Relatório Sistema de Partículas

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ
CENTRO DE ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS
CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA
RELATÓRIO I – SISTEMAS DE PARTÍCULAS
TOLEDO - PR
Abril/2015.
Gabriela Juliani Moreira
Izabeli Isidoro dos Santos
Luísa Roberto Martins
Marjhorie Thais Meneguzzo Deon
Roberta Gonçalves Benetti
CENTRO DE MASSA
Relatório apresentado à disciplina de Física Geral e Experimental II. Universidade Estadual do Oeste do Paraná - Campus de Toledo.
Professor: Dr. Fernando Rodolfo Espinoza-Quiñones
TOLEDO - PR
Abril/2015.
ÍNDICE
1. OBJETIVOS	5
2. MATERIAIS E MÉTODOS	6
4. RESULTADOS E DISCUSSÃO	8
5. CONCLUSÃO	12
6. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS	13
ANEXO	14
APÊNDICE A	15
A.1. ERRO DO MÉTODO DIRETO	15
A.2. ERRO DO MÉTODO INDIRETO	15
RESUMO
Com o intuito de determinar o centro de massa de um sistema de partículas por meio dos métodos experimental e teórico, três configurações diferentes foram montadas com o uso de um disco de acrílico coberto com papel milimetrado e três discos de bronze. 
 	No procedimento experimental, o sistema em estudo foi preso em um suporte e, com o auxílio de um prumo, o centro de massa foi determinado na intersecção de pelo menos três retas. Por outro lado, em posse das massas e das posições de cada partícula, o centro de massa teórico foi calculado em cada uma das configurações. Em ambos os métodos, se utilizou a propagação de incertezas.
Ao comparar os métodos, se observa uma conformidade entre os valores, salvo alguns casos nos quais o resultado se mostrou pouco confiável, seja pelo material utilizado ou por erros durante o procedimento. Pela análise, se verifica uma tendência do centro de massa estar próximo a partícula de maior massa, o disco acrílico. E, considerando os erros estimados, sendo o erro do método indireto menor do que o erro que do método direto, o procedimento indireto apresenta maior confiabilidade nos resultados.
1. OBJETIVOS 
Medir o centro de massa através de dois métodos: direto (experimental) e indireto (concepções teóricas). Além disso, comparar os valores obtidos em cada um dos métodos com a utilização da propagação de erros.
2. MATERIAIS E MÉTODOS
Materiais 
Uma base quadrada, com parafusos niveladores e amortecedores e uma haste cilíndrica;
Um disco de acrílico de 30 cm de diâmetro, com os 06 furos internos e outros furos menores externos;
Papel milimetrado colado na superfície do disco acrílico;
Um pino para engate do disco à parte superior do conjunto de torções;
02 discos de bronze de diâmetro de 40 mm;
02 discos de bronze de diâmetro de 30 mm;
02 discos de bronze de diâmetro de 20 mm;
03 parafusos para fixação;
Um prumo de chumbo, caneta e régua. 
2.2 Procedimentos
Primeiramente, as massas dos discos de bronze e os suportes dos mesmos, bem como a massa do disco de acrílico foram medidas. 
A superfície do disco de acrílico, revestida por papel milimetrado, continha 06 furos com rosca, dos quais em cada configuração eram escolhidas três posições aleatórias e suas distâncias foram identificadas através do papel milimetrado. 
Nas posições escolhidas, foram fixados os discos por meio de parafusos de modo que a distribuição da massa não fosse uniforme. A Figura 1 mostra o módulo experimental descrito anteriormente. 
Figura 1 – Módulo experimental.
Na periferia do disco de acrílico, há outros furos de diâmetro menor onde foi fixado o sistema com ajuda de um pino na parte superior de um conjunto. Na parte superior do conjunto, fixou-se também a corda do prumo, evitando encostar a corda com os parafusos de fixação.
A linha demarcada pelo prumo foi feita com o uso de uma caneta sobre a superfície do acrílico. Para a mesma distribuição de massa, pendurou-se o disco de acrílico em outro furo de suporte na periferia dele. 	Marcou-se a direção do prumo com a caneta. Este procedimento foi realizado no mínimo para três pontos, de modo que as linhas traçadas se cruzassem em um só ponto. 
Determinou-se a posição do cruzamento das linhas (centro de massa) de prumo com auxílio do papel milimetrado. 
Com os mesmos discos e em outras posições, o procedimento foi realizado outras duas vezes. 
3. RESULTADOS E DISCUSSÃO
3.1 Medidas de massa
Medir a massa é fundamental no cálculo do centro de massa, desta forma, a Tabela 1 apresenta os valores obtidos na pesagem de cada um dos três conjuntos de discos, bem como do disco de acrílico.
Tabela 1 – Massa dos discos
	Corpo
	Massa (g) (±0,01)
	Acrílico
	286,45
	Bronze I
	39,73
	Bronze II
	56,25
	Bronze III
	113,76
	Massa total
	496,19
O uso de balanças analíticas não isoladas ou mal calibradas pode gerar erros na medição das massas. Geralmente, o erro do instrumento é a metade de sua menor escala, no caso da balança seria 0,005g. Porém, devido a influências externas como correntes de vento e o longo tempo de uso da balança, ocorreram oscilações durante as pesagens, sendo estas de ±0,01g. 
3.2 Centro de massa do disco de acrílico
O disco de acrílico utilizado encontrava-se um pouco desgastado nas laterais e estava revestido por papel milimetrado. Devido a isso, foi necessário determinar seu centro de massa através da metodologia proposta, o qual poderia se encontrar deslocado do centro do disco. 
Realizando o procedimento, e cruzando as três linhas, foi obtida a posição do centro de massa. Como as linhas não se encontraram no centro geométrico do disco é necessário estimar o deslocamento do centro de massa, o qual estava deslocado 1,0 mm no eixo negativo de x e 2,0 mm no eixo negativo de y. A partir disso, tem-se a seguinte posição de centro de massa. 
3.3 Configuração das partículas
Para a determinação do centro de massa utilizando o método descrito anteriormente, foram montadas três configurações de distribuição dos discos diferentes, conforme mostra a Tabela 2.
Tabela 2 – Configurações das partículas
	
	Configuração I
	Configuração II
	Configuração III
	Bronze I
	-11,20 î
	-5,60 î - 9,60 ĵ
	-11,20 î
	Bronze II
	11,20 î
	5,60 î - 9,60 ĵ
	5,60 î + 9,60 ĵ
	Bronze III
	5,60 î + 9,60 ĵ
	-5,60 î + 9,60 ĵ
	-5,60 î - 9,60 ĵ
3.4 Propagação de erros pelo método direto
Para o método experimental direto, deve-se levar em consideração os seguintes erros: 
Papel milimetrado (±0,5 mm);
Linha traçada pela caneta de retroprojetor: levando em consideração que a linha traçada pela caneta é semelhante a linha de 1 mm do papel, estima-se o erro como metade desse valor. (±0,5 mm);
Linha do prumo: devido a oscilações da linha do prumo, estima-se o erro como metade da menor medida do papel milimetrado. (±1,0 mm);
Erros de paralaxe: deslocamento do objeto observado a partir de mudanças no posicionamento do operador. 
De acordo com o conceito de covariância, estima-se o erro total a partir da raiz das somas dos quadrados dos erros experimentais, cuja equação (04) e cálculos estão apresentados no Apêndice A.
Sendo assim, tem-se o erro e .
3.5 Método direto
Utilizando como referência o prumo, foram traçadas três linhas para determinação do centro de massa. Os resultados obtidos pelo método direto estão apresentados na Tabela 3, juntamente com os erros calculados. 
Tabela 3 – Posições dos centros de massa pelo método direto
	
	
	Configuração
	( ± 
	( ± 
	I
	1,90 ± 0,12
	2,20 ± 0,12
	II
	-1,10 ± 0,12
	0,20 ± 0,12
	III
	-1,49 ± 0,12
	-1,00 ± 0,12
Propagação de erros pelo método indireto
Para o método indireto, são observados os seguintes erros:
Balança analítica (± 0,01 g);
Papel milimetrado (± 0,5 mm);
Para estimar o cálculo do erro em relação ao centro de massa utilizou-se a raiz da variância, cujas equações (05) e (06), bem como os respectivos cálculos se encontram apresentados na quese encontra no Apêndice A.
O erro obtido para o método indireto foi de ± 0,03cm para x e y em todas as configurações. 
3.7 Método indireto
Segundo Nussenzveig (2002), para um sistema de N partículas, o vetor posição do centro de massa é definido pela equação (01). 
Onde é a massa total do sistema, a massa de cada partícula e a posição de cada uma delas em relação à origem. Para um plano bidimensional, calcula-se o centro de massa nas coordenadas x e y (Vide Anexo). Os valores obtidos estão apresentados na Tabela 4.
Tabela 4 – Posições dos centros de massa pelo método indireto
	
	
	Configuração
	( ± 
	( ± 
	I
	1,71 ± 0,03
	2,32 ± 0,03
	II
	-1,04 ± 0,03
	0,46 ± 0,03
	III
	-1,55 ± 0,03
	-1,11 ± 0,03
Na Tabela 5 estão apresentados os valores obtidos em cada configuração, bem como a discrepância para cada caso. 
Tabela 5 – Centro de massa de cada configuração pelo método direto e indireto e a discrepância.
	Configuração
	Centro de massa método direto (x; y)
(±0,12cm; ±0,12 cm)
	Centro de massa método indireto (x; y)
(±0,3cm; ±0,3 cm)
	Discrepância
0,15cm
	Disco de acrílico
Config. 1
	(0,10 0,20)
(1,90; 2,20)
	(0,10; 0,20)
(1,71; 2,32)
	-
(0,19; 0,12) 
	Config. 2
	(-1,10; 0,20)
	(-1,04; 0,46)
	(0,06; 0,26) 
	Config. 3
	(-1,49; -1,00)
	(-1,55; -1,11)
	(0,06; 0,11)
A partir da comparação dos valores obtidos através do método direto (experimental) e do método indireto (teórico), observa-se que na maioria dos casos existe conformidade entre os valores, o que é explicado tendo que a diferença entre os dois valores é menor que a soma dos erros estimados. No entanto, alguns valores apresentaram uma discrepância maior do que a esperada, tornando a comparação um pouco falha. 
Tal discrepância pode ser explicada pelo fato de que o centro de massa encontrava-se deslocado e em um ponto de difícil observação, o que pode ter gerado alguns erros na determinação do mesmo. Além disso, o módulo de torção utilizado encontrava-se um pouco danificado, fazendo com que as oscilações do prumo dificultassem a análise do seu alinhamento.
Os resultados obtidos para os centros de massa das configurações comprovaram que o centro de massa se desloca conforme sua tendência de se localizar mais próximo à maior concentração de massa do sistema, no caso o disco de acrílico.
	Ainda é possível perceber que o erro estimado para o método indireto é muito menor de que o estimado para o direto, mostrando que o primeiro método citado apresenta maior confiabilidade de resultados. 
4. CONCLUSÃO
	De acordo com os dados obtidos no experimento observou-se que quando comparado os dois métodos (direto e indireto), para maioria dos valores houve concordância entre a comparação, já que a discrepância nesses casos foi menor que a soma de todos os erros estimados. Já para os casos em que não houve essa concordância pode ser explicado devido aos erros associados ao experimento, como por exemplo, o centro de massa do disco de acrílico que estava deslocado, o que dificultava sua observação. Além disso, verificou-se que o centro de massa de um sistema, se desloca no sentido de maior concentração de massa.
Ao término da prática, foi possível concretizar o conhecimento e a utilidade do centro de massa em um sistema de partículas. Também foi possível perceber que os dois métodos estudados apresentam erros, mas o erro estimado para o método indireto é menor que o direto, sendo assim, este se mostra mais eficaz e confiável.
	
5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
NUSSENZVEIG, M.H.. Curso de física básica 1-mecânica. 4a edição São Paulo: Edgar Blucher Ltda, 2002.
Apostila de Física Geral Experimental II. Prof. Dr. Fernando Rodolfo Espinoza-Quiñones. 2015
ANEXO
Calculou-se as coordenadas do centro de massa teórico por meio da Equação simplificada por meio da equação (02) para o eixo x e da equação (03) para o eixo y. Os cálculos abaixo foram feitos a partir da Configuração I estudada.
De maneira análoga foram calculadas as posições dos centros de massa para as outras configurações. Os resultados estão expressos na Tabela 4.
APÊNDICE A
A.1) ERRO DO MÉTODO DIRETO
Para o cálculo do erro pelo método direto, considera-se uma função cujas variáveis são os erros citados. O valor do erro relacionado a ( é determinado pela equação (04).
Onde:
 é o erro associado ao método;
 é o erro do papel milimetrado;
é o erro da caneta;
 é o erro da linha do prumo. 
A partir dos valores apresentados para cada erro específico, foi calculado o erro associado ao método, sendo este equivalente a e .
	
A.2) ERRO DO MÉTODO INDIRETO
O cálculo do erro propagado através do método direto foi feito a partir das equações (05) e (06):
	 (05)
	 (06)
	
Onde:
: são as incertezas do papel milimetrado;
 é o erro relacionado a pesagem (balança);
M: é a massa total;
 é a massa de cada bronze e a massa do disco de acrílico.
Para a determinação do erro na direção do eixo-x para a configuração I, tem-se:
± 0,03 cm
 O procedimento do cálculo foi realizado para as posições x e y de todas as configurações, e o erro encontrado manteve-se ±0,03 cm.