COLISÃO ELÁSTICA BIDIMENSIONAL

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ
CENTRO DE ENGENHARIAS E CIÊNCIAS EXATAS
CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICA
RELATÓRIO II – COLISÃO ELÁSTICA BIDIMENSIONAL
TOLEDO - PR
Julho/2015.
Gabriela Juliani Moreira
Izabeli Isidoro dos Santos
Luísa Roberto Martins
Marjhorie Thais MeneguzzoDeon
Roberta Gonçalves Benetti
COLISÃO ELÁSTICA BIDIMENSIONAL
Relatório apresentado à disciplina de Física Geral e Experimental II. Universidade Estadual do Oeste do Paraná - Campus de Toledo.
Professor: Dr. Fernando Rodolfo Espinoza-Quiñones
TOLEDO - PR
Julho/2015.
ÍNDICE
1. INTRODUÇÃO	5
2. OBJETIVOS	8
3. MATERIAIS E MÉTODOS	8
4. RESULTADOS E DISCUSSÃO	10
5. CONCLUSÃO	16
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS	17
RESUMO
O experimento teve como objetivo relacionar o momento de inércia de um corpo rígido e seu período de oscilação, verificando através do teorema de Steiner a concordância entre o método prático e o método teórico.
Assim, para o método experimental, uma chapa com 15 furos equidistantes entre si foi pendurada com um pivô de giro, sendo tratada como pêndulo físico. A fim de obter medidas do momento de inércia em diferentes eixos, a chapa foi deslocada de um ângulo de aproximadamente ° e o tempo de dez oscilações em cada furo da chapa foi medido com auxílio de um cronômetro, repetindo o procedimento sete vezes para cada furo que se aproximava do centro de massa. E, o método teórico foi calculado pela subtração do momento de inércia da chapa menos o momento de inércia dos furos.
Com a análise dos dados e dos possíveis erros, os resultados do momento de inércia para o método prático e teórico foram determinados, sendo = 0,051 ± 0,001e Dentro da margem de erro, a concordância entre as medidas foram verificadas. Além disso, foi possível verificar a existência de distúrbios no sistema, que afetaram o resultado final.
1. INTRODUÇÃO
	
A distribuição da massa de um sistema em torno de um eixo de rotação é medida através do momento de inércia. Esse sistema envolve não apenas a massa, mas também a distribuição da mesma. O conceito do momento inercial relativo ao eixo de rotação pode ser representado pela equação (1), onde m é o valor da massa do sistema e r é a distância até o centro de massa do sistema. 
 			 	 (1)
Para analisar o momento de inércia de um corpo, pelo estudo da dinâmica rotacional, é preciso saber a interação que há entre o movimento e a massa de um corpo. Tal interação é evidente no movimento de um pêndulo. 
Nesta prática laboratorial analisamos a oscilação de uma chapa metálica comportando-se como um pêndulo que gira ao redor de um ponto zero e com uma distância denotada por do seu centro de massa. Como não possuímos nenhuma outra força atuando sobre o corpo, então temos somente a força-peso, a qual gera torque no corpo por estar atuando a certa distância do eixo fixo.
Figura 1: Corpo representativo para análise do momento de inércia.
Fonte: ESPINOZA, 2015.
Outro conceito importante que é o de momento de força ou torque, que é a medida do efeito de rotação causado por uma força. Ela é igual à grandeza da força multiplicada pela distância ao eixo de rotação, medida perpendicularmente à direção da força. Sendo assim, o torque gerado pela força peso aplicada no centro de massa é:
					(2)
A partir da decomposição de forças, obtém-se:
			(3)
Substituindo na equação (2):
		(4)
			(5)
A relação entre o torque e a aceleração angular () é dada por:
				(6)
Onde o sinal negativo diz que o torque diminui o ângulo . Igualando temos que:
				(7)
Se o valor máximo de for pequeno, é possível afirmar que a aproximação sen= é verdadeira. Assim a equação (7) se reduz a:
				(8)
Onde:
	
			(9)
Fazendo a segunda derivada da equação acima, obtém-se:
			(10)
Isolando tem-se:
				(11)
O período de uma oscilação, ou tempo de ida e volta do objeto, é dado pela equação:
 (12)
A partir disso é obtido uma forma de calcular o momento de inércia com o eixo de rotação fora do centro de massa sem precisar calcular o momento de inércia do centro de massa. O teorema de Steiner ou teorema dos eixos paralelos determina o momento de inércia de um corpo rígido com base em sua simetria e é dado pela seguinte equação:
				(13)
Para o cálculo do teorema de Steiner é necessário conhecer o momento de inércia relativo ao centro de massa do corpo. Como no módulo experimental estudado o corpo é uma chapa metálica com furos pode-se obter este momento de inércia elevando a equação do período ao quadrado e substituindo o momento de inércia nela contido pelo dado no teorema de Steiner.
				(14)
Se a chapa metálica possui comprimento L e largura D, seu momento de inércia no centro de massa é:
			(15)
Como a chapa utilizada possui 15 furos de raio e uma distância entre os furos. Calcula-se o momento de inércia dos furos em relação ao centro de massa da chapa:
	(16)
		(17)
			(18)
A relação entre as massas pode ser observada nas Equações (19) e (20).
 (19)
 (20)
Usando a propriedade aditiva, o momento de inércia de uma chapa com 15 furos equidistantes entre si, é o momento de inércia de uma chapa sólida menos o momento de inércia dos furos (Equação 21).
 (21)
2. OBJETIVOS
Obter o momento de inércia de um corpo rígido através da relação do seu momento de inércia com o seu período de oscilação, bem como, verificar o Teorema de Steiner. 
3. MATERIAIS E MÉTODOS
3.1 Material necessário
Para a realização da prática foram necessários uma chapa metálica de comprimento total de 80 cm e largura de 5 cm, com furos de raio de 2 cm e distantes 5 cm entre si. Além disso, foi utilizado um suporte cilíndrico para oscilações livre da chapa metálica, um conjunto composto de base quadrada com pinos niveladores, haste cilíndrica e suporte horizontal do eixo do pêndulo físico. E, ainda, um transferidor, uma régua metálica e um cronômetro digital para leitura dos tempos de oscilação.
3.2 Procedimento experimental
Inicialmente, a massa, o comprimento a largura e a espessura da chapa foram medidos. Fixou-se a chapa no suporte metálico no primeiro furo e determinou-se um ângulo em relação à corda do prumo. Após isso, a chapa foi afastada da posição vertical no ângulo determinado, disparando-se o cronômetro até a realização completa de 10 oscilações. O tempo foi anotado e o mesmo procedimento foi repetido nove vezes. A chapa foi desprendida e fixada no segundo furo realizando nove repetições para 10 oscilações completas. Seguiu-se o mesmo procedimento até o sétimo furo.
4. RESULTADOS E DISCUSSÃO
As dimensões, o raio, a distância de cada furo do centro de massa da chapa, bem como sua massa foram determinados e estão dispostos na Tabela 1. Devido a chapa ser simétrica, considera-se uma distribuição uniforme de densidade e o centro de massa da chapa como sendo a intersecção dos eixos de simetria da mesma.
Ao adotar um ângulo de abertura em relação à corda do prumo menor que 5º, a aproximação pode ser usada, assim, o ângulo utilizado foi de 3,65º. Desta forma:
	
Truncando o valor de na terceira casa decimal, faz-se valer a igualdade. De maneira análoga, a aproximação foi adotada pra os outros valores calculados.
Tabela 1 – Dimensões e massa da chapa metálica utilizada
	
	Valor
	Massa da chapa com os furos (g)
	859,9 ± 0,05
	Largura da chapa (cm)
	5,0 ± 0,05
	Comprimento da chapa (cm)
	80,0 ± 0,05
	Espessura (cm)
	0,3 ± 0,05
	Raio do furo (cm)
	2,0 ± 0,05
	Distância entre os furos (cm)
	5,0 ± 0,05
Após a realização do procedimento experimental, no qual obteve-se o tempo de 10 oscilações do pêndulo físico em diferentes posições de giro da placa metálica,variando a distância do centro de massa da placa, foram coletados dados que estão dispostos na Tabela 2.
Tabela 2 – Dados experimentais do pêndulo após 10 oscilações em diferentes posições de giro
	Posição
	Distância
	Repetições experimentais do movimento oscilatório
	
	
	
	Tempo de 10 oscilações (s)
	Média
	
	r(m)
	T1
	T2
	T3
	T4
	T5
	T6
	T7
	T8
	T9
	
	1
	0,35±0,002
	14,44
	14,45
	14,36
	14,31
	14,47
	14,26
	14,25
	14,53
	14,34
	14,38±0,09
	2
	0,30±0,002
	13,98
	14,09
	13,95
	14,11
	13,90
	13,91
	13,93
	13,88
	14,15
	13,99±0,10
	3
	0,25±0,002
	13,71
	13,79
	13,74
	13,79
	13,78
	13,69
	13,82
	13,56
	13,73
	13,73±0,08
	4
	0,20±0,002
	13,93
	13,73
	13,81
	14,00
	13,73
	13,82
	13,96
	13,69
	13,76
	13,83±0,11
	5
	0,15±0,002
	14,35
	14,54
	14,40
	14,35
	14,47
	14,19
	14,54
	14,45
	14,46
	14,42±0,10
	6
	0,10±0,002
	15,87
	16,09
	15,82
	15,99
	15,92
	15,85
	15,59
	16,01
	15,81
	15,88±0,14
	7
	0,05±0,002
	21,16
	21,10
	21,18
	21,14
	21,16
	20,89
	20,83
	20,99
	20,88
	21,04±0,14
Com os dados da Tabela 2, calculou-se o período médio, o período médio ao quadrado e desvio padrão de cada medida, apresentados na Tabela 3.
Tabela 3 – Resultados dos períodos do pêndulo físico para cada posição de oscilação.
	Posição
	Distância eixo-CM (m)
	Período médio ± DP (s)
	Quadrado do período ± DP (s2)
	1
	0,350±0,002
	1,438±0,009
	2,068±0,027
	2
	0,300±0,002
	1,399±0,010
	1,957±0,027
	3
	0,250±0,002
	1,373±0,008
	1,885±0,020
	4
	0,200±0,002
	1,383±0,011
	1,913±0,029
	5
	0,150±0,002
	1,442±0,010
	2,079±0,030
	6
	0,100±0,002
	1,588±0,014
	2,522±0,043
	7
	0,050±0,002
	2,104±0,014
	4,427±0,055
Com os dados do período médio ao quadrado e da distância entre o centro de massa e o eixo de rotação, plotou-se um gráfico, apresentado na Figura 2.
Figura 2: Período médio ao quadrado em função da distância eixo-centro de massa.
A partir da análise da figura 2, percebe-se que o período aumenta conforme o eixo de rotação se aproxima do centro de massa do pêndulo. Além disso, quanto mais o centro de massa e a distância entre o eixo se aproximam de zero, o período tende ao infinito. O limite do período quando a distância tende a zero expressa que,o eixo de rotação ao passar pelo centro de massa do pêndulo, resulta em oscilações com período indeterminado. O limite, neste caso, pode ser expresso da seguinte maneira:
Ajustando a curva do gráfico, obtém se a seguinte equação . A curva esta representada na Figura 3.
Figura 3: Curva ajustada ao gráfico do período médio ao quadrado pela distância do eixo de rotação ao centro de massa.
A relação entre o período e o momento de inércia no centro de massa, elevando ao quadrado a equação do período (Equação 12) e substituindo o momento de inércia dado pelo teorema de Steiner (Equação 13), encontra-se a equação (22) e as subsequentes (22.a) e (22.b), que representa a tendência dos pontos experimentais.
		 		 	 (22)
		 			(22.a)
					(22.b)
A partir da equação (22) e do ajuste não linear, os parâmetros a e b foram determinados.
Sabendo os valores dos parâmetros a e b, e aplicando eles nas equações (22.a) e (22.b), obtém-se os valores para a gravidade e para o momento de inércia da chapa. A partir de a, tem-se g = e com o valor de b bem como com a respectiva massa da chapa metálica (859,9 g) e a gravidade calculada anteriormente, encontrou-se 
Outra forma de encontrar os parâmetros a e b é pela linearização da equação do quadrado do período, multiplicando essa equação pela distância do eixo de rotação ao centro de massa (r). Agora, a tendência dos pontos experimentais é seguir a função linear (23).
 (23)
Manipulando as equações (22), (22.a) e (22.b) e multiplicando-se os dois lados da equação por r, obtém-se a equação (24).
(24)
Plotou-se outro gráfico (Figura 4), do quadrado do período (T2) vezes a distância do eixo de rotação ao centro de massa (r2) em função a distância do eixo de rotação. Os dados para plotagem do gráfico estão na Tabela 4.
Tabela 4 – Dados para plotagem do gráfico.
	Posição
	Quadrado do período x distância eixo-CM T2r (s2m)
	Distância eixo-CM r2(m2)
	1
	0,724
	0,122
	2
	0,587
	0,090
	3
	0,471
	0,062
	4
	0,383
	0,040
	5
	0,312
	0,022
	6
	0,252
	0,010
	7
	0,221
	0,003
Figura 4: Produto do período médio quadrado com a distância eixo-CM em função do quadrado da distância eixo-CM.
Ajustando-se a curva, obtém-se uma equação de primeiro grau, o que indica um comportamento linear da curva. A equação obtida com seus respectivos desvios é a seguinte:
y= (4,186±0,040)x + (0,213±0,003)
Como y = T²r e x = r², pode-se estimar os valores de a e b relacionados com as equações (22.a) e (22.b) apresentadas anteriormente. Desta forma,
Da maneira análoga feita ao ajuste não linear da curva, encontrou-se valores para a gravidade e para o momento de inércia, sendo estes:
Analisando os valores encontrados em cada um dos ajustes, percebe-se que estes são bem próximos, acarretando apenas um pequeno desvio nos valores da gravidade e do momento de inércia. A fim de realizar a comparação com os valores esperados, utilizaram-se os dados do primeiro ajuste, uma vez que este exigiu menos transformações, sendo, portanto, mais preciso. 
De acordo com a literatura (Wolfram-Alpha, 2014) a aceleração da gravidade em Toledo-PR é de 9,786 m/s2. A partir deste dado, é possível observar que a gravidade não está dentro da incerteza, o que pode ser explicado pelo tempo de resposta do operador ao utilizar o cronômetro, estimado de 0,4 s, acrescentando um erro de 2,8% a cada medida. Como o valor da gravidade se distancia 0,398 do valor esperado, encontra-se um erro percentual de 4,1%. A proximidade dos valores de erro calculados mostra a propagação do erro do operador no erro da gravidade. Desta forma, ao subtrair o erro do operador das medidas, aaceleração da gravidade se aproximaria mais da aceleração da gravidade esperada.
Sabendo que o raio é 0,02m, a distância entre os furos, a largura e a espessura são iguais a 0,05m e o comprimento da chapa é de 0,80m, obteve-se um igual a 0,051 ± 0,001, a partir da equação (21). A análise dos valores obtidos para momento de inércia, teórico e experimental, aponta que, dentro das incertezas, os valores coincidem. Assim, pode-se inferir que há uma boa concordância entre os dois métodos, teórico e experimental.
Após o estudo dos resultados obtidos, é possível observar que existiram fatores que afetaram os valores experimentais, refletindo na diferença entre o experimental e teórico. Como a chapa metálica não estava totalmente fixa ao suporte, o movimento gerado tornou-se composto, oscilando em mais de um plano. Como já citado, o operador, ao acionar e parar o cronômetro causa um erro devido ao tempo de resposta e, além disso, ao soltar a barra, o ajuste do ângulo de abertura não apresentava muita exatidão. 
O fato de não considerar o pivô de giro nos cálculos também pode afetar os resultados, uma vez que este também realizava movimento oscilatório. Mesmo que a distância do pivô em relação ao eixo, o descarte dessa medida pode afetar o momento de inércia do sistema como um todo, uma vez que o momento de inércia é dependente da distância quadrática. 
5. CONCLUSÃO
Os resultados dos momentos de inércia pelo método experimental e teórico, ao serem comparados, mostraram proximidade dentro do intervalo de erro estabelecido. Assim,o objetivo do experimento foi atingido, relacionando o período de oscilação de um pêndulo físico com o seu momento de inércia.
Anexo
Equação do erro relacionado a gravidade:
Equação do erro do período médio:
Equação do erro do momento de inércia experimental:
Equação do erro do momento de inércia teórico:
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
HALLIDAY, D.; RESNICK, R. WALKER, J. Fundamentos da Física– volume 1. 9ª edição. Editora John Wiley & Sons, Inc, 2011.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R. Fundamentos da Física – volume 1. 4ª edição. Editora LTC, 1983, RJ.
NUSSENZVEIG, M.H.. Curso de física básica 1-mecânica. 4a edição São Paulo: Edgar BlucherLtda, 2002.
Apostila de Física Geral Experimental II. Prof. Dr. Fernando Rodolfo Espinoza-Quiñones. 2015