VETORES 2

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VETORES LISTA 2 
 
1. Os vetores 
u e v,
 representados na figura a seguir, têm módulos, respectivamente, 
iguais a 8 e 4, e o ângulo 
θ
 mede 120°. 
 
 
 
Qual é o módulo do vetor 
| u v |,
 
a) 
3 3
 
b) 
4 3
 
c) 
5 3
 
d) 
3 5
 
e) 
4 5
 
 
2. Durante um passeio, uma pessoa fez o seguinte trajeto: partindo de um certo ponto, 
caminhou 3 km no sentido norte, em seguida 4 km para o oeste, depois 1 km no sentido norte 
novamente, e então caminhou 2 km no sentido oeste. Após esse percurso, a que distância a 
pessoa se encontra do ponto de onde iniciou o trajeto? 
 
3. Um foguete foi lançado do marco zero de uma estação e após alguns segundos atingiu 
a posição (6, 6, 7) no espaço, conforme mostra a figura. As distâncias são medidas em 
quilômetros. 
 
 
 
Considerando que o foguete continuou sua trajetória, mas se deslocou 2 km para frente 
na direção do eixo-x, 3 km para trás na direção do eixo-y, e 11 km para frente, na direção do 
eixo-z, então o foguete atingiu a posição 
a) (17, 3, 9). 
b) (8, 3, 18). 
c) (6, 18, 3). 
d) (4, 9, - 4). 
e) (3, 8, 18). 
 
4. O vento constante de uma determinada região faz com que um barco pequeno à deriva 
seja empurrado para o leste a uma velocidade de 2,5 milhas por hora (m/h). Um barco grande 
com o mesmo vento, também para leste, é carregado a uma velocidade de 1 m/h. Caso não se 
considere o vento, o barco grande navegará a uma velocidade constante de 3 m/h, e o 
 
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pequeno a 1 m/h. Os barcos partem juntos de um mesmo ponto da região em direção norte. 
 
Levando em consideração também o vento, calcule a distância entre os barcos após 2 
horas da partida deles. 
 
5. A tabela a seguir apresenta os preços unitários de três tipos de frutas e os números de 
unidades vendidas de cada uma delas em um dia de feira. 
 
A arrecadação obtida com a venda desses produtos pode ser calculada pelo produto 
escalar de 
v
 = (1, 2, 3) por 
ω
 = (x, y, z). 
Determine: 
a) o valor arrecadado, em reais, com a venda de dez mamões, quinze abacaxis e vinte melões; 
b) o cosseno do ângulo formado pelos vetores 
v
 e 
ω
, sabendo que x, y e z são 
respectivamente proporcionais a 3, 2 e 1. 
 
6. A Bíblia nos conta sobre a viagem de Abraão à Terra Prometida. Abraão saiu da cidade 
de Ur, na Mesopotâmia (atual Iraque) e caminhou até a cidade de Harã. Depois, caminhou até 
Canaã, a Terra prometida (atual Israel). 
Fixando um sistema de coordenadas cartesianas retangulares, em um mapa do Mundo 
Antigo, considere a cidade de Canaã localizada no ponto O = (0,0), a cidade de Harã localizada 
no ponto H = (2, 7/2), a cidade de Ur localizada no ponto U e o vetor ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (- 1/2, 11/2) . 
Nesse sistema de coordenadas, pode-se afirmar que o ponto U é: 
a) (5/2, -2) 
b) (2, -2/5) 
c) (-2, 2/5) 
d) (-2/5, 5/2) 
e) (5, 2/5) 
 
7. Um projeto bem diferente deveria ser desenvolvido pelos candidatos inscritos em um 
concurso para arquiteto. O vencedor dessa modalidade foi aquele que determinou a área da 
região triangular cujos vértices representaram-se pelos pontos A = (-2, 1, 1); B = (-1, 2, 0) e 
 
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C = (1, 0, 1). 
Determine a área correta encontrada pelo arquiteto. 
 
8. Considere os vetores ⃗ = (-1, 2, -3) e ⃗ = (x, y, 6). Determine o valor de x + y, de modo 
que esses vetores sejam colineares. 
a) -2 
b) -1 
c) 0 
d) 2 
e) 6 
 
9. Considere um cubo de vértices A, B, C, D, E, F, G, H (como mostra a figura) e os 
vetores ⃗ , ⃗ , ⃗⃗ dados por ⃗ = AB, ⃗ = AE, ⃗⃗ = AD 
 
Sejam P o ponto médio do segmento AG e Q o ponto do segmento DB tal que QB = 
2DQ. Determine os números a, b e c tais que 
 
PQ = a ⃗ + b ⃗ + c ⃗⃗ 
 
10. 
 
Considere um vetor 
v
 anteriormente representado. Sabendo-se que o módulo de 
v
é 4 
e que Θ =
3
π
, determine: 
a) as coordenadas cartesianas de 
v
; 
b) um vetor ortogonal ao vetor 
v
e de mesmo módulo que 
v
. 
 
11. Considere os vetores a = (0, -2) e v = (-1, 0). 
Determine um vetor unitário g tal que os valores (a + g) e (v + g) sejam 
perpendiculares. 
 
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12. Em um retângulo ABCD, M e N são, respectivamente, os pontos médios dos lados
AB
e
CD . Tem-se que o vetor BM = ( 3 ,1) e o vetor BN = (2 3 ,-2). 
Determine o perímetro do retângulo. 
 
13. 
 
Considere os vetores ⃗ ⃗ ⃗⃗ anteriormente representados. O vetor ⃗ tal que ⃗ = 
1
2
 ⃗ 
+ ⃗ -
1
4
 ⃗⃗ é: 
a) 
7
6, 
4
 
 
 
 
b) (-2, 3) 
c) 
7
, 6 
4
 
 
 
 
d) 
7
, 6
4
 
 
 
 
e) 
7
6, 
4
 
 
 
 
 
14. Considere os vetores 
5 1
3, e v 3,
2 2
   
      
   
. A secante do ângulo formado 
pelos vetores 
v e v 
é: 
 
a) 2 
b) 
2
 
c) 2 3
3
 
d) 1 / 2 
e) -2 
 
15. Os vetores 
a
= (2, 1, 0), 
v
= (0, 1, 2) e 
ω
= (x, y,z) são tais que 
a v
 é perpendicular a 
ω
. A relação entre x, y e z é: 
a) 2x + y - z = 0 
b) 2x - 2y + z = 0 
c) x - 2y + z = 0 
 
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d) x + 2y - 2z = 0 
e) x - 2y - z = 0 
 
16. O ângulo formado pelos vetores ⃗ = (3, 0) e ⃗ = (-2, 2
3
) mede: 
a) 210
°
 
b) 150
°
 
c) 120
°
 
d) 60
°
 
e) 30
°
 
 
17. Determine se os pontos A(5, -1, 0), B (0, 2, 4), C(-3, 0, 6) e D (5, 2, 6) são coplanares 
ou não. Justifique a sua resposta. 
 
18. A figura do R
3
 a seguir representa uma pirâmide de base quadrada ABCD em que as 
coordenadas são A (0,0,0), B (4,2,4) e C (0,6,6), e o vértice V é equidistante dos demais. 
 
A partir da análise dos dados fornecidos, determine: 
a) as coordenadas do vértice D e a medida de cada aresta de base; 
b) as coordenadas cartesianas do ponto V, considerando que o volume da pirâmide é igual a 
72. 
 
19. O menor valor do parâmetro K para o qual os vetores ⃗ = (2, 1, 0), ⃗ = (1, K, 4) e ⃗ = 
(3, 1, - 4K) são coplanares é: 
a) -1 
b) -1/2 
c) 0 
d) 1/2 
e) 1 
 
20. Os vetores 
a
= (x, 2x - 1) e
v
= (- 2, 4) são ortogonais. Então o valor de x é igual a: 
a) -3/2 
b) -2/3 
c) 2/5 
d) 2/3 
e) 3/2 
 
21. Se: 
a v 7 e a v  │ │ │ │
= 5, o valor do produto escalar 
a . v
 é: 
a) 8 
b) 7 
c) 6 
d) 5 
e) 4 
 
 
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22. O ângulo entre os vetores ⃗ = 3i + j e ⃗ = i + 2j é igual a: 
a) 0
°
 
b) 30
°
 
c) 45
°
 
d) 60
°
 
e) 90
°
 
 
 
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Gabarito: 
1: B 
2: √ 
3: [B] 
4: 5 milhas 
5: a) 100 reais. 
 b) 
5
7
 
6: [A] 
7: 
26
2
 u.a. 
8: [A] 
9: a=-
1
6
, b=-
1
2
e c=
1
6
. 
10: a) 
v(2, 3)
 
 b) 
( 2 3, 2) ou (2 3, 2) 
 
11: 
g
= (-3/5, 4/5) ou 
g
= (1, 0) 
12: Perímetro = 8+4
3
u.c. 
13: [C] 
14: [A] 
15: [C] 
16: [C] 
17: Não 
18: a) D = (-4, 4, 2). Medida de cada lado = 6 
 b) V = (-2, -4, 4) ou V = (2, 4, -4) 
19: [B] 
20: [D] 
21: [C] 
22: [C]