Material de apoio - aplicação da integral (área e volume)

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CÁLCULO I 
 Cálculo de Área e Cálculo de Volume 
 
Dentre a aplicação da integral, podemos destacar o cálculo de áreas e volumes. O cálculo da 
área sob a curva se dá pela integral definida da função geradora da área delimitada pelo 
intervalo [a, b] dado ou seja: 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Calcular a área da região limitada pela função: limitado de x= 0 a x= 1 
 
 O gráfico dessa função seria : A área calculada = 0,5 u.a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Essa integral pode ser calculada da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 u.a. 
 
 
Se fosse uma integral definida por duas funções teríamos a seguinte resolução 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Calcule a área delimitada pelas funções no intervalo de 
x= 0 e x = 4. 
 
 
 
 
 
 
 A área desejada está representada na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Algebricamente calculando essa área teríamos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 u.a. 
 
 
 VOLUME DE UM SÓLIDO DE REVOLUÇÃO 
 
 Fazendo-se uma região plana girar em torno de uma reta do plano, o sólido resultante é 
chamado sólido de revolução. A reta em torno da qual se processa a revolução é chamado 
eixo de revolução. 
 
 Por exemplo, fazendo a região limitada pelas retas y = 0, y = x e y = 4 girar em torno do 
eixo dos x, o sólido de revolução obtido é um cone. 
 
 
 
 Se o retângulo delimitado pelas retas x = 0, x = 1, y = 0 e y = 3 girar em torno do eixo 
dos y, obtemos um cilindro. 
 
 
 
 Consideremos agora, o problema de definir o volume do sólido T, gerado pela rotação 
em torno do eixo dos x, da região plana R. 
 
 
 
 Seja f contínua em [a,b]. O volume V do sólido de revolução gerado pela rotação da 
região delimitada pelos gráficos de f, de x = a, x = b e do eixo x é dado por: 
 
 
 
 
. (*) 
 
 A fórmula (*) pode ser generalizada para outras situações: 
 
I – A região R está entre os gráficos de duas funções f(x) e g(x) de a até b. 
 
Supondo f(x)  g(x),  x  [a,b], o volume do sólido T, gerado pela rotação de R em torno do 
eixo dos x, é dado por: 
 
 
. 
 
 
 
II – Ao invés de girar ao redor do eixo dos x, a região R gira em torno do eixo dos y. 
 
 
 
 Neste caso, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
III – A rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados. 
 
 
 Se o eixo de revolução for a reta y = L, temos: 
 
 
 
 
 
. 
Se o eixo de revolução for a reta x = M, temos: