TABELA DERIVADAS E INTEGRAIS CIII

Prévia do material em texto

CÁCULO III - IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 
€ 
sen2a + cos2 a = 1
tg x = sen xcos x
cotg x = cos xsen x
sec x = 1cos x
 
€ 
cosec x = 1sen x
sen2a + cos2 a = 1
1 + tg2x = sec2x
1 + cotg2x = cosec2x
 
€ 
sen2x = 1/2(1- cos 2x)
cos2x = 1/2(1 + cos 2x)
sen 2x = 2sen x cos x
cos 2x = 1− 2sen2x = 2 cos2 x −1
cos 2x = cos2 a − sen2a
 
 
€ 
sen x cos y = 1/2[sen(x − y) + sen(x + y)]
sen x sen y = 1/2[cos(x − y) − cos(x + y)]
cos x cos y = 1/2[cos(x − y) + cos(x + y)]
sen(x ± y) = sen(x) cos(y) ± cos(x)sen(y)
cos(x ± y) = cos(x) cos(y)  sen(x) sen(y)
tg(x ± y) = tg(x) ± tg(y)1 tg(x).tg(y)
 
FUNÇÕES HIPERBÓLICAS 
€ 
senh x = e
x − e−x
2 cosh x =
ex + e−x
2 tgh x =
ex − e−x
ex + e−x
 cotgh x = e
x + e−x
ex − e−x
 sech x = 2
ex + e−x
 cosech x = 2
ex − e−x
 
TABELA DE DERIVADAS. 
1. 
€ 
y = c⇒ y'= 0 2. 
€ 
y = sen u⇒ y'= cos u.u' 3. 
€ 
y = senh u⇒ y'= cosh u.u' 
4. 
€ 
y = ax⇒ y' = a 5. 
€ 
y = cos u⇒ y'= −sen u.u' 6. 
€ 
y = cosh u⇒ y'= senh u.u' 
7. 
€ 
y = c.u⇒ y' = c.u' 8. 
€ 
y = tg u⇒ y'= sec2 u.u' 9. 
€ 
y = tgh u⇒ y'= sech2u.u' 
10. 
€ 
y = u + v⇒ y' = u' +v' 11. 
€ 
y = cotg u⇒ y'= −cosec2u.u' 12. 
€ 
y = cotgh u⇒ y'= −cosech2u.u' 
13. 
€ 
y = u.v⇒ y'= (u.v' ) + (v.u' ) 14. 
€ 
y = secu⇒ y'= sec u.tg u.u' 15. 
€ 
y = sech u⇒ y'= −(sech u).(tgh u.u' ) 
16. 
€ 
y = uv ⇒ y'=
v.u'( ) − u.v'( )
v 2 
17. 
€ 
y = cosec u⇒ y'= −cosec u.cotg u.u' 18. 
€ 
y = cosech u⇒ y'= −cosech u.cotgh u.u' 
19. 
€ 
y = un , (n ≠ 0)⇒ y'= n.(un−1).u' 20. 
€ 
y = arc sen u⇒ y'= u'
1− u 2
 21. 
€ 
y = arg senh u⇒ y'= u'
u 2 +1
 
22. 
€ 
y = au , a ≥ 0,a ≠ 1( )⇒ y'= au . lna.u' 23. 
€ 
y = arc cos u⇒ y'= −u'
1− u 2
 24. 
€ 
y = arg cosh u⇒ y'= u'
u2 −1
,u > 1 
25. 
€ 
y = eu ⇒ y' = eu .u' 26. 
€ 
y = arc tg u⇒ y'= u'
1+ u 2( )
 27. 
€ 
y = arg tgh u⇒ y'= u'1− u2 , u < 1
 
28. 
€ 
y = loga u⇒ y'=
u'
u loga e 
29. 
€ 
y = arc cotg u⇒ y'= −u'
1+ u 2( )
 30. 
€ 
y = arg cotgh u⇒ y'= u'1− u 2 , u > 1 
31. 
€ 
y = lnu⇒ y'= u'u 
32. 
€ 
y = arc sec u, u ≥ 1⇒ y'= u'
u u2 −1
 33. 
€ 
y = arg sech u⇒ y'= −u'
u 1− u2
 
34. 
€ 
y = uv ⇒ y'= (v.uv−1.u' ) + (uv . lnu.v' ) 35. 
€ 
y = arc cosec u, u ≥ 1⇒ y'= −u'
u u2 −1
 36. 
€ 
y = arg cosech u⇒ y'= −u'
u 1+ u2
 
INTEGRAIS 
1. 
€ 
du∫ = u +C 2. 
€ 
adu∫ = au +C 3. 
€ 
undu∫ = u
n+1
n +1 +C, n ≠ -1 
4. 
€ 
du
u∫ = ln | u | +C 5. 
€ 
audu∫ = a
u
lna +C, a > 0 e a ≠ 1 
6. 
€ 
eudu = eu +C∫ 
7. 
€ 
cu du∫ = c u du∫ 8. 
€ 
sen u du = − cos u +C∫ 9. 
€ 
cos u du = sen u +C∫ 
10. 
€ 
tg u du = lnsec u +C∫ 11. 
€ 
cotg u du = ln sen u +C∫ 12. 
€ 
secu du = lnsecu + tg u +C∫ 
13. 
€ 
cosec u du = ln cosec u − cotg u +C∫ 14. 
€ 
sec u tg u du = sec u +C∫ 15. 
€ 
cosec u cotg u du = −cosec u +C∫ 
16. 
€ 
sec2 u du = tg u +C∫ 17. 
€ 
cosec2u du = −cotg u +C∫ 18. 
€ 
du
u2 + a2∫ =
1
a arc tg
u
a +C 
19. 
€ 
du
a2 − u2∫ =
1
2a ln
u + a
u − a +C, u
2 > a2 20. 
€ 
du
u2 ± a2
∫ = lnu + u2 ± a2 +C 21. 
€ 
du
u a2 ± u2
∫ = − 1a ln
a + a2 ± u2
u +C 
22. 
€ 
du
a2 − u2
∫ = arc sen ua +C, u
2 < a2 23. 
€ 
du
u u2 − a2
∫ = 1a arc sec
u
a +C 24. 
€ 
senh u du = cosh u +C∫ 
25. 
€ 
coshu du = senh u +C∫ 26. 
€ 
sech2u du = tgh u +C∫ 27. 
€ 
cosech2u du = −cotgh u +C∫ 
28. 
€ 
sech u tgh u du = −sech u +C∫ 29. 
€ 
cosech u cotgh u du = −cosech u +C∫ 
 
INTEGRAÇÃO POR PARTES: 
€ 
udv = uv − vdu∫∫ 
 
Fórmulas de Recorrências 
1. 
€ 
sennu du∫ = − 1n sen
n−1u cos u + n -1n sen
n−2u du∫ 
 
2. 
€ 
cosnu du∫ = 1n cos
n−1u sen u + n -1n cos
n−2u du∫ 
3. 
€ 
tgnu du∫ = 1n −1 tg
n−1u − tgn−2u du∫ 
4. 
€ 
cotgnu du∫ = − 1n −1 cotg
n−1u − cotgn−2u du∫ 
5. 
€ 
secnu du∫ = 1n −1 sec
n−2u tg u + n - 2n -1 sec
n−2u du∫ 
6. 
€ 
cosecnu du∫ = − 1n −1 cosec
n−2u cotg u + n - 2n -1 cosec
n−2u du∫ 
7. 
€ 
du
(u2 + a2)n∫ =
u(u2 + a2)1−n
2a2 (n −1) +
2n − 3
2a2 (n −1)
du
(u2 + a2)n−1∫ , n > 1 
 
SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA 
€ 
a2 − u2 = a cosθ
u = asen θ
du = a cos θdθ
 
€ 
u2 + a2 = a secθ
u = atg θ
du = a sec2θ dθ
 
€ 
u2 − a2 = a(tg θ )
u = asec θ
du = a(sec θ )(tg θ)dθ
 
Diferencial 
€ 
dz = ∂f
∂x (x, y).dx +
∂f
∂y (x, y).dy 
Volume do cone: 
€ 
V = 13 .πr
2.h 
Vetor Gradiente: 
€ 
∇f (x0, y0) =
∂f
∂x (x0, y0),
∂f
∂y (x0, y0)
$ 
% 
& 
' 
( 
) 
€ 
H (x, y) =
∂ 2 f
∂x 2
(x, y) ∂
2 f
∂y∂x (x, y)
∂ 2 f
∂x∂y (x, y)
∂ 2 f
∂y 2
(x, y)
 
€ 
a)H (x0, y0) > 0 e 
∂ 2 f
∂x 2
(x0, y0) > 0, então (x0, y0) é um ponto de mínimo local
b)H (x0, y0) > 0 e 
∂ 2 f
∂x 2
(x0, y0) < 0, então (x0, y0) é um ponto de máximo local
c)H (x0, y0) < 0, então (x0, y0) não é um extremante local, mas ponto de sela.
d)H (x0, y0) = 0, então nada se pode afirmar
 
Coordenadas polares 
€ 
x = r cosθ
y = r sen θ
r 2 = x 2 + y 2
 
Plano Tangente: 
€ 
z = ∂f
∂x (x0, y0)(x − x0) +
∂f
∂y (x0, y0)(y − y0) + z0 
Derivação Implícita: 
€ 
∂z
∂x = −
Fx
Fz
 ∂z
∂y = −
Fy
Fz
 
 
LIMITES FUNDAMENTAIS 
€ 
lim
x→ 0
sen x
x = 1 limx→ 0
ax −1
x = lna limx→±∞ 1+
1
x
% 
& 
' 
( 
) 
* 
x
= e lim
x→ 0
1+ x( )
1
x = e