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UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CURSO DE ENGENHARIA DE AGRIMENSURA E CARTOGRÁFICA AJUSTAMENTO DE OBSERVAÇÕES (VERSÃO DE 1998) Pro f . Joe l Gr i pp Jun io r V içosa - 2012 Ajustamento de Observações ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) Pro f . J oe l Gr i pp J r 2 CAPÍTULO 1 AJUSTAM ENTO DE OBSERVAÇÕES 1.1. INTRODUÇÃO Ao ob te r uma med ida que se reque r con f iança , qua lque r pessoa , in tu i t i vamente repe t i rá obse rvações e não i rá con f ia r em apenas uma observação . Mas a pa r t i r de vá r ias obse rvações de uma mesma grandeza , que resu l tado f ina l represen ta ma io r con f iança e que se ja ún ico deve rá ser u t i l i zado? O a jus tamento de obse rvações cu ida da reso lução de p rob lemas des te t ipo , bem como a es t imat i va de p rec isão da so lução ado tada . O a jus tamento de obse rvações leva , a lém de uma so lução ún ica , a coerênc ia de obse rvações a mode los ma temát icos ap rop r iados a cada caso . Nos casos ma is s imp les rea l i za -se med idas sob re as p róp r ias g randezas incógn i tas . Quando ta is i ncógn i tas se l i gam po r equações de cond ição o p rob lema se to rna menos s imp les . Out ras vezes medem-se g randezas que se v incu lam às incógn i tas a t ravés de re lações func iona is conhec idas , é o caso de obse rvações ind i re tas ou parâmet ros (ex . coo rdenadas, a l t i tudes , e t c . ) . Em qua lque r caso o que se busca , é pu r i f i ca r as obse rvações das incons is tênc ias que as acompanham, ou me lho r d i zendo , a jus tá - las , j un tamente com pa râmet ros (quando ex is tem) , a um mode lo matemát i co . Ajustamento de Observações ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) Pro f . J oe l Gr i pp J r 3 A lgumas d i f i cu ldades podem su rg i r quando se p re tende ponderar as obse rvações onde se deve a t r ibu i r "ma is peso" àque las que merecem ma io r con f iança ; i s to p ressupõe o conhec imen to da p rec isão com que as med idas são e fe tuadas . Se ja os segu in tes exemp los pa ra en fa t i za r a lguns pon tos impo r tan tes do pon to de v i s ta p rá t ico : Exemplo .1 : A F igu ra 1 .1 esquemat i za uma pequena rede de n ive lamento geomét r i co ; em função dos desn íve is med idos a a l t i t ude de RN1 pode se r t ranspor tada a té RN2; como são inúmeros os cam inhos poss íve is resu l ta rá inúmeras so luções . RN1 RN2 F i g 1 . 1 – Rede de n i v e l amen t o geomé t r i c o O a jus tamento , en t re tan to , conduzi rá a uma so lução ún ica to rnando as obse rvações coe ren tes com um mode lo matemá t i co . A l t e rna t i vamen te , a a l t i t ude de RN2 pode se r " f i xada" como a de RN1; nes te caso as observações são a jus tadas de ta l mane i ra que o t ranspo r te de a l t i tudes a pa r t i r de RN1 p roduza em RN2 um va lo r idên t i co p ré - f i xado . Ajustamento de Observações ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) Pro f . J oe l Gr i pp J r 4 Exemplo .2 : A B C Q P F i g . 1 . 2 – Rede de t r i a ngu l aç ão e p o l i g ona l P e Q são vé r t i ces de uma cade ia de t r iangu lação já a jus tados , razão pe la qua l suas coo rdenadas são cons ide radas " f i xas" . Na po l i gona l P AB C Q medem-se os lados (e le t ron icamente ) e os ângu los . Adm i t indo que ta is obse rvações se jam, num caso idea l , i sen tos de e r ros ; mesmo ass im as coordenadas t ranspo r tadas a pa r t i r de P não " fecham" em Q. Neste caso em que não há e r ros de observações o que faz com que as coo rdenadas ca lcu ladas a pa r t i r de P não " fecham" em Q, poderá ser o mode lo matemát i co do cá lcu lo do t ranspo r te numa supe r f íc ie d i f e ren te da super f íc ie em que fo ram ca lcu ladas P e Q . Po is bem, o a jus tamen to deve rá a l te ra r os va lo res co r re tos para ga ran t i r aque les fechamentos em obed iênc ia a um mode lo matemát i co , Exemplo .3 : 1 2 3 4 5 6 7 8 A B CD F i g . 1 . 3 – Quad r i l á t e r o c omp l e t o d e uma t r i a ngu l aç ão Ajustamento de Observações ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) Pro f . J oe l Gr i pp J r 5 Os ângu los med idos de um quad r i l á1 te ro comple to de uma t r iangu lação geodés ica ; Após a jus tados , a soma dos ângu los de todos os t r iângu los es fé r icos do quad r i lá te ro deve rão sa t i s faze r a cond ição matemát i ca de que o co r responden te é igua l a 180 o ma is o excesso es fé r ico . 1 . 2 . O M É T O D O D O S M Í N I M O S Q U AD R AD O S ( M. M. Q ) Cons ide rando o caso da med ida d i re ta de uma grandeza x ; se jam b 1 ,b 2 , . . . , b n os va lo res ob t idos em uma sér ie de n obse rvações . Na imposs ib i l idade de ob te r o ve rdade i ro va lo r de x devem- se con ten ta r os com uma es t imat i va que se ja con f iáve l . Ado tando o va lo r x como base em um de te rm inado c r i té r io e ca lcu lando as d i f e renças : x - b 1 = v 1 x - b 2 = v 2 x - b 3 = v 3 . . . . . . x - b n = v n . ou x - b i = v i pa ra i = 1 , 2 , 3 . . . . ,n Ta is d i f e renças (v i ) são os res íduos , i s to é , os va lo res , a p r io r i desconhec idos , que somados às obse rvações reproduzem o va lo r esco lh ido x . Poder -se - ia , mudando o c r i té r io e lege r um va lo r d i fe ren te x ' ; resu l ta r ia um novo con jun to de res íduos : x bi vi' '− = e ass im por d ian te : x bi vi'' ''− = Qua l “dos va lo res x , x ’ , x ” deve -se ado ta r? Em ou t ras pa lavras , como esco lhe r um c r i té r io que pe rmi te , das obse rvações Ajustamento de Observações ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) Pro f . J oe l Gr i pp J r 6 repe t idas b i , d i sc repan tes en t re s i , ex t ra i rum va lo r ún ico pa ra rep resen ta r a incógn i ta x? Há ma is de do is sécu los o geodes is ta f ez sua opção , segu indo o cam inho ind icado por GAUSS e LEGENDRE: A C E I T A R C O M O M E L H O R E S T I M A T I V A D E X O V A L O R Q U E T O R N A M Í N I M A A S O M A D O S Q U A D R A D O S D O S R E S Í D U O S . O c r i té r io sup ra ca rac te r i za o mé todo dos m ín imos quad rados (M . M. Q ) ins t i tu ído independentemente pe los do is g randes matemá t i cos , ac ima c i tados . A té a bem pouco , o M. M. Q , quando re fe r ido , conse rvava a no tação o r ig ina l de Gauss , respe i tada un ive rsa lmen te [v.v] = min , o co lche te ind icando somató r io , como va r iações suben tend ida de 1 a n e sem u t i l i za r expoen tes . Quando as observações não o fe recem o mesmo grau de con f iança são "homoge in i zados" a t ravés de pesos p i : ∑ = =∗ n i vipi 1 2 min ou [ ]p v v∗ ∗ = min Modernamen te p re fe re -se a l inguagem ma t r i c ia l : min=VV T , sendo V o ve to r co luna dos res íduos . min=PVV T , sendo P uma mat r i z quad rada (mat r i z dos pesos ) . Como se rá v is to com o desenvo lve r do assun to , o a jus tamento é uma grande fe r ramenta às vá r ias á reas da engenha r ia de levan tamentos , ta is como: Topogra f ia , Geodés ia , Fo togramet r ia , As t ronom ia , e t c . Ajustamento de Observações ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) Pro f . J oe l Gr i pp J r 7 Suponha x o va lo r ado tado como es t ima t i va de uma grandeza sob re a qua l f o ram execu tadas n obse rvações repe t idas em cond ições supos tamente s im i la res , os co r respondentes res íduos se rão : x -b1 = v1, x -b2 = v2, . . . , x -bn = vn O p r inc íp io do método dos m ín imos quad rados (MMQ) d i z : φ = V TV = [ v . v ] = ( )x b i i n − = ∑ 2 1 = m ín imo. A p r ime i ra de r i vada da função φ i gua lada a ze ro e reso lv ida , p roduz i rá so lução m ín ima. ∂φ ∂x x b i i n = − = = ∑2 0 1 . ( ) ou ( x -b 1 ) + ( x -b 2 ) . . . + ( x -b n ) = 0 n . x = b 1+b 2 + . . . + b n n b x n i i∑ == 1 o que p rova que quando se ado ta a méd ia a r i tmét ica como es t imat i va , se ap l ica o mé todo dos m ín imos quad rados . Ajustamento de Observações ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) Pro f . J oe l Gr i pp J r 8 CAPÍTULO 2 TEORI A DOS ERROS 2 . 1 . I N T R O D U Ç ÃO Na med ida de uma de te rm inada g randeza , ce r tos fa to res como a l im i tação humana , impe r fe ição ins t rumenta l e i ns tab i l idade da na tu reza fazem com que as med idas nunca tenham exa t idão abso lu ta . Um ope rado r repe t indo vá r ias vezes uma mesma med ida , os resu l tados p rovave lmen te não se rão idên t i cos , po r ma is que se ja o cu idado u t i l i zado nas observações . Ass im, pode- se a f i rmar que todas as med idas con têm e r ros . Com a f i na l idade de conhecer bem a teo r ia dos e r ros , se rá ap resen tado , a segu i r , a lguns conce i tos impo r tan tes e de uso comum no a jus tamento de obse rvações . 2 . 2 . AL G U NS C O N C E I T O S 2 . 2 . 1 . E r r o Ab s o l u t o V e r d a d e i r o É a d i f e rença , em va lo r abso lu to , en t re a med ição de uma grandeza f ís i ca e o seu ve rdade i ro va lo r . Na p rá t i ca , não se conhece o va lo r rea l ou verdade i ro da g randeza ; conhece -se o va lo r ma is p rováve l des ta g randeza . Ajustamento de Observações ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) Pro f . J oe l Gr i pp J r 9 2 . 2 . 2 . E r r o Ab s o l u t o Ap a r e n te (E ) É a d i f e rença , em va lo r abso lu to , en t re a med ição de uma grandeza (x i ) e seu va lo r ma is p rováve l ( x ) . Ei xi x= − 2 . 2 . 3 . E r r o ve r d a d e i r o e E r r o Ap a r e n te Po r ana log ia ao conce i to an te r io r , só que se cons ide rando o s ina l da d i f e rença en t re a med ida . e x xi i= − 2 . 2 . 4 . Re s í d u o ( v) No a jus tamento denom ina -se de res íduo o inve rso do e r ro apa ren te , ou se ja , é a co r reção que tem s ina l con t rá r io do e r ro apa ren te . v x xi i= − 2 . 2 . 5 . D i s c r e p â n c i a É a d i f e rença en t re os va lo res de duas med idas de uma mesma grandeza , ob t idas por do is ope rado res d i f e ren tes . As vezes é inco r re tamente chamada de e r ro . 2 . 2 . 6 . E r r o Re l a t i vo ( e r ) É a re lação en t re o e r ro abso lu to apa ren te e o va lo r ma is p rováve l da g randeza ( x ) . Ajustamento de Observações ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) Pro f . J oe l Gr i pp J r 10 e E xr = Cons ide rando um grupo de obse rvações resu l tan te de repe t i ções , o e r ro re la t i vo é ma is u t i l i zado , em a jus tamento de obse rvações , como sendo a re lação en t re o desv io pad rão de uma sér ie de de te rm inações da g randeza e o va lo r ma is p rováve l co r respondente . Comumente , se exp ressa o e r ro re la t i vo , em te rmos de f ração , co locando a un idade no numerador . Exemplo : Se x = 229 ,314 m e σn = 0 ,012 m en tão , er = = 0 012 229 314 1 19109 , , . 2 . 2 . 7 . E r r o T o l e r á ve l (T o l e r â n c i a ) Cons ide ra -se no rma lmente como sendo o t r ip lo do desv io pad rão da méd ia . tol n = 3.σ A razão de se ado ta r a exp ressão an te r io r se rá es tudada opo r tunamente . Ajustamento de Observações ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) Pro f . J oe l Gr i pp J r 11 2 . 3 . T I P O S DE E R RO S E M F U N Ç ÃO D A S U A O R I G E M E C AR AC T E RÍ S T I CAS 2 . 3 . 1 . E r r o s G r o s s e i r o s E r ros comet idos nas med ições por desa tenção ou con fusãodo operado r . Es tas med ições devem se r repe t idas . Exemplos : e r ro de ano tação , e r ro na le i tu ra de um ângu lo , e r ro de cá lcu lo , e t c . Pa ra ev i ta r e r ros g rosse i ros deve -se sempre repe t i r cu idadosamente as med ições . 2 . 3 . 2 . E r r o s S i s te m á t i c o s Podem se r exp ressos po r uma função matemát ica . Se as causas dos e r ros são conhec idas , pode -se ca lcu la r o e r ro e e l im iná - lo . São e r ros cumu la t i vos . Ca rac te r i zam-se po r oco r re r sempre em um mesmo sen t ido e conse rva rem em med ições sucess ivas , o mesmo va lo r . Deco r rem das impe r fe i ções do obse rvado r , do ins t rumen to e do mé todo usado . São t rês os t ipos de e r ros s is temát icos : a )E r r o s s i s te m á t i c o s i n t r o d u z i d o s p e l o o b s e r va d o r . Ex . : E r ros comet idos po r de f ic iênc ia de v i são , b ) E r r o s s i s te m á t i c o s i n tr o d u z i d o s p e l o i n s t r u m e n t o . Ex . : Uso de ins t rumentos em cond ições d i f e ren tes daque las pa ra as qua is f o ram ca l i b radas ou , po r exemplo : suponha uma d is tânc ia ob t ida a pa r t i r de o i to t renadas , supondo que cada t renada equ iva le a 10 m, a d i s tânc ia to ta l se r ia de 80 met ros . De tec tando pos te r io rmente que a t rena tem na rea l i dade 10 ,10m. , conc lu i -se que a d is tânc ia tem um e r ro s is temát i co de 80 cm. Como ou t ros exemp los têm-se : e r ro de índ ice num ângu lo ve r t i ca l ; número ge rado r e r rado , e t c . Ajustamento de Observações ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) Pro f . J oe l Gr i pp J r 12 c ) E r r o s s i s te m á t i c o s i n tr o d u z i d o s p e l o m é t o d o. Ex . : Ut i l i zação de um método baseado em equação matemá t ica não represen ta t i va da rea l i dade do fenômeno. Sempre que poss íve l , os e r ros pessoa is podem ser m in im izados pe la subs t i tu ição do obse rvado r humano po r um mecân ico ou e le t rôn ico , e tc . Os e r ros ins t rumenta is são reduz idos po r me io de uma a fe r i ção ou ca l ib ração do apa re lho , po r comparação com um pad rão de con f iança . As vezes pode-se co r r ig i r o i ns t rumento fazendo o mesmo fo rnece r resu l tados sem e r ros s i s temá t i cos ou , en tão ca lcu la r o e r ro e co r r ig i r os resu l tados das med ições . 2 . 3 . 3 . E r r o s Ac i d e n ta i s Oco r rem de causas desconhec idas e incon t ro láve is . Ca rac te r i zam-se po r ocor re rem ao acaso qua isque r que se jam os obse rvado res , os ins t rumen tos e os métodos . Em ge ra l são e r ros pequenos, po rém inev i táve is e encon t rados em todas as obse rvações causando d isc repânc ia que a p r inc íp io ap resen tam sem qua lquer con fo rm idade matemát i ca . A sua in f luênc ia sob re as obse rvações é a lea tó r ia , não pe rm i t indo ou t ro t ra tamento se não baseado na teor ia da p robab i l i dade . Pode-se d i ze r que os e r ros ac iden ta i s são os que a inda res tam na de te rminação de uma grandeza , em que fo ram tomados todos os cu idados para e l im inar as obse rvações com er ros g rosse i ros , bem como os s is temát i cos fo ram pesqu isados , ca lcu lados e levados em cons ide ração . Se fo r rea l i zado um número g rande de obse rvações , a expe r iênc ia tem demonst rado que es tes e r ros reve lam a lguma regu la r idade , ou se ja , seguem uma d is t r ibu ição de f reqüênc ia que mu i to se ap rox ima da d is t r ibu ição no rma l . Ajustamento de Observações ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) Pro f . J oe l Gr i pp J r 13 2 . 4 . CL AS S I F I C AÇ ÃO D AS O BS E RV AÇ Õ E S 2 . 4 . 1 Di r e ta s As med ições são e fe tuadas d i re tamente , em re lação à g randeza p rocu rada , sem que ex is tam me ios pa ra ve r i f i cação do e r ro , uma vez que não se conhecem os seus va lo res rea is ou teór i cos . Exemplo : uma d is tânc ia ou ângu lo iso lado . 2 . 4 . 2 I n d i r e ta s As obse rvações não são fe i tas d i re tamente sob re as g randezas p rocu radas , mas a ou t ras a e las l i gadas po r me io de re lações conhec idas . Exemp lo : coo rdenadas , á reas , e t c . 2 . 4 . 3 Di r e ta s Co n d i c i o n a d a s As observações são fe i tas d i re tamen te , e são independentes en t re s i , po rém se p rendem a a lguma equação de cond ição conhec ida . Exemp lo : Na med ida de t rês ângu los (a , b , c ) de um t r iângu lo p lano , tem-se que a + b + c = 180 . 2 . 5 . V AL O R M AI S P R O V ÁV E L D E UM A G R AN D E Z A O va lo r ma is p rováve l de uma grandeza , med ida d i ve rsas vezes pe lo mesmo ope rado r , u t i l i zando o mesmo equ ipamento e o mesmo método , ou se ja , med idas com um grau idên t i co de con f iab i l idade , é a Méd ia A r i tmét ica dos va lo res encon t rados . No caso de obse rvações ob t idas com d i f e ren tes g raus de con f iab i l idade , o va lo r ma is p rováve l deve rá se r ob t ido cons ide rando -se um fa to r de p roporc iona l idade ao qua l denom inamos PESO. Obser vação : Opor tunamente o PESO se rá e luc i dado em de ta l hes Ajustamento de Observações ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) Pro f . J oe l Gr i pp J r 14 2 . 6 . ME DI D AS DE P RE CI S ÃO P rec isão é a cons is tênc ia da med ida ou o g rau de re f inamen to de um grupo de med idas . Nas med ições os te rmos ma is comumente usados pa ra exp ressa r a p rec isão são a va r iânc ia e o desv io pad rão ou e r ro méd io quad rá t i co . 2 . 6 . 1 . V a r i â n c i a É de f in ida como a méd ia do quad rado dos e r ros apa ren tes . É comum pa ra o cá lcu lo da va r iânc ia , ado ta r o segu in te c r i té r io : - se o número de obse rvações (n ) f o r meno r do que 30 , a va r iânc ia é ob t ida por : σ 2 2 1 1 = − = = ∑ e n somatório do quadrado dos erros aparentes número de observações menos um i i n - Se o número de obse rvações n fo r ma io r do que 30 : σ 2 2 1 = = ∑ e n i i n 2 . 6 . 2 . De s vi o P a d r ã o É a ra i z quad rada da va r iânc ia . σ = −= ∑ e n i i n 2 1 1 ou σ = = ∑ e n i i n 2 1 Se ja qua l f or o t i po de obse rvação , o resu l t ado te rá ma io r va lo r , se a lém de ap resen tado o va lo r pa ra a g randeza dese jada , f o r ap resen tado também a p rec isão com que es ta f o i ob t ida . Dependendo da g randeza , ao invés de se te r o desv io padrão como prec isão , é comum ap resen ta r o e r ro re la t i vo no luga r des te , é o caso , po r exemp lo , de d is tânc ias . Ajustamento de Observações ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) Pro f . J oe l Gr i pp J r 15 CAPÍTULO 3 DISTRIBUIÇÃO NORM AL 3 . 1 I NT RO D U Ç ÃO Como já f o i menc ionado, os e r ros ac iden ta i s oco r rem de fo rma a lea tó r ia e tendendo a obedece r a d is t r ibu ição norma l ou Le i de Gauss . Cons ide rando uma operação qua lque r de med ição e fe tuada um grande número de vezes , nas mesmas cond ições (mesmo ope rador , ins t rumen to , mé todo , e tc . ) a teo r ia das p robab i l idades mos t ra e a expe r iênc ia pe rm i te ve r i f i ca r que os e r ros ac iden ta i s p roduz idos gozam das segu in tes p rop r iedades . 1 a . A um e r ro pos i t i vo co r responde um er ro nega t i vo de mesmo va lo r abso lu to (os e r ros pos i t i vos e nega t ivos de mesmo va lo r abso lu to tem igua l p robab i l idade ) 2 a . Os e r ros pequenos são os ma is numerosos (o e r ro nu lo é o ma is p rováve l ) . A curva que rep resen ta a Le i de Gauss tem a fo rma de um s ino e goza das segu in tes p ropr iedades : Ajustamento de Observações ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) Pro f . J oe l Gr i pp J r 16 Y −σ +σ X a ) É s imé t r i ca em re lação ao e i xo do Y , i s to é , os e r ros pos i t i vos e nega t i vos do mesmo va lo r abso lu to tem igua is p robab i l idades ; b ) As o rdenadas cor respondentes aos e r ros pequenos são as ma io res , i s to é , os e r ros pequenos têm ma io r p robab i l idade do que os grandes ; c ) A curva tem po r ass ín to ta o e i xo dos x , i s to é , o e r ro i n f in i to tem uma probab i l i dade nu la ; d ) A cu rva ap resen ta do is pon tos de in f lexão cor respondentes a ma is ou menos σ (desv io pad rão ) ; e ) A p robab i l idade de se comete r um e r ro , em va lo r abso lu to , meno r que ∆ (e r ro compreend ido en t re + ∆ e - ∆ ) é i gua l a á rea ass ina lada na f i gu ra . Y ( )P F E dE= −∆ +∆ X Ajustamento de Observações ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) Pro f . J oe l Gr i pp J r 17 f ) A á rea to ta l l im i tada pe la cu rva , i s to é , a p robab i l idade de se comete r s imu l taneamente todos os e r ros é , po r tan to , i gua l a un idade (100%). A cu rva da le i de Gauss pode se r rep resen tada ana l i t i camen te pe la equação : ( )F E e E = ∗ ∗ − ∗ ∗ 1 2 1 2 2 2 π σ Onde: σ = desv io padrão E= e r ro cons ide rado , ou se temos uma med ida x e uma méd ia x , E x x= − . Se fo r cons ide rado na equação da Le i de Gauss desv ios pad rões σ= 1 , σ= 2 e σ= 3 , as cu rvas cor responden tes ser iam: Y σ=1 σσσσ=2 σσσσ=3 ou se ja , quan to ma io r f o r o desv io pad rão (meno r p rec isão ) , ma is acha tada se rá a curva , é comum encon t ra r tabe las que fo rnecem os va lo res resu l tan tes das in tegra is (que represen tam p robab i l idades) : P e dE E E x E e= − ∗ ∗ =∞ = − ∗ ∫ ∗1 2 1 2 2 1 π σ Ajustamento de Observações ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) Pro f . J oe l Gr i pp J r 18 Ou P=p robab i l idade=á rea sob a curva Como ap l icação s imp les , pode -se faze r : 1 ) Encon t ra r a p robab i l i dade dos e r ros menores , em va lo r abso lu to , do que um desv io padrão (1σ ) (ou encon t ra r a á rea sob a curva e l im i tada pe las absc issas +σ e -σ ) . 2 ) Pe la tabe la das p robab i l i dades , ob tém-se : p1 ( < -σ ) =0 , 1 5865 p 2 ( <σ ) =0 , 8 4184 P -σ +σ -σ +σ A d i f e rença en t re p 2 e p 1 f o rnece P = 68 ,26%. 2 ) Pa ra o mesmo rac ioc ín io an te r io r , cons ide rando -se 2σ , ob tém-se : P=95 ,45% -2σ +2σ 3 ) idem, cons ide rando 3σ : P=99 ,73% -3σ +3σ Ajustamento de Observações ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) Pro f . J oe l Gr i pp J r 19 Obs. : As ap l icações an te r io res se rão ú te i s quando fo r ap resen tado o es tudo da to le rânc ia nos levan tamentos . Na p rá t i ca , se o número de observações fo r g rande , pode -se ve r i f i ca r uma concordânc ia per fe i ta com a cu rva de Gauss , se fo r marcado em absc issas as g randezas dos e r ros (e r ros apa ren tes ) , e em o rdenadas, o número de oco r rênc ias co r responden tes . Ajustamento de Observações ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) Pro f . J oe l Gr i pp J r 20 CAPÍTULO 4 LEI DE PROPAG AÇÃO DE ERROS F Ó RM A AL G É B RI C A 4 . 1 . I N T R O D U Ç ÃO Se a pa r t i r de uma re lação matemát i ca ob têm-se a lguma grandeza em função de ou t ras que possuem e r ros , en tão a g randeza ob t ida também con te rá e r ros . Ass im, po r exemplo , se fo r ob t ido a á rea de umquad r i lá te ro cu jos lados são L 1 e L 2 com desv io pad rão σ 1 e σ 2 , en tão a á rea ob t ida te rá um desv io pad rão σA dev ido a p ropagação de σ L 1 e σ L 2 . Com a f ina l idade de consegu i r va r iânc ias (ou desv ios pad rões ) de g randezas ob t idas ass im, ind i re tamente , f az -se o uso da Le i de Propagação de E r ros . A Le i de P ropagação de E r ros (ou va r iânc ias ) deve se r recor r ida quando se dese ja f azer uma aná l ise de e r ros v i sando , po r exemp lo , a rea l i zação de uma p ré -aná l ise . In i c ia lmen te se rá deduz ida a le i de p ropagação de e r ros envo lvendo apenas g randezas não cor re lac ionadas. 4 . 2 . DE D UÇ ÃO D A E Q U AÇ ÃO D A L E I DE P RO P AG AÇ ÃO D E E R RO S : Suponha y= F (x 1 , x 2 ) , f unção das g randezas não cor re lac ionadas x 1 e x 2 de desv ios pad rão conhec idos σ x 1 e σ x 2 . Se numa dada med ida da sé r ie de obse rvações t i ve rmos os e r ros e x 1 e e x 2 nas g randezas x 1 e x 2 , a co r respondente função f i ca rá : Ajustamento de Observações ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) Pro f . J oe l Gr i pp J r 21 ( )y e F x e x ey x x+ = + +1 1 2 2, Desenvo lvendo a função F em sé r ie de Tay lo r e desp rezando os te rmos de 2 a o rdem e supe r io res , vem: ( )y e F x x e ey F x x F x x+ = + ∗ + ∗1 2 1 1 2 2, σ σ σ σ e en tão , como : ( )y F x x= 1 2 , e F x e F x ey x x= ∗ + ∗ ∂ ∂ ∂ ∂1 1 2 2 que e levando ao quad rado f i ca : e F x e F x F x e x e x F x e xy x 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1= ∗ + ∗ ∗ ∗ ∗ + ∗ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ Cons ide rando que as g randezas x 1 e x 2 f o ram med idas com vá r ias repe t i ções e somando os va lo res ob t idos dev ido a es tas repe t i ções , vem: e F x e F x F x e e F x ey i n F x i n x i n x x i n 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 = = = = ∑ ∑ ∑ ∑= ∗ + ∗ ∗ ∗ ∗ + ∗ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ mas sendo x 1 e x 2 não cor re lac ionados, e ex x1 2 0∑ ∗ = , logo : e F x e F x ey i n x i n x i n 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1= = = ∑ ∑ ∑= ∗ + ∗ ∂ ∂ ∂ ∂ D iv id indo pe lo número de vezes em que as g randezas fo ram med idas , vem: Ajustamento de Observações ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) Pro f . J oe l Gr i pp J r 22 e n F x e n F x e n y i n x i n x i n2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1= = = ∑ ∑ ∑= ∗ + ∗ ∂ ∂ ∂ ∂ mas : σ σ σ y y x x x x e n e n e n 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 = = = ∑ ∑ ∑ logo , 2 2 2 2 1 2 2 1 2 x x F x x F y σ∂ ∂ σ ∂ ∂ σ ∗ +∗ = Cons ide rando y como sendo função de m ou t ras g randezas ou y=F(x 1 , x 2 , . . . , xm ) . 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 ... xm m xxy x F x F x F σ ∂ ∂ σ ∂ ∂ σ ∂ ∂ σ ∗ ++∗ +∗ = Que é a equação ge ra l de le i de p ropagação de e r ros para os casos em que não há co r re lação en t re as g randezas med idas . 4 . 3 . E X E MP L O S D E AP L I C AÇ ÃO D A L E I DE P R O P AG AÇ ÃO D E E R RO S : 1 - Uma d is tânc ia de ap rox imadamente 490 m deve se r med ida com uma t rena de 50 m de compr imen to . Sendo que o desv io pad rão de cada " t renada" é conhec ido e cons ide rado igua l a σ= 5 mm, qua l se r ia o desv io pad rão da d is tânc ia to ta l D ? A função que re lac iona a d is tânc ia t o ta l D ao segmentos d i é : D d d d= + + + 1 2 10 ... As de r i vadas parc ia is são : Ajustamento de Observações ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) Pro f . J oe l Gr i pp J r 23 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ D d D d D d 1 2 1 0 1 1 1 = = = . . . . . . . . . E a equação da le i de p ropagação de e r ros se to rna : σ σ σ σ σ σ D d d d D D mm mm = + + + = = 1 2 2 2 10 2 2 2250 16 ... 2 - Qua l o desv io pad rão da á rea de um lo te re tangu la r que tem os segu in tes lados : L 1= 30 m . ,σ L 1 = 50 mm, L 2= 10 m . , σ L 2= 30 mm, A á rea pode se r ob t ida po r A = L 1 *L 2 . As de r i vadas parc ia is são : ∂ ∂ ∂ ∂ A L L A L L 1 2 2 1 = = σ ∂ ∂ σ ∂ ∂ σA L L A L A L 2 1 2 1 2 2 2 2 2= ∗ + ∗ σ 2A = L 2 2 . σ 2 L 1 + L 1 2 . σ 2 L 2 σA 2 = 10 2 . (0 ,050) 2 + 30 2 . (0 ,030 ) 2 σA 2 = 0 ,250 + 0 ,810 σA 2 = 1 ,060(m 2 ) 2 σA = 1 ,0296 m 2 Ajustamento de Observações ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) Pro f . J oe l Gr i pp J r 24 3 - Suponha um ângu lo ver t i ca l α med ido do pon to A pa ra o pon to B , e sendo α=30 o 00 ' , com σ α= 1 ' , e a d is tânc ia D i=330 m. com σ D= 0 ,5 m. Pa ra es tas cond ições , encon t ra r o desv io pad rão da d is tânc ia ho r i zon ta l co r respondente , σ α = = = ∗ =1 60 60 1 0 000290888' ' ' ' ' sen ' ' , r d A equação que re lac iona as g randezas é : Dr Di= ∗cosα Ap l icando a le i de p ropagação de e r ros , vem: σ ∂ ∂ σ ∂ δ α σ α2 2 2Dr r i Di rD D D = ∗ + ∗ As de r i vadas parc ia is são : ( ) ∂ ∂ α ∂ ∂α α D D D Di r i r = = ∗ − cos sen en tão σ 2D r = cos 2 α . σD i 2 +D i 2 . sen 2 α σ α 2 Subs t i tu indo os va lo res conhec idos :σ2 2 0 2 2 2 0 230 00 0 5 330 30 00 0 000290888Dr sen= ∗ + ∗ ∗cos ' , ' , σ σ 2 0 1875 0 002303665 0 436 Dr Dr m = + = , , , Dr Di α Ajustamento de Observações ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) Pro f . J oe l Gr i pp J r 25 Nes te exemp lo , pode -se no ta r que a ma io r con t r ibu ição pa ra o e r ro da d is tânc ia Dr vem da med ida da d i s tânc ia D i , i s to é , 0 ,1875 que é mu i to ma io r que 0 ,002303665. Ass im, se o e r ro σD r = 0 ,436m es t i ve r f ora de um l im i te de to le rânc ia , uma mane i ra lóg ica de me lho ra r o resu l tado é ado ta r um mé todo ma is p rec iso pa ra med i r a d i s tânc ia D i . , 4 - O ângu lo β e a d i s tânc ia D fo ram med idos pa ra se ca lcu la r as coo rdenadas do pon to C. As coo rdenadas de A e B são conhec idas e são cons ideradas l i v res de e r ros . Qua l se rá o desv io pad rão das novas coordenadas Xc e Yc se os desv ios pad rões de D e β são σD= 2cm e σβ= 10" ? Dados: Y XB = 1000m , Az YB= 200m , C D = 500 ,00m, σD = 2cm A B β= 120 0 00 '00" , X σβ= 10" ou σβ= 0 ,0000484 rd , O az imute de AB = 90 0 00 '00" e cons ide rado como l i v re de e r ro . O az imute de BC será : AzBC= 90 0 + 120 0 - 180 0 = 30 0 ( ve r regra de ângu los ho rá r ios= in te rnos ou ex te rnos ) As funções que pe rmi tem a ob tenção de Xc e Yc são : BCBC BCBC AzDYY senAzDXX cos∗+= ∗+= Desde que XB e YB são cons ide rados l i v res de e r ros , e les deve rão se r t ra tados como cons tan tes nas de r i vações para ap l icação da le i de p ropagação de e r ros . Ajustamento de Observações ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) Pro f . J oe l Gr i pp J r 26 As de r i vadas parc ia is são : ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ x D Az x Az D Az y D Az y Az D Az c BC c BC BC c BC c BC BC = = = = ∗ = ∗ = = = = = − ∗ = − ∗ = − sen sen , cos cos , cos cos , sen sen 30 0 5000 500 30 433 0130 30 0 866025 500 30 250 0 0 0 0 En tão in t roduz indo na equação da le i de p ropagação de e r ros , lembrando que o desv io pad rão σA zBC deve rá se r in t roduz ido em rad ianos , vem: ( ) ( ) ( ) ( ) σ ∂ ∂ σ ∂ ∂ σ σ σ σ σ σ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 500 0 02 433 013 0 0000484 0 0001 0 0004407 0 0005407 0 023 2 3 xc D BC BC xc xc xc xc xc x D x Az Az m ou cm = ∗ + ∗ = ∗ + ∗ = + = = = , , , , , , , , , ( ) ( ) ( ) ( ) σ ∂ ∂ σ ∂ ∂ σ σ σ σ σ σ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 866 0 02 250 0 0000484 0 0003 0 00014641 0 00044641 0 021 2 1 xc D BC BC xc xc xc xc xc y D y Az Az m ou cm = ∗ + ∗ = ∗ + − ∗ = + = = = , , , , , , , , 5 - Dê a exp ressão do e r ro da d i s tânc ia , pa ra a med ição com mi ra ho r i zon ta l . Cons ide re in i c ia lmente que o fab r i can te fo rneceu o compr imento da m i ra como sendo b = 2m. com σ b = bx 10 - 5 . O que in f luenc ia ma is na med ição da d is tânc ia , o compr imento da m i ra ou o ângu lo med ido? Faça um grá f i co pa ra o compor tamento do Ajustamento de Observações ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) Pro f . J oe l Gr i pp J r 27 e r ro da d is tânc ia med ida cons ide rando d is tânc ias en t re 10 e 200m. b ( ) ( ) tg b D D b tg D b g α α α 2 2 2 2 2 2 = = ∗ = ∗ cot D Ap l icando a le i de p ropagação de e r ros : σ ∂ ∂ σ ∂ ∂α σ α2 2 2 2 2 D b D b D = ∗ + ∗ As de r i vadas parc ia is são : ( ) ∂ ∂ α ∂ ∂α α D b g D b = ∗ = ∗ 1 2 2 4 1 2 2 cot sen en tão : σ α σ α σ α 2 2 2 2 2 2 1 2 2 4 1 2 D bg b sen = ∗ ∗ + ∗ ∗cot é a expressão comp le ta . Cons ide rando a lgumas d is tânc ias : 10 , 20 e 30 met ros e ca lcu lando in i c ia lmente , qua l se rá o α co r respondente ? (Suponha σα= 1" = 0 ,000004848 rd ) D b g= ∗ 2 2 cot α ` mas b = 2 α Ajustamento de Observações ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) Pro f . J oe l Gr i pp J r 28 D g D tg tg D arctg D = ∴ = = ∴ = ∗ cot α α α α 2 1 2 2 1 2 1 Pa ra 10m α= 11 0 25 '16 ,27" Pa ra 20m α= 5 0 43 '29 ,32" Pa ra 30m α= 3 0 49 '05 ,90" In t roduz indo na exp ressão comple ta , e f azendo os cá lcu los po r par te : Pa ra 10m. : ( ) ( ) ( )σ2 2 5 2 2 25 2 10 50 5 0 000004848D = ∗ ∗ + ∗−( ) , , σ2 0 000000001 0 000000059D = +, , σ D = 0 0002644, ou σ D mm= 0 26, Pa ra 20m. : ( ) ( ) ( )σ2 2 5 2 2 210 2 10 200 499995 0 000004848D = ∗ ∗ + ∗−( ) , , σ2 0 00000004 0 000000944D = +, , σ D = 0 000992, ou σ D mm= 0 992, Pa ra 30m. : ( ) ( ) ( )σ2 2 5 2 2 215 2 10 450 4998 0 000004848D = ∗ ∗ + ∗−( ) , , σ2 0 00000009 0 000004769D = +, , σ D = 0 0022043, ou σ D mm= 2 20, Da í , já dá para ve r que a in f luênc ia de e r ro na med ição do ângu lo t em ma io r p redom inânc ia . Pe los exemp los an te r io res t i ra - Ajustamento de Observações ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) Pro f . J oe l Gr i pp J r 29 se um con jun to de passos que podem se r segu idos em ap l icação da equação da le i de p ropagação para aná l ise de e r ros de g randezas não cor re lac ionadas. 1 0 Es tabe lece r a f unção quere lac iona as grandezas 2 0 Es t imar ou ob te r as va r iânc ias das obse rvações 3 0 Encon t ra r as de r i vadas pa rc ia is da função em re lação a todas as obse rvações 4 0 Subs t i tu i r nas de r i vadas as quan t idades conhec idas 5 0 In t roduz i r os resu l tados na equação da le i de p ropagação de e r ros . A aná l i se de e r ros com a ap l i cação da le i de p ropagação de e r ros (ou var iânc ias ) é mu i to ú t i l , p r inc ipa lmente em es tudos p re l im ina res aos levan tamentos , ob je t i vando a esco lha de métodos e ins t rumentos . A um es tudo des te t ipo denom ina -se p ré - aná l ise . 6 - Med iu -se uma base d i v id ida em duas pa r tes . Uma das pa r tes fo i med ida com uma régua que poss ib i l i t a ob te r um e r ro méd io quad rá t i co de σ 1= 0 ,00004m e a ou t ra σ 2= 0 ,00002m pa ra cada med ida . Fo i necessá r io u t i l i za r cada uma das réguas 250 vezes . Qua l o e r ro méd io quad rá t ico da base? 1 0 - PASSO: A função pode se r : X L L= ∗ + ∗250 250 1 2 2 0 - PASSO: P re l im ina rmente já se sabe que : σ σ 1 2 0 00004 0 00002 = = , , m m 3 0 - PASSO: ( ) ( )σ σ σ2 2 1 2 2 2 2 250 250X = ∗ + ∗ 4 0 - PASSO: Ajustamento de Observações ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) Pro f . J oe l Gr i pp J r 30 ( ) ( ) ( ) ( )σ2 2 2 2 2250 0 00004 250 0 00002X = ∗ + ∗, , 5 0 - PASSO: σ X = 0 0118, 7 - Pa ra a ob tenção da a l t i tude de B fo i rea l i zado um n ive lamento t r i gonomét r i co a pa r t i r do pon to A , cu ja a l t i tude é hA= 148 ,32m com σA = 0 ,15m. Fo ram ob t idos os segu in tes dados : D = 1 .000 ,00m com σD= 0 ,10m Z = 87 0 42 '13" com σZ= 20" i t 1= 1 ,40m. com σ i t= 0 ,01m i a= 1 ,80m. com σ i a= 0 ,01m Qua l o desv io pad rão da a l t i tude de B não cons ide rando o e fe i to da re f ração? 1 0 - PASSO: Fo rmu la r equação h h D gZ it iaB A= + ∗ + −cot 2 0 - PASSO: Va r iânc ias (v ide enunc iado ) 3 0 - PASSO: D i fe renc ia r Z D ia i t Ajustamento de Observações ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) Pro f . J oe l Gr i pp J r 31 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ h h h D g z h Z D z h i h i B A B B B t B a = = = = = − 1 1 1 2 cot sen Pe la f ó rmu la a lgéb r ica da le i de p ropagação de e r ros , tem- se : σ ∂ ∂ σ ∂ ∂ σ ∂ ∂ σ ∂ ∂ σ ∂ ∂ σ2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 hB B A hA B D B Z B t it B a ia h h h D h Z h i h i = ∗ + ∗ + ∗ + ∗ + ∗ σ σ σ σ σ σ2 2 2 2 2 2 2 2 2 hB hA D Z it iag z D sen z = + ∗ + ∗ + +cot 4 0 - PASSO: Subs t i tu indo os e lementos : σ2 0 0225 0 00001608 0 0094311502 0 0001 0 0001hB = + + + +, , , , , σ σ 2 0 03214723 0 179 hB hB m = = , , Mantendo os ou t ros e lementos cons tan tes , a i n f luênc ia da p rec isão de cada e lemento na p rec isão de hB se r ia : D = σ hB = 0 ,004m, z = σ hB = 0 ,097m, i t = i a = σ hB = 0 ,010m Ajustamento de Observações ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) Pro f . J oe l Gr i pp J r 32 8 - A f im de de te rm inar a d i f e rença de n íve l en t re do is pon tos d is tan tes 2250m. se rá rea l i zado um n ive lamento geomét r i co , tomando -se o cu idado de co loca r sempre o n íve l a i gua is d is tânc ias da m i ra . Assumindo que as v i sadas de van te e ré se rão de 25m, pede-se o e r ro come t ido para ob tenção da d i f e rença de n íve l dese jada . Dê também uma fó rmu la gera l que permi ta es t imar es te e r ro . Suponha o e r ro de cada le i tu ra σ L=0,1mm. ∆ ∆ ∆ ∆H h h h= + + +1 2 45. . . mas , ( ) ( ) ( ) ∆ ∆ ∆ ∆ h L L h L L h L L H L L L L L L R V R V R V R V R V R V 1 1 1 2 2 2 45 45 45 1 1 2 2 45 45 = − = − = − = − + − + + − .... ... Ap l icando a le i de p ropagação : σ σ σ σ σ σ2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 45 2 45∆ H R V R V R VL L L L L L= + + + + +σ +... sendo , σ σ σ2 2 2L L LR V= = σ σ σ σ σ σ∆ 2 2 2 2 2 290 90 0 01 0 90 0 95 ∆ ∆ H H H L L L L mm = + + +σ = ∗ = ∗ = = ... , , , Uma fó rmu la ge ra l se r ia : σ∆ σ H L n= ∗ 9 - Pa ra uma grandeza med ida n vezes , pede -se uma fó rmu la ge ra l que pe rm i ta ob te r o desv io pad rão da méd ia das re fe r idas med idas . Como s ímbo lo u t i l i ze : σ 0= desv io pad rão de uma obse rvação iso lada , Ajustamento de Observações ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) Pro f . J oe l Gr i pp J r 33 σm= desv io pad rão da méd ia , x x x x n x n x n x n x n n = + + + = + + + 1 2 1 2 1 1 1 ... ... ap l icando a le i : σ σ σ σ2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 x n x n x n x n = + + +... sendo : σ σ σ σx x x n1 2 0 = = = =... σ σ σ σ σ σ 2 0 2 2 2 0 2 0 x n n x n x n = ∗ ∴ = ∴ = 10 - Dado a p rec isão de uma med ida pe lo desv io pad rão σ 0 , quan tas vezes tem-se que repe t i r a mesma med ida pa ra dob ra r a p rec isão da méd ia? Fazendo n 1 obse rvações tem-se uma prec isão σ x 1 Fazendo n 2 1obse rvações tem-se uma prec isão σ x 1 , sendo σ σ 2 1 2 = , quan to se rá n 2? (Cada med ida com p rec isão σ 0 ) , σ σ σ σ σ σ 1 0 1 2 1 2 0 1 2 0 1 2 1= ∴ = ∴ = ∗ n n n σ σ σ σ σ σ 2 0 2 2 2 2 0 2 2 1 2 = ∴ = = n n mas Ajustamento de Observações ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) Pro f . J oe l Gri pp J r 34 e σ σ 2 2 2 1 4 = então n n σ σ σ σ2 0 2 2 1 2 0 2 2 1 4 4 = ∴ = n n n n 1 2 1 2 2 1 2 14 4∗ = ∗ ∴ =σ σ Ajustamento de Observações ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) Pro f . J oe l Gr i pp J r 35 CAPÍTULO 5 L E I DE P RO P AG AÇ ÃO D E E R RO S ( CO V AR I ÂN C I AS ) - F O R M A M AT R I C I AL 5 . 1 . I N T R O D U Ç ÃO 5 . 1 . 1 . CO V AR I ÂN C I A E C O E F I C I E N T E DE CO RR E L AÇ ÃO O te rmo cova r iânc ia , aqu i s imbo l i zado po r σ x y , é usado pa ra denom ina r uma med ida numér ica da cor re lação en t re duas obse rvações x e y ou en t re duas funções de med idas , Duas med idas (ou funções ) são não co r re lac ionadas quando são independentes en t re s i . Por exemp lo , numa po l igona l os ângu los e d i s tânc ias ob t idos po r d i f e ren tes ins t rumentos e métodos cu jas fon tes de e r ros são também d i f e ren tes . Um ou t ro exemplo se r ia ângu los med idos em d i f e ren tes es tações de uma t r iangu lação . Como exemplo de med idas co r re lac ionadas pode-se c i ta r coo rdenadas e ângu los ou d is tânc ias , um pode rá se r ob t ido do ou t ro . Ou t ro exemplo , coo rdenadas x e y de es tações também de uma po l igona l , po rque ambas (x e y ) podem ser ob t idas dos mesmos ângu los e d i s tânc ias . Pa ra o es tudo e cá lcu lo da cova r iânc ia , se rá es tudado an te r io rmente , um pouco ma is , a va r iânc ia e o desv io pad rão . Suponha que uma grandeza x f o i med ida n vezes e que somente e r ros ac iden ta i s es tão in f l uenc iando as med idas x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x n . Os va lo res dos e r ros ind iv idua is se rão : Ajustamento de Observações ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) Pro f . J oe l Gr i pp J r 36 e x x e x x e x xn n 1 1 0 2 2 0 0 = − = − − − − − − − − = − onde x o é o va lo r ve rdade i ro da g randeza med ida , Os e r ros ac iden ta is e i das med idas repe t idas ocor rem com igua l p robab i l i dade de se rem pos i t i vas (+) e nega t i vas ( - ) . Se o número de obse rvações fo r su f ic ien temente g rande ( tendendo a i n f in i to ) , a soma dos e r ros tende rá a ze ro . A var iânc ia σ 2 das med idas é de f in ida como a méd ia dos quad rados dos e r ros : σ 2 2 = ∑e n i e o desv io padrão σ σ= 2 Ge ra lmente , po rém, o va lo r ve rdade i ro da g randeza med ida não é conhec ido na p rá t i ca e o número de med idas é l im i tado a um número f in i to . Pa ra um pequeno número ( n < 30 ) de repe t i ções adota -se pa ra o cá lcu lo de var iânc ia : σ2 2 1 = − ∑e n sendo e o e r ro apa ren te ou e x x= − Supondo duas g randezas cor re lac ionadas x e y , med idas n vezes . Os va lo res dos e r ros ind iv idua is se rão : 1 a g randeza 2 a g randeza e x xx1 1 0= − e y yy1 1 0= − e x xx2 2 0= − e y yy2 2 0= − - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - e x xxn n= − 0 e y yy n1 0= − Ajustamento de Observações ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) Pro f . J oe l Gr i pp J r 37 Uma es t imat i va pa ra a cova r iânc ia σ x y de x e y pode se r ca lcu lado como sendo uma méd ia da soma do p rodu to dos pa res de e r ros esco lh idos a lea to r iamente nas duas g randezas : ( ) σxy i n exj eyi n = ∗ − ∑ 1 Comb i naç ão x e y p a r a n t e ndendo ao i n f i n i t o . Se não houve r co r re lação en t re x e y en tão a p robab i l idade de e r ros se rem (+ ) ou ( - ) se rão igua is e random icamente d is t r ibu ídas , e o va lo r de σ x y tenderá a ze ro pa ra um número n su f ic ien temente grande ( tendendo ao in f in i t o ) . A f im de ava l ia r quão f o r te é a co r re lação en t re duas obse rvações , o coe f ic ien te de cor re lação ρ x y pode rá se r examinado . Es te pode se r ob t ido po r : ρ σ σ σxy xy x y = ∗ Pode-se d i ze r que : − < <1 1ρ xy Sendo ρ x y= 0 , en tão x e y são não co r re lac ionados (x e y tendem a va r ia r jun tos ) . Sendo ρ ( xy ) = -1 , en tão ocor re uma cor re lação l inea r pe r fe i t a e nega t iva , ou se ja , a re lação en t re x e y é l i nea r ou y=ax+b , e a é meno r que 0 . Sendo ρ ( xy ) = +1 , en tão oco r re uma co r re lação l inear pe r fe i t a e pos i t i va , ou se ja , a re lação en t re x e y é l inea r ou y=ax+b , e a é ma io r que 0 . y x a<0 y x a>0 Ajustamento de Observações ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) Pro f . J oe l Gr i pp J r 38 Sendo -1< ρ ( xy ) < 0 , en tão oco r re uma co r re lação não l inea r e nega t i va , ou se ja , a re lação en t re x e y é não l inear ou y=F(x) . Y X Sendo 0< ρ ( xy ) < +1 , en tão oco r re uma co r re lação não l i near e pos i t i va , ou se ja , a re lação en t re x e y é não l inear ou y=F(x) . Y X 5 . 1 . 2 . M AT R I Z V AR I ÂN C I A- C O V AR I ÂN C I A ( M V C ) : Suponha in ic ia lmen te as g randezas x 1 , x 2 , e x 3 de va r iânc ias σ 2 x 1 , σ 2 x 2 , σ 2 x 3 e cova r iânc ias σ x 1 x 2 , σ x 1 x 3 , σ x 2 x 3 . A mat r i z quadrada cu jas componen tes são va r iânc ias e covar iânc ias dev idamente d ispos tas , denomina -se mat r i z va r iânc ia -cova r iânc ia (MVC) que é comumente s imbo l i zada po r Σx : Ajustamento de Observações ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) Pro f . J oe l Gr i pp J r 39 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x n n n n n ou simplesmente e numa forma generalizada = = = − − − − − − − − − − − − − − ∑ ∑ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ 2 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 2 3 1 3 2 2 3 2 1 12 13 21 2 2 2 31 32 2 3 2 1 12 1 21 2 2 2 1 2 2 : ∑ A mat r i z Σ x é s imét r ica po r σ i j =σ j i e também pode se r denom inada s imp lesmente de mat r iz covar iânc ia , po is a va r iânc ia é um caso pa r t icu la r da cova r iânc ia para i = j . No caso das g randezas x se rem independentes en t re s i , as cova r iânc ias se rão nu las e a mat r i z Σ x se rá uma ma t r i z d iagona l . 5 . 1 . 3 . RE V I S ÃO D E AL G U NS E L E M E NT O S D A E S T AT Í S T I C A: a ) F u n ç ã o d e d i s tr i b u i ç ã o ( d e p r o b a b i l i d a d e ) a c u m u l a d a A função de d is t r i bu ição (de p robab i l idade ) acumu lada de uma va r iáve l a lea tó r ia x no pon to x é de f in ida por : ( ) ( )P x x F x< = (p robab i l idade de que a v .a . assuma um va lo r in fe r i o r ou igua l a x) . Pa ra o caso de uma va r iáve l a lea tó r ia d i sc re ta a f unção de d i s t r ibu ição acumu lada reves te a f o rma: ( ) ( ) ( )F xi P x xi p xi i n = < = = ∑ 1 , pa ra todo i ta l que ( )xi x< Ajustamento de Observações ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) Pro f . J oe l Gr i pp J r 40 b ) E s p e r a n ç a Ma te m á t i c a Def ine -se " va lo r esperado" , va lo r méd io , expec tânc ia , espe rança matemát ica , ou s imp lesmen te espe rança , da va r iáve l a lea tó r ia d isc re ta x por : ( ) ( )E x xi p xi i = ∗ = ∞ ∑ 1 No caso de uma va r iáve l a lea tó r ia con t ínua , de f ine -se a espe rança matemát ica como : ( ) ( )E x x f x dx= ∗ −∞ ∞∫ Se a var iáve l d isc re ta assumi r um número f in i t o de va lo res : ( ) ( )E x xi p xi i n = ∗ = ∑ 1 A méd ia a r i tmét ica de n obse rvações pode se r ob t ida por : x n xi i n = ∗ = ∑1 1 Se dos r va lo res d is t in tos , x i ocor re r com uma f requênc ia n j , a f ó rmu la an te r io r assumi rá a f o rma: x nj xj n xj fj j f j i r = ∗ = ∗ == ∑∑ 1 sendo fj nj n = Se n→∞ o f i→p (x i ) e x E x→ ( ) ou quando o tamanho da amost ra t ende para o in f in i to a méd ia amos t ra l se av i z inha da méd ia da popu lação da qua l se o r ig inou . Ajustamento de Observações ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) Pro f . J oe l Gr i pp J r 41 c ) V AR I ÂN C I A Em re lação à espe rança matemát i ca tem-se a segu in te de f in i ção : ( ) ( )[ ]Var x x E x E x= = −σ2 2 desenvo lvendo resu l ta em: ( ) ( )[ ] ( ) σ σ 2 2 2 2 2 2 x E x E x x E x x = − = − d ) C O V AR I ÂN C I A Cons ide rando duas var iáve is x e y , a cova r iânc ia que exp r ime o g rau de dependênc ia en t re as duas va r iáve is , em re lação à espe rança matemá t i ca pode se r ob t ida po r : ( ) ( )( )[ ]cov ,ar x y xy E x x y y= = − −σ desenvo lvendo resu l ta em: ( ) ( ) ( ) ( ) σ σ xy E xy E x E y xy E xy x y = − = − ∗ Se não houve r dependênc ia E(xy) = E (x ) .E (y ) e σ x y = 0 . 5 . 2 . M AT R I Z V AR I ÂN C I A- C O V AR I ÂN C I A - M V C A mat r i z va r iânc ia -covar iânc ia já f o i ap resen tada an te r io rmente , e la se apresen ta da fo rma : x n n n n n nn ∑ = − − − − − − − − − − − − − − − − σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ 2 11 12 13 1 21 2 22 23 2 1 2 3 2 Es ta ma t r i z re lac iona va r iáve is x 1 , x 2 , . . . , x n que podem es ta r d i spos tas num ve to r . X x x xn = − − 1 2 Ajustamento de Observações ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) Pro f . J oe l Gr i pp J r 42 S imbo l i zando po r Ux o ve to r de E (x) : ( ) ( ) ( ) Ux E x E x E x u u u n n = − − = − − 1 2 1 2 Desenvo lvendo a exp ressão mat r ic ia l : ( ) ( )X Ux X Ux T− ∗ − ob tém-se : ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u n n n n n n n n n n n n 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − E da í conc lu i -se : a ) ( ) ( ){ }x E X Ux X Ux T∑ = − ∗ − e pode -se ve r que : ( ) ( ){ } ( ){ } ( ) ( ){ } σ σ 11 2 1 1 1 1 1 1 2 12 1 1 2 2 = − ∗ − = − = − ∗ − E x u x u E x u E x u x u b ) A d iagona l da mat r i z va r iânc ia -cova r iânc ia (MVC) é cons t i tu ída de va r iânc ias , e os dema is e lemen tos são cova r iânc ias . c ) A MVC é s imét r i ca , po is σ i j =σ j i . d ) A va r iânc ia é um caso pa r t icu la r de cova r iânc ia para i = j . Ajustamento de Observações ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) Pro f . J oe l Gr i pp J r 43 5 . 3 . L E I DE P R O P AG AÇ ÃO D E CO V AR I ÂN C I AS Cons ide rando duas va r iáve is a lea tó r ias y e x , onde y é uma função l inea r de x . ∗ = +m m n n mY G X C1 1 1 Sendo C um ve to r mx1 de cons tan tes e G uma mat r i z de coe f ic ien tes . { } { }∗∗ = = + = +Uy E Y E GX C G E X C{ } An te r io rmen te fo i v i s to que pode-se faze r : ( )( ){ }Y Y Y TE Y U Y U∑ = − − En tão subs t i tu indo * e * * nes ta equação vem: { }( ) { }( ){ }Y E GX C GE X C GX C GE X C T∑ = + − − + − − que desenvo lvendo perm i te chegar em: Y G xG T∑ ∑= A f ó rmu la an te r io r é vá l ida pa ra o caso de y=F(X) se r l inear . Pa ra o caso de f unção não l inea r , tem-se que f azer uma l i nea r i zação usando desenvo lv imento de Tay lo r . Ass im, se Y = F (X) é não l inea r , o desenvo lvimen to de Tay lo r nos conduz a : ( ) ( ) ( )Y F X F X F X X X x = = + − 0 0 0 ∂ ∂ onde x 0 con tém va lo res ap rox imados pa ra x . Ajustamento de Observações ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) Pro f . J oe l Gr i pp J r 44 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ F X y x y x y x y x y x y x y x y x y x D xo n n m m m n X m n o = = 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Os e lementos da mat r i z D são resu l tan tes da ap l icação dos va lo res ap rox imados de X nas de r ivadas pa rc ia is . Pa ra es ta f unção , não l inea r , com a ap l i cação da l i nea r i zação de Tay lo r , po r um desenvo lv imento idên t ico da ap l icação da le i de p ropagação das covar iânc ias , chega -se em: Y X TD D= ∑∑ . . Uma fo rma p rá t ica pa ra a ap l icação da le i de p ropagação , é usa r a segu in te seqüênc ia de passos : 1 o passo : Es tuda r o p rob lema e monta r as equações ; 2 o passo : Monta r a ma t r i z va r iânc ia cova r iânc ia das g randezas med idas ; 3 o passo : Encon t ra r a mat r i z D (ou G) ; 4 o passo : E fe tua r as mu l t ip l i cações de mat r i zes ; 5 o passo : In te rp re ta r o resu l t ado . Ajustamento de Observações ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) Pro f . J oe l Gr i pp J r 45 5 . 4 . E X E MP L O S DE AP L I C AÇ ÃO D A L E I DE P RO P AG AÇ ÃO D AS C O V AR I ÂN C I AS N A F O R M A M AT R I CI AL 1 0 ) As obse rvações das d i reções d i ( f i gu ra ) conduz iu aos segu in tes resu l t ados : σ ij para i j para i j 2 23 0 ' ' = ≠ a ) Ca lcu la r a mat r i z va r iânc ia -cova r iânc ia dos ângu los b i . Do enunc iado já se pode ve r que a MVC das d i reções é : D= ∑ 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 ' ' ' ' ' ' ' ' sendo que : D d d d d = 1 2 3 4 As equações envo lv idas são : b d d b d d b d d b d d 1 2 1 2 3 1 3 4 1 4 3 2 = − = − = − = − A ma t r i z G dos coe f i c ien tes se rá : G = − − − − 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 O s is tema na fo rma mat r ic ia l é : b b b b d d d d 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 = − − − − ∗ ou B G D= . b 1 b 2 b 3 b 4 Ajustamento de Observações ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) Pro f . J oe l Gr i pp J r 46 A MVC de B (ou dos ângu los ) se rá : B D TG G∑ ∑= ∗ ∗ En tão : B∑ = − − − − ∗ ∗ − − − − 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 ' ' ' ' ' ' ' ' B∑ = − − − − − − − − 3 3 0 0 3 0 3 0 3 0 0 3 0 3 3 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 . B∑ = − − 6 3 3 3 3 6 3 3 3 3 6 0 3 3 0 6 2(") b ) Ca lcu la r o coe f i c ien te de co r re lação en t re os ângu los : b1 ) b 1 e b 2 ρ σ σ σb b b b b b 1 2 1 2 1 2 = da mat r i z ΣB pode -se t i ra r : σ σ σ σ σ ρ b b b b b b b b 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 6 6 6 6 3 3 6 6 3 6 1 2 0 5 = ∴ = = ∴ = = = = = = , ∴há co r re lação en t re b1 e b2 , po is ρ b 1 b 2 é d i f e ren te de zero (ou b1 e b2 tendem a va r ia r jun tos e no mesmo sen t ido (ou pa ra + ou pa ra - ) ) . b 2 ) b1 e b3 Ajustamento de Observações ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) Pro f . J oe l Gr i pp J r 47 ρb 1 b 3 = σ σ σ σ σ σ b b b b b b b e temos1 3 1 3 1 3 3 2 3 3 6 6. : = = ∴ = ρb 1 b 3 = = = =3 6 6 3 6 1 2 0 5 . , ∴ há co r re lação en t re b1 e b3 ( i dem) . b 3 ) b3 e b4 ρb 3 b 4 = σ σ σ b b b b 3 4 3 4. ,mas σ b 3 b 4 = 0 ∴ ρb 3 b 4 = 0 ∴ não há co r re lação en t re b 3 e b 4 . b 4 ) b1 e b4 ρb 1 b 4 = σ σ σ σ σ σ b b b b b b b b e tem se1 4 1 4 1 4 1 4 3 6. :− = − = = ρb 1 b 4 = − = − = − = −3 6 6 3 6 1 2 0 5 . , ∴há co r re lação en t re b 1 e b 4 . (ou b 1 e b 4 tendem a va r ia r j un tos e no sen t ido con t rá r io (uma pa ra + e ou t ra para - ) dev ido o coe f ic ien te ser nega t i vo . 2 0 ) Se ja a po l i gona l 0 1 2 3 da f igu ra aba ixo . N Azo α1 α2 α3 0 1 2 Ajustamento de Observações ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as ( No tas d e au l as –––– V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a V e rs ão p r ov i sór i a –––– 1998199819981998 )))) Pro f . J oe l Gr i pp J r 48 Cons ide rando o az imu te Az o conhec ido e l i v re de e r ro . Se os ângu los α 1 , α 2 , α 3 f o ram med idos com p rec isão σ α i=2" qua l se r ia a p rec isão dos az imutes Az 1 , Az 2 e Az 3? O p r ime i ro passo ser ia es tabe lece r as equações : Como fó rmu la gera l pa ra o cá lcu lo de az imutes tem-se : ( )Azj Az io i i n o= + − − ∗ = ∑α 1 180 1 en tão : Az Az Az Az Az Az o o o o o 1 1 2 1 2 3 1 2 3 180 360 = + = + + − = + + + − α α α α α α A M.V.C. dos ângu los é da segu in te f o rma: ( )α∑ =
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