Apostila de Dinâmica-Matemática

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Programa de iniciação científica e Mestrado – PICME
Relatório 2015.2
Universidade Federal de Pernambuco
Departamento de Matemática – dMat
Coordenador: Eduardo Leandro
Orientador: Hildeberto Cabral
Bolsista: Lucas do Nascimento Soares
Tema: Dinâmica de corpos rígidos
Introdução
 Este relatório descreve como foi estudado o movimento dinâmico de um corpo rígido. Foi dividido em 3 partes, a primeira é um breve resumo do que foi visto no capítulo 5 ( Momento de inércia, elipsoide de inércia...), a segunda é, também, um breve resumo do que foi visto no capítulo 6 e, finalmente, a terceira parte é dedicada ao movimento do corpo rígido e é mais ampla. Foi decidido abordar essas breves revisões com razão a dar uma certa continuidade no assunto, assim, o leitor poderá ler e entender a lógica das afirmações aqui presentes. Os conteúdos são apresentados presencialmente no Departamento de Matemática ( dMat ) da UFPE e os encontros ocorrem 1 vez na semana e duram cerca de duas horas. 
Centro de Massa
Tomamos um conjunto de pontos com massa , definimos, a partir do vetor o ponto C, chamado centro de massa. 
 (1)
Onde é o vetor posição de um ponto genérico em relação ao sistema de coordenadas. 
Momento de inércia 
Se tomarmos um eixo u no sistema de coordenadas, nós definimos momento de inércia como sendo: 
 
 (2)
Onde é a menor distância entre um ponto P e o eixo u. 
Observação: em problemas concretos, o centro de massa e momento de inércia de corpos contínuos, o somatório se torna uma integral. 
Tensor e Elipsoide de Inércia
Momento de inércia em relação a algum eixo que passa por um ponto. Consideramos um eixo u passando na origem do sistema Oxyz e vamos denotar por os cossenos dos ângulos que o eixo u faz com os eixos Ox, Ou e Oz respectivamente. Assim:Figura 1
Se utilizarmos a identidade e substituirmos , e por respectivamente, teremos:
 
 (3) 
Os termos de índice x,y e z são chamados momentos principais de inércia e os termos em xy, xz e yz são os chamados produtos de inércia ou momentos recíprocos de inércia. Observe a figura 1 acima que descreve a situação.
J também pode ser escrito na forma matricial abaixo:
 
 
E define o Tensor de inércia. 
A equação (3) admite uma representação geométrica e se tomarmos um segmento de comprimento ON em ambos os lados do ponto O, fazendo , temos: . Assim a equação (3) torna-se: 
 
 (4) 
Que é a equação de uma quádrica, um elipsoide chamado de Elipsoide de Inércia. Se o ponto O coincide com o centro de massa C, o elipsoide chamado será de Elipsoide central de inercia. 
Podemos fazer, através de uma rotação, com que os eixos do elipsoide coincidam com os eixos coordenados . De uma tal forma a tornar os produtos de inércia iguais a zero. Então o elipsoide terá a forma: 
 (5)
As quantidades A, B e C são os próprios valores da matriz J. 
Dessa equação é possível mostrar que , onde: 
 
Pode-se demonstrar as desigualdades acima: 
 
 
Semelhantemente podemos provar as outras duas desigualdades. 
Se para as desigualdades acima, tomarmos , teremos:
 
 (6)
Representando a região sugerida por (6) temos: 
O que nos diz as condições para que um dado elipsoide possua um sistema de massa associado a ele. ( Figura 2).
Figura 2
Quantidades básicas de um sistema mecânico 
Quantidade de movimento de um sistema. 
Chamamos o seguinte vetor de vetor quantidade de movimento: 
 
 (7)
Momento da quantidade de movimento
Se tomarmos o seguinte produto:
 
 (8)
Onde é o momento da quantidade de movimento de um ponto P em relação a um ponto A. E é o vetor posição do ponto P em relação ao ponto A. Observe a figura. 
O momento da quantidade de movimento total
em relação ao ponto A é dado por: 
 
 (9)
Figura 3
O momento da quantidade de movimento( momento cinético )total muda de acordo com a mudança do centro. Observe a prova a partir da relação entre o momento cinético em relação a dois pontos A e B: 
Tomamos os vetores como sendo o vetor posição de algum ponto P em relação a A e B, respectivamente. Assim podemos escrever: 
Disto, tiramos que: 
 (10)
Que é a relação entre os momentos cinéticos de dois centros diferentes. 
Nós também encontramos a relação entre o momento cinético relativo a um centro qualquer e o momento cinético relativo ao centro de massa. Antes de tudo, nós introduzimos a ideia de movimento do sistema relativo ao centro de massa. Para isso, tal movimento é definido como sendo o movimento de translação dos pontos do sistema em relação a o centro de massa que é a origem desse sistema. Tal sistema de coordenadas é chamado de Sistema de coordenadas de Konig. Nós provamos que o momento cinético absoluto do sistema é igual ao momento cinético relativo ao centro de massa . Antes de tudo sabemos que a velocidade de um ponto no sistema é a soma da velocidade do centro de massa e a velocidade desse ponto em relação ao centro de massa ( ) (*) . Disso, nós temos que: 
 
Onde é o vetor posição do ponto P relativo ao centro de massa e é a velocidade de um ponto P relativo ao centro de massa.
Calculando agora o momento cinético absoluto em relação ao centro C: 
 =
= podemos escrever como: 
Mas como o centro de massa está no centro do sistema de coordenadas de Konig, temos: logo . Logo, está provado. 
Momento cinético de um corpo rígido movendo-se ao redor de um ponto fixo
Tomamos um ponto fixo O pertencente ao corpo e fixamos um sistema de coordenadas Oxyz que está fixo ao corpo. é o vetor posição de um ponto do corpo em relação ao sistema de coordenadas e suas projeções nos eixos Ox, Oy e Oz são: respectivamente. As projeções da velocidade angular instantânea do corpo sobre os eixos são p,q e r. 
Calculando o momento cinético do corpo em relação ao ponto O, e tomando como a velocidade de um ponto do corpo e é igual a . 
Logo, 
Como , temos: 
Agora, podemos encontrar a projeção do momento cinético do corpo em relação ao ponto O no eixo Ox: 
 
de onde segue: 
Logo observamos que . 
Consequentemente fica fácil observar a relação:
Podemos tomar .
Energia Cinética do Sistema
Chamamos de energia cinética do sistema a quantidade:
 (11)
Teorema( Konig ): A energia cinética do corpo é igual a soma da energia cinética de um ponto de massa localizado no centro de massa que possui a massa do sistema e a energia cinética do movimento do sistema em relação ao centro de massa.
Aplicando a equação (*) na equação (11), temos:
 
 
Energia cinética de um corpo rígido movendo-se ao redor de um ponto fixo
Tomamos um sistema de coordenadas Oxyz fixo ao corpo e o ponto estacionário O e é a velocidade angularinstantânea ao longo de um eixo u cujo ângulos com os eixos Ox, Oy e Oz possuem cossenos , respectivamente.
Assim : 
Se é a distância de um ponto ao eixo u, temos que . Logo, se aplicarmos essas relações na equação (11) teremos: 
Então, teremos: 
 
 (12)
Se os produtos de inércia são nulos: 
 
 
Teoremas sobre variações das quantidades básicas da mecânica
Consideramos inicialmente um sistema de pontos , em algum sistema inercial, e com massas .
A partir dos axiomas de Newton, nós obtermos as equações diferenciais do sistema na forma: 
 
 (13)
Onde é a aceleração de uma partícula do sistema e e são as forças externas e internas do sistema, respectivamente. Na pratica para se conhecer o movimento do sistema é necessário integrar o sistema de equações diferenciais (13), o que na maioria das vezes é impossível se o número de equações é grande. 
A forma mais utilizada para conhecer o comportamento do movimento e resolver os problemas é o estudo das variações das quantidades básicas da mecânica( quantidade de movimento, momento cinético, energia cinética ).
Variação da quantidade de movimento
Para todo o sistema temos: 
 
 (14)
Pela terceira lei de Newton, temos que o segunda parcela da soma, das forças internas do sistema é igual a zero, pois os pares de forças de cancelam. 
Levando em consideração que então a equação (14) pode ser escrita na forma: 
 (15)
Onde é a resultante das forças externas aplicadas ao sistema. Dessa maneira temos: “ a taxa de variação temporal da quantidade de movimento do sistema é igual à resultantes das forças externas. “
Pelo Teorema fundamental do Calculo, podemos representar isso na forma integral: 
 (16)
A integral acima é chamada de Impulso das forças externas ao sistema. 
A equação (15) pode ser escrita de forma diferente, considerando que então: 
 (17)
A equação (17) nos diz que podemos considerar o movimento do centro de massa como sendo o movimento de um ponto com a massa igual à massa do sistema e sobre a influencia de uma força igual à resultante das forças externas do sistema. 
Se o sistema é fechado, temos que . Desta forma, temos as projeções do vetor sobre os eixos Ox, Oy e Oz, como sendo: 
 Ou 
Onde são as projeções da quantidade de movimento e projeções da velocidade, respectivamente e são constantes. 
Variação do momento cinético
Tomamos um sistema de pontos em um sistema inercial arbitrário e um ponto A que pode ou não fazer parte do sistema de massas. Sendo o vetor posição do ponto P em relação ao ponto A, nós podemos escrever o momento cinético do sistema em relação ao ponto A, por: 
Tomando a derivada temporal em ambos os lados a equação, temos: 
*pela regra da cadeia
Dado que , então:
 (18)
O ultimo termo da equação acima é momento das forças externas em relação a A. 
 E o termo pode ser substituído na equação (18) e obtemos:
Se o ponto A é fixo durante todo o tempo do movimento, temos que então temos, apenas:
 
 (19)
A equação (19) representa a variação do momento cinético para um movimento com um centro fixo. Que nos traduz: “ a taxa de variação temporal do momento cinético de um sistema movendo-se com um ponto fixo é igual a soma dos momentos das forças externas em relação ao centro fixo. “ 
Podemos escrever isso na forma integral por: 
A integral acima é chamada de impulso do momento cinético no intervalo de tempo .
E se estamos lidando com um sistema fechado o momento cinético é constante, então: =0 e .
Se são as projeções do momento cinético nos eixos, temos:
Observe que =0 para todo o tempo do movimento não existe apenas para o caso em que o ponto A é fixo, mas também no caso geral quando para todo o tempo temos , vetor posição do ponto A e do centro de massa relacionados por , onde e são constantes. 
Podemos encontrar o momento cinético de um sistema em relação a um eixo u, observe que podemos considerar:
Podemos tomar o vetor unitário na direção do eixo u por e fazer:
 (20)
Sendo e , então podemos reescrever a equação (20) na forma: 
Variação da energia cinética
Tomando um ponto no sistema inercial tal que o seu vetor posição se move através de incrementos então, da equação (11) podemos obter um elemento da energia cinética:
Podemos escrever a equação acima na seguinte forma:
Onde da equação acima, tiramos que donde:
Da equação (21) temos que o elemento diferencial de energia cinética é a soma dos elementos de trabalho de todas as forças do sistema. 
Como no caso do corpo rígido temos que o trabalho das forças internas é nulo, então: 
Logo, em seguida, a variação da energia cinética é obtida da seguinte forma:
Se assumirmos que todas as forças do sistema são potenciais e que o potencial não depende explicitamente do tempo, temos:
 
Das equações (21) e (22): 
Então: 
Logo, se o potencial não depende do tempo, então a soma da energia cinética e energia potencial do sistema é uma constante chamada de energia mecânica do sistema.
Dinâmica do corpo rígido
Corpo rígido movendo-se em torno de um eixo fixo.
Consideramos um corpo rígido com dois pontos imóveis,. Seja as reações dos vínculos nos pontos , respectivamente. é o vetor resultante de ação das forças e é a resultante dos momentos em relação ao ponto O.
Nós tomamos o ponto O como sendo a origem do sistema fixo de coordenadas OXYZ. O eixo OZ está na mesma direção do eixo . Tomamos um sistema de coordenadas firmemente ligado ao corpo, Oxyz. A direção de Oz é a mesma que OZ. Nessas condições, sendo o movimento do corpo uma rotação em torno do eixo , então o movimento possui apenas um grau de liberdade que possui como coordenada generalizada o ângulo formado pelos eixos OX e Ox. Observe a figura 4.
Vamos utilizar os conhecimentos de variação de quantidade de movimento e de momento cinético para encontrar as equações que descrevem o movimento do corpo.
Figura 4
Sendo assim, pelas equações vistas (17),(19), temos que: 
 
 
Onde M é a massa do corpo, é a velocidade angular do corpo, é a velocidade do centro de massa. A força não aparece na equação (24), pois, como pode ser visto, estamos tomando o momento em relação ao ponto O e o momento dessa força em relação ao ponto é nulo. 
No sistema móvel temos que: 
Das equações acima, e p=q=0, pois a velocidade angular é na direção de OZ, dos conhecimentos de momento cinético mostrados acima, mais precisamente na relação do tensor de inércia e o momento cinético em relação a Ox, Ou e Oz e vendo que aplicando nas equações (23) e (24), temos: 
Podemos assim, ter uma ideia de como lidar com este problema.
Equações do movimento de um pêndulo físico
O pêndulo físico é um corpo rígido que pode rotacionar ao redor de um eixo fixo horizontal sob a influencia da força gravitacional. Escolhendo um sistema fixo OXYZ com o eixo OZ na mesma direção da rotação e OY na direção da vertical para baixo. Escolhemos um sistema fixo de coordenadas ao pêndulo Oxyz tal que o centro de massa do pêndulo está sobre Oy e o eixo Oz coincide com OZ. Sendo a a distância docentro de gravidade ao eixo de rotação, podemos, a partir das equações (25) tomar a equação diferencial do movimento do pêndulo físico:
Plano de fase para a equação do pêndulo
O método do plano de fase é indicado para ilustrar o caso do movimento no caso geral de um grau de liberdade. Nós ilustramos um exemplo para a função:
 	(27)
Assumindo que o lado direito satisfaz a unicidade das soluções. E também que, da equação acima, x tem o papel de coordenada generalizada do movimento e que as energia cinética e potencial podem ser expressas por: 
A energia mecânica total do sistema é dada pela soma das energias potencial e cinética e é constante, h. 
Podemos resolver a equação (27) por substituição, fazendo , então:
O plano com coordenadas x,y é chamado de plano de fase da equação (27). Os pontos no plano de fase são chamados de pontos de fase. E em cada ponto do plano de fase em que tivermos as coordenadas temos as coordenadas da chamada velocidade de fase.
A solução da equação (27) nos dá o movimento de um ponto de fase no plano de fase e a velocidade do movimento de um ponto de fase é igual a velocidade de fase. A curva que um ponto de fase descreve é chamada de curva de fase. Em casos particulares a curva de fase pode ser constituída por um único ponto. Tais pontos são chamados de pontos de equilíbrio, onde o vetor de velocidade de fase é igual a zero.
Reescrevendo a equação (28), temos que: 
 (29)
Não vamos nos aprofundar nos detalhes desse conteúdo, para mais conhecimento sobre o assunto é essencial a leitura do livro texto de mecânica teórica. 
Movimento do corpo rígido em torno de um ponto fixo
Vamos estudar o movimento do corpo rígido em torno de um ponto conhecendo as equações diferenciais do movimento e as equações dinâmicas de Euler. Vamos supor que durante o movimento do corpo, um dos pontos permanece fixo. Para obter as equações do movimento, nós utilizamos o teorema da variação da energia cinética. Sendo o momento cinético do corpo e o momento das forças externas relativo ao ponto fixo O, temos pelas equações anteriores:
Consideramos Oxyz como sendo um sistema de coordenadas móvel e fixamente ligado ao corpo, p,q e r, como já sabemos, são as projeções da velocidade angular do corpo. Se a derivada absoluta do momento cinético for expressa em termos da derivada local, teremos:
 
 
Da equação (30), nós tiramos as projeções do momento das forças nos eixos Ox, Oy e Oz. 
Se temos os produtos de inércia iguais a zero, então sendo Jx=A, Jy=B e Jz=C, conseguimos:
O conjunto de equações (31) é chamado de equações dinâmicas de Euler. Se as projeções do momento das forças nos eixos são funções de p,q,r e t então as equações nos dão um sistema fechado de equações. A integração do sistema nos dá a dependência das quantidades p,q,r sobre o tempo e condições iniciais de p, q e r. Das equações cinemáticas de Euler, temos:
Onde ψ são função do tempo.
Um caso simples e muito importante desse movimento é o caso no qual a resultante do momento das forças em relação ao ponto O é igual a zero. Este é conhecido como o caso de Euler do movimento de um corpo rígido em torno de um ponto. Esse caso é possível quando a força resultante no corpo é zero ou quando a resultante das forças passa pelo ponto O. Assim, no caso de Euler, temos:
 
Ou seja, no caso de Euler, o momento resultante das forças externas no ponto O é igual a zero, isso faz com que consideramos o momento cinético constante. Como Ap, Bq e Cr são as projeções do vetor momento cinético nos eixos Ox, Oy e Oz, então o vetor momento cinético é:
Dos teoremas da variação da energia cinética, temos que: 
Mas, como , , então dT=0, logo: 
Rotações estacionarias de um corpo rígido no caso de Euler, assim chamamos um movimento de um corpo rígido em que a velocidade angular instantânea é constante em relação ao corpo. Para uma rotação estacionaria as quantidades p, q e r são constantes.
A partir do sistema de equações do caso de Euler, obtermos : 
Disso, vemos que a rotação estacionaria de um corpo rígido ocorre no eixo principal de inercia do corpo rígido para o ponto O, enquanto a velocidade angular do corpo pode ser arbitraria. 
De fato se A=B=C, sabemos que o elipsoide de inercia se reduz a uma esfera e apenas um eixo passando pelo centro O serve como eixo principal de inercia, e o sistema pode ser satisfeito por quaisquer p, q e r. 
Se apenas dois momentos de inercia são iguais, as equações acima são satisfeitas para duas componentes da velocidade angular nulas, ex: se A=B, então teremos que p=q=0 satisfaz as equações. 
Movimento de um corpo dinamicamente simétrico no caso de Euler
Um corpo é dito dinamicamente simétrico se possui dois momentos de inercia em relação a um ponto O iguais, por exemplo A=B. Nesse caso, o eixo Oz é dito eixo de simetria dinâmica. Como exemplo, vamos analisar o movimento de um corpo dinamicamente simétrico no caso de Euler. 
Seja OXYZ um sistema de coordenadas fixo e OZ, tal que está na direção de OZ. Lembramos que o momento cinético no caso de Euler é constante. As projeções do momento cinético nos eixos do sistema Oxyz fixo ao corpo são tais que: 
 
 
Para o sistema de equações do caso de Euler, se A=B, então:
Isso significa que a projeção da velocidade no eixo de simetria dinâmica é constante. Observe:
 
	Logo, o ângulo de nutação é constante e as equações cinemáticas de Euler podem ser escritas na forma:
 
 
Substituindo a expressão de p na expressão acima:
 
 
A quantidade é a velocidade angular de precessão.
Utilizando as equações (32) e (33), podemos encontrar : 
Essa quantidade é chamada de velocidade angular de rotação natural.
Interpretação geométrica de Poinsot’s
Poinsot deu uma interpretação geométrica muito interessante para o movimento de um corpo rígido no caso de Euler. É uma interpretação simples e fácil de visualizar. Permitindo observar simples características quantitativas do movimento. O movimento de um corpo nesse caso é chamado de movimento de Euler-Poinsot. 
Então, para estudar o movimento de Euler-Poinsot, vemos considerar P o ponto de interseção do vetor velocidade angular instantânea e a superfície do elipsoide para um ponto O. 
Então, podemos escrever, antes de mais nada, o elipsoide de inercia do movimento: 
Através da figura, observamos que é o plano tangente ao elipsoide de inercia no ponto P. Este plano é chamado de Plano de Poinsot.
Observamos então que o vetor velocidade angular é proporcional ao comprimento , então, como são colineares, temos: 
Neste caso a quantidade é constante, então podemos escrever as coordenadas do ponto P por:
 
Substituindo os termos de (35) em (34), temos:
Podemos provar também que o Plano de Poinsot é normal ao momento cinético . Para verificar, basta notar que o vetor normal ao plano , é calculado pelo gradiente da função (34) no ponto P, então: 
Sendo , a função que gera a superfície (34) então:
Podemos afirmar, também, que a projeção do vetor na direção do momento cinético é e tem módulo constante.
Podemos verificar isso de geometria analítica:
O momento cinético possui um comprimento fixo, pelo caso de Euler, e possui direção fixa e é perpendicular ao plano de Poinsot. Então o plano possui sua posição fixa no espaço. Visto que sua distância ao ponto O é a mesma para todo o movimento. Então, pela interpretação geométrica de Poinsot, vemos que: o elipsoide de inercia de um sistemade massas em relação a um ponto fixo O rola sobre um plano fixo no espaço que é perpendicular ao momento cinético em relação a esse ponto O. 
Durante o movimento do corpo, o ponto P traça uma curva no elipsoide chamada de Polódia. E sobre o plano de Poinsot, traça uma outra curva chamada Hiperpolodia. 
Referência bibliográfica:
A. P. Markeev, Theoretical Mechanics, RCD Dynamics, Moscow-Izhevsk, 2007