Buscar

Curso de Física Básica I - Complementos de Matemática

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 77 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 6, do total de 77 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 9, do total de 77 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Prévia do material em texto

Curso de Física Básica I – Complementos de Matemática. 
 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
 
 
 
 
 
 
Curso de Física Básica 
Complementos de Matemática 
 
 
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática II 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
 
 
 
 
 
 
 
Curso de Física Básica 
COMPL EME NT O S DE M AT E MÁT I CA 
 
 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física 
Universidade Federal de Mato Grosso do Sul 
 
 
 
 
 
 
 
 
Campo Grande – 2009 
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática III 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O material aqui apresentado pode ser livremente distribuído e utilizado, desde que citada a fonte. 
 
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática IV 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
Conteúdo 
Grandezas escalares e vetoriais ........................................................................................................ 1 
Representação de grandezas vetoriais ......................................................................................... 1 
Decomposição de vetores ............................................................................................................. 3 
Álgebra vetorial ............................................................................................................................. 4 
Cálculos de porcentagens ............................................................................................................... 16 
Potências de 10 ............................................................................................................................... 17 
Definição de potência de um número a ...................................................................................... 17 
Propriedades operatórias das potências..................................................................................... 18 
Notação científica ........................................................................................................................... 22 
Unidades de medida ....................................................................................................................... 23 
Cálculo de áreas e volumes ............................................................................................................ 23 
Derivada de uma função ................................................................................................................. 27 
Noção de derivada....................................................................................................................... 27 
Regras de derivação .................................................................................................................... 33 
Derivadas de ordem superior ...................................................................................................... 35 
Exercícios ..................................................................................................................................... 36 
Operação de diferenciação ......................................................................................................... 37 
Primitivas e Integrais ...................................................................................................................... 38 
Primitivas ou Antiderivadas ........................................................................................................ 38 
Regras de antidiferenciação ........................................................................................................ 40 
Integral Definida .......................................................................................................................... 42 
Exercícios ..................................................................................................................................... 45 
Sistemas de equações lineares ....................................................................................................... 46 
Sistemas de equações lineares homogêneas .............................................................................. 47 
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática V 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
Sistema de equações lineares não homogêneas ........................................................................ 49 
Trigonometria ................................................................................................................................. 52 
Círculo trigonométrico ................................................................................................................ 52 
Funções trigonométricas ............................................................................................................. 55 
Funções trigonométricas inversas ............................................................................................... 61 
Gráficos das funções trigonométricas ......................................................................................... 62 
Algumas relações importantes entre as funções trigonométricas ............................................. 65 
Lei dos co-senos para um triângulo qualquer ............................................................................. 68 
Matrizes e Determinantes .............................................................................................................. 68 
Adição de matrizes ...................................................................................................................... 69 
Multiplicação de Matrizes ........................................................................................................... 69 
Tipos de matrizes e algumas definições ...................................................................................... 70 
Determinantes de matrizes 2x2 e 3x3 ......................................................................................... 71 
A matriz inversa ........................................................................................................................... 72 
 
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática 1 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
Grandezas escalares e vetoriais 
Ao observarmos a Natureza, nos deparamos com dois tipos de grandezas físicas, as grandezas 
escalares e as grandezas vetoriais. 
Consideremos 1 kg de açúcar. Esta quantidade não necessita, para que tenhamos a compreensão 
do seu significado, nada além de um valor numérico e de uma unidade de medida. Quando isso 
acontece dizemos que temos uma grandeza de tipo escalar (ou, simplesmente, grandeza escalar): 
são grandezas que ficam completamente definidas pelo seu valor e unidade. Como exemplos 
desse tipo de grandeza, podemos citar: massa, tempo, distância, etc. Quando dizemos que a 
distância entre dois lugares é 20 km, fica claro o que isto significa, desde que tenhamos 
familiaridade com a unidade de medida km. 
Consideremos agora a seguinte situação: alguém nos diz que a velocidade de um carro é de 50 
km/h. Nesse caso, quando dizemos que a velocidade do carro é de 50 km/h temos noção da 
rapidez do movimento do corpo, mas logo surge a questão sobre qual direção e em qual sentido 
sobre essa direção o corpo está se movendo. Grandezas que necessitam para serem 
compreendidas além de um número e da unidade, indicando a quantidade da grandeza, mas para 
as quais precisamos definir uma direção e um sentido sobreessa direção são ditas grandezas de 
tipo vetorial (ou simplesmente grandezas vetoriais)1. 
Representação de grandezas vetoriais 
Uma forma de representarmos as grandezas vetoriais é usando o conceito de vetor, representado 
geometricamente por um segmento de reta orientado, cujo comprimento é proporcional ao valor 
da grandeza representada (chamado de módulo). A direção e o sentido desse segmento de reta 
orientado representam a direção e o sentido da grandeza vetorial que queremos representar. 
Graficamente, a grandeza vetorial (ou, simplesmente, vetor) é simbolizada por uma letra (que 
representa a grandeza vetorial) em negrito ou com uma seta sobre a letra, em tipo normal. 
 
1 De fato, a definição é um pouco mais complexa que esta. Uma definição matematicamente mais rigorosa, em termos das 
propriedades dos objetos frente a rotações do sistema de referências, será assunto do curso de Mecânica Clássica ou Física 
Matemática, no terceiro ano do curso de Física. 
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática 2 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
Por exemplo, a força sobre um objeto pode ser representada pelo símbolo F (notação em negrito) 
ou pelo símbolo F
�
 (notação com a seta). Graficamente (em desenhos ou esquemas): 
Quando nos referimos aos módulos dos vetores (por exemplo, de um vetor v) usamos uma das 
duas notações a seguir: |v| ou v. 
Por vezes, em desenhos, temos necessidade de representar vetores entrando ou saindo do plano 
da página. Nesse caso utilizaremos a seguinte convenção: se o vetor estiver saindo do plano da 
folha, ele é representado geometricamente por um ponto circundado (Á), como se fosse a ponta 
de uma flecha saindo da página. Se o vetor estiver entrando no plano da folha, ele é representado 
geometricamente por um x circundado (⊗), como se estivéssemos olhando uma flecha 
penetrando na página. 
A seguir daremos algumas definições sobre tipos de vetores: 
Vetores paralelos: Dois vetores são ditos paralelos se as retas que os suportam o forem. Veja a 
Figura 1. Observe que os sentidos dos vetores não interferem nessa definição (observe que os 
vetores F1 e F2 têm sentidos opostos). Alguns autores, quando os sentidos dos vetores são 
opostos, dizem que os vetores são antiparalelos. 
Figura 1- Vetores paralelos. 
Vetores iguais: dois vetores são ditos iguais se possuírem o mesmo módulo, a mesma direção e o 
mesmo sentido. Nesse caso podemos escrever: F1 = F2. Se os módulos e direção forem iguais, mas 
os sentidos forem opostos então escrevemos: F1 = - F2. 
Vetor unitário: são aqueles vetores cujo módulo é a unidade: |v| = 1. Esses vetores também são 
denominados versores. 
F1 
F2 
F3 
F F ou 
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática 3 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
Vetor nulo: é o vetor cujo módulo é nulo, indicado por 0 ou 0��: v = 0 ou . � � 0��. Para o vetor nulo 
não podemos indicar direção ou sentido. 
Decomposição de vetores 
Todo vetor no plano pode ser escrito como a soma de dois vetores perpendiculares entre si, 
chamadas de componentes do vetor. 
Considere o vetor mostrado abaixo: 
Vamos construir um sistema de eixos cartesianos que tem por origem (designada por O) a 
extremidade do vetor v (veja a Figura 2). 
Figura 2 - Decomposição de um vetor. 
Os vetores vx e vy são, respectivamente, as componentes do vetor na direção de x e na direção y. 
Como podemos ver diretamente da Figura 2, usando as definições de seno e co-seno, os módulos 
de cada uma destas componentes é dado por: 
vx = v cos (θ) e vy = v sen (θ). 
v 
y 
x 
v 
θθθθ 
vx 
vy 
O 
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática 4 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
Figura 3 
Assim, podemos escrever o vetor v como a soma das suas componentes (veja a Figura 3): 
v=vx + vy 
Usando o teorema de Pitágoras, o módulo do vetor v pode ser escrito em função dos módulos de 
suas componentes: 
2 2
x yv v v= + . 
O ângulo entre o vetor e o eixo x pode ser expresso em termos das componentes do vetor v como: 
y y
x x
v v
tag (θ) ou seja, θ = arctg
v v
   
=    
    .
 
Podemos escrever cada componente do vetor v em termos de dois vetores unitários, um na 
direção x, chamado ex, e outro na direção y, chamado ey: 
cos(θ) sin(θ)
x x x y
x y
v v
v v
= +
= +
v e e
v e e
 
Álgebra vetorial 
Podemos multiplicar um vetor por um escalar, somar, subtrair ou multiplicar dois ou mais vetores 
usando a decomposição em componentes vista na seção anterior. 
Multiplicação de um vetor por um escalar 
Supondo o vetor F e um número k (k um número real), o vetor R, resultante da multiplicação do 
vetor F por k (R = kF ), terá o módulo (valor) igual ao módulo de F multiplicado pelo módulo de k 
e a mesma direção do vetor F. 
O sentido do vetor resultante R será: 
 1o) mesmo sentido de F se k > 0 
v = vx + vy 
vx 
vy 
θθθθ 
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática 5 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
2o) sentido oposto de F se k < 0. 
A situação é mostrada na Figura 4. 
Figura 4 – (a) Vetor resultante da multiplicação do vetor F por um escalar positivo; (b) Vetor 
resultante da multiplicação do vetor F por um escalar negativo. 
 
Exemplo 1 
Seja o vetor F, mostrado Figura 5, cujo módulo é 5 m. Qual será o vetor resultado da multiplicação 
de F por k = 2 e por k = –2? 
Solução 
1) Multiplicação por k = 2. 
O módulo do vetor resultante será R = 2 F = 2 x 5 m = 10 m e a direção e o sentido são mostrados 
na Figura 5 (essa figura está em escala com a figura do vetor F): 
 
Figura 5 
2) Multiplicação por k = -2. 
O módulo do vetor resultante será R = |-2| F = 2 x 5 m = 10 m. Agora, no entanto, o sentido será 
oposto ao sentido do vetor F (Figura 6). 
R = 2 F 
F 
F 
R = kF 
F R = kF 
(a) 
(b) 
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática 6 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
 
Figura 6 
Esse é um caso simples em que o vetor a ser multiplicado estava na direção horizontal. Se 
tivermos um vetor que é dado pelas suas componentes a multiplicação por um escalar também é 
bastante simples: basta multiplicarmos cada componente do vetor pelo escalar. Por exemplo, seja 
o vetor F dado através de suas componentes: 
x x y y x x y y
F F k kF kF= + ⇒ = +F e e F e e
 
O módulo do vetor resultante será dado por: 
2 2 2 2 2 2| | | |x x x xk k F k F k F F k= + = + =F F 
Como antes, o módulo do vetor fica multiplicado pelo módulo do escalar. 
Adição de vetores 
O vetor soma de dois ou mais vetores é também chamado de vetor resultante. A adição de vetores 
é um pouco mais complicada que a adição de escalares. Isto porque temos que somar tanto os 
módulos dos vetores envolvidos, assim como as direções e os sentidos. Existem vários métodos 
para fazer isso. Analisaremos aqui os três mais usados: o método algébrico, o método geométrico 
e o método do paralelogramo. 
Método algébrico 
No método algébrico somamos os vetores envolvidos componente a componente. A componente x 
do vetor resultante será a soma das componentes x de cada um dos vetores sendo somados e a 
componente y do vetor resultante será a soma das componentes y de cada um dos vetores sendo 
somados. Assim, se temos n vetores F1, F2, ..., Fn o vetor resultante será dado por: 
1 2
1 2
1 2
...
...
...
n
x x x nx
y y y ny
F F F F
F F F F
= + + +
= + + +
= + + +
F FF F
 
R = - 2 F 
F 
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática 7 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
 
Figura 7 - Soma de vetores pelo método algébrico. 
Por exemplo, considere os vetores mostrados na Figura 7. O vetor F1 é dado por: F1 = 3 ex + 4 ey 
enquanto o vetor F2 é dado por: F2 = 5 ex + 1 ey. Portanto, o vetor resultante que indicaremos por F, 
será dado por: 
1 2
(3 5) (4 1)
8 5
x y
x y
= +
= + + +
= +
F F F
F e e
F e e
. 
O vetor resultante, F, também é mostrado na Figura 7. 
O método algébrico é muito útil quando temos que somar três ou mais vetores ou quando os 
vetores existem em um espaço de ordem maior que 2 (vetores no espaço tridimensional, por 
exemplo). 
Método geométrico 
O método geométrico atualmente é pouco usado. Em problemas práticos o método algébrico se 
mostra mais adequado. Somar geometricamente dois vetores é bastante tedioso e difícil para 
quem não tenha boa habilidade manual. 
F1 
F2 
3 5 
1 
4 
y 
x 
5 
8 
F 
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática 8 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
A seguir daremos um método (algoritmo) 
para efetuarmos esse tipo de soma. 
1) Suponha que queiramos somar dois 
vetores F1 e F2 mostrados na parte (a) da 
Figura 8. Translada-se uns dos vetores, 
unindo a origem de um ao extremo do 
outro, como mostrado na Figura 8, parte 
(b). 
Mede-se o comprimento do vetor Fr e o ângulo que ele faz com um dos vetores da soma. 
Figura 9 – Soma de vetores pelo método algébrico quando temos mais que dois vetores. 
2) Para adicionar vetorialmente mais que dois vetores, translade cada vetor unindo a origem de 
um ao extremo do próximo, o vetor resultante é o vetor, cuja origem coincide com a origem do 
primeiro vetor e o extremo com o extremo do último vetor. Veja a Figura 9. 
Método do paralelogramo 
Translade um dos vetores unindo as origens dos dois. A seguir, construa o paralelogramo como 
mostrado na Figura 10. Nessa figura, θ é o ângulo formado entre os dois vetores F1 e F2. 
O módulo do vetor resultante será dado por: 
2 2
r 1 2 1 2
F F F 2F F cos= + + θ
.
 
 
 
 
Figura 8 - Soma de vetores pelo método geométrico. 
F1 
F2 
Fr 
F1 
F2 
(a) (b) 
(a) 
F4 
F3 
F2 
F1 
Fr 
F1 
F2 
F3 
F4 
(b) 
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática 9 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
Figura 10 - Soma de vetores pelo método do paralelogramo. 
Subtração de Vetores 
Para subtrairmos dois vetores, de fato, usamos a operação de multiplicação por um escalar 
seguida de uma operação de soma. Subtrair dois números é somar o primeiro com o negativo do 
segundo número. Assim, por exemplo: 5 – 2 = 5 + (-2) 
Da mesma forma, subtrair dois vetores é somar um deles com o negativo do outro: 
F = F1 – F2 
Ou seja, realizando a seguinte operação: 
F = F1 + (-F2) 
A soma pode ser feita por qualquer um dos métodos discutidos acima. Graficamente, por 
exemplo, procedemos como mostrado na Figura 11. 
Figura 11 – Subtração de dois vetores. 
Multiplicação de um vetor por outro 
Diferentemente da multiplicação de números reais, para os quais temos apenas um tipo de 
operação definida, a multiplicação vetorial pode ser definida de várias maneiras. Para a Física, dois 
tipos de multiplicação vetorial são importantes: o produto escalar e produto vetorial. 
F1 
F2 
F1 
- F2 
(a) (b) 
- F2 
F1 
F1 – F2 
(c) 
F1 
F2 
Fr 
θθθθ 
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática 10 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
Produto escalar 
Por definição, o resultado do produto escalar é um escalar. Sejam dois vetores F1 e F2, dados por 
suas componentes ao longo do eixo x e eixo y: 
1 1 1
2 2 2
x x y y
x x y y
F F
F F
= +
= +
F e e
F e e
 
Definimos o produto escalar entre os dois vetores F1 e F2 por: 
( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2x x y y x x y y x x y yF F F F F F F F⋅ = ⋅ = + ⋅ + = +F F F F e e e e 
Essa forma de escrever o produto escalar pode ser ainda mais simplificada se escrevermos cada 
componente de um vetor em um sistema de coordenadas onde um dos vetores está sobre um dos 
eixos, por exemplo, o vetor F2 (Figura 12). 
 Nesse caso, as componentes dos vetores se escrevem: 
F1x = F1 cos (θ); 
F1y = F1 sen (θ); 
F2x = F2; F2y = 0. 
Portanto, o produto escalar também pode ser escrito como: 
( ) ( )
[ ]
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1
1 2 1 2
cos( ) sin( ).0
cos( )
x x y y
F F F F
F F F
F F
⋅ = +
⋅ = θ + θ
⋅ = θ
F F
F F
F F 
Obtivemos o resultado acima supondo que um dos eixos 
coordenados fosse coincidente com um dos vetores. No entanto, 
como você verá mais tarde em outras disciplinas, um escalar é um 
invariante frente a rotações nos sistemas de eixos coordenados e, 
portanto, o resultado acima é geral e válido mesmo se os eixos 
coordenados não forem coincidentes com um dos vetores. 
Podemos demonstrar esse resultado usando a lei dos co-senos 
para um triângulo qualquer. Observe o triângulo mostrado na 
 
Figura 12 
F1 
F2 x 
y 
θ 
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática 11 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
Figura 13. 
Pela lei dos co-senos, podemos relacionar os lados do triângulo (indicados por a, b e c) e o co-seno 
do ângulo α pela expressão: 
2 2 2 2 cos( )a b c ab= + + α 
Consideremos agora dois vetores a e b, como mostrados na Erro! Fonte de referência não 
encontrada. Figura 13 - Lei dos co-senos. 
Observe que os dois vetores formam um triângulo com lados |a|, |b| e |c| = |a – b|. 
Vamos aplicar a regra dos co-senos a esse triângulo: 
2 2 2| | | | | | 2| || |cos= + − αc a b a b eq. 1 
Figura 14 - Triângulo formado por dois vetores. 
O módulo do vetor c pode ser escrito como: 
2 2
2
2 2 2
| | . ( ).( )
. .
2
c
c
c a b
≡ = = − −
= − −
= + −
c c c a b a b
a a a b b.a + b.b
a.b
 
 
α 
a 
b 
c = a - b 
α b 
c 
a 
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática 12 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
Portanto, a lei dos co-senos (eq. 1) pode ser reescrita como: 
2 2 2
2 2 2 2
| | | | | | 2| || |cos( )
2 2 cos( )a b a b ab
= + − α
+ − = + − α
c a b a b
a.b
 
cos( )ab= αa.b eq. 2 
Portanto, o produto escalar de dois vetores pode ser escrito como o produto entre os módulos 
dos vetores pelo co-seno do ângulo entre eles. 
Um resultado extremamente importante, e que deve ser lembrado sempre, é que o produto de 
dois vetores unitários é 1 se multiplicarmos um vetor por ele mesmo e zero se multiplicarmos dois 
vetores diferentes: 
= = 0
= 1
x y x z z y
x x y y z z
⋅ = ⋅ ⋅
⋅ = ⋅ ⋅ =
e e e e e e
e e e e e e
 
Produto vetorial 
O produto vetorial é outra forma de definir a multiplicação entre dois vetores. Ao contrário do 
produto escalar, o produto vetorial tem por resultado um vetor. 
Esse vetor é sempre perpendicular ao plano que contém os dois vetores sendo multiplicados (veja 
a Figura 15). O símbolo do produto vetorial é o sinal de multiplicação (×). Dados dois vetores F1 e 
F2, o produto vetorial é indicada por: 
1
= × 2F F F . 
Figura 15 - Produto vetorial de dois vetores. 
F1 
F2 
θθθθ 
F = F1 ×××× F2 
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática 13 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
Podemos obtero vetor resultado do produto vetorial a partir do cálculo do determinante formado 
pelos vetores unitários e as componentes de cada um dos vetores: 
( ) ( ) ( )1 1 1 11 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2
x y z
x y x yz z zy z z y x x z x y y x
x y z
F F F FF F F F F F F F F F F
F F F
= = − + − + −
e e e
e e eF 
 
eq. 3 
Observe que o cálculo do produto vetorial, definido pelo determinante mostrado acima (eq. 3), 
fornece, automaticamente, a direção e o sentido do vetor produto. Uma forma prática de obter-se 
a direção e o sentido do vetor obtido a partir do produto vetorial é dada pela regra da mão 
direita: 
Alinhe o dedo indicador da mão direita com o vetor F1 e o dedo anular com o 
vetor F2, de modo que o dedão forme um ângulo reto com o dedo indicador. O 
dedão indicará o sentido do vetor resultante. 
Observe a ordem em que escrevemos as linhas no determinante: a primeira linha é a dos vetores 
unitários, a segunda é formada pelas componentes do primeiro vetor e a terceira linha é composta 
pelas componentes do segundo vetor. Diferentemente do produto escalar, o qual pode ser 
definido para vetores com qualquer dimensionalidade, o produto vetorial apenas pode ser 
definido em três ou mais dimensões. 
Outro ponto importante e que diferencia os dois tipos de multiplicação vetorial diz respeito à 
ordem de multiplicação. No produto escalar a ordem não importa (F1.F2 = F2.F1), ou seja, o 
produto escalar é comutativo. Já no produto vetorial, definido através de um determinante, a 
ordem importa. Trocar a ordem do produto vetorial significa trocar a ordem de duas linhas no 
determinante e, quando fazemos isso, o determinante muda de sinal. Portanto: 
1 2 1
× = − ×
2
F F F F
. 
Como qualquer outro vetor, o módulo do produto vetorial é dado pela raiz quadrada da soma dos 
quadrados das suas componentes: 
( ) ( ) ( )2 22 211 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 .zy z z y x x z x y y xFF F F F F F F F F F F× = − + − + −2F F eq. 4 
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática 14 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
Vamos mostrar agora que o módulo do vetor produto vetorial é dado por: 
1 2
F = F F sen(θ) 
Figura 16 – Paralelogramo formado por dois vetores no produto vetorial. 
Considere a Figura 15. Podemos formar um paralelogramo com os dois vetores F1 e F2, como 
mostrado na Figura 16. Observe que a área desse paralelogramo é dada pelo produto da base, 
formada pelo vetor que chamamos F1 pela altura h: 
1
| |
p
A h= F 
A altura h por sua vez pode ser escrita em função do vetor F2: 
2 1 2| | sin( ) | || | sin( )= α ⇒ = αph AF F F eq. 5 
Vamos agora tomar o quadrado da expressão acima: 
( )
2
2 2 2
1 2
2
2 2 2
1 2
2
2 2 2 2 2
1 2 1 2
| | | | sin ( )
| | | | 1 cos
| | | | | | | | cos
p
p
p
A
A
A
  = α 
  = − α 
  = − α 
F F
F F
F F F F
 
( )2 22 21 2 1 2| | | | .pA  = −  F F F F eq. 6 
Na última igualdade fizemos uso da eq. 2. Temos agora que escrever explicitamente quem são os 
módulos ao quadrado e o produto escalar que estão indicados na eq. 6: 
( )
1 1 1 2 2 2
2 22 2
1 2 1 2
2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
| | | | .
x y z x y z
p
p x x y y z z
A
A F F F F F F F F F F F F
  = − 
      = + + + + − + +      
F F F F
 
F1 
F2 
θθθθ h 
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática 15 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
Vamos agora abrir os colchetes e escrever explicitamente os produtos entre as componentes dos 
vetores: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 1 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 22 2
1 2 1 2 1 2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
22 2
1 2 1 2 1 2
22 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2
x y z x y zp x x y y z z
p x x x y x z
y x y y y z
z x z y z z
x x y y z z x x y y y y z
A F F F F F F F F F F F F
A F F F F F F
F F F F F F
F F F F F F
F F F F F F F F F F F F F F
      = + + + + − + +      
  = + + + 
+ + +
+ + −
+ + + +
1 2 1 2
2
z x x z z
F F F F +  
 
Observe que há termos que se cancelam devido ao sinal de menos na frente do colchete (são os 
termos ressaltados pelo sinal de na expressão). Eliminando esses termos temos: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2
p x y x z y x y z z x z y
x x y y y y z z x x z z
A F F F F F F F F F F F F
F F F F F F F F F F F F
  = + + + + + − 
− −
 
Vamos agrupar agora de forma conveniente os termos que aparecem nessa expressão, 
procurando formar produtos notáveis do tipo ( )2 2 2– 2a b a b ab= + − : 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2
2
2
p x y y x x x y y
x z z x x x z z
y z z y y y z z
A F F F F F F F F
F F F F F F F F
F F F F F F F F
   = + − +    
 + − +
 
 + −  
 
[ ]2 2 221 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2p x y y x x z z x y z z yA F F F F F F F F F F F F     = − + − + −      eq. 7 
Essa é a expressão que procurávamos. Vamos agora comparar a eq. 7 com a eq. 4. Vemos que a 
eq. 7 é a eq. 4. Portanto, podemos identificar o lado direito da eq. 7 com o quadrado do módulo 
do produto vetorial dos vetores F1 e F2: 
1 2
| |
p
A = ×F F 
Por outro lado, vimos pela eq. 5 que essa área também pode ser expressa por F1F2 sen(α). 
Portanto, podemos igualar o módulo do produto vetorial a essa expressão: 
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática 16 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
1 2 1 2
| | senF F× = αF F
 
 
Cálculo de porcentagens 
A porcentagem representa o quanto uma parte representa em relação ao todo. O nome 
porcentagem vem de por cento, indicando a resposta à seguinte pergunta: de 100 partes, quantas 
correspondem à quantidade que eu quero? 
Por exemplo, considere o número de carros vendidos em um fim de semana por uma revenda 
autorizada. Digamos que 30 % dos carros vendidos tinham a cor azul. Então podemos interpretar 
esse valor da seguinte forma: de cada 100 carros vendidos 30 carros tinham a cor azul. Observe 
que não precisamos ter vendido exatamente 100 carros, apenas a interpretação é essa. 
Mas como saber quanto, percentualmente, uma parte representa do Todo? É simples: dado o 
valor de uma parte e do Todo, para obtermos o quanto percentualmente essa parte representa, 
basta que dividamos o valor da parte pelo valor do Todo e multipliquemos por 100 (cem). 
Matematicamente, se chamamos de T% a taxa percentual, de Vp o valor da parte e VT o valor do 
Todo, a taxa percentual será obtida a partir de: 
%
100
p
T
V
T
V
= × 
Exemplo 2 
Em um armazém são vendidos 8,4 kg de manteiga com sal para uma venda total de manteiga (com 
e sem sal) de 91,5 kg. Quanto a quantidade de manteiga com sal vendida (8,4 kg) representa 
percentualmente sobre a quantidade total de manteiga vendida (91,5kg)? 
Solução 
Nesse caso, o valor da parte (Vp) vale 8,4 kg, o valor total (VT) vale 91,5 kg e a taxa percentual (T%) 
será dada por: 
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática 17 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
%
%
%
100
8,4
100
91,5
9,18 %
p
T
V
T
V
T x
T
= ×
=
=
 
Portanto, 8,4 kg representam 9,18 % (nove vírgula dezoito por cento) de 91,5 kg. Podemos 
interpretar esse resultado da seguinte maneira: de cada 100 kg de manteiga vendidas, 9,18 kg 
serão do tipo com sal. 
Potências de 10 
Uma das operaçõesmatemáticas mais importantes para o estudo da Física é a operação de 
potenciação. Essa é a operação que nos permite obter um número b por sucessivas multiplicações 
de um número a. 
Definição de potência de um número a 
Definimos a potência n de um número a, chamada de b, ao número obtido por n-1 multiplicações 
do número a por ele mesmo: 
. . ...nb a a a a a= ≡ 
eq. 8 
 
 
O número a é chamado de base da potência e o número n é chamado de expoente da potência. 
Por exemplo: 
2
2
5 5 5 25
5
n
b b
a
=
= → → = × =
= .
 
Podemos ter um número multiplicando a potência. Esse número é o coeficiente da potência. 
Quando esse número não está escrito explicitamente seu valor é 1. Por exemplo: 
23 5 3 (5 5) 3 25 75b = × = × × = × = 
a multiplicado n-1 
vezes por ele mesmo. 
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática 18 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
O coeficiente nesse caso é o número 3. Em geral, portanto, podemos escrever uma potência na 
forma: 
 
eq. 9 
Geralmente, nos problemas relevantes em Física, precisamos trabalhar com literais ao invés de 
números. Nesse caso, a definição de um literal b como sendo o literal a multiplicado certo número 
de vezes por ele mesmo é a mesma dada pela eq. 9. 
Propriedades operatórias das potências 
Vamos agora analisar as propriedades operatórias das potências de números reais. 
Adição de potências 
Somente podemos somar potências de mesma base e mesmo expoente. Se essa condição for 
satisfeita, a soma é dada pela soma dos coeficientes das potências: 
α β (α+β)n n nb a a a= + = 
Veja os exemplos a seguir. 
Tabela 1 – Exemplos de operações permitidas e operações não permitidas ao somarmos 
potências. 
Operação permitida Operação não permitida Observação 
b = 3×52 + 2×52=(3+2) ×52=5×25=125 b = 3×52 + 2×53 Expoentes diferentes 
b = 3×55 + 4×55=(3+4) ×55 
b =7×3125=21875 
b = 3×55 + 4×35 Bases diferentes 
b = 3x2 + 2x2 = 5x2 b = 3x2 + 2x3 Expoentes diferentes 
b = 4x3 - 2x3 = 2x3 b = 3y2 - 2x2 Bases diferentes 
β β( . . ... )nb a a a a a= =
Coeficiente 
a multiplicado n-1 vezes por ele 
mesmo. 
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática 19 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
Multiplicação de potências 
Podemos multiplicar duas ou mais potências desde que estas tenham a mesma base. Nesse caso 
multiplicamos os coeficientes e somamos os expoentes, mantendo a base: 
( )( ) ( )α β α.βn m n mb x x x += = 
 
Veja os exemplos: 
1. b = (2.32) . (5.33) = (2.5)32+3 = 10.35= 10.243 = 2430; 
2. b = (5x2)(6x3) = (5.6)x2+3 = 30 x5 
Divisão de potências 
De fato, a divisão de potências se reduz à multiplicação. Para dividirmos potências de mesma base 
devemos dividir os coeficientes, mantendo a base. O expoente da divisão é o expoente do 
numerador menos o expoente do denominador: 
α α
β β
n
n m
m
x
b x
x
−
= = 
Veja os exemplos: 
1. 
2
2 1 18.3 83 4.3 12
2.3 2
b −= = = = 
2. 
5
5 3 2
3
6 6
2
3 3
x
b x x
x
−
= = = 
3. 
5
5 6 1
6
9 9
3
3 3
y
b y y
y
− −
= = = 
Afirmamos acima que a divisão de potência é, de fato, uma operação de multiplicação. Vamos 
definir o inverso de uma potência pela operação: 
1
1n n n
n
b b b
b
− −
= ⇒ = 
eq. 10 
 
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática 20 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
Então, a divisão de duas potências de mesma base pode ser escrita como: 
( )
n
n m n m
m
b
b b b
b
− −
= = . 
Da eq. 10, segue a seguinte propriedade das potências: qualquer potência elevada ao expoente 0 
(zero) vale 1: 
0 0 0 0 0 1b b b b− −= = = 
Naturalmente que o inverso também é verdade: o número 1 pode ser escrito como uma potência 
de qualquer base elevada ao expoente zero2. Usando esse resultado, podemos escrever a 
operação de divisão como uma operação de multiplicação pelo inverso do divisor: 
α α 1 α α
. .
β β β β
n
n n m n m
m m
x
b x x x x
x x
− −
     
= = = =     
     
 
Potência de uma potência e radiciação de uma potência 
Para tomarmos a potência (m) de uma potência (cujo expoente é n) devemos tomar o coeficiente 
da potência e elevá-lo no expoente m no qual a potência está sendo elevada e multiplicar os 
expoentes, mantendo a mesma base: 
.(α ) αn m m m nb x x= = 
A operação de tomar a raiz de uma potência, radiciação, pode ser reduzida à operação de tomar a 
potência de uma potência: 
1/ 1/ /( )n n m m n mmb ax ax a x= = = 
Vejas os exemplos: 
1. 2 3 3 2.3 6(5 2 ) 5 2 125 2 125 64 8000b = × = × = × = × = ; 
2. 6 6 1/2 1/2 6/2 34 3 (4 3 ) 4 3 2 3 2 27 54b = × = × = × = × = × = ; 
3. ( )23 2 3.2 2 6.b ax a x a x= = = ; 
 
2
 Uma exceção a essa regra é a potência cuja base é zero. 
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática 21 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
4. ( )1/33 5 5 1/3 5/3b ax ax a x= = = 
O quadro mostrado na Tabela 2 resume as operações com potências. 
Tabela 2 – Quadro resumos das operações com potências. 
Operação Regra Comentário 
Soma α β (α+β)n n nb a a a= + = Podemos apenas somar potências de 
mesmo expoente e mesma base. 
Subtração α β (α-β)n n nb a a a= − = Podemos apenas subtrair potências de 
mesmo expoente e mesma base. 
Multiplicação ( )( ) ( )α β α.βn m n mb x x x += = Podemos apenas multiplicar potências de 
mesma base. 
Divisão α α
β β
n
n m
m
x
b x
x
−
= = 
Podemos apenas dividir potências de 
mesma base. 
Potenciação .(α ) αn m m m nb x x= = 
Radiciação 1/ 1/ /( )n n m m n mmb ax ax a x= = = 
 
 
 
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática 22 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
Notação científica 
Ao estudarmos a Natureza por vezes nos deparamos com números que são ou muito grandes ou 
muito pequenos. A distância Terra – Sol é de 150.000.000 km (cento e cinqüenta milhões de 
quilômetros) ou o valor de um ano-luz, 9.500.000.000.000 (nove trilhões e meio de quilômetros) 
pertencem ao primeiro grupo. Já o raio atômico, da ordem de 0,000.000.000.1 pertencem ao 
segundo grupo, o dos números muito pequenos. Escritos nessa forma, operar com esses números 
é difícil e, facilmente, são produzidos erros. Daí a necessidade de termos uma notação mais 
conveniente, a notação científica. 
Para entendermos a notação científica devemos nos lembrar que nosso sistema de escrever 
números é posicional. Nesse tipo de sistema, o valor de um algarismo não é absoluto (como no 
sistema de números romanos), mas é determinado por sua posição. Por exemplo, no número 52 o 
algarismo 2 vale duas unidades enquanto o algarismo 5 vale 50 unidades (cinco dezenas). Já no 
número 25, os papéis se invertem: o algarismo 2 vale 20 unidades (2 dezenas) e o algarismo 5 vale 
5 unidades. 
Além de ser um sistema posicional, o nosso sistema numérico é de base 10. Todo número é escrito 
na forma de uma soma de potências de 10. Por exemplo, o número 634 pode ser escrito como3: 
634 = 6x100 + 3x10 +4x1 
634 = 6x102 + 3x101 + 4x100 
A notação científica explora justamente essas duas características de nosso sistema numérico. A 
idéia é escrever todos os números na forma de um coeficiente e de uma potência apropriada do 
número 10, a base do sistema. Para escrever um número em notação científica basta seguir os 
passos abaixo: 
1. Desloque a vírgula para a esquerda se o número for maior que 10 ou para a direita se onúmero for menor que 1 até obter um número entre 1,0 e 9,9. Considere os números 1456 e 
0,0034. Então: 
1456,0 → 1,456 
 
3 Lembre que qualquer potência cujo expoente é zero vale 1. 
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática 23 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
0,0034 → 0003,4 
2. Multiplique o número obtido por uma potência de 10 cujo expoente será o número de casas 
que a vírgula foi deslocada e o sinal será positivo se a vírgula foi deslocada para a esquerda e, 
negativo, se a vírgula foi deslocada para a direita: 
1456,0 → 1,456x103 
0,0034 → 3,4x10-3 
Todo número pode ser escrito dessa forma. A distância Terra – Sol se escreve nessa notação como: 
150.000.000 km = 1,5 x108 km 
E a distância em km de um ano luz, aproximadamente: 
9.500.000.000.000 km = 9,5 x 1012 km 
Já o raio de um átomo: 
0,000.000.000.1 m = 1x10-10 m 
Unidades de medida 
Ver Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Capítulo I. 
Cálculo de áreas e volumes 
Na Tabela 3 mostramos as equações para o cálculo da área das principais figuras planas e na 
Tabela 4 as equações para o cálculo do volume dos principais sólidos. 
 
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática 24 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
Tabela 3 – Fórmulas para as áreas das principais figuras planas 
Nome da figura Desenho Fórmula da área (A) e do 
comprimento do perímetro (C) 
Círculo de raio R 
 
2
2
A R
C R
pi
pi
=
=
 
Quadrado de lado a 
 
2
4
A a
C a
=
=
 
Retângulo de lados a e 
b 
 
.
2 2
A a b
C a b
=
= +
 
Elipse de semi-eixos a 
e b 
 
2 2
.
2 (aproximado)
2
A a b
a bC
pi
pi
=
+
≅
 
Não existe fórmula exata para o 
comprimento da elipse usando-se 
funções elementares. 
R 
a 
a 
b 
a 
a 
b 
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática 25 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
Triângulo de base b e 
altura h. 
 
2
bhA
C a b c
=
= + +
 
Paralelogramo de 
altura h e de lados a e 
b. 
 
2 2
A bh
C a b
=
= +
 
Trapézio de altura h, 
base menor a e base 
maior b. 
 
( )
2
a bA h
C a b c d
+
=
= + + +
 
 
 
b 
h 
c a 
h 
b 
a 
a 
b 
d c 
h 
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática 26 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
Tabela 4 – Fórmula para o cálculo dos principais sólidos 
Nome da figura Desenho Fórmula do volume (V) e da 
área da superfície (S) 
Esfera de raio r. 
 
3
2
4
3
4
V r
S r
pi
pi
=
=
 
Paralelepípedo de arestas a, 
b e h. 
 
. .
2( . . . )
V a b h
S a h a b b h
=
= + +
 
Cone de base circular de 
altura h e raio da base r. 
 
( )
2
2 2
3
V r h
S r r r h
pi
pi
=
= + +
 
Cilindro de altura h e raio da 
base r. 
 
2
2 ( )
V r h
S r r h
pi
pi
=
= +
 
 
 
 
r 
a 
h 
b 
r 
h 
r 
h 
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática 27 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
Derivada de uma função 
Noção de derivada 
Um problema comum ao tratarmos com sistemas físicos é colocado pela seguinte questão: qual é 
a taxa de variação no tempo do estado dinâmico de um sistema físico? Colocando em outros 
termos, poderíamos perguntar: qual a taxa de variação no tempo das propriedades do sistema, 
descritas por suas variáveis de estado? Devemos lembrar que entendemos por estado dinâmico de 
um sistema físico o conjunto de variáveis de estado que descrevem o sistema em certo instante de 
tempo4. 
Considere o seguinte exemplo. Uma partícula se desloca no espaço seguindo a trajetória mostrada 
na Figura 17. Em um instante de tempo inicial a partícula está na posição 1 e após certo intervalo 
de tempo ∆t está na posição 2. Nesse caso, o sistema físico de interesse é a própria partícula e as 
variáveis que descrevem o estado dinâmico são as componentes dos vetores posição, que localiza 
a posição da partícula, e o vetor velocidade. Por simplicidade esses vetores não são mostrados na 
figura, pois estamos analisando um caso de movimento em uma única dimensão. 
Figura 17 - Movimento de uma partícula (caso unidimensional). 
A taxa de variação da posição da partícula, a qual chamaremos por Tr, é dada simplesmente pela 
razão entre a variação da posição e o tempo que foi gasto para que esta variação ocorresse. 
Supondo que no instante de tempo t1 a partícula ocupasse a posição x1 e que no instante de 
tempo t2 a partícula ocupasse a posição x2, podemos escrever
5: 
 
4
 Ver o Capítulo II do Volume I. 
5 A letra grega ∆ (lê-se delta maiúscula) indica uma variação da grandeza que está a sua direita. 
x 
z 
y 
x2 
x1 
Posição 1 
Posição 2 
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática 28 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
2 1
2 1
r
x x x
T
t t t
− ∆
= =
− ∆
 
Essa expressão nos informa o quanto que varia a posição da partícula para cada unidade de 
variação do tempo. 
De uma forma geral, se temos uma função f que depende de uma variável x podemos definir a 
taxa média de variação da função, a qual chamaremos por Tf, quando a variável x muda de um 
valor x1 para x2 como sendo
6: 
2 1
2 1
( ) ( )
f
f x f x
T
x x
−
=
−
 
eq. 11 
Nessa expressão, f(x2) e f(x1) denotam, respectivamente, os valores assumidos pela função 
quando os valores da variável x são x1 e x2. A interpretação dessa expressão é a mesma da anterior 
para a posição: ela nos indica quantas unidades a função varia quando variamos a variável x de 
certo número de unidades. 
Podemos escrever que a variação no valor da variável x ocorra por um acréscimo de certa 
quantidade. Chamaremos esse acréscimo por ∆x. Desse modo, podemos escrever que 
2 1x x x= + ∆ e que o valor da função para o valor x2 pode ser expresso como: 2 1( ) ( )f x f x x= + ∆ . 
Usando essa notação, a expressão eq. 11 para a taxa média de variação da função f pode ser 
escrita como: 
1 1( ) ( )
f
f x x f x
T
x
+ ∆ −
=
∆
 
eq. 12 
Observe que agora o denominador foi escrito somente em termos da variação da variação da 
variável x uma vez que 2 1 1 1x x x x x x− = + ∆ − = ∆ . Outro ponto que deve ser observado é que a 
expressão eq. 12 para a taxa de variação da função é escrita em termos do valor x1 da variável. 
Generalizando, podemos escrever que, quando a variável x varia de certa quantidade ∆x a taxa 
média de variação da função f pode ser escrita como: 
 
6
 Para um matemático, essa frase deveria ser escrita como: uma função f que descreve como uma variável, digamos y, depende da 
variável independente x (y=f (x)). Os físicos, contudo, usam esse atalho lingüístico, falando em função f(x). 
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática 29 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
( ) ( )
f
f x x f x
T
x
+ ∆ −
=
∆
 
eq. 13 
Essa expressão para a taxa de variação da função f tem um problema no que diz respeito à 
informação que está contida em Tf. Considere a função mostrada na 
 
 
Figura 18. Nessa figura, temos representada a função sen(x). 
Consideremos a taxa de variação dessa função no intervalo [0;3,14]. A taxa média de variaçãoda 
função sen(x),a qual denotaremos por Tsen é dada por: 
seno
sen(3,14) sen(0) 0 0 0
0
3,14 0 3,14 3,14
T
− −
= ≅ = ≅
−
 
Ou seja, a informação que temos a partir da taxa média de variação da função f nos diz que a 
função variou de 0 (aproximadamente) quando a variável x variou de 3,14. Olhando o gráfico, no 
entanto, vemos que a função variou bastante no intervalo indo de 0 a 1 e depois voltando a zero, 
o que não está expresso na taxa de variação calculada. O que aconteceria se tomássemos um 
intervalo menor agora? Por exemplo, calculemos a taxa de variação da função entre o ponto x = 0 
e x = 1,6. Usando a eq. 11, temos que: 
sen(1,5) sen(0) 0,997 0 0,997
0,665
1,5 0 1,5 1,5
seno
T
− −
= ≅ = ≅
−
 
Esse resultado nos diz que para cada valor de x no intervalo 0 e 1,5 a função cresce 0,665. Se 
tomarmos uma variação na variável x de 0,5 unidades, então a função deveria crescer 0,665*0,5 = 
0,333 unidades, aproximadamente. Portanto, o valor da função deveria ser esse: f(0,5) = 0,333. 
Comparando com o gráfico mostrado, embora tenhamos melhorado a informação que temos 
sobre a variação da função ainda não temos um valor acurado, já que pelo gráfico vemos que a 
função vale aproximadamente7 0,479 para x = 0,5. 
 
 
7
 Esses valores podem ser confirmados se você tiver uma calculadora científica. 
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática 30 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
 
 
Figura 18 - Função f(x) = seno(x). 
O que aconteceria se tomássemos um intervalo menor ainda, digamos [0;0,1]? Calculemos a taxa 
média de variação da função para esse intervalo: 
seno
sen(0,1) sen(0) 0,099 0 0,099
0,999
0,1 0 0,1 0,1
T
− −
= ≅ = ≅
−
 
Portanto, para esse valor da taxa média de variação da função implica em que o valor da função 
em x = 0,2 deveria ser 8: f (0,2) = 0,999*0,2 = 0,1998. Esse valor está muito próximo do valor 
verdadeiro do sen(0,2) que é 0,1986. 
Qual a conclusão que podemos tirar desse exercício? À medida que diminuímos o tamanho do 
intervalo, mais acurada fica a descrição do comportamento da função. 
O que aconteceria se tomássemos intervalos cada vez menores para a variável x? Esse intervalo 
tenderia para zero e nossa descrição do comportamento da função ficaria cada vez melhor9. 
 
8
 Lembre-se que estamos tomando o limite inferior do intervalo como x = 0. A esse limite corresponde f(0) = 0. 
9
 Essa afirmação é estritamente verdadeira para funções bem comportadas, como as que você verá no curso de Cálculo I. 
0 1 2 3 4 5 6 7
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
f(
x
)=
se
n
o
(x
)
x
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática 31 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
Essa idéia, de que vamos tomar intervalos para a variação em x cada vez menores, pode ser 
expressa simbolicamente pelo símbolo de limite. Vamos escrever esse processo da seguinte 
maneira: 
0
( ) ( )
limf
x
f x x f x
T
x∆ →
+ ∆ −
=
∆
 
O valor da taxa de variação da função com a variável x é o que chamamos de Derivada da função 
f(x). A derivada da função f(x) é simbolizada por ( )
d
f x
dx
. Usando essa simbologia podemos 
escrever que a taxa de variação da função quando o intervalo que tomamos na variável x vai a 
zero é dada pela sua derivada: 
0
( ) ( )
( ) lim
x
d f x x f x
f x
dx x∆ →
+ ∆ −
=
∆
 
O algoritmo para o cálculo da derivada de uma função qualquer é bastante simples10: 
1. Escrevemos quem é a função quando substituímos x por x + ∆x; 
2. Fazemos todas as operações algébricas, eliminando onde possível ∆x; 
3. Fazemos no final ∆x = 0. 
O que sobra é a derivada da função. Vamos calcular alguns exemplos de derivada. 
1. Seja f(x) = . Então:
( )
( )
f x x
f x x x x
=

+ ∆ = + ∆
. 
Logo: 
0
0 0 0
0
( ) ( )
( ) lim
( )
( ) lim lim lim
( ) lim 1
x
x x x
x
d f x x f x
f x
dx x
d x x x x x x x
x
dx x x x
d
x
dx
∆ →
∆ → ∆ → ∆ →
∆ →
+ ∆ −
=
∆
+ ∆ − + ∆ − ∆
= = =
∆ ∆ ∆
=
 
 
10
 Simples, porém nem sempre fácil de aplicar. Para funções mais complicadas o cálculo de derivadas é realizado usando 
ferramentas mais sofisticadas que você aprenderá no curso de Cálculo. 
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática 32 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
Como não aparece ∆x na expressão que sobrou, se fazemos ∆x = 0 o número 1 permanece o 
mesmo. Portanto: 
0
lim 1 1 ( ) 1
x
d
x
dx∆ →
= ⇒ = 
Seja f(x) = x2. Então: ( )
2
2
( )
( )
f x x
f x x x x
 =

+ ∆ = + ∆
. 
Nesse caso, temos que: 
0
2 2
2
( ) ( )
( ) lim
( )
x
d f x x f x
f x
dx x
d x x x
x
dx x
∆ →
+ ∆ −
=
∆
+ ∆ −
=
∆
 
( ) ( )
( )
22 2 22 2
2
2
2
2 2
2
2
x x x x x x x x x xd
x
dx x x
x x xd
x x x
dx x
 + ∆ + ∆ − + ∆ + ∆ − 
= =
∆ ∆
∆ + ∆
= = + ∆
∆
 
Vamos agora fazer ∆x = 0. Obtemos então: 
( )2 2d x x
dx
= 
Os resultados dos exemplos 1 e 2 podem ser generalizados para qualquer potência da variável 
x (n≠0): 
1( )n n
d
ax anx
dx
−
= 
Se o expoente for 0 temos uma constante. Nesse caso: 
0 0 0
( ) ( )
( ) lim lim lim 0 0
x x x
d f x x f x a a
a
dx x x∆ → ∆ → ∆ →
+ ∆ − −
= = = =
∆ ∆
 
Ou seja, a derivada de uma constante é zero. 
Usando o algoritmo que apresentamos, pelo menos formalmente, podemos calcular a 
derivada de outras funções. Contudo, para as funções que nos interessam esse cálculo exige 
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática 33 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
conhecimentos que você ainda não tem sobre essas funções. Por essa razão, enunciaremos 
aqui apenas as regras de derivação. No curso de Cálculo elas serão demonstradas. 
Regras de derivação 
1. A derivada de uma soma de funções é igual à soma das derivadas de cada função 
individualmente. Seja a função 1 2( ) ( ) ( ) ... ( )nf x f x f x f x= + + + . Então a sua derivada será 
dada por: 
1 2
1
1 2
1
( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ...
( )
( )
n
n i
i
n
n
i
i
f x f x f x f x f x
df x df x df xd
f x
dx dx dx dx
df xd
f x
dx dx
=
=
= + + + =
= + + +
=
∑
∑
 
2. A derivada de uma função multiplicada por um número real a é o produto do número real 
pela derivada da função: 
( )
1
1
1
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
f x af x
d af xd
f x
dx dx
df xd
f x a
dx dx
=
=
=
 
3. A derivada de uma função ( )f x escrita como o produto de duas funções 1( )f x e 2( )f x é 
dada pela seguinte regra: 
[ ]
[ ] [ ]
1 2
1 2
1 2 1 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x f x f x
d d
f x f x f x
dx dx
d d d
f x f x f x f x f x
dx dx dx
=
=
= +
 
4. A derivada de uma função ( )f x escrita como a razão de duas funções 1( )f x e 2( )f x é 
dada pela seguinte regra: 
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática 34 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
[ ] [ ]
[ ]
1
2
1
2
2 1 1 2
2
2
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
f x
f x
f x
f xd d
f x
dx dx f x
d d
f x f x f x f x
d dx dxf x
dx f x
=
 
=  
 
−
=
 
Observe nessa expressão que a ordemdas funções é importante. 
5. Considere uma função g(u) e u = u(x). Ou seja, a função g é uma função de x através da 
função u(x). Um exemplo é a função g(x)=sen(2x). Nesse caso, a função u(x) é a função 
u(x) = 2x. A derivada da função g em relação a x é dada pela regra da cadeia: 
[ ] [ ]d d dg g u
dx du dx
= 
Observe que tratamos a função u(x) como se fosse a variável da função g e a seguir 
derivamos a função u(x) em relação a x. A derivada da função g(x)=sen(2x) seria então 
dada por [chamando u(x)=2x]: 
[ ] [ ]
( )
sen( ) ( )
cos( ) 2
2cos(2 )
d d d
g u u x
dx du dx
d d
g u x
dx dx
d
g x
dx
=
=
=
 
Muitas das regras listadas abaixo fazem uso da regra da cadeia. 
6. Listaremos a seguir uma lista de derivadas básica, a partir da qual você poderá calcular, 
usando as regras que foram expostas acima, derivadas de funções mais complexas: 
� Derivadas das funções trigonométricas (a é uma constante): 
sen( ) cos( )
cos( ) sen( )
d
ax a ax
dx
d
ax a ax
dx
=
= −
 
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática 35 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
2
2
tang( ) sec ( )
cotg( ) cosec ( )
sec( ) sec( )tang( )
cosec( ) cosec( )cotang( )
d
ax a ax
dx
d
ax a ax
dx
d
ax a ax ax
dx
d
ax a ax ax
dx
=
= −
=
= −
 
� Derivadas das funções exponencial e logarítmica (a é uma constante): 
( )
1
(ln )
ax axd e ae
dx
d
ax
dx x
=
=
 
Outra forma de indicar uma derivada de uma função em relação à variável x é indicar a derivada 
por uma apóstrofe ao lado da letra que representa a função: 
( ) '( )
d
f x f x
dx
≡ 
(lê-se f linha de x). O símbolo ( ≡ ) indica que apenas estamos associando um outro símbolo para a 
derivada de uma função. No caso de a função f depender do tempo [f = f(t)], usa-se colocar um 
ponto para indicar a derivação em relação ao tempo (lê-se: f ponto): 
( ) ( )
d
f t f t
dt
≡ ɺ 
O uso de uma simbologia ou outra é uma questão de conveniência e gosto. 
Derivadas de ordem superior 
É importante observar que a derivada de uma função f(x) também é uma função11, a qual 
chamaremos de g(x): 
( ) ( )
d
g x f x
dx
= . 
 
11
 Não analisaremos aqui a existência ou não da derivada. As condições nas quais a derivada de uma função existe serão exploradas 
no curso de Cálculo. 
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática 36 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
Portanto, como qualquer função, a função g(x) pode, em princípio, ser também derivada em 
relação à variável x gerando uma nova função, a qual chamaremos de h(x): 
( ) ( )
d
h x g x
dx
= 
Portanto, a função h(x) é obtida pela aplicação da operação de derivação sobre a função f(x) duas 
vezes: 
[ ]
2
2
( ) ( ) ( ) ( ) ''( )
d d d d
h x g x f x f x f x
dx dx dx dx
= = = ≡ 
A essa operação chamamos de segunda derivada da função f(x) e a indicamos pelo expoente 2 na 
operação de derivação. Em geral, podemos definir a derivada de ordem n da função f(x), 
subentendendo n derivações da função f(x): 
( ) ... ( )
n
n
d d d d
f x f x
dx dx dx dx
  
=   
  
 
 
 
Exercícios 
1. Calcule a derivada das funções abaixo 
a. ( ) 3f x x= 
b. 2( ) 5 3f x x= + 
c. 3 2( ) 5 4 4f x x x= + − 
d. ( ) ln(3 )f x x= 
e. 2( ) xf x e= 
2. Considere as funções abaixo, escritas como o produto de duas funções. Calcule a derivada: 
a. ( ) 2 sin(3 )f x x x= 
b. 2( ) 5 xf x xe= 
c. ( ) sin(2 )cos(4 )f x x x= 
Função derivada n vezes. 
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática 37 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
d. 5( ) ln(2 )cos(6 )xf x e x x= 
3. Calcule o valor das derivadas das funções do item 2 nos valores de x dados por: 3, 6 e 10. 
Nas funções que envolvem seno e co-seno, considere que os valores de x são dados em 
radianos. 
4. Calcule a segunda derivada das funções dadas no item 1. 
Operação de diferenciação 
A derivada, como já dissemos, deve ser entendida como um operador. O símbolo 
d
dx
 sendo 
entendido como uma unidade indicando um operador que associa uma função f(x) a outra função 
g(x), chamada de derivada de f(x). Esquematicamente, a Figura 19 mostra esta associação. 
Figura 19 – Representação esquemática da ação do operador derivada. 
Por essa razão, nas expressões envolvendo derivadas escritas acima sempre escrevemos a 
derivada de uma função na forma: 
'( ) ( )
d
f x f x
dx
≡ 
Para funções que dependem de uma única variável, além do operador derivada, podemos definir 
outro operador, a diferencial, que associa a cada variação da variável x uma variação na função 
f(x). Esse operador é definido por: 
( ) ( )df x g x dx= eq. 14 
f3(x) 
f1(x) 
fn(x) 
f2(x) 
. 
. 
. 
g3(x
g1(x
gn(x
g2(x
. 
. 
. 
( )idf x
dx
 
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática 38 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
A eq. 14 nos informa qual a variação que podemos esperar na função f(x) quando a variável x varia 
de uma quantidade dx. A variação na função f(x) depende linearmente da variação da variável x 
(dx na eq. 14) e de outra função, a ser determinada, g(x). As quantidades df e dx são chamadas de 
diferenciais. 
Em termos dessas diferenciais, se tomarmos a razão entre as duas diferenciais teremos uma 
expressão que, formalmente, é idêntica à derivada da função f(x): 
( )
( )
df x
g x
dx
= 
Nesse caso, para funções de uma única variável a derivada e a diferencial de uma função são 
idênticas, dando a mesma função g(x). Entretanto, quando a função depende de mais de uma 
variável, essa duas operações levam a resultados completamente diferentes. 
Primitivas e Integrais 
 
Primitivas ou Antiderivadas 
Consideremos o seguinte problema: sabemos que a derivada de uma função f(x) é outra função 
g(x). Ou seja, 
( ) ( )
d
f x g x
dx
= 
A derivada, como vimos anteriormente para o caso de funções de uma única variável, pode ser 
vista como a razão entre duas diferenciais, de modo que podemos escrever: 
( ) ( )df x g x dx= 
Será que podemos saber qual a função que diferenciada nos dá a função g(x)? 
A função f(x) é chamada de primitiva da função g(x) e a operação que nos permite calcular a 
função que diferenciada nos dá a função conhecida é chamada de antidiferenciação. A operação 
de antidiferenciação é indicada pelo símbolo ∫ (lê-se a antiderivada de ou a integral de ). 
Assim, quando escrevemos: 
( ) ( )g x dx f x=∫ 
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática 39 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
estamos afirmando que se diferenciarmos a função f(x) obteremos a função g(x). A função g(x) é 
chamada de integrando. 
A antidiferenciação, no entanto, tem uma diferença fundamental em relação à diferenciação. Para 
entender essa diferença, vamos construir um conjunto de funções H(x)={hi(x)}, obtidas somando à 
função f(x) uma constante C, qualquer: hi(x) = f(x) + Ci. 
Vamos agora tomar a derivada da função hi(x): 
( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 ( )i iidh x dCd df x df x df xf x C g x
dx dx dx dx dx dx
= + = + = + = = 
Ou seja, quando derivamos a função hi(x) obtemos novamente a função g(x). Então qual será 
então a primitiva da função g(x): a função f(x) ou as funções que pertencem ao conjunto H(x)? A 
resposta é: tanto a função f(x) como as funções de tipo hi(x) são primitivas da função g(x). Desse 
modo, tanto a funçãoh1(x) = f(x) + 5 (C1 igual a 5) como a função h2(x) = f(x) – 2 (C2 igual a -2) 
são primitivas da função g(x). 
Portanto, ao contrário da operação de derivação que nos fornece um único resultado, a operação 
de antidiferenciação não nos dá uma resposta única: uma vez que saibamos uma primitiva de uma 
função, se somarmos a essa primitiva qualquer constante Ci, a função assim obtida também será 
uma primitiva da função que estamos analisando12. Dizemos que a operação de antidiferenciação 
nos dá uma família de soluções e não uma solução única. 
Outro ponto que deve ser enfatizado é que a operação de antidiferenciação, a exemplo da 
operação de derivação, nos dá como resultado uma função. Ou seja, são funções de funções. A 
esse tipo de entidade matemática chamamos de operadores. Então, um operador é uma entidade 
matemática que leva uma função em outra função seguindo uma certa regra. Em certo sentido, 
um operador é a generalização da idéia de função, a qual é uma entidade matemática que associa 
um número a outro número segundo certa regra. No caso da derivada, o símbolo do operador é o 
símbolo de derivação (
d
dx
) e para a antiderivada (ou integração) o símbolo do operador é o 
símbolo de integral ( ∫ ). 
 
12
 De fato, podemos somar qualquer função que não dependa de x. 
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática 40 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
No curso de Cálculo esses conceitos serão sistematizados. O que nos importa aqui é que você 
saiba como obter as antiderivadas (ou primitivas) de funções elementares e de funções obtidas 
por combinações dessas funções elementares (adições, multiplicações, divisões, etc.). Para isso 
vamos apresentar as regras de antidiferenciação. 
Regras de antidiferenciação 
1. Seja f(x) = 1. Então: 
( ) ( )g x f x dx dx x C= = = +∫ ∫ 
C é uma constante arbitrária a ser determinada conforme o problema. Cabe aqui um 
comentário: a constante C depende da Física do problema. São as condições de contorno, 
temporais ou espaciais, que definirão o seu valor. Condições de contorno são valores da 
função g(x) conhecidos no tempo ou no espaço. 
2. Seja h(x) = af(x), a uma constante. Então: 
( ) ( ) ( ) ( )g x h x dx af x dx a f x dx= = =∫ ∫ ∫ 
Ou seja, a antiderivada de uma função multiplicada por uma constante é essa constante 
multiplicada pela antiderivada da função. 
3. Seja h(x) = f1(x) + f2(x). Então: 
[ ]1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )g x h x dx f x f x dx f x dx f x dx= = + = +∫ ∫ ∫ ∫ 
A antiderivada de uma função que é a soma de outras funções é a soma das antiderivadas de 
cada uma das funções parcela. 
Em geral temos que se h(x) é escrita como a soma de n outras funções: 
1
( ) ( )
n
i
i
h x f x
=
=∑ 
Então: 
1 1
( ) ( ) ( ) ( )
n n
i i
i i
g x h x dx f x f x dx
= =
= = =∑ ∑∫ ∫ ∫ . 
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática 41 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
Se para um dado operador essa propriedade é válida então chamamos a esse operador de 
linear. Observe que os operadores derivada e integral são lineares. No curso de Álgebra Linear 
esse conceito será sistematizado. 
Seja f(x) = xn (n ∈ Z e n ≠ -1). Então: 
1
( )
1
n
n xf x dx x dx C
n
+
= = +
+∫ ∫
 
Observe que a Regra 1 é um caso particular dessa regra, com n=0. 
Essas são as regras elementares, as quais envolvem regras gerais e regras para funções de tipo 
polinômio da variável x. Na Tabela 5, listamos as antiderivadas de algumas funções mais 
complicadas. Não as demonstraremos aqui. No curso de Cálculo essas regras serão obtidas de 
forma sistemática. 
As regras mostradas na Tabela 5 são as principais antiderivadas que utilizaremos em nosso curso. 
Para outras funções, fontes de referência são os manuais de tabelas e fórmulas matemáticas. Um 
desses manuais, de custo acessível e bastante completo, é o manual de SPIEGEL. Outro manual, 
esse mais completo e de referência em trabalhos profissionais, porém de custo mais elevado, é o 
manual de GRADSHTEYN e RYZHIK. As referências completas desses manuais se encontram no 
final desse texto, na seção bibliografia. 
Tabela 5 – Tabela de antiderivadas 
Função Antiderivada 
Seno: sen(ax) 1
sen( ) cos( )ax dx ax C
a
= − +∫ 
Co-seno: cos(ax) 1
cos( ) sen( )ax dx ax C
a
= +∫ 
Exponencial: eax 1ax axe dx e C
a
= +∫ 
Logaritmo natural: ln(ax) [ ]1ln( ) ln( )ax dx ax ax ax C
a
= − +∫ 
Inverso: 1/x 1
ln( )dx x C
x
= +∫ 
Um último comentário a respeito das antiderivadas. Por tradição, o processo de antiderivação é 
chamado de Integração. É usual nos referirmos ao processo de antiderivação usando o termo 
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática 42 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
Integração e ao resultado o termo Integral Indefinida ou simplesmente Integral. Esses mesmos 
termos (Integração e Integral, inclusive usando o mesmo símbolo) são usados para outros tipos de 
operações, como a que veremos na próxima seção. Contudo, o estudante deve ter clareza de que, 
embora os termos sejam os mesmos, de fato estamos realizando operações completamente 
diferentes. Para fixar esse conceito, deve-se ter clareza de que a antidiferenciação nos dá como 
resultado uma família de funções as quais, se diferenciadas, nos dão certa função. 
Integral Definida 
Vamos considerar a curva de uma função f(x) em função de x em certo intervalo [a,b] mostrada na 
Figura 20. 
Figura 20 
Suponhamos que queiramos saber a área entre o gráfico da função f(x) e o eixo x. Como 
poderíamos fazer isso? Uma estratégia poderia ser a mostrada na Figura 21. 
A estratégia para calcular a área entre o eixo x e o gráfico da função é clara: construímos uma 
série de retângulo de base ∆xi e altura f(xi) e calculamos a área de cada um deles e somamos. A 
área sob a curva, A, será dada, então, pela soma das áreas de todos os retângulos que 
construímos: 
1
( )
n
i i
i
A f x x
=
= ∆∑
 
a 
f(x) 
x b 
Gráfico de f(x) 
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática 43 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
A soma é feita sobre os n retângulos que usamos para “cobrir” a área desejada. Observe que a 
largura dos retângulos pode ser diferente. O valor da função usado nesse cálculo é o valor para 
certo valor xi dentro do intervalo considerado. 
Figura 21 
O problema dessa estratégia é óbvio. Olhando a figura, vemos que temos partes da área desejada 
que não estão cobertas pelos retângulos, enquanto outras partes que não pertencem à região de 
interesse estão cobertas pelos retângulos que construímos. 
A solução seria então colocar retângulos mais estreitos em maior número, como mostrado na 
Figura 22. Embora tenhamos uma melhor descrição da área a ser calculada, ainda assim temos 
claros que deveriam estar cobertos e partes cobertas que deveriam estar descobertas. Podemos 
prosseguir esse processo e melhorando o cálculo da área embaixo da curva. Veja que aumentar 
ainda mais o número de retângulos implica tomar valores da variável ∆xi cada vez menores: 
quanto mais retângulos, melhor a nossa descrição, porém o valor de ∆xi será cada vez mais 
próximo do zero. 
a 
f(x) 
x b 
Gráfico de f(x) 
a 
f(x) 
x b 
Gráfico de f(x) 
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática 44 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
Figura 22 
Podemos exprimir essa idéia usando a noção de limite, que já usamos para introduzir o conceito 
de derivada. Vamos tomar o númerode retângulos indo para o infinito enquanto a largura de cada 
um deles (∆xi) se aproxima de zero. Usando a notação matemática, podemos escrever: 
0
1
lim ( )
i
n
i i
x
i
A f x x
∆ →
=
= ∆∑ 
eq. 15 
Quando calculamos a área dessa maneira dizemos que estamos calculando a integral definida no 
intervalo [a,b] da função f(x): 
0
1
( ) lim ( )
i
b n
i i
x
ia
A f x dx f x x
∆ →
=
= ≡ ∆∑∫ 
eq. 16 
O símbolo | | que aparece no limite indica que estamos tomando o módulo do intervalo ∆xi. A 
integral calculada dessa maneira é chamada de Integral de Riemann. 
Naturalmente, que devemos colocar a seguinte questão: sob quais condições o limite introduzido 
na eq. 15 existe? Essa resposta será trabalhada no curso de Cálculo. Aqui apresentaremos apenas 
um teorema que nos permite calcular a integral definida sem ter que calcular o limite indicado na 
eq. 16. 
Suponha que g(x) seja uma primitiva de f(x). Ou seja: 
( ) ( ) ( ) ( )
d
f x g x f x dx g x C
dx
= ⇔ = +∫ 
Então o Teorema Fundamental do Cálculo nos diz que: 
A integral definida de uma função f(x) em um intervalo [a,b] é dada pela 
primitiva do integrando calculada no limite superior da integral [g(b)] menos a 
primitiva do integrando calculada no limite inferior da integral [g(a)]: 
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx g b g a g x= − ≡∫
.
 
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática 45 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
O que essa expressão nos diz é que a Integral Definida da função g(x) no intervalo [a,b] é obtida 
simplesmente tomando-se o valor da primitiva da função f(x) para x = b e subtraindo-se desse 
valor o valor da primitiva para x = a. A função f(x) recebe o nome de integrando e os valores a e b 
recebem os nomes limite inferior e limite superior da integral, respectivamente. 
Desse modo, o problema de encontrar a Integral Definida da função f(x) no intervalo [a,b] se reduz 
a achar a primitiva dessa função e então calcular o valor dessa primitiva nos limites de integração 
e subtrair do valor de g(b) o valor de g(a). 
Como reduzimos o problema da integração ao problema da antidiferenciação, as regras para a 
integração se reduzem a aquelas da antidiferenciação já discutidas. 
 
Exercícios 
1) Calcule as antiderivadas das funções abaixo: 
1. f(x) = 2 
2. f(x) = 2x2; 
3. f(x) = x3; 
4. f(x) = x-1; 
5. f(x) = 2x+5 
6. f(x) = 2 ln(x) 
7. f(x) = ex; 
8. f(x) = 4 sen(x); 
9. f(x) =5 cos(x)+2 cos(x); 
10. f(x) = ln(x) +3ex. 
2) Calcule as integrais definidas para as funções listadas abaixo, nos intervalos indicados: 
1. f(x) = 2x2+ x3; [3,5]; 
2. f(x) = x-1+3 x3; [8,20]; 
3. f(x) = 2x2+5x; [0,100]; 
4. f(x) = 2x+5; [100,0] 
5. f(x) = x3+x; [-10,10] 
6. f(x) = 10 ln(x); [1,50] 
7. f(x) = ex; [0,100] 
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática 46 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
8. f(x) = 4 sen(x); [0,pi/2] 
9. f(x) = 4 sen(x); [-pi/2,pi/2] 
10. f(x) =5 cos(x)+2 sin(x); [-pi,pi]; 
11. f(x) = ln(x) +3ex; [100,1] 
Sistemas de equações lineares 
Problemas bastante comuns em Física são aqueles que envolvem a solução de sistemas de 
equações. Normalmente um problema em Física consiste em certo número de informações que 
temos sobre o sistema (variáveis conhecidas) e certo conjunto de informações que queremos 
descobrir sobre o sistema (variáveis desconhecidas). 
Um problema somente é solúvel, potencialmente, se o número de incógnitas for o mesmo que o 
número de equações as relacionando. Por exemplo, se temos 2 incógnitas necessitamos de duas 
equações que relacionem essas incógnitas. 
A origem das equações relacionando as incógnitas depende do problema. Normalmente as 
equações provêm da aplicação de princípios gerais, como os princípios de conservação, ou da 
aplicação de equações que são válidas em um contexto específico. 
Aqui, vamos supor que temos já um conjunto de n equações relacionando n incógnitas. 
Simbolicamente, se chamarmos de xi as incógnitas, podemos escrever o sistema de equações da 
seguinte forma: 
31 2
1 2
31 2
1 2
31 2
1 2
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
...
...
.
.
.
...
n
n
n
mm m
n
mm m
n
mm m
n n nn n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
+ + + =
+ + + =
+ + + =
 
eq. 17 
Os números aij são chamados de coeficientes do sistema de equações enquanto os bn são 
constantes ou funções que não dependem das variáveis xi. Em princípio, os coeficientes aij podem 
ser funções das variáveis xi. Os expoentes que aparecem nas eq. 17 (mi) em princípio podem ser 
quaisquer. 
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática 47 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
Sistemas de equações lineares homogêneas 
Vamos agora fazer três hipóteses sobre o sistema mostrado nas eq. 17: 
� Hipótese 1: todos os bi são nulos; 
� Hipótese 2: todos os expoentes mi são iguais a 1; 
� Hipótese 3: todos os coeficientes aij não dependem das variáveis xi. 
Quando essas três hipóteses são satisfeitas, o sistema é dito um sistema de equações lineares 
homogêneas. O nome linear vem do fato de que as variáveis aparecem apenas no expoente 1 
(todos os mi = 1), não aparecem termos onde as variáveis estejam multiplicando umas as outras e 
por fim os coeficientes são independentes das variáveis e, portanto, a multiplicação dos 
coeficientes pelas variáveis não gera termos onde as variáveis apareçam umas multiplicando as 
outras. O nome homogêneo vem da condição imposta de que todos os bi são nulos. 
Sob essas hipóteses a eq. 17 pode ser reescrita como: 
1 2
1 2
1 2
11 12 1
21 22 2
1 2
... 0
... 0
.
.
.
... 0
n
n
n
n
n
n n nn
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
+ + + =
+ + + =
+ + + =
 
eq. 18 
A solução de um sistema de equações lineares homogêneas implica em descobrir quais os valores 
das variáveis xi satisfazem ao mesmo tempo o conjunto de equações. 
Observe que o sistema de equações eq. 18 pode ser escrito em uma forma matricial da seguinte 
maneira: 
1 11 12 1
2 21 22 2
1 2
0
0
0
0
n
n
n n n nn
x a a a
x a a a
x a a a
    
    
    
=
    
    
   
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⋯
 
eq. 19 
Naturalmente, há um conjunto de valores das variáveis xi que satisfaz trivialmente ao sistema: 
Curso de Física Básica I- Complementos de Matemática 48 
Prof Dr Paulo Ricardo da Silva Rosa 
Departamento de Física - UFMS 
xi = 0 
Por essa razão, essa solução é chamada de solução trivial do sistema. Essa é uma solução que não 
interessa na maior parte dos casos. 
Portanto, sob quais condições existe uma solução que não seja a solução trivial? A condição para 
que tenhamos uma solução não trivial para o problema é dada pelo determinante da matriz dos 
coeficientes. Uma condição necessária para que o sistema de equações lineares homogêneas 
tenha solução não trivial é que o determinante da matriz dos coeficientes seja nulo: 
11 12 1
21 22 2
1 2
0
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a
=
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⋯
 
eq. 20 
A condição imposta pela eq. 20 pode ser facilmente entendida se analisarmos o caso simples: uma 
única equação e uma única variável: 
ax = 0 
Nesse caso, somente poderemos ter um valor de x ≠ 0 se o coeficiente a for nulo. Se a for nulo 
então o valor de x poderá ser qualquer e a equação terá outras soluções além da solução trivial. 
Por outro lado, para a ≠ 0 a única possibilidade de solução do problema é a solução trivial. 
Do

Materiais relacionados

Perguntas relacionadas

Materiais recentes

Perguntas Recentes