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Método de Decomposição LU Solução de sistemas triangulares inferiores Algoritmo para resolver sistemas triangulares inferiores 1 1 11 b x l PARA i = 2, ..., n, faça 1 1 i i ij j j i ii b l x x l Solução de sistemas triangulares superiores Algoritmo para resolver sistemas triangulares superiores n n nn b x u PARA i = (n-1), (n-2) ..., 1, faça 1 n i ij j j i i ii b u x x u Decomposição de matrizes Algoritmo para decomposição de matrizes quadradas em matrizes triangulares inferiores e superiores. PARA m = 1, ..., n-1, faça PARA j = m, m+1,...,n, faça 1 1 m mj mj mk kj k u a l u PARA i = m+1, ...,n, faça 1 1 m im ik km k im mm a l u l u 1mml PARA m = n, faça 1 1 n nn nn nk kn k u a l u 1nnl Aplicação do Método LU na resolução de sistemas de equações lineares Considerando um sistema de equações lineares Ax b , cuja matriz dos coeficientes A satisfaz a condição A LU podemos escrever o sistema de equações como: ( )LU x b Se denominarmos Ux y , teremos substituído o cálculo da solução do sistema Ax b pela solução de dois sistemas triangulares: um inferior Ly b e outro superior Ux y . EXEMPLO Usando o método de decomposição LU, resolva o seguinte sistema de equações lineares. 1 2 3 3 2 4 1 1 1 2 2 4 3 2 3 x x x Solução 1° - Para resolver este sistema devemos inicialmente verificar se a matriz dos coeficientes pode ser transformada em uma matriz da forma LU. Para isso devemos testar os determinantes em todas as suas ordens, caso alguma ordem dos determinantes der como resultado zero, a matriz dos coeficientes não pode ser transformada na forma LU, caso contrário conseguiremos transformá-la. Portanto, 1ª ordem: 1 3 2ª ordem: 2 3 2 3 2 1 1 1 3ª ordem: 3 3 2 4 1 1 2 6 16 12 16 4 18 8 4 3 2 2º - Devemos usar o algoritmo da decomposição LU para transformar a matriz dos coeficientes em duas matrizes triangulares, uma inferior L e outra superior U. Portanto, Temos que m = 1,2,3 j = 1,2,3 i = 2,3 Início Quando m = 1 j =1 11 11 110 3u a u ( o termo 11a é dado pela matriz dos coeficientes) j =2 12 12 120 2u a u j =3 13 13 130 4u a u i =2 21 21 21 11 0 1 3 a l l u i =3 31 31 31 11 0 4 3 a l l u 11 1l Quando m = 2 j =2 22 22 21 12 22 22 1 1 1 (2) 3 3 u a l u u u j =3 23 23 21 13 23 23 1 2 2 (4) 3 3 u a l u u u i =3 32 31 12 32 32 32 22 4 3 2 3 1 1 3 a l u l l l u 22 1l Quando m = n = 3 33 33 31 13 32 23 33 33 4 2 2 (4) 1 8 3 3 u a l u l u u u 33 1l ■ Conforme calculado pelo algoritmo acima, as matrizes decompostas serão: 1 0 0 1 1 0 3 4 1 1 3 L 3 2 4 1 20 3 3 0 0 8 U 3º - Para calcular a solução do sistema devemos utilizar o algoritmo de resolução para sistemas triangulares inferiores. Isto é, resolver; 1 2 3 1 0 0 1 1 1 0 2 3 34 1 1 3 y Ly b y y Portanto, Quando i = 1 1 1 1 1 11 1 1 1 b y y y l Quando i = 2 2 21 1 2 2 2 22 12 1 53 1 3 b l y y y y l Quando i = 3 3 31 1 32 2 3 3 3 33 543 (1) (1) 3 3 0 1 b l y l y y y y l A matriz dos termos y é, 1 2 3 1 5 3 0 y y y 4º - Calculando a solução do sistema triangular superior: 1 2 3 13 2 4 51 20 3 3 3 0 0 8 0 x Ux y x x Portanto, Quando i = 3 3 3 3 3 33 0 0 8 y x x x u Quando i = 2 2 23 3 2 2 2 22 5 0 3 5 1 3 y u x x x x u Quando i = 1 1 12 2 13 3 1 1 1 33 1 2 5 0 3 3 y u x u x x x x u Portanto a solução do sistema de equações lineares proposto no exemplo, utilizando o método de decomposição LU e a formas triangulares superior e inferior de soluções é: 3 5 0x ■
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