Sistemas Lineares - Definições e Resoluções

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Sistemas Lineares
Profº André Luiz Biancardine de França
Disciplina de Álgebra Linear e Geometria Analítica
Engenharia Civil - FAROL
Introdução
• Funções de 1º Grau (retas);
• Formado por equações lineares;
• Variáveis e 1º Grau (x¹ , y¹, z¹);
• Coeficientes reais
SISTEMAS
3 VARIÁVEIS2 VARIÁVEIS
ESPAÇO 2D ESPAÇO 3D
2 Variáveis
• Como elas se encontram no espaço?
• É o encontro de retas em um espaço bidimensional
• Eixo X, Eixo Y
• Para solução, precisamos de 2 equações
Solução
3 variáveis
• Espaço tridimensional
• Eixo X, Eixo Y, Eixo Z
• Entramos no plano volumétrico
• Para solução precisamos de 3 equações
Solução
Sistemas de equações lineares
• É um conjunto de equações lineares simultâneas nas mesmas 
incógnitas
•
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 +⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 +⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
.
.
.
𝑎𝑚1𝑥1+ 𝑎𝑚2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
• Onde:
• xi são as incógnitas do sistema;
• aij são os coeficientes do sistema;
• bi são os temos independentes.
Solução de um sistema
• É a solução comum a todas as equações do sistema
• Com relação ao número de soluções , um sistema linear pode ser 
classificado em :
• A) Sistema Possível e Determinado: Quando houver uma única 
solução;
• B) Sistema Possível e Indeterminado: Quando houver uma infinidade 
de soluções;
• C) Sistema Impossível: Quando o sistema não admitir soluções.
Equações Lineares Homogêneas
• São todas as equações lineares cujo termo independente é igual a 
zero:
• 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 0
• Toda equação linear homogênea admite pelo menos uma soluçã, que 
é chamada de solução trivial e constitui na ênupla:
• (𝑥1 = 0, 𝑥2 = 0,… , 𝑥𝑛 = 0)
• As demais soluções, se houverem, são chamadas de soluções 
próprias.
Sistemas de Equações Homogêneas
• É todo o sistema de equações lineares cujos termos independentes 
são todos nulos:
•
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 +⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 0
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 +⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 0
.
.
.
𝑎𝑚1𝑥1+ 𝑎𝑚2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 0
• Assim como as equações lineares homogêneas, todo sistema 
homogêneo também possui pelo menos uma solução, a trivial, e as 
demais soluções, se existirem, são chamadas de soluções próprias.
Classificação dos sistemas quanto à solução
• Os sistemas lineares podem ser classificados quanto à existência, ou 
não, de solução, e também quanto à multiplicidade das soluções, 
quando estas forem possíveis.
• Sistema 
𝐶𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡í𝑣𝑒𝑙 
𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 (𝑢𝑚𝑎 ú𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜)
𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 (𝑣á𝑟𝑖𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢çõ𝑒𝑠)
𝐼𝑚𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡í𝑣𝑒𝑙 ( 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙: 𝑛ã𝑜 𝑎𝑑𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢çõ𝑒𝑠)
Métodos de Solução
• Para equações de 2 variáveis:
1. - Adição
2. - Substituição
• Para equações de 3 variáveis
1. Regra de Cramer
2. Escalonamento
3. Regra de Jordan Gauss
4. Regra de Laplace
Solução de sistemas lineares de 2 variáveis
• Método de adição e substituição:
• 
𝑥 + 𝑦 = 4
𝑥 + 3𝑦 = 8
−
• 0𝑥 − 2𝑦 = −4
• Y = 2
• Substituindo na 1ª equação
• X+2=4 ; x = 2.
Exemplos
• Dada s funções:
• Y = x+2 (1)
• Y = -4x+12 (2)
• 
−𝑥 + 𝑦 = 2
4𝑥 − 𝑦 = 12
(método anterior)
• Ou substitui a (1) na (2)
• x+2=-4x+12
• X=2 ; y=4
Y = x+2
Y = -4x+12
SOLUÇÃO
2
4
Solução de sistemas lineares de 3 variáveis
Regra de Cramer
• Regra de Cramer / Sarrus
• Ex: 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = −4
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 1
∴
1 1 1
1 −1 −1
2 −1 1
1 1
1 −1
2 −1
∴ 𝐷 = −4 ≠ 0
• O Sistema de equações possui solução única (D≠ 0) -SPD
• Determinar a solução do sistema.
• 1º Determinar o detp (determinante principal)
• detp=|-4|
Termos independentes
Obs: Caso D=0, a solução 
deverá ser feita através do 
método de Escalonamento.
Continuação – Determinar X
• 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = −4
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 1
• 2) Detx
•
1 1 1
1 −1 −1
2 −1 1
; 
6 1 1
−4 −1 −1
1 −1 1
6 1
−4 −1
1 −1
∴ Calculando: Detx= - 4
• Regra de Cramer :
• x =
𝐷𝑒𝑡𝑥
𝐷𝑒𝑡𝑝
; x = 1
Continuação – Determinar Y
• 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = −4
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 1
• 3) Dety
•
1 1 1
1 −1 −1
2 −1 1
; 
1 6 1
1 −4 −1
2 1 1
1 6
−1 −4
1 1
∴ Calculando: Dety= - 12
• Regra de Cramer :
• y =
𝐷𝑒𝑡𝑦
𝐷𝑒𝑡𝑝
; y = 3
Continuação – Determinar Z
• 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = −4
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 1
• 4) Detz
•
1 1 1
1 −1 −1
2 −1 1
; 
1 1 6
1 −1 −4
2 −1 1
1 1
1 −1
2 −1
∴ Calculando: Detz= - 8
• Regra de Cramer :
• z =
𝐷𝑒𝑡𝑧
𝐷𝑒𝑡𝑝
; z = 2
• A SOLUÇÃO DO SISTEMA É (1,3,2)
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
• Ache a solução S= (x,y,z):
• 
2𝑥 + 5𝑦 + 3𝑧 = 20
5𝑥 + 3𝑦 − 10𝑧 = −39
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 5
Solução
• 1º achar a determinante principal
• Detp = 
2 5 3
5 3 −10
1 1 1
2 5
5 3
1 1
; 𝐷𝑒𝑡𝑝 = −43
• Detx = 
20 5 3
−39 3 −10
5 1 1
20 5
−39 3
5 1
;𝐷𝑒𝑡𝑥 = 43
• X = -1
Solução
• Dety = 
2 20 3
5 −39 −10
1 5 1
2 20
5 −39
1 5
; 𝐷𝑒𝑡𝑦 = −86
• Y = 2
• Detz = 
2 5 20
5 3 −39
1 1 5
2 5
5 3
1 1
; 𝐷𝑒𝑡𝑧 =-172
• Z = 4
• S = {(-1,2,4)}
Exercícios Propostos
• A) 
3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 1
2𝑥 + 3𝑧 = −1
4𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 7
• B) 
−𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 5
𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 4
3𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = −3
• C) 
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0
𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = 1
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4
• D) 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
−𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 1
2𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 0
Gabarito
• A) (1,1,-1)
• B) (-2,3,0)
• C) (5, -2,3)
• D) (2,-2,1)
Solução de sistemas lineares de 3 variáveis
Escalonamento
• Sistema Possivel de Determinado
• Sistema Possível e Indeterminado
• Sistema Impossível
Exemplo
• 
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0
2𝑥 − 6𝑦 + 3𝑧 = −1
−3𝑥 + 7𝑦 − 4𝑧 = −1
• Diminuir o número de incógnitas e mantendo as equações;
• Escalonamento é deixar em forma de escada;
• 
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0
2𝑥 − 6𝑦 + 3𝑧 = −1
−3𝑥 + 7𝑦 − 4𝑧 = −1
• 1º Passo:
• Achar o “pivô” ! O “pivô” é uma das 3 equações que vamos tomar 
como base para modificar as outras para “sumir” com as incógnitas !
L1
L2
L3
2º PASSO ELIMINAR “X” DA L2 E L3
• 
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0
2𝑥 − 6𝑦 + 3𝑧 = −1
−3𝑥 + 7𝑦 − 4𝑧 = −1
• Eliminar o “x” da L2; 2*L1-L2
• Eliminar o “x” da L3; 3*L1+L2
• 
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0
2𝑦 − 𝑧 = 1
𝑦 − 𝑧 = −1
PIVÔ
L1
L2
L3
REPETE O PIVÔ
3º PASSO ELIMINAR “Y” DA L3
• Nomear novo “pivô”.
• 
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0
2𝑦 − 𝑧 = 1
𝑦 − 𝑧 = −1
• Eliminar “y” da L3; 2*L3-L2;
• 
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0
2𝑦 − 𝑧 = 1
−𝑧 = −3
• Logo: z = 3; substituindo na L2, y = 2; substituindo na L1, x = 1
• Solução: S=(1,2,3); Sistema possível Determinado;
L1
L2
L3
REPETE O PIVÔ
2º Exemplo
• 
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0
2𝑥 − 6𝑦 + 3𝑧 = −1
3𝑥 − 8𝑦 + 4𝑧 = −1
• 
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0
2𝑦 − 𝑧 = 1
2𝑦 − 𝑧 = 1
• 
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0
2𝑦 − 𝑧 = 1
0 = 0
2*L1 – L2
3*L1 – L3 
L2 – L3
É um Sistema Possível e 
Indeterminado
3º EXEMPLO
• 
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0
2𝑥 − 6𝑦 + 3𝑧 = −1
3𝑥 − 8𝑦 + 4𝑧 = 2
• 
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0
2𝑦 − 𝑧 = 1
2𝑦 − 𝑧 = −2
• 
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0
2𝑦 − 𝑧 = 1
0 = 2
2*L1 – L2
3*L1 – L3 
L2 – L3
É um Sistema Impossível
Problema:
• Qual o valor de “a” para que o sistema admita infinitas soluções?
• 
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0
𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 1
−2𝑦 + 𝑧 = 𝑎
1º - Se admite infinitas soluções, não é um sistema impossível;
2º Logo é um sistema possível, porém pode ser possível e 
determinado ou possível e indeterminado;
3º Será SPD, quando houver uma solução, porém o enunciado diz 
que possui “infinitas soluções”, logo É SPI 
Resolução
• 
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0
𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 1
−2𝑦 + 𝑧= 𝑎
• 
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0
4𝑦 − 2𝑧 = −1
−2𝑦 + 𝑧 = 𝑎
• 
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0
4𝑦 − 2𝑧 = −1
0 = −1 + 2𝑎
• a = 1/2
1º)L1 – L2
2º) L2 + 2L3
Exercícios 2
• Escalonar, classificar e resolver os sistemas abaixo:
Exercício 3
• Escalonar, classificar e resolver os sistemas abaixo:
Gabarito
Regra de Gauss Jordan
• Seja dada uma equação:
• 
𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = −5
2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 9
3𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 8
, 
1 2 −2
2 −3 1
3 −1 +3
∗
𝑥
𝑦
𝑧
=
−5
9
8
• Sua forma matricial será:
•
1 2 −2
2 −3 1
3 −1 3
−5
9
8
Regra de Gauss Jordan
• Propriedades:
• 1) Pode multiplicar uma linha por um número ≠ 0, não irá alterar os 
valores finais de x,y,z.
•
1 2 −2
2 −3 1
3 −1 3
−5
9
8
•
1 2 −2
2 −3 1
6 −2 6
−5
9
16
L3*2
Essa matriz representa um sistema modificado, no entanto 
as soluções de x,y,z , tanto no sistema 1 como no sistema 2, 
possuem a mesma solução.
Logo podemos modificar as linhas, multiplicando por 
qualquer nº ≠ 0, que os resultados x,y,z serão iguais.
Regra de Gauss Jordan
• 2) Soma/subtração de duas linhas e substituir em uma delas.
•
1 2 −2
2 −3 1
3 −1 3
−5
9
8
• Somar (L2 + L3), SUBSTITUINDO EM L3.
•
1 2 −2
2 −3 1
5 −4 4
−5
9
17
L1
L2
L3
MANTER
Essa matriz representa um sistema 
modificado, no entanto as soluções de 
x,y,z , tanto no sistema 1 como no 
sistema 2, possuem a mesma solução.
Logo podemos modificar as linhas, 
SOMANDO-AS, que os resultados x,y,z
serão iguais
Regra de Gauss Jordan
• 3)Trocar linhas de lugar.
Resolução de Sistemas – Método Jordan Gauss
• 
𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = −5
2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 9
3𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 8
1 2 −2
2 −3 1
3 −1 3
−5
9
8
;L1*(-2); 
•
−2 −4 4
2 −3 1
3 −1 3
10
9
8
; (L1+L2)→ 𝐿2; 
−2 −4 4
0 −7 5
3 −1 3
10
19
8
L1
L2
L3
Resolução de Sistemas – Método Jordan 
Gauss
•
−2 −4 +4
0 −7 5
3 −1 3
10
19
8
; L1*( 3 2) ; 
−3 −6 +6
0 −7 5
3 −1 3
15
19
8
; (L1+L3)→ 𝐿3
•
−3 −6 6
0 −7 5
0 −7 9
15
19
23
; L2*(-1); 
−3 −6 6
0 +7 −5
0 −7 9
15
−19
23
; (L2+L3) → 𝐿3
•
−3 −6 6
0 +7 −5
0 0 4
15
−19
4
; Vamos transformar em Sistema,
•
−3 −6 6
0 +7 −5
0 0 4
∗
𝑥
𝑦
𝑧
=
15
−19
4
; Vamos transformar em Sistema,
• 
−3𝑥 − 6𝑦 + 6𝑧 = 15
7𝑦 − 5𝑧 = −19
4𝑧 = 4
Logo, z = 1, y = -2, x = 1, voltando a equação 
original:
• 
𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = −5
2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 9
3𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 8
; 
1(1) + 2(−2) − 2(1) = −5
2(1) − 3(−2) + 1(1) = 9
3(1) − 1(−2) + 3(1) = 8