Integração por Substituição Trigonométrica _ O Baricentro da Mente

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29/02/2016 Integração por Substituição Trigonométrica ~ O Baricentro da Mente
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Integração por Substituição
Trigonométrica
Kleber Kilhian  20.6.12    Cálculo    24 Comentários
Há meios  diferentes  para  integrar  uma  função  e  para
cada  integral,  devemos  identificar  qual  o melhor  dos
métodos  a  aplicar.  Somente  resolvendo  diversos
exemplos  para  podermos  nos  familiarizar  com  cada
um desses métodos.
No caso de integração por substituição trigonométrica,
um integrante que contenha uma das formas:
sendo a  uma  constante  positiva  e  não  tendo  nenhum
outro  fator  irracional,  pode  ser  transformado  numa
integral  trigonométrica  mais  familiar,  utilizando
substituições  trigonométricas  ou  com  o  emprego  de
uma nova variável.
Para  os  três  casos  acima,  utilizamos  as  identidades
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trigonométricas:
Vamos ver cada um desses casos separadamente.
Caso I: Para uma integral que envolva um radical do
tipo  ,  fazemos  a  mudança  de  variável  de  x
para  θ.  A  substituição  deve  ser  apropriada  e  fica
melhor observada no triângulo retângulo:
Temos que:
Assim,    substitui    por  ,
pois:
E  pela  identidade  trigonométrica  dada  em  (1),
obtemos:
Extraindo  a  raiz  de  ambos  os  membros  da  equação
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acima, obtemos:
Justificando a substituição.
Caso II: Para uma integral que envolva um radical do
tipo  ,  fazemos  a  mudança  de  variável  de  x
para θ. Observando o triângulo retângulo:
 
Temos que:
Assim,    substitui    por  ,
pois:
E  pela  identidade  trigonométrica  dada  em  (2),
obtemos:
Extraindo  a  raiz  de  ambos  os  membros  da  equação
acima, obtemos:
Justificando a substituição.
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Caso III: Para uma integral que envolva um radical do
tipo  ,  fazemos  a  mudança  de  variável  de  x
para θ. Observando o triângulo retângulo:
Temos que:
Assim,    substitui    por  ,
pois:
E  pela  identidade  trigonométrica  dada  em  (3),
obtemos:
Extraindo  a  raiz  de  ambos  os  membros  da  equação
acima, obtemos:
Justificando a substituição.
Com  base  nos  resultados  obtidos,  podemos  montar
uma tabela:
Substituição
Trigonométrica
Integração por Frações
Parciais (Parte 2) –
Fatore...
Integração por Frações
Parciais (Parte 1) –
Fatore...
Integral de \cos^2(x)
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Métodos de
Integração
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Vejam  que,  para  representar  graficamente  as
substituições  sugeridas  no  triângulo  retângulo,  o
radical  ficará  sempre  no  lado  do  triângulo  que  não  é
utilizado pela relação trigonométrica:
Caso I: Usa­se x = a sen(θ); logo, o radical aparece no
cateto adjacente a θ.
Caso II: Usa­se x = a tg(θ); logo, o radical aparece na
hipotenusa.
Caso III: Usa­se a  sec(θ);  logo, o  radical aparece no
cateto oposto a θ.
Vejamos alguns exemplos para ilustrar o método.
Exemplo 1: Calcule a integral abaixo:
Esta  é  uma  integral  do  tipo  I.  Vamos  fazer  a
representação no triângulo retângulo:
 
• O Cálculo integral 
• Integração por partes 
• Integração por substituição 
• Integração por frações
parciais ­ Parte 1 
• Integração por frações
parciais ­ Parte 2 
• Integração por substituição
trigonométrica 
• Fórmula de redução para
alguns casos de integrais
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Òtimo! Precisei assistir
o filme para uma
analise psicologica
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Psicopatologia II e...
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Na hora de escrever
coloquei uma raiz a
mais heheh =D
ateixeira commented:
Muitos parabéns pelos
excelentes resultados e
por continuar a
espalhar a cultura
matemática.
Unknown commented:
Parabéns, super
didático e acrescentou
nos meus
conhecimentos, bom
trabalho pela divulgação
Kleber Kilhian
commented:
Olá Antonio. Tem toda
a razão. Se não for
demonstrado que a fórmula
valha para n e n+1, então
não...
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Assim, escrevemos:
Assim:
Devemos  agora,  reescrever  o  resultado  em  termos  da
variável original x. Observando o  triângulo retângulo,
devemos  encontrar  as  relações  trigonométricas  que
aparecem no resultado acima. Assim:
Assim:
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Exemplo 2: Calcule a integral abaixo:
Esta  é  uma  integral  do  tipo  II.  Vamos  fazer  a
representação no triângulo retângulo:
 
Assim, escrevemos:
Assim:
Vamos,  agora,  reescrever  o  resultado  em  termos  da
variável  original  x.  Observando  o  triângulo,
encontramos as relações:
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Assim:
Como C  é uma constante arbitrária e  ln(a)  também é
uma constante, podemos reescrever o resultado como:
Exemplo 3: Calcule a integral abaixo:
Esta  é  uma  integral  do  tipoIII.  Vamos  fazer  a
representação no triângulo retângulo:
 
Assim, escrevemos:
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Assim:
Vamos  reescrever  o  resultado  em  termos  da  variável
original  x.  Observando  o  triângulo  encontramos  as
relações:
Assim:
Exemplo 4: Calcule a integral abaixo:
Esta  é  uma  integral  do  tipo  I.  Vamos  fazer  a
representação no triângulo retângulo:
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Assim, escrevemos:
Assim:
Agora,  reescrevemos  o  resultado  em  termos  da
variável original x. Observando o  triângulo  retângulo,
encontramos a relação:
Assim:
Exemplo 5: Calcule a integral abaixo:
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Esta  é  uma  integral  do  tipo  II.  Vamos  fazer  a
representação no triângulo retângulo:
 
Assim, escrevemos:
Assim:
Reescrevendo  o  resultado  em  termos  da  variável  x  e
utilizando  as  relações  observadas  no  triângulo
retângulo, fazemos:
Loading [MathJax]/jax/output/HTML­CSS/imageFonts.jshttp://cdn.mathjax.org/mathjax/2.6­latest/jax/element/mml/
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Assim:
Exemplo 6: Calcule a integral abaixo:
Esta  é  uma  integral  do  tipo  III.  Vamos  fazer  a
representação no triângulo retângulo:
 
Assim, escrevemos:
Assim:
Vejam aqui como integrar cos2(θ).
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Agora,  representamos  o  resultado  em  termos  da
variável original x. Observando o  triângulo  retângulo,
encontramos as relações:
Assim:
Exemplo 7: Para  ilustrar o uso desse método, vamos
determinar  a  equação  da  tractriz,  que  é  uma  curva
definida  pela  trajetória  de  um  objeto  arrastado  ao
longo  de  um  plano  horizontal  por  um  fio  de
comprimento constante quando a outra extremidade do
fio se move ao longo de uma reta no plano. A palavra
tractriz  provém  do  latim  tractum,  que  significa
draga.
Vamos  considerar  um  plano  formado  por  eixos
ortogonais xy e o objeto comece no ponto (a, 0) com a
outra  extremidade do  fio na origem. Se  esta  se move
para cima ao longo do eixo dos y:
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o fio será sempre tangente à curva e o comprimento da
tangente entre o eixo dos y e o ponto de contato será
sempre igual a a. O coeficiente angular da  tangente é
dado pela fórmula:
Separando  as  variáveis  e  usando  o  resultado  do
exemplo 1, temos:
Quando x = a, y = 0 e C = 0. Logo:
que é a equação da tractriz.
Se  as  extremidades  do  fio  movem­se  para  baixo  no
eixo dos y,  então uma outra  parte  da  curva  é  gerada.
Se girarmos essas duas partes em torno do eixo dos y,
a  superfície  resultante  será uma pseudo­esfera,  com
forma de uma “corneta dupla”.
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Exercícios para Casa:
Referências: 
[1] Cálculo com Geometria Analítica V1 – Simmons  
[2] Cálculo V1 – Munen – Foulis  
[3] Cálculo Diferencial e Integral – Frank Ayres Jr
Veja mais: 
Integração por Frações Parciais – Fatores Lineares 
Integração por Frações Parciais – Fatores Quadráticos
Irredutíveis 
Método de Integração por Substituição 
Método de Integração por Partes 
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16/12/12 00:33Hamilton gil de oliveira
Uma  perfeita  explicação  !!!  adorei  e  os
segredos  da  trigonometria  no  calculo
integral.Consgui  resolver  a  integral
proposta,
Responder
16/12/12 20:21
não aguento mais tanto perfil
Eu  tinha  estudado  num
material  meio  confuso  e,  no  primeiro
exercício  estava  achando  que  teria  que
fazer  a  substituição  só  do  tal  x  q  é
argumento  da  raiz.  via  cos^2  e  não
entendia que o segundo  fator de cosseno
tinha vindo da substituição diferencial. 
Acho q vou conseguir salvar meu escalpo
na prova.
Responder
16/12/12 21:00Kleber Kilhian
Obrigado  prezados  leitores  pelos
comentários.  Espero  que  este  artigo
tenham elucidados suas dúvidas.  
Abraços.
Responder
Hamilton gil de oliveira
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17/12/12 22:21
Resolvi a integral: de sqrt(a^2 ­
x^2)  e  deu  :a^2(  1/4  sen  2  (o)  +  1/2
arcosin  (o)  que  paassando  a  variável  x
deu: a^2.[ 1/4.X/A.SQRT(X^2 ­ A^2 ) +
ARCOSIN  X/A]  pOR  FAvor  Kleber!!
quero  saber  se  a  minha  resposta  ficou
certa, obrigado!! (o) = theta.
Responder
18/12/12 13:28Kleber Kilhian
Olá Hamilton. Fiz a  resolução a seguir e
conferi com a Wolframalpha: 
Seja a integral: 
\displaystyle \int \sqrt{a^2­x^2}dx 
Fazemos: 
x=a \sin(\theta) 
dx=a \cos(\theta)d\theta 
Então: 
\sqrt{a^2­x^2}=\sqrt{a^2­a^2
\sin^2(\theta)}=\sqrt{a^2(1­
\sin^2(\theta))}=a\sqrt{\cos^2(\theta)} 
Assim: 
\displaystyle  \int\sqrt{a^2­
x^2}dx=\displaystyle  \int
a\sqrt{\cos^2(\theta)}\cdot  a
\cos(\theta)d\theta=\displaystyle  \int
a^2\cos^2(\theta) d\theta 
Pela identidade: 
\cos^2(\theta)=\dfrac{1}
{2}\cos(2\theta)+\dfrac{1}{2} 
Temos que: 
I=\displaystyle  \int  a^2\left  [  \dfrac{1}
{2}\cos(2\theta)+\dfrac{1}{2}  \right  ]
d\theta 
I=\displaystyle  \int  a^2\dfrac{1}
{2}\cos(2\theta)+\displaystyle  \int
a^2\dfrac{1}{2} d\theta 
I=\displaystyle  a^2  \int  \dfrac{1}{2}
d\theta  +  \dfrac{1}{2}a^2  \displaystyle
\int \cos(2\theta) d\theta 
I=\dfrac{1}{2}a^2\theta+\dfrac{1}
{2}a^2  \displaystyle  \int  \cos(2\theta)
d\theta 
Seja  u=2  \theta;  du=2d  \theta;
d\theta=du/2 
\dfrac{1}{2}a^2  \displaystyle  \int
cos(2\theta)d\theta=\dfrac{1}{2}a^2
\displaystyle \int \dfrac{cos(u)}{2}du= 
=\dfrac{1}{4}a^2\cdot  \sin(u)=\dfrac{1}
{4}a^2 \sin(2\theta) 
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Respostas
{4}a^2 \sin(2\theta) 
I=\dfrac{1}{2}a^2  \theta  +\dfrac{1}
{4}a^2 \sin(2\theta)+C 
Sendo  \sin(\theta)=\dfrac{x}
{a};\theta=\arcsin(\frac{x}{a}) 
I=\dfrac{1}{2}a^2  \cdot\arcsin\left  (
\frac{x}{a}  \right  )+\dfrac{1}{4}a^2
\cdot \sin(2\theta)+C 
I=\dfrac{1}{2}a^2  \cdot\arcsin\left  (
\frac{x}{a}  \right  )+\dfrac{1}{2}ax
\sqrt{1­\frac{x^2}{a^2}}+C 
I=\dfrac{1}{2}\left  [  ax\sqrt{1­
\frac{x^2}{a^2}}+a^2\cdot  \arcsin\left  (
\frac{x}{a} \right ) \right ]+C 
Responder
22/12/12 18:49Hamilton gil de oliveira
Obrigado  Klebeer!!!!  Que  clareza  no
exercicio  adorei  e  entendi. Eu  fiz  de  um
modo  diferente  mas  vou  verificar  deua
mesma  respostua  da  tua  vlw..  Era  o  que
eu  pensava  tirei  uma  duvida.  Só  nao
consegui  retornar  a  cálculo  inverso!!  1
abraço;
Responder
23/12/12 10:55Hamilton gil de oliveira
É possivel achar a integral de V( 2X^3 ­ 1
) DX ONDE v( Y ) RAIZ QUADRADA ,
POR  SUBSTITUIÇÃO
TRIGONOMÉTRICA  ?  cOMO  EU
FARIA ESSE CALCULO?
Responder
25/12/12 12:14Kleber Kilhian
Veja  esta  resolução  pela
wolfram: 
http://www.wolframalpha.com/input
i=int+\sqrt{2x^3­1} 
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Responder
Respostas
i=int+\sqrt{2x^3­1} 
Vou tentar fazer por substituição
trigonométrica,  não  sei  se  é
possível.
25/12/12 10:52Hamilton gil de oliveira
Gostaria de aprender como resolver passo
a passo uma equação diferencial. Procurei
no Google mas nao entendi nada, Poderia
me explicar?
Responder
25/12/12 12:10Kleber Kilhian
Olá Hamilton, olha só, eu estou
viajando  e  com  o  tempo  um
pouco  restrito  para  ficar  na
internet.  Por  enquanto,  sugiro
que  veja  os  links  abaixo  que
possuem  resoluções.  Não  estão
difíceis  de  entender.  Mas  é
importante aprender a teoria. 
http://obaricentrodamente.blogspot.com
lei­da­refrigeracao­de­
newton.html 
http://obaricentrodamente.blogspot.com
lei­dos­gases­de­boyle.html 
http://fatosmatematicos.blogspot.com
breve­historia­das­
equacoes.html 
Veja  que  a  equação  diferencial
produz uma família de soluções
que  dependerão  de  alguns
parâmetros. 
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Responder
Respostas
Responder
27/12/12 08:51Hamilton gil de oliveira
Obrigado Kleber !!! Pela atenção . e feliz
ano novo.
Responder
04/06/13 14:55Anônimo
muito  obrigada  essa  explicação  é  muito
boa, me ajudou muito, d+.....
Responder
23/11/13 09:01patty kipper
Como integrar dx/(4+x^2)^2 ?
Responder
23/11/13 11:31Kleber Kilhian
Olá Patty, 
Veja esta resolução: 
http://imageshack.us/a/img856/9365/
Um abraço!
14/02/14 09:56Dalana Fische
Olá Kleber Kilhian, 
Você  pode  me  ajudar,  como  se  integra
1/(√4+x^2) dx 
Obrigada.
Responder
29/02/2016 Integração por Substituição Trigonométrica ~ O Baricentro da Mente
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Respostas
14/02/14 22:18Kleber Kilhian
Olá  Dalana.  sua  integral  é  do
Tipo  II  que  aparece  no  começo
desse  artigo.  É  ainda  muito
parecida  com  a  do  exemplo  2.
Seria  bom  você  ler  primeiro  a
teoria  acima.  Vamos  À
resolução: 
\int  \frac{dx}
{\sqrt{4+x^2}}=\int  \frac{dx}
{\sqrt{2^2+x^2}} 
Fazemos  a  substituição
trigonométrica: 
x=2  \tan(\theta)  \qquad  \text{e}
\qquad  dx=2
\sec^2(\theta)d\theta 
Agora  vamos  trabalhar  o
radicando,  substituindo  o  valor
de x: 
2^2+x^2=2^2+(2
\tan(\theta))^2=2^2+2^2
\tan^2(\theta)=2^2(1+\tan^2(\theta))=2^2(\sec^2(\theta))
Veja  que  neste  último  passo
usamos  uma  identidade
trigonométrica. Fazemos: 
\sqrt{2^2+x^2}=2(\sec(\theta))
Assim: 
\int  \frac{dx}
{\sqrt{4+x^2}}=\int
\frac{2\sec^2(\theta)}
{2\sec(\theta)}d\theta=\int  \sec
(\theta)  d\theta  =  \ln  \mid
\sec(\theta)  +  \tan  (\theta)  \mid
+C 
Reescrevendo  em  função  da
variável x: 
\displaystyle  \bullet
\sec(\theta)=\frac{\sqrt{4+x^2}}
{2} 
\displaystyle  \bullet
\tan(\theta)=\frac{x}{`2} 
Assim: 
\int  \frac{dx}{\sqrt{4+x^2}}=
\ln \left (\frac{\sqrt{4+x^2}}{2}
+  \frac{x}{2}  \right)+C  =  \ln
\left(  \frac{\sqrt{4+x^2}+x}
{2}\right)+C=  \ln
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{2}\right)+C=  \ln
(\sqrt{4+x^2}+x)­ \ln (2)+C
07/07/14 18:04Valeria Silva
Kleber,  poderia  explicar  direitinho  o
Exemplo 5 após encontrar 1/4 \int secØ /
tg²Ø  dØ  ???  eu  não  entendi  pq  vc
encontrou  1/4  \int  cosec²Ø  *  cosØ  dØ  à
diante ... Agradeço muito!
Responder
07/07/14 22:48Kleber Kilhian
Oi  Valéria,  na  verdade  foi
somente substituições: 
Lembrando que  
sec = 1/cos 
cossec = 1/sen 
tg = sen/cos 
Então, temos: 
\frac{1}{4}\int  \frac{\text{sec}
\theta}{\tan^2\theta}=\frac{1}
{4}  \int  \frac{\frac{1}{\cos
\theta}}{\frac{\text{sen}\theta}
{\cos  \theta}\cdot
\frac{\text{sen}\theta}{\cos
\theta}}=\frac{1}{4}  \int
\frac{1}{\cos  \theta}\cdot
\frac{\cos  \theta}
{\text{sen}\theta}\cdot\frac{\cos
\theta}
{\text{sen}\theta}=\frac{1}{4}
\int  \frac{1}
{\text{sen}^2\theta}\cdot  \cos
\theta=\frac{1}{4}\int
\text{cossec}^2\theta\cdot  \cos
\theta d\theta 
Espero ter esclarecido. Abraços.
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08/07/14 02:57Valeria Silva
Kleber,  pode  me  ajudar  com  esta
integral? \int √16­xˆ2 / 4xˆ2 dx 
Eu  encontrei  ­1/4  (√16­xˆ2  /x)  ­
(arctg(√16­xˆ2 /x) + C 
...
Responder
08/07/14 21:03Kleber Kilhian
Valéria,  ao  invés  de  digitar  a
resolução aqui, que ficaria meio
longa, fiz numa folha e tirei uma
foto. Veja neste link: 
http://share.pho.to/6Hwun/9l/original
Um abraço.
08/07/14 21:26Valeria Silva
Kleber … Obrigada pela ajuda. Eu estou
resolvendo  uma  série  de  exercícios  para
fixar o assunto .. Ainda tenho dúvida em
algumas questões.. Posso postá­las aqui ?
Responder
08/07/14 21:32Kleber Kilhian
Valéria,  envie  em  meu  e­mail,
vou  ver  o  que  posso  te  ajudar:
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vou  ver  o  que  posso  te  ajudar:
kleberkilhian@gmail.com 
Abraços.
26/11/14 11:00
Mateus Katerenhuk Miranda
Olá  Bom  dia!!!!  Gostaria  de
saber  como  eu  resolvo  essa  integral  por
substituição trigonométrica!!! 
∫dt/√(9­16t²)
Responder
26/11/14 21:29Kleber Kilhian
Mateus, boa noite. 
Desculpe a demora, estou muito
ocupado.  Vi  a  resolução  em
vídeo  dessa  sua  integral.  Pode
conferir aqui no youtube: 
https://www.youtube.com/watch?
v=1NS_­BieNvQ 
Abraços!
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