2ºEE- Cálculo 1 (2009.2) Gabarito

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Departamento de Matema´tica - CCEN - UFPE
CA´LCULO I - A´REA II- 2009 - 2
GABARITO DO SEGUNDO EXERCI´CIO
1. Derivando implicitamente temos cos(xy)(xy′+y)+y′ = −sen x. Avaliando no ponto
(0, 1) temos que y′ = −1. Portanto, a reta tangente no ponto (0, 1) e´ y = −x+ 1.
Na seguinte figura temos a curva com a reta tangente no ponto (0, 1).2.0
0.0
−0.5
x
−1
y
0.5
1.0
−1.0
20
1.5
−2 1
2. a) lim
x→0
esen x − 1
ln(x+ 1)
= lim
x→0
cosxe sen x
1
x+1
= lim
x→0
(x+ 1) cos xesen x = 1.
b) lim
x→0
tan x ln x = lim
x→0
lnx
cot x
= lim
x→0
1/x
− csc2 x = − limx→0
sen 2x
x
= 0.
3. Da hipo´tese temos que 2a+ 2pir = 400 e portanto, a+ pir = 200. Se A e´ a a´rea do
quadrado temos que
A = a · 2r = 2(200− pir)r = 400r − 2pir2.
Como A′ = 400− 4pir e A′′ = −4pi conclu´ımos que r = 100
pi
e´ um ponto de ma´ximo
global. Conlu´ımos enta˜o que as dimenso˜es devem ser r = 100
pi
e a = 100.
4. a) Claramente x = 1 e y = 1 sa˜o ass´ıntotas.
b) Calculando a derivada de f temos que f ′(x) = −2 x+ 1
(x− 1)3 . Logo, f
′(x) > 0 ⇔
x ∈ (−1, 1) e f ′(x) < 0 ⇔ x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,+∞). Portanto, x = −1 e´ ponto
cr´ıtico, f e´ crescente em (−1, 1) e decrescente em (−∞,−1) ∪ (1,+∞).
c) Fazendo ca´lculos temos que f ′′(x) = 4 x+2
(x−1)4 . Logo, f
′′(x) > 0 ⇔ x > −2 e
f ′′(x) < 0⇔ x < −2. Portanto, x = −2 e´ ponto de inflexa˜o, f e´ coˆncava para cima
em (−2,+∞) e coˆncava para baixo em (−∞,−2).
d) O gra´fico de f na˜o corta o eixo x e corta o eixo y no ponto (0, 1). Calculando os
valores de f para o ponto cr´ıtico e inflexa˜o temos: f(−1) = 1/2 e f(−2) = 5/9. O
gra´fico de f e´
1
2
x
7.5−2.5
−2
8
−5.0
6
4
0
−7.5 0.0
3
5.0
5
7
2.5
y
−1