AULA 03

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Capítulo 3 
 
CINEMÁTICA DOS FLUIDOS 
 
Neste capítulo pretende-se, implicitamente, estabelecer a visão euleriana do estudo dos fluidos 
em movimento. É interessante lembrar que o estudante, acostumado com a visão lagrangeana 
estabelecida pela Mecânica Geral e pela Física, tem muita dificuldade para entender o fluido 
como um contínuo e observar as suas propriedades em diversos pontos no mesmo instante. 
Insiste-se na idéia do regime permanente, já que a eliminação da variável tempo simplifica o 
estudo e a solução dos problemas e, de certa forma, resolve a maioria dos problemas práticos. 
Procura-se fixar as idéias de campos de propriedades e de diagramas de velocidades, típicas 
do estudo de fluidos. Evita-se propositadamente a denominação “volume de controle”, porém 
seu conceito está utilizado implicitamente quando se trata de tubo de corrente. O 
aprofundamento do estudo será feito no Capítulo 10, quando o leitor já tiver uma melhor 
compreensão do assunto, com as limitações impostas nos primeiros capítulos. 
 
Exercício 3.1 
 
∫
=
A
m vdAA
1
v
 
Mostrar claramente a facilidade de se utiliza uma coordenada polar quando se trabalha com 
seções circulares. Mostrar que a área elementar é calculada por 2πrdr. 
( )
máxm
44
4
máx
m
R
0
422
4
máxR
0
32
4
máx
m
R
0 2
22
2
máx
m
2R
0 máx2m
v5,0v
4
R
2
R
R
v2
v
4
r
2
rR
R
v2
drrrR
R
v2
v
rdr
R
rR
R
v2
v
rdr2
R
r1v
R
1
v
=








−=








−=−=








−
=
π














−
π
=
∫
∫
∫
 
 
Exercício 3.3 
 
s/m10
15,010
510
A
gQ
v
s/m20
15,05
510
A
gQ
A
Q
v
BB
m
m
AA
m
AA
m
m
B
A
=
××
×
=
γ
=
=
××
×
=
γ
=
ρ
=
 
 
 
 
 
Exercício 3.5 
 
s
m2
105
10
A
Q
v
s
N10110gQgQQQ
s
kg110000.1QQ
s
L1
s
m1010101AvQ
4
3
2
2
mG
3
m
3
34
11
=
×
==
=×==ρ=γ=
=×=ρ=
==××==
−
−
−
−−
 
 
Exercício 3.7 
 
Supondo o regime permanente, já que o enunciado não dá nenhuma indicação de variação 
com o tempo, pode-se utilizar a Equação da Continuidade correspondente. 
3
2211
3
332211
Q
QQ
QQQ
ρ+ρ
=ρ
ρ=ρ+ρ
 
Sendo os fluidos incompressíveis e o reservatório rígido, pode-se utilizar também a equação 
para fluido incompressível. 
s/m10
1030
1030
A
Q
v
m/kg933
30
1080020000.1
QQQ
4
3
3
3
3
3
3
213
=
×
×
==
=
×+×
=ρ
+=
−
−
 
 
Exercício 3.9 
 
s
m14,4
1
25,34
D
Q4
v
s
m25,3
500
10
100
5
t
V
t
VQ
22
333
2
2
1
1
=
×π
×
=
π
=
=+=+=
 
 
Exercício 3.11 
 
Seja: Qe = vazão de entrada 
 QF = vazão filtrada 
 QNF = vazão não filtrada 
∫
=
+=
ANF
NFFe
vdAQ
QQQ
 
Por semelhança de triângulos: 






−
=→
−
=
R
rR
vv
rR
v
R
v
máx
máx
 
 
 
( )
( )
s
L8,82,110QQQ
s
L2,1
s
m102,1
3
1014,63,0Q
cm14,620tg105,2R
3
Rv
3
R
2
R
R
v2
3
r
2
Rr
R
v2Q
drrRr
R
v2
rdr2
R
rR
vQ
NFeF
3
3
22
NF
o
2
máx
33
máx
R
0
32
máx
NF
R
0
2máxR
0 máxNF
=−=−=
=×=
×××π
=
=×+=
π
=








−
π
=








−
π
=
−
π
=π






−
=
−
−
∫∫
 
Aproveitar este exercício para mostrar que a vazão coincide geometricamente com o volume 
do diagrama de velocidades. No caso do diagrama cônico, o volume do cone é: 
3
vR
3
alturaBase máx2 ×π
=
×
 
 
Exercício 3.13 
 
( )
( )
( )
m097,0
10810
611,04
Re
Q4
D
D
D
Q4
Re
D
Q4
v
Dv
Re
s/m611,0
089,1
665,0QQ
s/kg665,073,44,5QQQ
s
m021,5
942,0
73,4QQs/kg73,4
4
8,010942,0
4
D
vQ
s/m10
8,0
10108
D
Re
v
DvRe
s/kg4,55,4201,1QQ
m
kg201,1
27317287
10100
RT
p
m
kg942,0
27397287
10100
RT
p
m
kg089,1
27347287
10100
RT
p
s
m5,4
3600
1
h
m16200Q
551
1
1
1
2
1
12
1
1
1
11
1
3
1
m
1
mmm
3
2
m
2
22
2
22m
55
2
2
2
22
2
00m
3
3
0
0
0
3
3
2
2
2
3
3
1
1
1
33
0
1
1
201
2
2
0
=
×××π
×
=
νπ
=
νπ
=→
π
=→
ν
=
==
ρ
=
=−=−=
==
ρ
=→=
×π
××=
π
ρ=
=
××
=
ν
=→
ν
=
=×=ρ=
=
+×
×
==ρ
=
+×
×
==ρ
=
+×
×
==ρ
=×=
−
−
 
 
Exercício 3.15 
 
2
2
4
2
cm5,1r
3
0G
1der0
der
der2431
3
22
m3
3
2m2
322
4m4
322
1m1
máx
m
4
4m
4
m
4
1m
1
m
m
N7,66
015,0
101,0
m
s.N1,0000.110v)g
s/m12,5
5,2
5,118v)f
s/N199109,1910000.1gQQ
s
L9,199,188,38QQQ)e
forapara
s
L8,3838,71,159,18Q
QQQQQ
s
L1,15s/m0151,0
4
08,03
4
D
vQ
s
L3s/m003,002,003,05AvQ)d
s
L8,7s/m0078,0025,04RvQ
s
L9,18s/m0189,0035,09,4RvQ)c
s/m5
2
10
2
v
v)b
2000
10
025,024DvRe
s
m4
2
8
v
3430
10
035,029,4DvRe
s
m9,46
60
49
v)a
3
3
2
4
1
2
2
4
4
1
1
=×=τ
=×=νρ=µ
ε
µ=τ
=














−=
=×××=ρ=
=−=−=
=−++=
+=++
==
×π
×=
π
=
==××==
==×π×=π=
==×π×=π=
===
=
××
=
ν
=
==
=
××
=
ν
=
=×=
−
=
−
−
−
 
 
Exercício 3.17 
 
s/m730
2,05,0
13,02002,1
A
QAv
v
AvQAvQQQ
22
m111
2
222m111mmm
3
3231
=
×
+××
=
ρ
+ρ
=
ρ=+ρ→=+
 
 
 
 
 
Exercício 3.19 
 
s/L57,1s/m1057,1102,05,2DvQ
s/m5,2
2
5
2
v
v
s/m5
22,01052
4
2,0000.5052010
DL2
4
pD520
v
4
pD520DLv2520DLv2
4
Dp
520DL
2/
v
4
Dp
333
m
máx
m
3
2
3
2
máx
2
máxmáx
2
máx
2
=×=××π×=επ=
===
=
××××







 ×
−
=
µ








−ε
=
−=
ε
µ
→=
ε
µ
+
π=π
ε
µ+π
−−
−
−
 
 
Exercício 3.21 
 
72229aa
12223vv)c
yx9x3.xy3
y
v
va
t
v
z
v
v
y
v
v
x
v
va
0
t
v
z
v
v
y
v
v
x
v
va)b
.Permanente)a
2
y
y
2y
yy
yy
z
y
y
y
xy
xx
z
x
y
x
xx
=××==
=××==
==
∂
∂
=
∂
∂
+








∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
=
∂
∂
+








∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
 
 
Exercício 3.23 
 
( )
( )
( )
4,5432a
4
t
v
a
3
t
v
a
2
t
v
a
2,161296v
12214v
9213v
6212v
222
z
z
y
y
x
x
222
z
y
x
=++=
=
∂
∂
=
=
∂
∂
=
=
∂
∂
=
=++=
=+×=
=+×=
=+×=