Buscar

Exercícios Programados 05-C2-2016-1-Gabarito

Prévia do material em texto

Fundação CECIERJ 
Cálculo II
��������	
������
�
�	������
�
�
��������
��	��� F �
��	����
	
�
������ ( ) senf x x
�������������������C ����������������
��	�������� (0) cos0 1 2F C C= − + = − + =
	�	���������	��
��������������
�
�
��������
��	��� F �
��	����
	
�
������ ( ) 2f x x
����	��������������������C ����������������
4
( ) 2
4
xF x x C= + + ���	��������
4
( ) 2 2
4
xF x x= + − �
���	�	���������	��
������������
�
�
��������
�
������
�
��������������	������������ �
� 
�����
curva ( )y f x= ������������������
��	��� f �
��	����
	
�
������ ( ) 3f x x′
����
3 2( ) 2f x x C= + ���������	��������������������
(9) 4f = ����	�� ( )3 2(9) 2 9 2 3 2(27)f C C C= + = + = +
����� 50C = − ������������ ( ) 2 50f x x= −
 
�
��������
��
���������������
����	���
��
���������������
��������
��
���������������
�����
��
���������������
����	���
 
 
Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância
 
Cálculo II – EP05 (2016/1) Gabarito 
������	
������
�
�	�������
�	 ����������	�����!����������
( ) senf x x= ��	������� ( ) sen cosF x x dx x C= = − +∫
���������������� C ����	����������������� (0) 2F = ����	�� ( ) cosF x x C
(0) cos0 1 2F C C= − + = − + = ������� 3C = ������������ ( ) ( cos ) 3F x x= − +
3( ) 2f x x= +
 
��	������� ( )3( ) 2 2F x x dx x C= + = + +∫
����������������C ����	����������������� 1(1)
4
F = ����	��
41 1(1) 2(1)
4 4
F C= + + = ������� 2C = − ������������
���	�	���������	��
��������������
���������	������������ �
� 
����� 3 x �����
	���	������� � ( ) 3f x x′ =
����������������� (9,4) ���������	���������
���� (9) 4f = .�
( ) 3f x x= ��	�������
3 2
( ) 3 3 2
3 2
xf x x dx C x C= = + = +∫
���������	��������������������C ����������������C ����	�����������������
( )3 23 2 2(9) 2 9 2 3 2(27)f C C C= + = + = + ���	�������
3 2( ) 2 50f x x= − �
������������
�
�������
Vice Presidência de Educação Superior a Distância 
 
�
�	 ����������	�����!������������ �
��
���" 
( ) sen cosF x x dx x C= = − + ����������	�
( ) cosF x x C= − + �
( ) ( cos ) 3F x x= − + �
���
4
( ) 2 2
4
xF x x dx x C= + = + + ������
����	��
�����������
( ) 3f x x= . ���������� ���� a 
3 2
3 2( ) 3 3 2
3 2
f x x dx C x C= = + = + �
���	�����������������
�	�������� (9) 54 4f C= + = ��
�������� � !�"#�$�%�
�������� ����
�
�������&
�������������
��
����$�'����
��� (")*+) 
� 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
3 3
2 5
5 5 5 2 5
1 1 1 1( )x xdx dx dx dx x dx x dx
x x x x x
− −
+
= + = + = +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
 
1 4
1 4
x x C
− −
= + +
− −
�
,����
��
3
5 4
1 1 1
4
x dx C
x x x
+
= − − +∫ . 
#� ��$	����
%&���	���'�,�	����������
a b a b
c c c
+
= + 
��������
������������� , ,a b c ∈R ������ 0c ≠ � 
���
	���	��������
c c c
a b a b
≠ +
+
������ , ,a b c ∈R ������ 0a ≠ , 0 e 0b a b≠ + ≠
 
��
�
�
��������
�
1 2 1 21 1x x x x
x x
dx dx dx dx dx−  
 
− = − = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 3 2 1 2
3 2 1 2
Cx x += − �
3 2 1 22
3
2 Cx x += − . 
 
solucao 
 
 
2
2
2
2
21
1
21
1
x
x
dx x dx dx dx
x
 
+ + + 
= + +
+∫ ∫ ∫ ∫ �
3
23
12
1
x
x dx
x
= + +
+∫ 
3
3
2arctgx x x C= + + +
 
 
 
 Solucao 
�
2 2
3 13 3arcsen
1 1
dt dt t C
t t
= = +
− −
∫ ∫
 
 
��
���������������
������� 
 
ln 3
3( )
x
G x = �
��	����
	
�
���������
���
���������3x �����	����
����� 3 3( ) ln 3 3
ln 3 ln 3
x x
xd
dx
= = ��
�
-��������(.����	����������	�������	����������������������	����
�
��
���������������
��������
 
��
���������������
������� 
��
���������������
������� 
��
���������������
������� 
 
�������� � !�"#�$�%�
�������� ����
�
�������&
�������������
��
����$�'����
��� (")*+) 
� 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
	
�
�
�
�
��
�
	
�
3
b
x
a
dx∫ 
3 1 [ ]
ln 3 ln 3 ln 3 ln 3
3 3 3 3
b
a
x b a
b a
= = − = −

��
 
 
��
���������������
������� 
 
 
{
1
3 1 0
. 03( )
1 1 1
3 3
0 0 0
3 27 27 543 27 (3 3 ) (3 1)
ln 3 ln 3 ln 3 ln 3
3 3 3 3
x
Exerc
e
x x xdx dx dx+ = = = = − = − =

∫ ∫ ∫
 
 
 
��
���������������
������� 
 
��
1
0 7
1 x dx  
 
∫
�
����	��������������
ln ln ln
,
x
dd d c
x
c c
a
a a a
a a
c d a dx 

< = = −∫ ����
/���������������	����
0�������
1
7( ) 1ln
7
x
G x
 
 
 
= �
��	����
	
�
���������
���
��������
1
7
x
 
 
 
�
��	����
�����
1 1
1 17 7( ) ln1 1 7 7ln ln
7 7
x x
xd
dx
   
   
    
= =  
 
��
��������������).����	����������	�������	�������������������	�������
�
1
0
1 01
0
1 1 1 1 6 67 ( ) 1 ( 1) ( )1 1 17 7 7 7 ln 7 7 ln 7 7 7 ln 7ln ln ln
7 7 7
1
1 1 1 1 1
x
x
dx
 
          
= = − = − = − = =       
−       


∫ ��
�
�
�
 
 
��1���
22u x= ������� 2(2 ) 4du x dx x dx= = ������
4
du
x dx= �
%��
	��
2 21 1 1sen (2 ) sen ( ) sen ( cos ) cos(2 )
4 4 4 4
x x u u du u C x Cdudx = = − + = − +=∫ ∫ ∫ . 
��
���������������
��(�	�� 
��
���������������
������� 
 
��
���������������
������� 
 
�������� � !�"#�$�%�
�������� ����
�
�������&
�������������
��
����$�'����
��� (")*+) 
� 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
�
�
�
�
��
�
�
 
 
 
 
 
��1�
31u r= − ���������� 23du r dr= − ������� 23du r dr− = ��
%��
	��
2 2 1 2
1 2 3
3 3
9 33 3 3 3 6 1
1 21 1
r r dr du udr u du C r C
ur r
−
−
= = = − = − + = − − +
− −
∫ ∫ ∫ ∫
 
�
�
�
�
�2
3�-������ 5 8u x= + �
��1�� 5 8u x= + ����� 5du dx= , logo 5
dudx = 
%��
	��
1 2
1 21 1 1 2 5 8
5 5 5 1 2 55 8
dx du u
u du C x C
x u
−
= = = + = + +
+∫ ∫ ∫
. 
 
 
 
 
 
 
2
3�-������� 5 8u x= + �
�
��1�� 5 8u x= + ��������� 5
2 5 8
du dx
x
=
+
�������
2
5 5 8
dxdu
x
=
+
�
%��
	��
2 2 2 5 8
5 5 55 8
dx du u C x C
x
= = + = + +
+∫ ∫
��
�
�
�
�
2
2 2 2
1
34 4 49 4 9(1 ) 9(1 ) 1
9 9 9
dx dx dx dx
x
x x x
= = =
−
− − −
∫ ∫ ∫ ∫ ���
��1���
2
3
u x= ������
	 
2
3
du dx= 3
2
dx du⇒ = . 
����������
29 4
dx
x−
∫
( )
2 2
3 21 1 1 1 2
arcsen arcsen 
3 2 2 2 31 1
du du
u C x C
u u
 
= = = + = + 
 
− −
∫ ∫ . 
�
�
��
���������������
��(���� 
��
���������������
��(����
�� 
��
���������������
��(����
�� 
��
���������������
��)��	��
�������� � !�"#�$�%�
�������� ����
�
�������&
�������������
��
����$�'����
��� (")*+) 
� 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
� � �
�
��
��1��� ( 1)u x= − ������ du dx=
 
22 2
2
1
4 ( 1) 4 4 1 ( )4(1 ) 24
dx du du du
uux u
= = =
+ − + ++
∫ ∫ ∫ ∫ �
��1����
2
u
v = ������
	 
2
dudv =
 2du dv⇒ = .�
,����
2
2
1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )
4 2 1 2 2 2 2 21 ( )
2
du dv u x
arctg v C arctg C arctg C
u v
−
= = + = + = +
++
∫ ∫ .�
�
�
�
� �
�
�
2 2 2
2
1 1 1
4 4 164 16 ( ) 1)16( 1) 4 ( 1) 416 16
dx dx dx dx
xx x x x
xx x
= = =
−
−
− −
∫ ∫ ∫ ∫ 
��1������
4
x
u = ������� 4x u= ��� 4dx du⇒ = .�
,����
2 2
2
1 4 1 1 1
arcsec( ) arcsec( )
16 16 16 16 441 1( ) 1)
4
dx du du x
u C C
x u u u u
x
= = = + = +
− −
−
∫ ∫ ∫ .�
� ��
�
�
 
 
4 4 22
1
416 9 9 316(1 ) 116 4
r dr r dr r dr
r r r
= =
−  
−
−  
 
∫ ∫ ∫ 
�
��1������
23 3 3 22
4 4 2 3
r
u du rdr rdr rdr du= ⇒ = = ⇒ = �
����������
�
( )
2
2 2 22
1 1 (2 3) 1 1 1 3
arcsen( ) arcsen( )
4 4 6 6 6 41131
4
r dr du du r
u C C
uur
= = = + = +
−
− 
−  
 
∫ ∫ ∫ �
�
�
��
���������������
��)�����
 
��
���������������
��)�����
 
��
���������������
��)�����
 
�������� � !�"#�$�%�
�������� ����
�
�������&
�������������
��
����$�'����
��� (")*+) 
� 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
��������
�
�
��1��u x= ����������
1
2
du dx
x
= ���������
12du dx
x
= �
�
3 3 3
2 2
(1 ) (1 ) (1 )
dx du du
x x u u
= =
+ + +
∫ ∫ ∫ ��
�
��1�� 1v u= + ������� dv du= �
�
%��
	��
2
3
3 3 2 2
1 1
2(1 ) 2 2(1 )
du dv v
v dv C C C
u v v u
−
−
= = = + = − + = − +
−+ +
∫ ∫ ∫ 
3 2 2
1 12
(1 ) 2(1 ) (1 )
dx C C
x x x x
= − + = − +
+ + +
∫ �
�
�������������
���1�� 1u x= + ������� 1
2
du dx
x
= ������
12du dx
x
= �
%��
	��
2
3
3 3 2 2
1 1 12 2 2
2(1 ) (1 )
dx udu u du C C C
x x u u x
−
−
= = = + = − + = − +
−+ +
∫ ∫ ∫ ��
�
��������
�
�
��1��u x= ��������
1
2
du dx
x
= ������
12du dx
x
= �
3/ 233
sen sen sen2 2
coscoscos
x dx u udu du
uux x
= =∫ ∫ ∫ �
�
4����� cosv u= �������� sendv u du= − ������� sendv u du− = �
%��
	��
1 2
3 2
3/ 2 3/ 2
sen 2 2
1 2 coscos
u dv vdu v dv C C C
v uu v
−
−
−
= = − = − + = + = +
−
∫ ∫ ∫ �
�
��
���������������
��*�	�� 
��
���������������
��*���� 
�������� � !�"#�$�%�
�������� ����
�
�������&
�������������
��
����$�'����
��� (")*+) 
� 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
�
�
�
�
��
�
�
1 23
sen 2 42
cos coscos
x dx C C
x xx x
= + = +∫ ��
�
��������������
4���� cosu x= ��������
1
sen
2
du x dx
x
= − ������
12 sendu x dx
x
− = �
1 2
3 2
1 233
sen 2 4 42 2
1 2 coscos
x dx du u
u du C C C
u xux x
−
−
−
= = − = − + = + = +
−
∫ ∫ ∫ ��
�
�
�
���
�
�
5�	�����������6����
).��������5�������	������
�����������
�
����������������
����������������	������	�����
	
������������	�����
������������	��������	��)7�)�������������
���
����������������������
��
������������
������
�����
�
����
��������!�"#�������� ����
8�
4���� lnu x= ������� 1du dx
x
= ���&�����������
	
�������
�������������	������������
1x = ������� ln1 0u = = ������ x e= ������� ln 1u e= = ��,�����
] {
1
1
02 2
1 0 4 0
arctg arctg1 arctg0
4(1 ln ) 1
e dx du
u
x x u pi
pi
= = = − =
+ +
∫ ∫ 123 ��
(.� ������� 5�������	��� �� 
�������� ����� �	� �	�� 
�������� 
����
�
���� 
�������� �� 	��	�� ������� �	��
�����
��
�����	���������	���������� x ����������(.����	�����54�����	�����
	
������
�
��
������ x ��
��	����
��������� lnu x= ������� 1du dx
x
= ��
%��
	��������	�����
��������
����
�
��8�
2 2 arctg arctg (ln )(1 ln ) 1
dx du
u C x C
x x u
= = + = +
+ +
∫ ∫ �
,����
{ ] { {12
011
04
arctg (ln ) arctg (ln ) arctg (ln1)
4(1 ln )
e
e
TFC
dx
x e
x x
pi
pi
= = − =
+
∫
1424314243 �
�
���
�
�
).��������4����
2
xu e= ��������
2 (2 )xdu e x dx= ��&�����������
	
�������
������������	����������� 0x = �
������
20 1u e= = ������ lnx pi= �������
2( ln ) lnu e epi pi pi= = = ��,�����
�
��
���������������
��+�	�� 
��
���������������
��+���� 
�������� � !�"#�$�%�
�������� ����
�
�������&
�������������
��
����$�'����
��� (")*+) 
� 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
( ) ] {2 2ln 1
0 1 0
2 cos cos sen sen sen1 sen1x xxe e dx u du u
pi pi
pi
pi= = = − = −∫ ∫ ��
(.� ������� � 5�������	��� �� 
�������� ����� �	� �	�� 
�������� 
����
�
���� 
�������� �� 	��	�� ������� �	��
�����
��
�����	���������	���������� x ����������(.����	�����54�����	�����
	
������
�
��
������ x ��
4
�����	���9�����
����������������
�
����
�
������������������������
2 2 3
3 2 3
2 3
1 1
( ) (1 )
(1 )
xA R x x dx dx
x
−
− − −
−
= + =
+
∫ ∫
� � � � � � 2:3�
� � � �
�
�
).� ������� 4����
21u x−= + � ������ � 32du x dx−= − � � ����� � 3
2
du
x dx−− = �� &������� ��� �
	
���� ���
������������	���������� 1x = ������� 21 1 2u −= + = ������� 2x = ������� 2 1 51 2 1
4 4
u
−
= + = + = ���,�����
� � � � � �
5 45 4 5 4 5 42 3 2
3
2 3 3 2
21 2 2 2
1 1 1
2 2 2(1 ) 2 4
x du udx u du
x u u
− −
−
−
 −
= = − = − = 
−+ 
∫ ∫ ∫ � � � �
� � � ( )2 2
1 1 4 1 64 25 39
25 16 400 4004 254
4
−
= − = − = =
 
 
 
��
����������������
� � �
(.� ������� � 5�������	��� �� 
�������� 2:3� �	� �	�� 
�������� 
����
�
���� 
�������� �� 	��	�� ������� �	��
�����
��
�����	���������	���������� x ����������(.����	�����54�����	�����
	
������
�
��
������ x . 
4
�����	���9�����
����������������
� � �
��
������
�
1
x
x
e dx
e +∫
 
4�����������
��
���� 1x xu e du e dx= + ⇒ = �
,�����
1
1| ln( 1)ln | | ln |
+
+ + = + += = + =∫ ∫
x
x
x xe dudx
e u
e C e Cu C
 
 
 
 
3
4
(1 2 )x dx+∫ �
4���������
��
���� 1 2 2
2
du
u x du dx dx= + ⇒ = ⇒ = �
 
��
���������������
��, 
��
���������������
��-��	��
��
���������������
��-�����
 
�������� � !�"#�$�%�
�������� ����
�
�������&
�������������
��
����$�'����
��� (")*+) 
� 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
%��
	�
2
3
3 3 2 2
4 4 1 12 2(1 2 ) 2 2 (1 2 )
u
u du C C C
x u u x
dudx
−
−
= = + = − + = − +
+ − +
=∫ ∫ ∫
 
 
 
�
3 4 5(1 )x x dx−∫ � �
4���������
��
����
4 3 31 4
4
du
u x du x dx x dx= − ⇒ = − ⇒ = −
�
,����
6
3 4 5 5 5 4 61 1 1( ) ( ) (1 )
4 4 4 6 24
(1 ) − = − = − + = − − +− = ∫ ∫∫
du u
u u du C x Cx x dx
 
 
 
 
2
1 4
1 2
x dx
x x
+
+ +
∫
�
4���������
��
����
21 2 (1 4 )u x x du x dx= + + ⇒ = + �
�
,����
1 2
1 2 2
2
1 4 2 2 1 2
11 2
x du udx u du C x x C
ux x
−
+
= = = + = + + +
+ +
∫ ∫ ∫
�
 
 
tg ln(cos )x x dx∫
��
4���������
��
���� cos senu x du x dx= ⇒ = − �
�
,����
sen 1
tg ln(cos ) ln(cos ) ln
cos
x
x x dx x dx u du
x u
−
= − = −∫ ∫ ∫
�
4���������
��
���� ln duv u dv
u
= ⇒ = �
�
,����
21
tg ln(cos ) ln
2
v
x x dx u du v dv C
u
= − = − = − +∫ ∫ ∫
�
�����
��
������������������������������������������
�
[ ]2ln(cos )
tg ln(cos )
2
x
x x dx C= − +∫
�
 
 
�
7
0
4 3x dx+∫
�
��
���������������
���.��	��
��
���������������
��-�����
 
��
���������������
��-�����
 
��
���������������
��-�����
 
�������� � !�"#�$�%�
�������� ����
�
�������&
�������������
��
����$�'����
��� (")*+) 
� 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
4���� �� �����
��
���� 4 3 3
3
du
u x du dx dx= + ⇒ = ⇒ = �� ;�� ���� 
�������� ����� 
� �	�� 
��������
���
�
��������
��	�����	�
	�����
����������
	
�������
������������������ 4 3u x= + �� ���������� x ����
���
���� 0 ����
�� 7 ����u ����
������� 4 3(0) 4u = + = ����
�� 4 3(7) 4 21 25u = + = + = �,����25257 3 2 3
1/2 1 2
0 4 4
3 3
25 25
4 4
1 1 24 3
3 3 3 (3 2) 9
2 (25) 2 (4) 2 234(125 8) 26.
9 9 9 9
du u u
x u u dudx

+ = = = = 
 
= − = − = =
∫ ∫ ∫
 
�
�
�
�
��
2 3 5
1
0
(1 2 )t t dt+∫
 
4���� �� �����
��
����
3 2 21 2 6
6
du
u t du t dt t dt= + ⇒ = ⇒ = �� ����
��	��� ��	�
	� ����
������ ���
�
	
�������
��������������	��
31 2u t= + ������������ t ����
������� 0 ����
��1���� u ����
������� 31 2(0) 1u = + = ���
��
��
31 2(1) 3u = + = ��,����
�
��
3 36 6
2 3 5 5 5
1 1
1 3 3
0 1 1
1 1(1 2 ) ( )
6 6 6 6 36
du u u
t t dt u u du  + = = = = 
 
∫ ∫ ∫
 
 
6 63 1 1 728 182(729 1) .
36 36 36 36 9
= − = − = =
 
 
 
 
 
2 2
6
2
sen
1
x x dx
x
pi
pi− +
∫
 
#� ��$	���"� <������ ������=�	��� ��	� 
�����	
 � ���
�
�	 � ��� ����/� � 
%���
�	 � 
� ��	� ��	����>��� ���
����
���������
�������������������������������
��
���������
������
�����
�
�����������
	��
�
�����������������
������
���������6�������������	��������
����������
	���
�8�
�
�����=������� f �
�����������	�[ , ]a a− ��
i) ��� �����&	���?
����
� ( ) ( )f x f x− = @�����������
0
2( ) ( )
a a
a
f x dx f x dx
−
=∫ ∫ ��
ii) ��� ������%&	��?
����
�� ( ) ( )f x f x− = − @���������� 0( )
a
a
f x dx
−
=∫ ����
��������������	���������������������
��	���������
	���������������
�
�
��	����������
	�����
����
�� ( ) ( )f x f x− = −
�
f
f
2
6
sen( )
1
x x dxf x
x
=
+
��
���������������
���.�����
 
��
���������������
���.�����
 
�������� � !�"#�$�%�
�������� ����
�
�������&
�������������
��
����$�'����
��� (")*+) 
� 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
,��������
���������������������
����
�=�����
	������	�����
�	��������
�
2 2
6
2
sen 0.
1
x x dx
x
pi
pi−
=
+∫
�
�
�
�
4���� �� �����
��
���� ln .dxu x du
x
= ⇒ = � ����
��	��� ��	�
	� ����
������ ��� �
	
���� ��� 
������������
��	�� lnu x= ������������ x ����
������� e ����
�� 4e ���� ����
������� ln 1u e= = �����
�� {
4
1
ln 4ln 4u e e= = = ��
,���
�
4 41 2
1 2
1
4 4
1 1
2 4 2 1 4 2 2.
1 2ln
e
e
du u
u du
u
dx
x x
−

= = = = − = − =

∫ ∫ ∫
�
4
ln
e
e
dx
x x∫
u
��
���������������
���.�����

Outros materiais

Materiais relacionados

Perguntas relacionadas

Perguntas Recentes