 2
hB hA D Z it iag z
D
sen z
= + ∗ +





 ∗ + +cot 
 
4 0 - PASSO: Subs t i tu indo os e lementos : 
σ2 0 0225 0 00001608 0 0094311502 0 0001 0 0001hB = + + + +, , , , , 
σ
σ
2 0 03214723
0 179
hB
hB
m
=
=
,
,
 
 Mantendo os ou t ros e lementos cons tan tes , a i n f luênc ia da 
p rec isão de cada e lemento na p rec isão de hB se r ia : 
D = σ hB = 0 ,004m, 
z = σ hB = 0 ,097m, 
i t = i a = σ hB = 0 ,010m 
Ajustamento de Observações 
( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) 
Pro f . J oe l Gr i pp J r 
 
32 
 
8 - A f im de de te rm inar a d i f e rença de n íve l en t re do is pon tos 
d is tan tes 2250m. se rá rea l i zado um n ive lamento geomét r i co , 
tomando -se o cu idado de co loca r sempre o n íve l a i gua is 
d is tânc ias da m i ra . Assumindo que as v i sadas de van te e ré se rão 
de 25m, pede-se o e r ro come t ido para ob tenção da d i f e rença de 
n íve l dese jada . Dê também uma fó rmu la gera l que permi ta es t imar 
es te e r ro . Suponha o e r ro de cada le i tu ra σ L=0,1mm. 
 
∆ ∆ ∆ ∆H h h h= + + +1 2 45. . . 
mas , 
( ) ( ) ( )
∆
∆
∆
∆
h L L
h L L
h L L
H L L L L L L
R V
R V
R V
R V R V R V
1 1 1
2 2 2
45 45 45
1 1 2 2 45 45
= −
= −
= −
= − + − + + −
....
...
 
 
Ap l icando a le i de p ropagação : 
 
σ σ σ σ σ σ2 2 1
2
1
2
2
2
2
2
45
2
45∆ H R V R V R VL L L L L L= + + + + +σ +... 
sendo , 
σ σ σ2 2 2L L LR V= = 
σ σ σ
σ σ
σ∆
2 2 2 2
2 290 90 0 01 0 90
0 95
∆
∆
H
H
H
L L L
L
mm
= + + +σ
= ∗ = ∗ =
=
...
, ,
,
 
 Uma fó rmu la ge ra l se r ia : 
 σ∆ σ
H L
n= ∗ 
 
9 - Pa ra uma grandeza med ida n vezes , pede -se uma fó rmu la 
ge ra l que pe rm i ta ob te r o desv io pad rão da méd ia das re fe r idas 
med idas . 
 Como s ímbo lo u t i l i ze : 
 σ 0= desv io pad rão de uma obse rvação iso lada , 
Ajustamento de Observações 
( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) 
Pro f . J oe l Gr i pp J r 
 
33 
 σm= desv io pad rão da méd ia , 
 
x
x x x
n
x
n
x
n
x
n
x
n
n
=
+ + +
= + + +
1 2
1 2
1 1 1
...
...
 
 
ap l icando a le i : 
 
σ σ σ σ2
2
2
1 2
2
2 2
2
1 1 1
x
n
x
n
x
n
x
n
= + + +... 
 
sendo : 
σ σ σ σx x x
n1 2 0
= = = =... 
 
σ
σ
σ
σ
σ
σ
2 0
2
2
2 0
2
0
x
n
n
x
n
x
n
=
∗
∴ = ∴ = 
 
 
 
10 - Dado a p rec isão de uma med ida pe lo desv io pad rão σ 0 , 
quan tas vezes tem-se que repe t i r a mesma med ida pa ra dob ra r a 
p rec isão da méd ia? 
Fazendo n 1 obse rvações tem-se uma prec isão σ x 1 
Fazendo n 2 1obse rvações tem-se uma prec isão σ x 1 , sendo σ
σ
2
1
2
= 
, quan to se rá n 2? (Cada med ida com p rec isão σ 0 ) , 
 
 
 σ
σ
σ
σ
σ σ
1
0
1
2
1
2
0
1
2
0 1
2
1= ∴ = ∴ = ∗
n n
n 
 
 σ
σ
σ
σ
σ
σ
2
0
2
2
2
2
0
2
2
1
2
= ∴ = =
n n
mas 
Ajustamento de Observações 
( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) 
Pro f . J oe l Gri pp J r 
 
34 
 
 e σ
σ
2
2
2
1
4
= 
 
 então
n
n
σ σ
σ
σ2 0
2
2
1 2
0 2
2
1
4 4
= ∴ = 
 
 n n n n
1
2
1 2
2
1
2 14
4∗ = ∗ ∴ =σ
σ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ajustamento de Observações 
( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) 
Pro f . J oe l Gr i pp J r 
 
35 
CAPÍTULO 5 
L E I DE P RO P AG AÇ ÃO D E E R RO S ( CO V AR I ÂN C I AS ) - F O R M A 
M AT R I C I AL 
 
5 . 1 . I N T R O D U Ç ÃO 
5 . 1 . 1 . CO V AR I ÂN C I A E C O E F I C I E N T E DE CO RR E L AÇ ÃO 
 O te rmo cova r iânc ia , aqu i s imbo l i zado po r σ x y , é usado pa ra 
denom ina r uma med ida numér ica da cor re lação en t re duas 
obse rvações x e y ou en t re duas funções de med idas , 
 Duas med idas (ou funções ) são não co r re lac ionadas quando 
são independentes en t re s i . Por exemp lo , numa po l igona l os 
ângu los e d i s tânc ias ob t idos po r d i f e ren tes ins t rumentos e 
métodos cu jas fon tes de e r ros são também d i f e ren tes . Um ou t ro 
exemplo se r ia ângu los med idos em d i f e ren tes es tações de uma 
t r iangu lação . Como exemplo de med idas co r re lac ionadas pode-se 
c i ta r coo rdenadas e ângu los ou d is tânc ias , um pode rá se r ob t ido 
do ou t ro . 
 Ou t ro exemplo , coo rdenadas x e y de es tações também de 
uma po l igona l , po rque ambas (x e y ) podem ser ob t idas dos 
mesmos ângu los e d i s tânc ias . 
Pa ra o es tudo e cá lcu lo da cova r iânc ia , se rá es tudado 
an te r io rmente , um pouco ma is , a va r iânc ia e o desv io pad rão . 
 Suponha que uma grandeza x f o i med ida n vezes e que 
somente e r ros ac iden ta i s es tão in f l uenc iando as med idas x 1 , x 2 , 
x 3 , . . . , x n . Os va lo res dos e r ros ind iv idua is se rão : 
 
Ajustamento de Observações 
( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) 
Pro f . J oe l Gr i pp J r 
 
36 
e x x
e x x
e x xn n
1 1 0
2 2 0
0
= −
= −
− − − − − − −
= −







 onde x o é o va lo r ve rdade i ro da g randeza med ida , 
 Os e r ros ac iden ta is e i das med idas repe t idas ocor rem com 
igua l p robab i l i dade de se rem pos i t i vas (+) e nega t i vas ( - ) . Se o 
número de obse rvações fo r su f ic ien temente g rande ( tendendo a 
i n f in i to ) , a soma dos e r ros tende rá a ze ro . 
 A var iânc ia σ 2 das med idas é de f in ida como a méd ia dos 
quad rados dos e r ros : 
 
 σ 2
2
= ∑e
n
i e o desv io padrão σ σ= 2 
 
 Ge ra lmente , po rém, o va lo r ve rdade i ro da g randeza med ida 
não é conhec ido na p rá t i ca e o número de med idas é l im i tado a 
um número f in i to . Pa ra um pequeno número ( n < 30 ) de 
repe t i ções adota -se pa ra o cá lcu lo de var iânc ia : 
 σ2
2
1
=
−
∑e
n
 sendo e o e r ro apa ren te ou e x x= − 
 
 Supondo duas g randezas cor re lac ionadas x e y , 
med idas n vezes . Os va lo res dos e r ros ind iv idua is se rão : 
 
1 a g randeza 2 a g randeza 
e x xx1 1 0= − e y yy1 1 0= − 
e x xx2 2 0= − e y yy2 2 0= − 
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
e x xxn n= − 0 e y yy n1 0= − 
 
Ajustamento de Observações 
( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) 
Pro f . J oe l Gr i pp J r 
 
37 
 Uma es t imat i va pa ra a cova r iânc ia σ x y de x e y pode se r 
ca lcu lado como sendo uma méd ia da soma do p rodu to dos pa res 
de e r ros esco lh idos a lea to r iamente nas duas g randezas : 
 
( )
σxy
i
n
exj eyi
n
=
∗
−
∑
1 Comb i naç ão x e y p a r a n t e ndendo ao i n f i n i t o . 
 
 Se não houve r co r re lação en t re x e y en tão a p robab i l idade 
de e r ros se rem (+ ) ou ( - ) se rão igua is e random icamente 
d is t r ibu ídas , e o va lo r de σ x y tenderá a ze ro pa ra um número n 
su f ic ien temente grande ( tendendo ao in f in i t o ) . 
 
 A f im de ava l ia r quão f o r te é a co r re lação en t re duas 
obse rvações , o coe f ic ien te de cor re lação ρ x y pode rá se r 
examinado . Es te pode se r ob t ido po r : 
 ρ
σ
σ σxy
xy
x y
=
∗ 
 Pode-se d i ze r que : 
 − < <1 1ρ
xy
 
 Sendo ρ x y= 0 , en tão x e y são não co r re lac ionados (x e y 
tendem a va r ia r jun tos ) . 
 Sendo ρ ( xy ) = -1 , en tão ocor re uma cor re lação l inea r 
pe r fe i t a e nega t iva , ou se ja , a re lação en t re x e y é l i nea r ou 
y=ax+b , e a é meno r que 0 . 
 Sendo ρ ( xy ) = +1 , en tão oco r re uma co r re lação l inear 
pe r fe i t a e pos i t i va , ou se ja , a re lação en t re x e y é l inea r ou 
y=ax+b , e a é ma io r que 0 . 
 
 
 
y 
x 
a<0 
y 
x 
a>0 
Ajustamento de Observações 
( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) 
Pro f . J oe l Gr i pp J r 
 
38 
 
Sendo -1< ρ ( xy ) < 0 , en tão oco r re uma co r re lação não l inea r 
e nega t i va , ou se ja , a re lação en t re x e y é não l inear ou y=F(x) . 
 
Y
X
 
 
Sendo 0< ρ ( xy ) < +1 , en tão oco r re uma co r re lação não l i near 
e pos i t i va , ou se ja , a re lação en t re x e y é não l inear ou y=F(x) . 
 
Y
X
 
 
5 . 1 . 2 . M AT R I Z V AR I ÂN C I A- C O V AR I ÂN C I A ( M V C ) : 
 Suponha in ic ia lmen te as g randezas x 1 , x 2 , e x 3 de va r iânc ias 
σ 2 x 1 , σ
2
x 2 , σ
2
x 3 e cova r iânc ias σ x 1 x 2 , σ x 1 x 3 , σ x 2 x 3 . A mat r i z quadrada 
cu jas componen tes são va r iânc ias e covar iânc ias dev idamente 
d ispos tas , denomina -se mat r i z va r iânc ia -cova r iânc ia (MVC) que 
é comumente s imbo l i zada po r Σx : 
Ajustamento de Observações 
( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) 
Pro f . J oe l Gr i pp J r 
 
39 
x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x
x
n
n
n n n
ou simplesmente
e numa forma generalizada
=










=










=
− −
− −
− − − − − − − −
− −










∑
∑
σ σ σ
σ σ σ
σ σ σ
σ σ σ
σ σ σ
σ σ σ
σ σ σ
σ σ σ
σ σ σ
2
1 1 2 1 3
2 1
2
2 2 2
3 1 3 2
2
3
2
1 12 13
21
2
2 2
31 32
2
3
2
1 12 1
21
2
2 2
1 2
2
:

∑
 
 A mat r i z Σ x é s imét r ica po r σ i j =σ j i e também pode se r 
denom inada s imp lesmente de mat r iz covar iânc ia , po is a va r iânc ia 
é um caso pa r t icu la r da cova r iânc ia para i = j . 
 No caso das g randezas x se rem independentes en t re s i , as 
cova r iânc ias se rão nu las e a mat r i z Σ x se rá uma ma t r i z d iagona l . 
 
5 . 1 . 3 . RE V I S ÃO D E AL G U NS E L E M E NT O S D A E S T AT Í S T I C A: 
 
a ) F u n ç ã o d e d i s tr i b u i ç ã o ( d e p r o b a b i l i d a d e ) a c u m u l a d a 
 A função de d is t r i bu ição (de p robab i l idade ) acumu lada de 
uma va r iáve l a lea tó r ia x no pon to x é de f in ida por : 
 ( ) ( )P x x F x< = 
(p robab i l idade de que a v .a . assuma um va lo r in fe r i o r ou igua l 
a x) . 
 Pa ra o caso de uma va r iáve l a lea tó r ia d i sc re ta a f unção 
de d i s t r ibu ição acumu lada reves te a f o rma: 
 ( ) ( ) ( )F xi P x xi p xi
i
n
= < =
=
∑
1
, pa ra todo i ta l que ( )xi x< 
 
 
 
Ajustamento de Observações 
( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) 
Pro f . J oe l Gr i pp J r 
 
40 
b ) E s p e r a n ç a Ma te m á t i c a 
 Def ine -se " va lo r esperado" , va lo r méd io , expec tânc ia , 
espe rança matemát ica , ou s imp lesmen te espe rança , da 
va r iáve l a lea tó r ia d isc re ta x por : 
 
 ( ) ( )E x xi p xi
i
= ∗
=
∞
∑
1
 
 No caso de uma va r iáve l a lea tó r ia con t ínua , de f ine -se a 
 espe rança matemát ica como : 
 ( ) ( )E x x f x dx= ∗
−∞
∞∫ 
 
 Se a var iáve l d isc re ta assumi r um número f in i t o de va lo res : 
 ( ) ( )E x xi p xi
i
n
= ∗
=
∑
1
 
 
 A méd ia a r i tmét ica de n obse rvações pode se r ob t ida por : 
 
 x
n
xi
i
n
= ∗
=
∑1
1
 
 
 Se dos r va lo res d is t in tos , x i ocor re r com uma f requênc ia n j , 
a f ó rmu la an te r io r assumi rá a f o rma: 
 
 x
nj xj
n
xj fj
j
f
j i
r
=
∗
= ∗
==
∑∑
1
 sendo fj
nj
n
= 
 
 Se n→∞ o f i→p (x i ) e x E x→ ( ) ou quando o tamanho da 
amost ra t ende para o in f in i to a méd ia amos t ra l se av i z inha da 
méd ia da popu lação da qua l se o r ig inou . 
 
 
Ajustamento de Observações 
( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) 
Pro f . J oe l Gr i pp J r 
 
41 
c ) V AR I ÂN C I A 
 Em re lação à espe rança matemát i ca tem-se a segu in te 
de f in i ção : 
 
 ( ) ( )[ ]Var x x E x E x= = −σ2 2 desenvo lvendo resu l ta em: 
 
( ) ( )[ ]
( )
σ
σ
2 2 2
2 2 2
x E x E x
x E x x
= −
= −
 
 
d ) C O V AR I ÂN C I A 
 Cons ide rando duas var iáve is x e y , a cova r iânc ia que 
exp r ime o g rau de dependênc ia en t re as duas va r iáve is , em 
re lação à espe rança matemá t i ca pode se r ob t ida po r : 
 
 ( ) ( )( )[ ]cov ,ar x y xy E x x y y= = − −σ desenvo lvendo resu l ta em: 
 
( ) ( ) ( )
( )
σ
σ
xy E xy E x E y
xy E xy x y
= −
= − ∗
 
 Se não houve r dependênc ia E(xy) = E (x ) .E (y ) e σ x y = 0 . 
 
5 . 2 . M AT R I Z V AR I ÂN C I A- C O V AR I ÂN C I A - M V C 
 A mat r i z va r iânc ia -covar iânc ia já f o i ap resen tada 
an te r io rmente , e la se apresen ta da fo rma : 
 
 
x
n
n
n n n nn
∑ =
− −
− −
− − − − − − − − − −
− −












σ σ σ σ
σ σ σ σ
σ σ σ σ
2
11 12 13 1
21
2
22 23 2
1 2 3
2
 Es ta ma t r i z re lac iona 
va r iáve is x 1 , x 2 , . . . , x n que podem es ta r d i spos tas num ve to r . 
 X
x
x
xn
=
− −












1
2 
 
Ajustamento de Observações 
( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) 
Pro f . J oe l Gr i pp J r 
 
42 
 S imbo l i zando po r Ux o ve to r de E (x) : 
 
( )
( )
( )
Ux
E x
E x
E x
u
u
u
n n
=
− −












=
− −












1
2
1
2 
 
 Desenvo lvendo a exp ressão mat r ic ia l : ( ) ( )X Ux X Ux T− ∗ − 
ob tém-se : 
 
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
x u x u x u x u x u x u
x u x u x u x u x u x u
x u x u x u x u x u x u
n n
n n
n n n n n n n n
1 1 1 1 1 1 2 2 1 1
2 2 1 1 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2
− − − − − − − − − − −
− − − − − − − − − − −
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
− − − − − − − − − − −












 
 
 E da í conc lu i -se : 
a ) ( ) ( ){ }x E X Ux X Ux T∑ = − ∗ − 
e pode -se ve r que : 
( ) ( ){ } ( ){ }
( ) ( ){ }
σ
σ
11
2
1 1 1 1 1 1
2
12 1 1 2 2
= − ∗ − = −
= − ∗ −
E x u x u E x u
E x u x u
 
 
b ) A d iagona l da mat r i z va r iânc ia -cova r iânc ia (MVC) é cons t i tu ída 
de va r iânc ias , e os dema is e lemen tos são cova r iânc ias . 
 
c ) A MVC é s imét r i ca , po is σ i j =σ j i . 
 
d ) A va r iânc ia é um caso pa r t icu la r de cova r iânc ia para i = j . 
 
 
 
 
 
 
Ajustamento de Observações 
( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) 
Pro f . J oe l Gr i pp J r 
 
43 
5 . 3 . L E I DE P R O P AG AÇ ÃO D E CO V AR I ÂN C I AS 
 Cons ide rando duas va r iáve is a lea tó r ias y e x , onde y é uma 
função l inea r de x . 
 
∗ = +m m n n mY G X C1 1 1 Sendo C um ve to r mx1 
de cons tan tes e G uma mat r i z de coe f ic ien tes . 
 
{ } { }∗∗ = = + = +Uy E Y E GX C G E X C{ } 
 
 An te r io rmen te fo i v i s to que pode-se faze r : 
 
 ( )( ){ }Y Y Y TE Y U Y U∑ = − − 
 
 En tão subs t i tu indo * e * * nes ta equação vem: 
 
 { }( ) { }( ){ }Y E GX C GE X C GX C GE X C T∑ = + − − + − − 
que desenvo lvendo perm i te chegar em: 
 
 Y G xG T∑ ∑= 
 
 A f ó rmu la an te r io r é vá l ida pa ra o caso de y=F(X) se r l inear . 
Pa ra o caso de f unção não l inea r , tem-se que f azer uma 
l i nea r i zação usando desenvo lv imento de Tay lo r . 
 Ass im, se Y = F (X) é não l inea r , o desenvo lvimen to de Tay lo r 
nos conduz a : 
 ( ) ( ) ( )Y F X F X F
X
X X
x
= = + −
0 0
0
∂
∂
 
onde x 0 con tém va lo res ap rox imados pa ra x . 
Ajustamento de Observações 
( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) 
Pro f . J oe l Gr i pp J r 
 
44 
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
F
X
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
D
xo
n
n
m m m
n X
m n
o
= =
1
1
1
2
1
2
1
2
2
2
1 2
. . .
. . .
. . . . . . . . . . . .
. . .
 
 
 Os e lementos da mat r i z D são resu l tan tes da ap l icação dos 
va lo res ap rox imados de X nas de r ivadas pa rc ia is . 
 
 Pa ra es ta f unção , não l inea r , com a ap l i cação da 
l i nea r i zação de Tay lo r , po r um desenvo lv imento idên t ico da 
ap l icação da le i de p ropagação das covar iânc ias , chega -se em: 
 
 Y X
TD D= ∑∑ . . 
 
Uma fo rma p rá t ica pa ra a ap l icação da le i de p ropagação , é 
usa r a segu in te seqüênc ia de passos : 
1 o passo : Es tuda r o p rob lema e monta r as equações ; 
2 o passo : Monta r a ma t r i z va r iânc ia cova r iânc ia das g randezas 
med idas ; 
3 o passo : Encon t ra r a mat r i z D (ou G) ; 
4 o passo : E fe tua r as mu l t ip l i cações de mat r i zes ; 
5 o passo : In te rp re ta r o resu l t ado . 
 
 
 
 
 
 
Ajustamento de Observações 
( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) 
Pro f . J oe l Gr i pp J r 
 
45 
5 . 4 . E X E MP L O S DE AP L I C AÇ ÃO D A L E I DE P RO P AG AÇ ÃO D AS 
C O V AR I ÂN C I AS N A F O R M A M AT R I CI AL 
 
 1 0 ) As obse rvações das d i reções d i ( f i gu ra ) conduz iu aos 
segu in tes resu l t ados : 
 
σ
ij
para i j
para i j
2
23
0
' ' =
≠



 
 
 
 
a ) Ca lcu la r a mat r i z va r iânc ia -cova r iânc ia dos ângu los b i . 
 Do enunc iado já se pode ve r que a MVC das d i reções é : 
 
D=












∑
3 0 0 0
0 3 0 0
0 0 3 0
0 0 0 3
' '
' '
' '
' '
 sendo que : D
d
d
d
d
=












1
2
3
4
 
 As equações envo lv idas são : 
 
b d d
b d d
b d d
b d d
1 2 1
2 3 1
3 4 1
4 3 2
= −
= −
= −
= −
 
A ma t r i z G dos coe f i c ien tes se rá : G =
−
−
−
−












1 1 0 0
1 0 1 0
1 0 0 1
0 1 1 0
 
O s is tema na fo rma mat r ic ia l é : 
b
b
b
b
d
d
d
d
1
2
3
4
1
2
3
4
1 1 0 0
1 0 1 0
1 0 0 1
0 1 1 0












=
−
−
−
−












∗












 ou B G D= . 
b 1 b 2 b 3 b 4 
Ajustamento de Observações 
( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) 
Pro f . J oe l Gr i pp J r 
 
46 
 A MVC de B (ou dos ângu los ) se rá : 
B D
TG G∑ ∑= ∗ ∗ 
 
 En tão : 
B∑ =
−
−
−
−












∗












∗
− − −
−












1 1 0 0
1 0 1 0
1 0 0 1
0 1 1 0
3 0 0 0
0 3 0 0
0 0 3 0
0 0 0 3
1 1 1 0
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 1 0
' '
' '
' '
' '
 
B∑ =
−
−
−
−












− − −
−












3 3 0 0
3 0 3 0
3 0 0 3
0 3 3 0
1 1 1 0
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 1 0
. 
B∑ =
−
−












6 3 3 3
3 6 3 3
3 3 6 0
3 3 0 6
2(") 
 
b ) Ca lcu la r o coe f i c ien te de co r re lação en t re os ângu los : 
 b1 ) b 1 e b 2 
 ρ
σ
σ σb b
b b
b b
1 2
1 2
1 2
= 
 
 da mat r i z ΣB pode -se t i ra r :
σ σ
σ σ
σ
ρ
b b
b b
b b
b b
1 1
2 2
1 2
1 2
2
2
6 6
6 6
3
3
6 6
3
6
1
2
0 5
= ∴ =
= ∴ =
=






= = = = ,
 
 ∴há co r re lação en t re b1 e b2 , po is ρ b 1 b 2 é d i f e ren te de zero 
(ou b1 e b2 tendem a va r ia r jun tos e no mesmo sen t ido (ou pa ra + 
ou pa ra - ) ) . 
b 2 ) b1 e b3 
Ajustamento de Observações 
( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) 
Pro f . J oe l Gr i pp J r 
 
47 
 ρb 1 b 3 = σ
σ σ
σ
σ σ
b b
b b
b b
b
e temos1 3
1 3
1 3
3
2
3
3
6 6.
:
=
= ∴ =



 
 ρb 1 b 3 = = = =3
6 6
3
6
1
2
0 5
.
, ∴ há co r re lação en t re b1 e b3 
( i dem) . 
b 3 ) b3 e b4 
ρb 3 b 4 = σ
σ σ
b b
b b
3 4
3 4.
,mas σ b 3 b 4 = 0 ∴ ρb 3 b 4 = 0 
∴ não há co r re lação en t re b 3 e b 4 . 
b 4 ) b1 e b4 
ρb 1 b 4 = 
σ
σ σ
σ
σ σ
b b
b b
b b
b b
e tem se1 4
1 4
1 4
1 4
3
6.
:−
= −
= =



 
ρb 1 b 4 = − = − = − = −3
6 6
3
6
1
2
0 5
.
, 
 
 ∴há co r re lação en t re b 1 e b 4 . (ou b 1 e b 4 tendem a va r ia r 
j un tos e no sen t ido con t rá r io (uma pa ra + e ou t ra para - ) dev ido o 
coe f ic ien te ser nega t i vo . 
 
 
 
 
2 0 ) Se ja a po l i gona l 0 1 2 3 da f igu ra aba ixo . 
 
 
 
 
 
 
 
 
N 
Azo 
α1 
α2 
α3 
0 
1 
2 
Ajustamento de Observações 
( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) 
Pro f . J oe l Gr i pp J r 
 
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Cons ide rando o az imu te Az o conhec ido e l i v re de e r ro . Se os 
ângu los α 1 , α 2 , α 3 f o ram med idos com p rec isão σ α i=2" qua l se r ia 
a p rec isão dos az imutes Az 1 , Az 2 e Az 3? 
 
 O p r ime i ro passo ser ia es tabe lece r as equações : 
Como fó rmu la gera l pa ra o cá lcu lo de az imutes tem-se : 
 
 ( )Azj Az io i
i
n
o= + − − ∗
=
∑α 1 180
1
 
 
en tão : 
Az Az
Az Az
Az Az
o
o
o
o
o
1 1
2 1 2
3 1 2 3
180
360
= +
= + + −
= + + + −
α
α α
α α α
 
 
 A M.V.C. dos ângu los é da segu in te f o rma: ( )α∑ =









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