Lista 1 calculo integral e diferencial II - Sistemas Lineares

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Lista 1 – Vetores no Plano (R2) 
 
1) Dados os vetores 
jeeitttu tt ˆ)(ˆ))2(()( 23/22 
 e 
jeitttv t ˆ4ˆ)2ln()( 2 
 , calcule as 
derivadas abaixo: 
 
(a) 
)(' tu

 (b) 
)(' tv

 (c) 
)1('u

 (d) 
)0('v

 (e) 
)0(')1(' vu


 (f) 
)0(')1(' vu


 
 
 
2) O vetor posição de uma partícula que se move num plano é 
jsentittr ˆ)3(ˆ)cos2()( 
 . 
(a) Calcule os vetores velocidade 
)(tv

 e aceleração 
)(ta

 da partícula. 
(b) Calcule o módulo 
|)(| tv

da velocidade da partícula e o versor do movimento (vetor unitário da 
velocidade) 
)(ˆ tv
, ambos no instante 
2/t
. Lembre-se: 
|(|
)(
)(ˆ
tv
tv
tv 


. 
 
3) O vetor posição de uma partícula que se move num plano é 
jsentittr ˆ)2(ˆ)2cos2()( 
 . 
(a) Calcule os vetores velocidade 
)(tv

 e aceleração 
)(ta

 da partícula. 
(b) Calcule o módulo 
|)(| tv

da velocidade da partícula e o versor do movimento (vetor unitário da 
velocidade) 
)(ˆ tv
, ambos no instante 
0t
. 
 
4) O vetor posição de uma partícula que se move num plano é 
jtittr ˆˆ)1ln(2)( 2
 . 
(a) Calcule os vetores velocidade 
)(tv

 e aceleração 
)(ta

 da partícula. 
(b) Calcule o módulo 
|)(| tv

da velocidade da partícula e o versor do movimento (vetor unitário da 
velocidade) 
)(ˆ tv
, ambos no instante 
1t
. 
 
5) O vetor posição de uma partícula que se move num plano é 
jsentittr ˆ)(ˆ)cos2()( 
 . Calcule o 
ângulo entre os vetores velocidade 
)(tv

 e aceleração 
)(ta

 da partícula, no instante 
4/t
. 
 
6) O vetor posição de uma partícula que se move num plano é 
jsentittr ˆ)(ˆ)cos()( 2
 . Calcule o 
ângulo entre os vetores velocidade 
)(tv

 e aceleração 
)(ta

 da partícula, no instante 
2/t
. 
 
7) Calcule 
)(lim
3
tr
t


, para o vetor 
j
tt
t
ittr ˆ
3
9ˆ)(
2
2









 . 
 
8) Calcule as integrais abaixo: 
 
(a) 
 
2
1
]ˆ3ˆ)66[( dtjtit
 (b) 



4/
4/
]ˆ)cos1(ˆ)[(


dtjtisent
 (c) 
dtj
t
i
t 





 ˆ
5
1ˆ1
 
 
9) Resolva o problema de valor inicial abaixo, para determinar o vetor 
)(tr

: 
 
jeit
dt
rd t ˆˆ
2
3 2/1 
 , 
0)0(

r
. 
 
10) Resolva o problema de valor inicial abaixo, para determinar o vetor 
)(tr

: 
 
jtitt
dt
rd ˆˆ)( 2 
 , 
jir ˆˆ2)0( 
 . 
 
11) Resolva o problema de valor inicial abaixo, para determinar o vetor 
)(tr

: 
 
j
dt
rd ˆ32
2
2

 , 
ir ˆ100)0( 
 , 
ji
dt
rd
t
ˆ8ˆ8
0


 . Lembre-se: 
dt
vd
ta
dt
rd



 )(
2
2 e 
dt
rd
v



. 
 
 
 
 
Respostas 
 
 
1) (a) 
jeeitttu tt ˆ)2(ˆ
3
2
)2(2)(' 23/1  







 (b) 
jei
tt
t
tv t ˆ4ˆ
2
12
)('
2










 
 
(c) 
jeeiu ˆ)2(ˆ
3
4
)1(' 2

 (d) 
jiv ˆ4ˆ
2
1
)0(' 

 (e) 
284
3
2
)0(')1('  eevu

 
 
(f) 
jeeivu ˆ)42(ˆ
6
11
)0(')1(' 2  

 
 
 
2) (a) 
jtisenttv ˆ)cos3(ˆ)2()( 
 
jsentitta ˆ)3(ˆ)cos2()( 
 
 
(b) 
2|)2/(| v
 
iv ˆ)2/(ˆ 
 
 
 
3) (a) 
jtitsentv ˆ)cos2(ˆ)24()( 
 
jsentitta ˆ)2(ˆ)2cos8()( 
 
 
(b) 
2|)0(| v

 
jv ˆ)0(ˆ 
 
 
 
4) (a) 
jti
t
tv ˆ)2(ˆ
1
2
)( 








 
ji
t
ta ˆ2ˆ
)1(
2
)(
2




 
 
(b) 
5|)1(| v
 
jiv ˆ
5
2ˆ
5
1
)1(ˆ 
 
 
 
5) 
 1,53)5/3arccos(
 6) 
 90)0arccos(
 7) 
itr
t
ˆ3)(lim
3



 
 
 
8) (a) 
ji ˆ)122(2ˆ3 
 (b) 
jˆ
2

 (c) 
jtit ˆ|5|lnˆ||ln 
 9) 
jeittr t ˆ)1(ˆ)( 2/3 
 
 
 
10) 
j
t
i
tt
tr ˆ1
2
ˆ2
23
)(
223













 11) jttittr ˆ)168(ˆ)8100()( 2