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Unidade 3 - Método LU

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Método de Decomposição LU 
Solução de sistemas triangulares inferiores 
Algoritmo para resolver sistemas triangulares inferiores 
1
1
11
b
x
l

 
PARA i = 2, ..., n, faça 
1
1
i
i ij j
j
i
ii
b l x
x
l


 
 
 

 
 
Solução de sistemas triangulares superiores 
Algoritmo para resolver sistemas triangulares superiores 
n
n
nn
b
x
u

 
PARA i = (n-1), (n-2) ..., 1, faça 
 1
n
i ij j
j i
i
ii
b u x
x
u
 
 
  
 

 
 
Decomposição de matrizes 
Algoritmo para decomposição de matrizes quadradas em matrizes triangulares 
inferiores e superiores. 
PARA m = 1, ..., n-1, faça 
 PARA j = m, m+1,...,n, faça 
 1
1
m
mj mj mk kj
k
u a l u


 
 
PARA i = m+1, ...,n, faça 
1
1
m
im ik km
k
im
mm
a l u
l
u





 
1mml 
 
PARA m = n, faça 
1
1
n
nn nn nk kn
k
u a l u


 
 
1nnl 
 
 
Aplicação do Método LU na resolução de sistemas de equações lineares 
Considerando um sistema de equações lineares 
Ax b
, cuja matriz dos coeficientes 
A
 satisfaz a condição 
A LU
 podemos escrever o sistema de equações como: 
( )LU x b
 
Se denominarmos 
Ux y
, teremos substituído o cálculo da solução do sistema 
Ax b
 pela solução de dois sistemas triangulares: um inferior 
Ly b
 e outro 
superior 
Ux y
. 
 
EXEMPLO 
Usando o método de decomposição LU, resolva o seguinte sistema de equações lineares. 
 
1
2
3
3 2 4 1
1 1 2 2
4 3 2 3
x
x
x
    
    
    
        
 
Solução 
1° - Para resolver este sistema devemos inicialmente verificar se a matriz dos coeficientes pode 
ser transformada em uma matriz da forma LU. Para isso devemos testar os determinantes em 
todas as suas ordens, caso alguma ordem dos determinantes der como resultado zero, a 
matriz dos coeficientes não pode ser transformada na forma LU, caso contrário conseguiremos 
transformá-la. Portanto, 
1ª ordem: 
1 3 
 2ª ordem: 
2
3 2
3 2 1
1 1
 
     
 
 
3ª ordem:    3
3 2 4
1 1 2 6 16 12 16 4 18 8
4 3 2
 
 
           
  
 
2º - Devemos usar o algoritmo da decomposição LU para transformar a matriz dos coeficientes 
em duas matrizes triangulares, uma inferior L e outra superior U. Portanto, 
Temos que m = 1,2,3 j = 1,2,3 i = 2,3 
Início 
 Quando m = 1 
 j =1 
 
11 11 110 3u a u   
 ( o termo 
11a
 é dado pela matriz dos coeficientes) 
j =2 
 
12 12 120 2u a u   
 
j =3 
 
13 13 130 4u a u   
 
i =2 
21
21 21
11
0 1
3
a
l l
u

  
 
i =3 
31
31 31
11
0 4
3
a
l l
u

  
 
11 1l 
 
Quando m = 2 
 j =2 
22 22 21 12 22 22
1 1
1 (2)
3 3
u a l u u u      
 
j =3 
23 23 21 13 23 23
1 2
2 (4)
3 3
u a l u u u      
 
i =3 
32 31 12
32 32 32
22
4
3 2
3
1
1
3
a l u
l l l
u
 
         
22 1l 
 
Quando m = n = 3 
 
33 33 31 13 32 23 33 33
4 2
2 (4) 1 8
3 3
u a l u l u u u
 
           
 
 
33 1l 
 
■ 
Conforme calculado pelo algoritmo acima, as matrizes decompostas serão: 
1 0 0
1 1 0
3
4 1 1
3
L
 
 
 
 
  
 
 
3 2 4
1 20
3 3
0 0 8
U
 
 
  
 
 
 
 
3º - Para calcular a solução do sistema devemos utilizar o algoritmo de resolução para 
sistemas triangulares inferiores. Isto é, resolver; 
1
2
3
1 0 0 1
1 1 0 2
3
34 1 1
3
y
Ly b y
y
 
    
          
       
 
 
Portanto, 
Quando i = 1 
1
1 1 1
11
1
1
1
b
y y y
l
    
 
Quando i = 2 
   2 21 1
2 2 2
22
12 1 53
1 3
b l y
y y y
l

    
 
Quando i = 3 
   
3 31 1 32 2
3 3 3
33
543 (1) (1)
3 3
0
1
b l y l y
y y y
l
  
    
 
A matriz dos termos y é, 
1
2
3
1
5
3
0
y
y
y
  
  
   
   
   
 
4º - Calculando a solução do sistema triangular superior: 
1
2
3
13 2 4
51 20
3 3 3
0 0 8 0
x
Ux y x
x
    
    
      
    
    
 
Portanto, 
Quando i = 3 
3
3 3 3
33
0
0
8
y
x x x
u
    

 
Quando i = 2 
 
2 23 3
2 2 2
22
5 0
3
5
1
3
y u x
x x x
u

    
 
Quando i = 1 
 1 12 2 13 3
1 1 1
33
1 2 5 0
3
3
y u x u x
x x x
u
  
     
 
Portanto a solução do sistema de equações lineares proposto no exemplo, utilizando o método 
de decomposição LU e a formas triangulares superior e inferior de soluções é: 
 3 5 0x  
 
■

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