Estudos de Limites e Derivadas

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1
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DOS LIMITES
 NOÇÃO: de + ∞ : Uma variável x quando puder assumir valores maiores do que 
qualquer número real positivo (R+), tão grande quanto se possa imaginar, dizemos que ela tende 
para + ∞, ou seja, x + ∞.
Ex.:
a) No conjunto dos R, a variável tende para + ∞
b) No conjunto dos Z, a variável tende para + ∞ 
c) No conjunto dos N, a variável tende para + ∞
• Um conjunto numérico em que a variável não tende para + ∞
CONTRA - EXEMPLO: No conjunto Z - a variável x não tende para + ∞
NOÇÃO DE - ∞ : Uma variável x, tende para -∞ (x -∞) quando for possível atribuir-
lhe valores negativos, porém em valor absoluto tão grande quanto pudermos imaginar. 
Ex∴(x -∞)
a) No conjunto dos R, a variável, tende para -∞
b) No conjunto dos Z, a variável, tende para -∞
c) No conjunto dos N, a variável, não tende para -∞
1- DADA A FUNÇÃO: f(x) = x + 1. Verificar o 
comportamento de f(x) quando x tende para 1.
2- Seja f(x) = x³ verificar o comportamento de f(x) quando 
x tende para 2. Ou seja lim f(x) = x³.
 x→2
 x+2
3- Consideremos o gráfico da função f: R→R, definida por f(x) = x+2. Calcule lim 
 x → 3
4) Seja a função f: R→R, dada pela lei f(x) = 2x²-3x+5. Calcule os limites.
 f(x) f(x) f(x) f(x)
a) lim b) lim c) lim d) lim 
 x→0 x→-1 x →-∞ x→ +∞
5) Seja a função f: R →R, dada pela lei f(x) = -3x+1. Calcule os limites.
 f(x) f(x) f(x) f(x)
a) lim b) lim c)lim d) lim 
2
X
0,1
0,01
0,001
0,0001
0,00001
0,000001
0,0000001
x ___ 
Y
1,9
1,99
1,999
1,9999
1,99999
1,999999
1,9999999
y ___ 
 x→-1 x→1 x→-∞ x→+∞
REGRAS PARA O CÁLCULO DE LIMITES
LIMITE DE UMA CONSTANTE para qualquer tendência da variável é a própria constante.
 a 5 3 1/5 10
a) lim = a b) lim = ____ c) lim =_____ d) lim = _____ e) lim = ____
 x→k x→∞ x→2 x→-4 x→5
LIMITE DE UMA SOMA ALGÉBRICA RACIONAL (inteira ou fracionária)
a) quando x→a ( a é um valor numérico qualquer). O limite é o valor encontrado quando 
substituímos x pelo valor de a.
 3x² +2x-7 x² 
x²-x (3x + 5) x²+a (103√x²+ 2 ) x²-6x+1
1) lim 2) lim 3) lim 4) lim 5) lim 
 x→-1 x→2 x→-1 x→5 x→3
 
3x²+2x-7
 x²-x
6) lim 
x→2
 2x + 4
b) quando x→±∞. lim =
• Considera-se o limite do termo de maior expoente. x → ∞
• Se a função for fracionária, considera-se o limite do termo de maior grau (expoente maior do 
termo do numerador e do denominador.
Obs.: Se possível, simplifica-se primeiro.
3x³+2x-7 3x 5 +6x³-x x-3
 x²-6x+1 x² - 4 4 –2x5 2x³-3x+1
a) lim b) lim c) lim d)lim 
 x→+∞ x→-∞ x→-∞ x→+∞
EXERCÍCIOS: CALCULAR
x²-7
x+1
 1+x
x³-7
1+x²
1-2x²
 x³ 
1+x
01. lim 02. lim 03. lim 04. lim
x→-∞ x→+∞ x→-∞ x→+∞
6-x²
4+x³
 6+x²
7x²-1
x²-5x+10
 x²-25
 x-3
x²+7
3
05. lim 06. lim 07. lim 08. lim 
x→-∞ x→-∞ x→-∞ x→+∞
6-x
1+2x
x²-9
x-3
(x+1)²
 x²+1 (-3x5+7x4+5x²-6)
09. lim 10. lim 11. lim 12. lim
x→∞ x→3 x→∞ x→0
³√x²-x+2
 x³-4
x²-2x-3 (-x²+3x4+3)
 3x4-5x+2
3x³+3x²-x
13. lim 14. lim 15. lim 16. lim
x→-1 x→-1 x→+∞ x→+∞
 2x³-5x²+x
5x5+3x³+2x²
 3
x³-x²+6x-2
-3x²+5x-1
2x³-3x²+x
4x²-7x+36
3x²+5x-2
17. lim 18. lim 19. lim 20. lim
x→+∞ x→+∞ x→-∞ x→+∞
1-x
x+3 (3x) (2x-1) (2x²-x-8)
21. lim 22. lim 23. lim 24. lim
x→-∞ x→-2 x→7 x→1
√x+18 +√47-x 5√x+31 - ³√5x+22 [(2x+1)³] [(x²-x+2)5]
25. lim 26. lim 27. lim 28. lim
x→-2 x→1 x→2 x→-1
GABARITO
1) -∞
2) 0
3) –1/2
4) +∞
5) 0
6) 1/7
7) 1
8) 0
9) –1/2
10) 6
11) 1
12) –6
13) ³√4
14) –∞
15) +∞
16) +∞
17) 0
18) 0
19) 0
20) 4/3
21) –1
22) 1/9
23) 64
24) 1/256 
25) 11
26) –1
27) 125
28) 1024
LIMITES COM IDETERMINAÇÕES
Ao calcularmos o limite de uma função podemos recair em uma forma indeterminada. 
As indeterminações mais freqüentes são:
0/0 , ∞/∞ , ∞-∞ , ...
4
Quando isso acontece devemos tentar levantar as indeterminações, isto é, através de 
algum artifício de cálculo obter para o limite um valor não indeterminado.
OPERAÇÕES (na idéia de limite) ENVOLVENDO 0 e +∞
1) ADIÇÃO: 
∞ + ∞ = ∞
∞ + n = ∞
∞ + 0 = ∞
0 + 0 = 0
n + 0 = n
2) SUBTRAÇÃO:
∞ - ∞ = ? INDET.
∞ - n = ∞
n - ∞ = -∞
∞ - 0 = ∞
0 - ∞ = -∞
0 - 0 = 0
3) PRODUTO:
∞ . ∞ = ∞
n . ∞ = ∞
∞ . 0 = INDET.?
N . 0 = 0
Quando temos 
IDETERMINAÇÃO 
nada pode-se afirmar. É 
absurdo.
4) QUOCIENTE:
∞ / ∞ = ? INDET.
∞ / n = ∞
n / ∞ = 0
0 / 0 = ? INDET.
0 / n = 0
n / 0 = ∞
5) POTENCIAÇÃO 
∞
n = ∞
n∞ = ∞
∞
0 = ? IND.
0∞ = 0
00 = ? IND.
1∞ = ? IND. 
• SUGESTÃO: REVISAR OPERAÇÕES PRÉ-REQUISITO 
Calcular os limites: 
3x²-6x+7
 x² - 4
 x-5
x²-25
 x-5
x²-25
x²-3x+2
 x²-4
01. lim 02. lim 03. lim 04. lim
x→2 x→5 x→5 x→2
x²+4x+4
 x+2
x³-8x²+16x
 x²-8x+16
 x²-3x
x²-6x+9
x³-1
 x-1
05. lim 06. lim 07. lim 08. Lim
x→-2 x→4 x→-3 x→1
8x³-1
 2x-1 (2x-1)6 x4+2x³-x² x³-2x²-5x +1
09. lim 10. lim 11. lim 12. lim
x→1/2 x→-1 x→-1 x→1
x²+5
 x+1
x³-1
 x-1 3x+5
-3x²+5x-1
2x³-3x²+x
13. lim 14. lim 15. lim 16. lim
x→-2 x→-1 x→2 x→-∞
4x²-7x+36
 3x²+5x-2
1-x
x+3
 x²
x²+a t²+6t+5
17. lim 18. lim 19. lim 20. lim
x→+∞ x→-∞ X →-1 t→2
 3y-5 x² √ x+2 1 - 3 4x³-2x²+x
5
 y-2 x²+1 1-x 1-x 3x²+2x
21. lim 22. lim 23. lim 24. lim
y→0 x→2 X→2 x→0
x³-1
 x-1
x²+3x-10
3x²-5x-2
 x²-5x+6
x²-12x+20
√1+x – 1
 x
25. lim 26. lim 27. lim 28. lim
x→1 x→2 x→2 x→0
√ 1+x+x² - 1 
 x
√ 2x+1 – 3 
√x - 2 -√2
√ x²+p² - p 
√x²+q² - q
x²+x-1
 2x+5
29. lim 30. lim 31. lim 32. lim
x→0 x→4 x→0 x→+∞
3x²-2x-1
 x³+4
2- 1 + 4
 x x²
√ x²+1 
 x+1 x²+2x-1
33. lim 34. lim 35. lim 36. lim
x→+∞ x→-∞ x→+∞ x→2
y³-2y²+3y-4
 t²-5
2t³+6
 2x+1
x²-3x+4
y³+8
 y+2
37. lim 38. lim 39. lim 40. lim
y→-1 t→2 x→-1 y→-2
y³-1
 y-1
x²+5x+6
x²-x-12
3x²-17x+20
4x²-25x+36
 8r+1
 r+3
41. lim 42. lim 43. lim 44. lim
y→1 x→-3 x→4 r→1
 y²-9
 2y²+7y+3
√ x+2 - √ 2 
 x
2- √ 4 -t 
 t
x³-x²-x+10
 x²+3x+2
46. lim 47. lim 48. lim 49. lim
y→-3 x→0 t→0 x→-2
2x³-5x²-2x-3
4x³-13x²+4x-3
 x²+3x+4
 x³+1
50. lim 45. lim
x→3 x→ 2
6
DERIVADA
• É a inclinação de uma curva num determinado ponto.
• Derivada estuda a declividade em um ponto da curva.
⇒ A derivada de uma função y = f(x) no ponto x0 pertencente ao domínio é o coeficiente angular “a” da reta 
que tangência a curva no ponto de abscissa x0.
 y
 P(x0, y0)
a = tg α
a →α
 x
SÍMBOLOS DA DERIVADA
y’⇒ Derivada da função y f (x) ⇒ Derivada da função x dy ⇒ derivada da função y em
 dx relação a x
REGRA GERAL DE DERIVAÇÃO ⇒
Onde: ∆x = x-x0
OBS.: Nos pontos de máximo e de mínimo a derivada é zero.
1) Seja a função : f(x) = 2x+3. Queremos achar a derivada desta função noponto x0=3
2) Na função y = x², calcule a derivada da função no ponto x0 = -2, ache a equação da reta tangente a curva, o 
ângulo de inclinação e represente graficamente .
7
y
x
f x x f x
x' lim
( ) ( )
=
→
+ −
∆
∆
∆
0
3) Nas funções abaixo, calcule a derivada de cada função no ponto dado, ache a equação da reta tangente a 
curva, o ângulo de inclinação desta reta com o eixo x’x positivo e represente graficamente:
a) f(x) = x²+2x P1 = (-1,-1) P2 (1,3)
b) f(x) = x²+2x+1 P= (-1; 0)
c) f(x) = x²+3x-1 P= (-1;-3)
d) f(x) = -2x²+3x+2 P= ( ¾ ; 25/8)
e) f(x) = x²- 4 P= (0;- 4)
f) f(x) = -x²+x-4 x0=-1
g) f(x) = x²-5x+4 x0=2
h) f(x) = x²-4x+4 x0=1
4) Encontrar a derivada pela regra geral de derivação.
a) f(x) = 3x+2
b) f(x) = 2x²
c) f(x) = x³
d) f(x) = 5x³
e) f(x) = x
f) y = 9-x²
g) y = x²- 6x+9
h) y = 7 - 6x - x²
i) y = ¼ x²
j) y = x³-3x
k) y = 4x³-13x²+4x-3
l) y = x²-4x-5
m) y = x²+2x+1
n) y = 1/ 8 x³
o) y = √9-4x
p) y = 6/x
q) y = √x+1
r) y = 2√ x 
s) y = √2x²-1
t) y = x³-5x²
u) y = 1/ x³
v) y = 3x²-12x+8
w) y = 3x²+12
FÓRMULAS DE DERIVAÇÃO
 u, v, z; funções de x
Consideremos y variável dependente 
 X variável independente
 a, m, n, k são constantes (números)
 f (x+ ∆ x) – f (x) 
∆x
• O cálculo da derivada com o emprego da regra geral y’= lim , se torna por vezes monótono 
∆x → 0
e complexo. Por isso se desenvolveram regras práticas de derivação conforme seja o tipo da função 
(algébrica, trigonométrica, exponencial, logarítmica,...)
1) A derivada de um número é igual a zero. y = k →y’ = 0 
 Exemplos: Se y = 5 → y’ = 0 ∴ y = 10 →y’= 
• O gráfico → é uma função constante → geometricamente uma reta paralela ao eixo x’x → tgα = tg0 = 00. 
Se y = -2 → y’= 
8
2) A derivada de uma variável é um (1). y = x →y’=1
Se y = z →y’= ∴ y = 5x→y’= Se y= -x →y’= 
3) A derivada de uma potência é igual ao produto do expoente pela base da potência elevada ao expoente 
menos um (1), vezes a derivada da base da potência y = vm →y’ = m . v m-1. v’
 Exemplos: Derivar: y = x5 f(x) = x- 4 f(x)= 4x²
4) A derivada de uma soma algébrica de funções é igual a derivada de cada uma das funções. 
y = u + v – z → y’= u’+ v’- z’
Derive: y = 3x²-3x+2 y = 5x²-4
5) A derivada do produto de uma constante por uma variável é igual ao produto da constante (sem derivar) 
pela derivada da variável. y = k.v → y’= k.v’ Derive: y = -8x y=3x
6) A derivada do produto de duas funções é igual “a derivada da 1ª vezes a 2ª (sem derivar), mais a 1ª 
função vezes a derivada da 2ª ”. y = u . v y’= u’. v + u. v’ ou f ’(x) = f (x) . g’(x) + g 
(x). f ’(x)
7) A derivada de um quociente é igual “ao denominador (sem derivar) vezes a derivada do numerador, 
menos o numerador vezes a derivada do denominador , dividindo tudo pelo denominador ao quadrado. 
y = u → y’= v . u’ – u. v’ ou y’= d. n’- n . d’
 v v² d²
PROPOSTO – DERIVAR AS FUNÇÕES
1) y = 1/3
2) y = -x
3) y = -7x
4) y = x³
5) y = x²+3x+5
6) y = x+3
7) y = -2x5
8) f(x) = x-2
 x²
9) y = (4x²-3x)8
10) y = -x -3
11) y = 5√x³
12) y = 2/x5
13) y = x³-2x
14) y = (2x²-3x).x³
15) y = x²
 3x-1
16) y = 1/x
9
17) y = 2x+3
 x
18) y = 1
 x²-1
19) y = 1+x 
 1-x
20) y = √3x
21) y = (3-2x)5
22) y = √3x-1
23) y = ³√(1-x)7
24) y = 2
 1 + x
GABARITO
1) y’= 0
2) y’= -1
3) y’= -7
4) y’= 3x²
5) y’= 2x+3
6) y’= 1
7) y’= -10x4
8) f(x) = -x+4
 x³
9) y’= (4x² - 3x)7 . (64x – 24) 
10) y’= 3/x4
11) 3 5 √ x³ 
 5x
12) y’= -10/ x6
13) y’= 3x²-2
14) y’= 10x4 – 12x³
15) y’= 3x²-2x
 (3x-1)²
16) y’= -1/x²
17) y’= -3/x²
18) y’= -2x
 (x²-1)²
19) y’= 2
 (1-x)²
20) y’= √ 3x 
 2x
21) y’= -10 (3-2x)4
22) y’= 3 √ 3x-1 
 6x-2
23) y’= -7 ³ √ (1-x) 4 
 3
24) –2
 (1+x)²
DESAFIO: 4322232 )12()74x(f(x) )13()53()( ++=−+= xuuuh
10
ENCONTRE A DERIVADA
11
01)f(x) x³ 3x² 5x 2 02)f(x) 3x 5x² 1 03)f(x) 1
8
x x
04)f(x) x 2x 5x³ 7x 05)f(t) 1
4
t 1
2
t² 06)h(x) 1
3
x³ x 2
07)v(r) 4
3
. r³ 08)G(y) y 7y y³ 1 09)F(x) x² 3x 1
x²
10)f(x) x 5 x 4x 11)g(x) 3
x²
5
x
 12)H(x) 5
6x
13)F(x) (x² 3x).(x² 1) 14) x² 6x 3
x² 1
 
4 8 4
7 5 4
10 5
4 2 4
4 5
= − + − = − + = −
= − + − = − = − +
= + − + = + +
= − + + = + =
= + −
+ +
+
− −
pi
 15)f(s) 3(s³ s²)
16)g(x) (2x² 5).(4x 1) 17)f(x) (2x 1).(5x³ 6x) 18)g(x) (4x² 3)²
19)H(x) x² 2x 1
x² 2x 1
 20)F(y) 2y 1
3y 4
 21)f(x) x
x 1
22)f(x) (x² 3x 2).(2x³ 1) 23)h(x) 5x
1 2x²
 24)g(x) x 2x² 5x 1
x
25)f(x) x³ 8
x³ 8
 26)f(x) x² a²
x² a²
 27)f(x) 2x 1
x 5
.(3x 1)
28)g(x) x³ 1
x³ 3
.(x² 2x 1) 
4
4
4
1
= −
= + − = − + = +
=
+ +
− +
=
+
+
=
−
= − + + =
+
=
− + +
=
−
+
=
−
+
=
+
+
−
=
+
+
− +− 29)y (x² 1) 30)y (x² 5x 3)4 5= + = − +
31)y x 1
x 1
 32)y x² 3x 33)y (x² 4x 5)³
34)f(x) (10 5x) 35)f(t) (2t 7t³ 2t1)² 36)g(r) (2r 8r² 1)
37)f(x) (x 4) 38)H(z) (z³ 3z² 1) 39)f(x)
2
7x² 3x 1
40)f(x) (3x 5) 41)f(s) 2 3s² 42)y
3
7
x
43)y x
5
 44)y 4x³ 1
3
x² 45)y 4x 3x³
6
4
4 4 4 5
2 3
2
3
5
4
=
−
+ I = + = + −
= − = − + − = + +
= + = − + =
+ −
= + = − =
= = − = −
− −
+ − +
=
−
+
=
−
= −
= = + −
+
=
−
+
= − = = −
= = − + + =
−
= − = + = + −
2x² x 5
46)y 5x 3
4x 1
 47)y 2x 3
4
 48)y 2x³ 4x
49)y (3x)² 50)y 2x 1 1
x 3
 51)y 3
(x 3)³
52)y 2x² 1 53)y (3x)³ 54)y 1 5x²
55)y 1
x
 56)y x 1 2x 1 57)y 3
x² 1
58)y 1 x 59)f(x) (2x1)³ 60)f(x) (x² 4x 5)
5
3
3
4
GABARITO – 1 a 60 - DERIVADAS
12
01 3 6 5
02 12 10
03 4
04 7 10 15 7
05
06 1
07 4
08 10 35 3
09 3 2 2 3 2
10 2 16
11 6 20
12 25
6
13 9 2 3
14 6
7
6 4
9 4
3
5
5
6
) ( ) ²
) ( ) ³
) ( ) ³
) ( ) ²
) ( ) ³
) ( ) ²
) ( ) . ²
) ( ) ²
)2
³
)4 ³
³
)
³
)
)4 ³ ²
) ²
f x x x
f x x x
f x x x
g x x x x
F t t t
H x x
v r r
G y y y y
x x ou x
x
x
x x
x x
x
x x x
x
= − +
= −
= −
= − + −
−
= −
=
= + −
+ − + −
− −
−
−
−
+ − −
−
−
pi
− +
+ +
−
− +
+ − −
+
− +
− + − +
− −
− +
+ +
−
− +
− + + −
− +
+ +
− −
+ +
46
2 1
15 3 3 2 3
16 4 20
17 60 15 6
18 48
19 4 4
4 6 4 1
4 1
2 1
20 5
9 24 16
21 1
2 1
22 10 24 12 2 3
23 10 5
4 4 1
24 4 15 4
25 48
16 64
26
4
6 4 2
3
4 3 2
4
4
5
6
x
x x
s s
x x
x x x
x x
x
x x x x
ou
x
x x
y y
x x
x x x x
x
x x
x x
x
x
x x
²
) ²
)24 ²
)70
)64
) ²
²
² ²
)
²
)
²
) ³ ²
) ²
²
) ²
) ²
³
) ²
² ²
) ²
( )²
) ²
( ³ )²
) ( ² )³
)( ² ) . ( )
4
2
27 6 60 6
5
28 2 16 6 2 6
3
29 8 1
30 5 3 10 25
4 4
7 4 2
4
xa
x x a a
x x
x
x x x x x
x
x x
x x x
+ +
+ +
+
+ + + +
+
+
− + −
−
31 12 1
1
32 2 3
4 3
33 4 5 6 12
34 20 10 5
35 16 42 4 2 7 2 1
36 40 80 2 8 1
37 2 4
38 9 18 3 1
39 28 6
7 3 1
28 6 7 3 1
40 3
5
7
4
4
4 4
3
4
2
) ( )
( )
) ( )
( ² )³
)( ² )². ( )
) ( )³
)( ³ ² ). ( ³ )
)( ³ ). ( ² )
) ( )
)( ²) ). ( ³ ² )
)
( ² )²
( )( ² )
)2(
x
x
x
x x
x x x
x
t t t t t
r r r r
x
z z z z
x
x x
ou x x x
−
+
+
+
+ − +
− −
− + − + −
+ + +
− +
− + − +
−
−
+ −
− − + −
−
−
−
x
s s
x
x x
x x x
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f x
+
− −
−
− + −
+
−
−
+
+
+
−
−
−
−
+
+
−
−
−
−
+
−
−
5
41 3 2 3
42 3
7
43
44 12 2
3
45 16 9 4 1
46 17
4 1
47 1
2
48 6 4
5 2 4
49 2
3
50 1
3
51 9
3
52 2
2 1
53 3
54 5
1 5
55 1
2
56 1 1
2 1
57 6
1
58 1
2 1
59 2 1
60
1
3
1
2
4
45
3
4
)
) ( ²)
)
)
) ²
) ³ ²
)
( )²
)
) ²
( ³ )
)
)2
( )²
)
( )
)
²
)
)
²
)
³
)
)
² ²
)
)6( )²
) ( ) = + − + + + −( ² )³. ( ) ( )( ² )³x x x ou x x x4 5 8 16 8 2 4 5
REVISÃO MATEMÁTICA BÁSICA
1) Multiplicação de monômio por polinômio.
2x(x2-x+3) Multiplicação o monômio (2x) por todos os termos do polinômio. Teremos então: 
2x3-2x2+6x
Faça: =


−
2
1
2
2
xx
2) Multiplicação de polinômio por polinômio
(x+3).(x-2)= Multiplica-se cada termo de 1º polinômio por todos os termos do 2º polinômio. Por produzir-se os termos 
semelhantes. Termos então: x2-2x+3x ; x2+x-6
Dispositivo prático: 2
3
−
+
x
x
3 
52 2
+
+−
x
xx
1
4
−
−
x
x
3) Divisão de polinômios 
Seja efetuar: (2x3+x2-x-1):(x-1)=
Passos: a) Determina-se o 1º quociente: 2x3: x = 2x2
b) Após determinado o 1º termo do quociente (2x2), multiplica-se o mesmo pelo divisor (x-1):
2x2(x-1)=(2x3-2x2)
c) A seguir, subtrai-se o produto obtido do dividendo: 2x3+x2 – x -1
 -(2x3-2x2)
*Para facilitar os cálculos, é aconselhável colocar o produto obtido, na hora de se efetuar a subtração, sem os parâmetros, 
mas, logicamente, com os sinais de todos os termos trocados.
-2x3+2x2 em lugar de: -(2x3-2x2)
d) Procede-se da mesma forma com os demais termos do quociente, que vai se formando.
RESPOSTA: quociente: 2x2+3x+2 Resto: 1
RESOLVA: *(x2-5x+6):(x-2)= *(2x3-x2+x-2):(x-1)= *(x2-4):(x+2)=
*(x2+3x+2):(x+1)= *(x3-6x2+11x-6):(x-3)= *(x2-7x+10):(x-2)=
*Espero que você tenha encontrado resto zero em cada divisão.
4) Quadrado da soma de dois termos. (a+b)2 =
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro termo 
pelo seguindo termo, mais o quadrado do segundo termo. Teremos então: a2+2ab+b2
Resolva: (2a+b)2=
5) Quadrado da diferença de dois termos: (a-b)2 =
O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro 
termo pelo seguindo termo, mais o quadrado do segundo termo. Teremos então: a2-2ab+b2 Resolva: (2a-b)2=
6) Produto da soma pela diferença de dois termos. (a+b).(a-b)
É igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo. Teremos então: a2-b2 Resolva: (2a+b).
(2a-b)= (3+ 2 ).(3- 2 )=
7) O cubo da soma de dois termos. (a+b)3 É igual ao cubo do primeiro termo, mais 3 vezes o quadrado do primeiro 
termo multiplicado pelo segundo termo, mais três vezes o primeiro termo multiplicado pelo quadrado do segundo termo, 
mais o cubo do segundo termo. Logo, teremos: a3+3a2b+3ab2+b3
RESOLVA: (a+x)3= (a+2)3=
8) Cubo da diferença de dois termos. (a-b)3
O cubo da diferença de dois termos. É igual ao cubo do primeiro termo, menos 3 vezes o quadrado do primeiro termo 
multiplicado pelo segundo termo, mais três vezes o primeiro termo multiplicado pelo quadrado do segundo termo, menos 
o cubo do segundo termo. Logo, teremos: a3-3a2b+3ab2-b3
RESOLVA: (a-x)3= (a-2)3=
9) Fatoração – Transformação de uma expressão algébrica num produto de fatores algébricos.
1º Caso: Fator comum – Evidenciação. (ax+ay)=
13
Coloca-se em evidência o(s) fator(es) comum(ns). No caso, temos ‘a’ como fator comum. Logo, fatorando teremos: 
a(x+y) 
Fatore: m2x-3x+ax= 6x2-x=
2º Caso: Trinômio quadrado perfeito.
Um trinômio é quadrado perfeito, se e somente se: 
- Existirem dois termos cuja raiz quadrada é exata;
- O terceiro termo for igual ao duplo produto das raízes quadradas dos outros dois termos. Neste caso, se o terceiro termo 
for positivo, trata-se do quadrado da soma e se for negativo, trata-se do quadrado da diferença.
Seja fatorar: a2+2ab+b2= a2-2ab+b2= x2-6x+9= x2+6x+9=
3º Caso: Diferença de dois quadrados. (x2-a2)= 
O produto da soma de dois termos (x+a) pela diferença dos mesmos termos (x-a) resulta na diferença do quadrado do 
primeiro termo e do quadrado do segundo termo. Logo, teremos: x2-a2 FATORE: (a2-b2)= (a2-9)= 
(4x2-1)=
4º Caso: Soma de Cubos: 
x3+y3=(x+y).(x2-xy+y2) a3+b3 = 8a3+27y3
5º Caso: Diferença de cubos:
x3-y3=(x-y).(x2+xy+y2)
a3-b3= x3-1= m3-n3=
8a3-27y3=
6º Caso: Forma do segundo grau ou fatoração pelo trinômio do segundo grau. Fatoração válida para polinômios da forma: 
ax2+bx+c, com a = 1 Forma do segundo Grau: (x-a).(x-b)
Seja fatorar: x2-5x+6; extrai-se as raízes do polinômio através da fórmula:
a
acbbx
2
42 −±−
=
Teremos: (x-2).(x-3)
FATORE: x2+3x+2 x2-7x+10
10) Racionalização de denominadores: Transformação do denominador de um número irracional para racional.
1º Caso: Denominador com radical de índice 2.
=
2
5
Multiplica-se o numerador e o denominador pelo fator racionalizante. Então, basta fazer: .......___.
2
5
=
 Racionalize: =
5
3
=
3
4
2º Caso: Denominador com radical de índice diferente de dois.
=
3
3
x
=
3 7
2
=
3 45
1
3º Caso: Denominador é uma soma ou diferença de dois termos, sendo pelo menos um dos termos o radical. Multiplica-se 
pelo conjugado para racionalizar.
=
− 25
5
=
+ 25
4
=
− 23
5
11) Introdução de fatores no radical: =5 yx =5 xyx
12) Dividir numerador e denominador por (x-a)
13) Dividir tudo por x;x2;etc
14
APLICAÇÕES DERIVADAS 
1- Um jardim retangular de 360m² de área deve ser protegido por uma parede, quais as dimensões da cerca de menor 
comprimento?
2- Um fazendeiro deve cercar 2 pastos retangulares de dimensões x e y, com um lado comum x . Se cada pasto deve medir 
1.400 m² de área, determine as dimensões x e y de forma que o comprimento da cerca seja mínimo.
3- De uma longa folha retangular de metal de 70cm de largura deve-se fazer uma calha dobrando-se as bordas 
perpendiculares à folha. Quantos cm devem ser dobrados de cada lado de modo que a calha tenha capacidade máxima?
4- Uma caixa sem tampa é fabricada a partir de uma chapa retangular de 86 cm e 58 cm de lados, cortando-se um pequeno 
quadrado de lado x em cada canto, qual o valor de x para que o volume seja o maior possível e qual é essevolume?
5- Uma chapa de metal retangular cujos lados medem 50 cm e 80 cm será transformada numa caixa ( bloco retangular) 
sem tampa, com o máximo de volume possível. Para isso, é necessário que se recortem quadradinhos dos cantos da chapa. 
Descubra a medida dos lados desses quadradinhos de modo que o volume seja máximo? Calcule esse volume?
6- Uma chapa de metal quadrada com 24 cm de lado será transformada numa caixa sem tampa. Para isso, é necessário 
recortar quadradinhos dos cantos da chapa. Descubra a medida dos lados desses quadradinhos de modo que o volume seja 
máximo ? Calcule esse volume?
7- Um papelão quadrado com 14.400 cm2 de área, deve ser transformado em uma caixa sem tampa que permita o máximo 
volume. Determinar a medida x do lado de cada quadrado que será retirado nos quatro cantos do papelão. Diga também 
qual será o volume máximo obtido.
8- Um professor de natação tem 160m de corda para delimitar, no mar, uma região retangular para banho. Como deve 
fazê-lo se deseja obter região máxima?
9- Um fazendeiro quer cercar uma área retangular de 450m2 de modo a usar a menor quantidade de cerca. Neste sentido, 
necessita-se minimizar o perímetro do retângulo. Quais devem ser as dimensões do retângulo do cercado econômico?
10- O Problema da caixa 
Considere uma folha quadrada de plástico maleável de lado igual a 20 cm. A partir dessa folha, queremos montar uma 
caixa sem tampa. Uma maneira de se fazer isso, é cortar pequenos quadrados nos cantos da folha e dobrar na linha 
pontilhada. O problema consiste em determinar o volume de água que essa caixa pode conter, quando completamente 
cheia. 
Observe que à medida que x varia, o volume também varia , isto é, o volume da caixa depende da variável x que, neste 
problema, representa o tamanho do corte que determinará a altura da caixa a ser montada. R. x=4
RESOLVA:
1) Um jardim retangular de 180m² de área deve ser protegido por uma parede, quais as dimensões da cerca de 
menor comprimento? Dimensões: 9,48 por 18,97 metros
2) Um fazendeiro deve cercar 2 pastos retangulares de dimensões x e y, com um lado comum x . Se cada pasto 
deve medir 1.200 m² de área, determine as dimensões x e y de forma que o comprimento da cerca seja 
mínimo. Dimensões: 40 por 30 metros
15
3) De uma longa folha retangular de metal de 70 cm de largura deve-se fazer uma calha dobrando-se as bordas 
perpendiculares à folha. Quantos cm devem ser dobrados de cada lado de modo que a calha tenha 
capacidade máxima? Dobrar 17,5 metros
4) Uma caixa sem tampa é fabricada a partir de uma chapa retangular de 96 cm e 94 cm de lados, cortando-se 
um pequeno quadrado de lado x em cada canto, qual o valor de x para que o volume seja o maior possível e 
qual é esse volume? Dobrar 15,83 centímetros. V= 63.493,427 centímetros cúbicos.
5) Uma chapa de metal retangular cujos lados medem 40 cm e 60 cm será transformada numa caixa ( bloco 
retangular) sem tampa, com o máximo de volume possível. Para isso, é necessário que se recortem 
quadradinhos dos cantos da chapa. Descubra a medida dos lados desses quadradinhos de modo que o 
volume seja máximo? Calcule esse volume? Dobrar 7,84 centímetros. V= 8.450,447 centímetros cúbicos.
6) Uma chapa de metal quadrada com 18 cm de lado será transformada numa caixa sem tampa. Para isso, é 
necessário recortar quadradinhos dos cantos da chapa. Descubra a medida dos lados desses quadradinhos de 
modo que o volume seja máximo ? Calcule esse volume? Dobrar 3 cm e V= 432 
 7) Um jardim retangular de 130m² de área deve ser protegido por uma parede, quais as dimensões da cerca de 
menor comprimento? Dimensões: 8,06 por 16,124 metros
8) Um fazendeiro deve cercar 2 pastos retangulares de dimensões x e y, com um lado comum x . Se cada pasto 
deve medir 600 m² de área, determine as dimensões x e y de forma que o comprimento da cerca seja 
mínimo. Dimensões: 28,28 por 21,21 metros
9) De uma longa folha retangular de metal de 84 cm de largura deve-se fazer uma calha dobrando-se as bordas 
perpendiculares à folha. Quantos cm devem ser dobrados de cada lado de modo que a calha tenha 
capacidade máxima? Dobrar 21 cm; Área da base 882
10) Um jardim retangular de 240m² de área deve ser protegido por uma parede, quais as dimensões da cerca de 
menor comprimento? Dimensões: 10,95 por 21,908 metros
11) Um fazendeiro deve cercar 2 pastos retangulares de dimensões x e y, com um lado comum x . Se cada pasto 
deve medir 1.800 m² de área, determine as dimensões x e y de forma que o comprimento da cerca seja 
mínimo. Dimensões: 48,98 por 36,74 metros
12) De uma longa folha retangular de metal de 80 cm de largura deve-se fazer uma calha dobrando-se as 
bordas perpendiculares à folha. Quantos cm devem ser dobrados de cada lado de modo que a calha tenha 
capacidade máxima? Dobrar 20 cm
13) Uma caixa sem tampa é fabricada a partir de uma chapa retangular de 90 cm e 60 cm de lados, cortando-se 
um pequeno quadrado de lado x em cada canto, qual o valor de x para que o volume seja o maior possível 
e qual é esse volume? Dobrar 11,77 cm; V= 28.520,258 centímetros cúbicos.
14) Deve-se construir uma caixa, sem tampa, de base retangular a partir de um pedaço de cartolina de 32 cm por 
42 cm, retirando-se 04 quadrados, de mesmas dimensões, de cada um dos vértices e dobrando-se os lados. 
Determine as dimensões dos quadrados extraídos, que produz a caixa de volume máximo? Qual esse 
volume?
 Dobrar 6 cm; V= 3600 centímetros cúbicos.
16
APLICAÇÕES EM ADMINISTRAÇÃO, FINANÇAS E ECONOMIA
FUNÇÕES MARGINAIS
Em economia, costuma-se descrever a variação de uma quantidade y em relação a uma outra quantidade 
x, em termos de dois conceitos: o de média e o de marginal.
A média expressa a variação de y sobre uma faixa de valores de x, usualmente a faixa que vai de zero até 
um certo valor selecionado. A média está relacionada, portanto, ao conceito de taxa de variação média de 
uma função em um intervalo.
O conceito de marginal refere-se à variação causada em y por variações pequenas em x, a partir de um 
dado valor. O conceito de marginal é preciso quando utilizado no sentido de um limite, para a variação de 
x tendendo a zero. Ele está relacionado ao conceito de taxa de variação instantânea (derivada) de uma 
função.
Em Administração, Finanças e Economia, dada uma função , costuma-se utilizar o conceito de função 
marginal para avaliar o efeito causado em por uma pequena variação de . Assim sendo, chama-se função 
marginal de à função derivada de . Logo, a função custo marginal é a derivada da função custo, a 
função receita marginal é a derivada da função receita, e assim por diante.
CUSTO MARGINAL (conceituando ...)
Portanto, em Administração, Finanças e Economia , custo marginal é a mudança 
no custo total de produção advinda da variação em uma unidade da quantidade 
produzida. Por outras palavras, podemos ainda dizer que o custo marginal representa 
o acréscimo do custo total pela produção de mais umaunidade, podendo ainda dizer-se 
que é o correspondente (aproximadamente) ao custo da última unidade 
produzida.
Matematicamente, a função de custo marginal (Cmg) é expressa como a derivada da função de c usto 
total (CT) sobre a quantidade total produzida (Q). Portanto: Custo marginal (Cmg) – é a Variação 
do custo total decorrente da variação de uma unidade na quantidade produzida (ou de um par de 
calçado produzido).
Receita marginal (Rmg) – Variação na receita total decorrente da venda de uma unidade na quantidade 
vendida do bem. R(x) = p.x onde p é a produção x é a unidade. Lucro marginal (Lmg) – Variação do 
lucro total.
L(x) = R(x) – C(x) ....... RESUMINDO VEM:
 A função CUSTO MARGINAL é a derivada da função Custo. 
17
 A RECEITA MARGINAL é a derivada da função Receita.
 O LUCRO MARGINAL é a derivada da função Lucro
Recapitulando: Custo e receita:
Dada a função CUSTO para a produção de camisetas, por exemplo, analisamos a função RECEITA obtida 
com a comercialização das unidades. Para qualquer produto, a receita R é dada pela multiplicação do 
preço unitário p, pela quantidade q, ou seja: R = p . q
Função Lucro é obtida fazendo: Função Receita menos Função Custo: L = R – C
Lucro marginal (Lmg) – Variação do lucro total. L(x) = R(x) – C(x)
* EXEMPLO1: Em uma empresa de confecção têxtil, o custo, em reais, para 
produzir “q” calças é dado por: C(q) = 0,001q3 – 0,3q2 + 45q +5000.
a) Obtenha a Função Custo Marginal.
b) Obtenha o Custo Marginal aos níveis q = 50, q = 100 e q = 200, 
explicando os seus resultados.
Resp (b). Para C(q) = 50, temos C´(50)= = 22,50, ou seja, R$ 22,50 é o valor aproximado para 
produzir a 51ª calça e ainda: R$ 22,50 por calça produzida é a taxa de variação do custo total quando 
50 calças são confeccionadas. * Portanto, o custo marginal quando q=50 é C´(50) = R$ 22,50.
Resp (b). Para C(q) = 100, temos C´(100)= = 15,00, ou seja, R$ 15,00 é o valor aproximado para 
produzir a 101ª calça e ainda: R$ 15,00 por calça produzida é a é a taxa de variação do custo total 
quando 100 calças são confeccionadas. * Portanto, o custo marginal quando q=100 é C´(100) = R$ 
15,00.
Resp (b). Para C(q) = 200, temos C´(200)= = 45,00, ou seja, R$ 45,00 é o valor aproximado para 
produzir a 201ª calça e ainda: R$ 45,00 por calça produzida é a é a taxa de variação do custo total 
quando 200 calças são confeccionadas. * Portanto, o custo marginal quando q=200 é C´(200) = R$ 
45,00.
c) O valor real para produzir q = 201 e compare o resultado com o obtido 
no item anterior. 
18
R. O valor real p/ produzir q= 201, ou seja, a 201ª calça é R$ 45,30. Obs. Nota-se que o valor real, 
R$ 45,30, difere do valor encontrado no C´(200) = R$ 45,00 em apenas R$ 0,30.
** EXEMPLO2: Em uma empresa, o custo, em reais, para produzir q unidades de televisores é dado 
por: C(q) = 0,02q3 – 6q2 + 900q +10000.
a) Obtenha a Função Custo Marginal.
b) Obtenha o Custo Marginal aos níveis q= 50, q = 100 e q = 200, 
explicando os seus resultados.
Resp (b). Para C(q) = 50, temos C´(50)= = 450,00 ou seja, R$ 450,00 é o valor aproximado para 
produzir o 51º televisor e ainda: R$ 450,00 por televisor produzido é a é a taxa de variação do custo 
total quando 50 televisores são fabricados. * Portanto, o custo marginal quando q=50 é C´(50) = R$ 
450,00.
Resp (b). Para C(q) = 100, temos C´(100)= = 300,00, ou seja, R$ 300,00 é o valor aproximado para 
produzir o 101º televisor e ainda: R$ 300,00 por televisor produzido é a é a taxa de variação do custo 
total quando 100 televisores são fabricados. * Portanto, o custo marginal quando q=100 é C´(100) = R$ 
300,00.
Resp (b). Para C(q) = 200, temos C´(200)= = 900,00, ou seja, R$ 900,00 é o valor aproximado para 
produzir o 201º televisor e ainda: R$ 900,00 por televisor produzido é a é a taxa de variação do custo 
total quando 200 televisores são fabricados. * Portanto, o custo marginal quando q=200 é C´(200) = R$ 
900,00.
c) O valor real para produzir q = 201 e compare o resultado com o obtido 
no item anterior. 
19
Resp. O valor real para produzir q = 201, ou seja, o 201º televisor é R$ 906,02. Obs. Nota-
se que o valor real, R$ 906,02, difere do valor encontrado no C´(200) = R$ 900,00 em 
apenas R$ 6,02.
SITUAÇÃO PROPOSTA 1: 
Suponhamos que seja o custo total de fabricação de pares de calçados 
da marca WW dado pela equação . 
* Determinar o custo marginal quando e, por conseguinte, 
determinar o custo aproximado de fabricação do qüinquagésimo primeiro par 
de calçado da marca ww?
R. Assim sendo, a taxa de variação do custo total, quando 50 pares de calçados da marca WW são fabricados, é R$ 6,00 por par 
fabricado e ainda: o custo aproximado de fabricação do qüinquagésimo primeiro par de calçado da marca ww é R$ 6,00
** Determinar o custo real de fabricação para se produzir x = 51, ou seja, o 51º 
par de calçado, comparando depois o resultado com o obtido no item 
anterior. 
Resp. Assim, ∆ = ∆C = C(51) – C(50) = R$ 6,02
 SITUAÇÃO PROPOSTA 2
Consideremos a função custo na produção de peças de uma empresa, conforme 
segue: . * Determinar o custo marginal para e, por 
20
conseguinte, determinar o custo aproximado de fabricação da vigésima 
primeira peça produzida?
Resp. Assim sendo, a taxa de variação do custo total, quando 20 peças são fabricadas, é R$ 408,00 por peça produzida 
e ainda: o custo aproximado de fabricação da 21ª peça é de R$ 408,00. 
** Determinar o custo real de fabricação para se produzir x = 21, ou seja, a 21ª 
peça, comparando depois o resultado com o obtido no item anterior. 
Resp. Assim, ∆ = ∆C = C(21) – C(20) = R$ 408,82
RECEITA MARGINAL
Vale relembrar que: A função receita na venda de um produto é obtida como segue: R = p × q. 
Onde p é o preço em função da quantidade demandada q. Receita Marginal é a variação na receita 
total decorrente da venda de uma unidade na quantidade vendida do bem. 
Na prática, Receita marginal é obtida a partir da derivada da função receita.
Exemplo1: Em uma fábrica de pneus, o preço de um tipo de pneu é dado 
por: p = – 0,4q + 400. a) Obtenha a Função Receita.
b) Obtenha a Função Receita Marginal. 
c) Obtenha a Receita Marginal aos níveis q = 400; q = 500 e q = 600, interpretando os seus 
resultados. 
* Resp.(c): Receita para q=(400) = R$ 80,00. Assim, R$ 80,00 é o valor aproximado da 
receita na venda do 401º pneu.
** Resp.(c): Receita para q=(500) = R$ 0,00. Como vemos, obtemos uma receita marginal 
nula (R$ 0,00). Para essa função, vendas em níveis superiores a 500 pneus resultarão em 
receitas menores, pois o preço é decrescente de acordo com a demanda.
*** Resp.(c): Receita para q=(600) é negativa, ou seja, R$ - 80,00 e indica que, na venda 
acima de 600 pneus haverá um decréscimo da receita de acordo com a demanda.
Ex2: Em uma fábrica de eletrônicos, o preço de um tipo de eletrônico é 
dado por: p = – 0,1q + 400. a) Obtenha a Função Receita.
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b) Obtenha a Função Receita Marginal. 
c) Obtenha a Receita Marginal aos níveis q = 1000; q = 2000 e q = 
4000, interpretando os seus resultados. 
* Resp.(c): Receita para q=(1000) = R$ 200,00. Assim, R$ 200,00 é o valor aproximado da receita na venda do 
1001º componente eletrônico. ** Resp.(c): Receita para q=(2000) = R$ 0,00. Como vemos, obtemos uma 
receita marginal nula (R$ 0,00), quando q= 2.000. Para essa função, vendas em níveis superiores a 2000 
unidades de componentes eletrônicos resultarão em receitas menores, pois o preço é decrescente de acordo com a 
demanda. *** Resp.(c): Receita para q=(4000) é negativa, ou seja, R$ - 400,00 e indica que, na venda acima 
de 4000 componentes eletrônicos haverá um decréscimo da receita de acordo com a demanda.
LUCRO MARGINAL
Vale relembrar que o lucro na venda de um produto é dada por:L = R − C
Onde R é a receita e C o custo.
Lucro marginal é obtido a partir da derivada da função lucro.
Exemplo1: Uma fábrica de pneus tem a receita na venda e seu custo de um 
tipo de pneu dada, respectivamente por: R(q) = – 0,4q2 
+ 400q e C(q) = 80q + 28000. 
a)Obtenha a Função Lucro.
b) Obtenha a Função Lucro Marginal. 
c) Obtenha o Lucro Marginal aos níveis q= 300 e q = 600, interpretando 
os seus resultados. 
Resp (c). Para q = 300, temos L(300)= R$ 80,00, ou seja, R$ 80,00 é o valor aproximado do lucro 
na venda do 301º pneu.
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Resp (c). Para q = 600, temos L(600)= R$ - 160,00, ou seja, - R$ 160,00 indica que, na venda do 601º 
pneu haverá um decréscimo R$ 160,00 no lucro, pois o lucro marginal é negativo, o que indica lucro decrescente.
d) Obtenha a quantidade de pneus que dá lucro máximo a partir da 
derivada do lucro, ou seja, lucro marginal. FAZER: L´=0, ou Lucro Marginal=0
Resp. q= 400 pneus.
RESOLVENDO: Receita Marginal – SITUAÇÃO PROPOSTA1
Suponha que seja a receita total recebida na venda de cadeiras da loja BBC, 
e . Calcular a receita marginal para .
* Resp. A Receita Marginal para x=40 é R$ 1.680,00. Assim, R$ 1.680,00 é o valor aproximado da 
receita na venda do 41ª cadeira. Obs. A receita real (efetiva) da 41ª cadeira é R$ 1.676,00
SITUAÇÃO PROPOSTA2
Consideremos a função receita total da venda de estantes dada por . 
Calcular a receita marginal para 
* Resp. A Receita Marginal para x=50 é R$ 450,00. Assim, R$ 450,00 é o valor aproximado da receita 
na venda da 51ª estante. Obs. A receita real (efetiva) da 51ª estante é R$ 449,50.
SITUAÇÃO PROPOSTA3
* Em uma indústria têxtil, o preço na venda de um tipo de toalha e seu custo é dada respectivamente por: 
p = – 0,001q + 10 e C(q) = 2q + 12000
a) Obtenha a Função Lucro.
b) Obtenha a Função Lucro Marginal. 
c) Obtenha o Lucro Marginal aos níveis q= 3.000, e q = 5.000, interpretando os seus resultados.
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Resp (c). Para q = 3000, temos L(3000)= R$ 2,00, ou seja, R$ 2,00 é o valor aproximado do lucro 
na venda da 3001ª toalha.
Resp (c). Para q = 5000, temos L(5000)= R$ - 2,00, ou seja, - R$ 2,00 indica que, na venda do 5001ª 
toalha haverá um decréscimo R$ 2,00 no lucro, pois o lucro marginal é negativo, o que indica lucro decrescente.
d) Obtenha a quantidade que dá lucro máximo a partir da derivada do lucro, ou seja, lucro 
marginal. FAZER: L´=0, ou Lucro Marginal=0 Resp. q= 4.000 toalhas.
SITUAÇÃO PROPOSTA4
O preço de venda por unidade de um produto A, em uma distribuidora, é p = R$ 50,00. Se o custo 
variável for Cv = 3x + 0,5x2 e o custo fixo CF = R$ 1000,00 determine a quantidade que maximiza o 
lucro.
a) 43 unidades b) 45 unidades c) 46 unidades d) 47 unidades
RESOLUÇÃO: PV de 1 unidade= 50,00 ; Cv = 3x + 0,5x2 ; CF = R$ 1000,00
C(x)= CV + CF, portanto: C(x)= . . . . . . . . . . . . . 
Venda ´x´ unidades é: V(x)= 50.x e L= V(x) – C(x)
Daí vem que: L= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Esta é a função lucro.
Agora, fazendo L´(x), obtemos a função do lucro marginal, ou seja: L´= . . . . . . .
Finalmente para saber a quantidade que nos dá o lucro máximo, basta fazer: L´(x) =0
 Resp. d) 47 unidades.
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SITUAÇÃO PROPOSTA5
Seja a função receita R(x ) = −2x2 + 1000 x . Calcule a receita marginal 
para x = 50 e x = 60.
A receita marginal é dada pela derivada, portanto: R' (x ) = −4 x + 1000
* Resp. A Receita Marginal para x=50 é R$ 800,00. Assim, R$ 800,00 é o valor aproximado da receita 
na venda do 51º ítem. Obs. A receita real (efetiva) do 51º item é R$ 798,00
** Resp. A Receita Marginal para x=60 é R$ 760,00. Assim, R$ 760,00 é o valor aproximado da receita 
na venda do 61º ítem. Obs. A receita real (efetiva) do 61º item é R$ 758,00
Do resultado acima, podemos notar que, de forma aproximada, o acréscimo de receita para a produção do 51º 
item (800) é maior do que o acréscimo de receita para a produção do 61º item (760).
“A VIDA É CONSTRUÍDA NOS SONHOS E CONCRETIZADA NO AMOR!”
25
	X
	INTRODUÇÃO AO ESTUDO DOS LIMITES
	EXERCÍCIOS: CALCULAR
	GABARITO
	LIMITES COM IDETERMINAÇÕES
	DERIVADA
	SÍMBOLOS DA DERIVADA
	REGRA GERAL DE DERIVAÇÃO 
	FÓRMULAS DE DERIVAÇÃO
	PROPOSTO – DERIVAR AS FUNÇÕES
	 	 x²
	GABARITO
	ENCONTRE A DERIVADA
	GABARITO – 1 a 60 - DERIVADAS