Trabalho de Cálculo-Integrais de Linhas

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O teorema de Stokes
O Teorema de Stokes é uma generalização do Teorema de Green a curvas
contidas numa superfície que pode não ser um plano, ou seja, o teorema de
Stokes pode ser visto como uma versão em dimensão maior do Teorema de
Green pelo fato de Green estar relacionando uma integral dupla sobre uma
região plana D com uma integral de linha em torno de sua curva limite plana
e Stokes relacionando uma integral de superfície com uma integral em torno
da curva da fronteira S, que é uma curva no espaço.
O Teorema de Stokes é dividido em dois termos:∫
C
F · dr =
∫
C
F ·Tds (1)∫ ∫
S
rotF · dS =
∫ ∫
S
rotF · ndS (2)
Desde que S seja uma superfície orientada, cuja fronteira é formada por
uma curva C fechada, simples, com orientação positiva. E, F seja um campo
vetorial cujas componentes têm derivadas parciais contínuas em uma região
aberta de R3 que contém S.
Teremos no primeiro termo uma integral de superfície de um região S
delimitada por uma curva C que relaciona a somatório das componentes do
rotacional do campo vetorial F [rot(F )] normais à superfície S em cada ponto.
Ou seja, um campo vetorial F associa a cada ponto do espaço um vetor,
portanto, você fornece uma coordenada (x, y, z) e ele te retorna um vetor
V originado naquele ponto (x, y, z) com módulo, direção e sentido indicados
pela equação do campo vetorial F (x, y, z).
Um exemplo seria o campo vetorial associado à força gravitacional. Pense
que para cada ponto da curva exista um vetor
′r′ saindo da origem do sistema
até cada ponto de C, que é uma curva. Pela própria definição a derivada de
um ponto na curva
′r′ é ′dr/dt′ (onde ′t′ é uma variável usada para parame-
trizar a curva - ao variar
′t′ você anda sobre a curva) que é tangente àquele
ponto. Este novo vetor
′dr/dt′ podemos chamar de T (por ser tangente). Ou
seja, esta primeira parte da equação é um somátório (integral) de todos os
produtos escalares de V e T em cada ponto ao longo da curva C. De outra
forma, o que a parte (1) do Teorema de Stokes faz então basicamente é "filtrar
e somar"apenas as componentes tangenciais de todos os vetores V gerados
pelo campo vetorial F nos pontos da curva C com relação à própria curva C.
Pense que essas componentes tangenciais irão fazer a curva S "rotacionar"se
elas não forem equilibradas. E essa parte do efeito "rotacional"advém do
segundo termo da equação:
1
E no segundo termo uma Integral de linha num contorno C (ou del(S)
que significa 'fronteira da região S') que relaciona a contribuição líquida (ou
seja a diferença entre o que saí e o que entra) das componentes tangentes de
um campo vetorial F à curva C. Essa parte da equação está relacionada não
à curva C mas a superfície S contida nela. Assim como na primeira parte da
equação imaginamos que existem infinitos vetores T tangentes à cada ponto
da curva C, dessa vez iremos imaginar infinitos vetores N normais a cada
ponto da superfície S. O vetor dS contido na equação então nada mais é do
que um vetor originado no centro de uma pequena área dS, com o módulo
igual a dS e orientado na direção de um vetor unitário N normal àquela
pequena área dS. O rotacional de F neste ponto (mesmo ponto da pequena
área dS analisada) pode possuir uma componente paralela ao vetor dS que
será "filtrada"pelo produto escalar do rot(F ) por dS. Todas as parcelas das
componentes normais à cada ponto da superfície S dos respectivos rotacio-
nais de F nestes pontos serão então somadas graças à integral de superfície
gerando um "rotacional resultante".
Para a demonstração admitiremos que a equação de S é z = g(x, y), (x, y) ∈
D onde g tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas e que D seja
uma região plana simples cuja curva C1 corresponde a C. Se a orientação de
S for ascendente, a orientação positiva de C corresponde à orientação posti-
vida de C1. Foi-nos dado que F = P i +Qj + Rk onde as derivadas parciais
de P , Q e R são contínuas.
Como S é um gráfico de uma função, podemos aplicar a equação:
∫ ∫
S
F ·
dS =
∫ ∫
D
(−P ∂g
∂x
−Q∂g
∂y
+R)dA obtida por meio das Integrais de Superfície
de Campos Vetoriais. Substituindo na equação 2. Temos:
∫ ∫
S
rotF·dS =
∫ ∫
D
[
−
(
∂R
∂y
− ∂Q
∂z
)
∂z
∂x
−
(
∂P
∂x
− ∂R
∂x
)
∂z
∂y
+
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)]
dA,
(3)
onde as derivadas parciais de P,QeR são calculadas em (x, y, g(x, y)). Se:
x = x(t) y = y(t) a ≤ t ≤ b,
é a representação parametrizada de C1, então a representação parametrizada
de C é:
x = x(t) y = y(t) z = g(x(t), y(t)) a ≤ t ≤ b,
Isso nos permite, com a ajuda da Regra da Cadeia, calcular a integral de
linha como segue:
2
∫
C
F · dr =
∫ ∫ b
a
(
P
∂x
∂t
+Q
∂y
∂t
+R
∂z
∂t
)
dt
=
∫ b
a
[
P
∂x
∂t
+Q
∂y
∂t
+R
(
∂z
∂x
∂x
∂t
+
∂z
∂y
∂y
∂t
)]
dt
=
∫ b
a
[(
P +R
∂z
∂x
)
∂x
∂t
+
(
Q+R
∂z
∂y
)
∂y
∂t
]
dt
=
∫
C1
(
P +R
∂z
∂x
)
dx+
(
Q+R
∂z
∂y
)
dy
=
∫ ∫
D
[
∂
∂x
(
Q+R
∂z
∂y
)
− ∂
∂y
(
P +R
∂z
∂x
)]
dA
onde usamos o Teorema de Green no último passo. Assim, utilizando nova-
mente a Regra da Cadeia, lembrando que P,QeR são funções de x, yez e que
z é, por sua vez, função de x e y, obtemos:∫
C
F · dr =
∫ ∫
D
[(
∂Q
∂x
+
∂Q
∂z
∂z
∂x
+
∂R
∂x
∂z
∂y
+
∂R
∂z
∂z
∂x
∂z
∂y
+R
∂2z
∂x∂y
))
−
(
∂P
∂y
+
∂P
∂z
∂z
∂y
+
∂R
∂y
∂z
∂x
+
∂R
∂z
∂z
∂y
∂z
∂x
+R
∂2z
∂y∂x
)
dA
quatro dos termos da integral dupla se cancelam, e os seis restantes podem ser
rearranjados para que coincidam com o lado direito da Equação 2. Portanto:∫
C
F · dr =
∫ ∫
S
rotF · dS.
Finalizando, no contexto de fluidos esse campo vetorial pode ser, por
exemplo, o "Campo de velocidade U(x,y,z)"que associa a cada ponto no es-
paço um vetor velocidade (de uma partícula fluida em movimento). Nesta
linha de pensamento, podemos imaginar um redemoinho onde o campo de
velocidade U(x, y) gera vetores de velocidade tangencial à circunferência do
redemoinho. Cada partícula fluida então irá contribuir para um efeito rota-
tivo que será descrito justamente pelo rotacional de U(x, y, z). Vale ressaltar
que no caso planar o Teorema de Stokes é representado pelo Teorema de
Green (caso específico).
Também, podemos utilizá-la para explicar a maneira pela qual as nuvens
flutuam no ar, as ondas que se desfazem na água, ou até mesmo a resistência
da água aos navios que nela se movem.
3
Por último, e não menos importante, a lei de Stokes ajudou a estabelecer
a carga elétrica de um único elétron na experiência de Millikan. Ele con-
seguiu isso balanceando cuidadosamente as forças elétricas e gravitacionais
em minúsculas gotas de óleo carregadas e suspensas entre dois eletrodos de
metal. Conhecendo o campo elétrico, a carga da gota poderia ser determi-
nada.A gota é permitida cair e a sua velocidade terminal V1 na ausência
de um campo elétrico é calculada. A força de arraste que age na gota pode
depois ser trabalhada fora usando a Lei de Stokes.
Lista de Exercícios
Exercício 01: Calcule a integral de linha
∫
C
xy4ds onde a curva C é
metade direita da circunferência x2 + y2 = 4, percorrida no sentido anti-
horário.
Parametrizando a curva, temos:
x = 2cos(t) y = 2sen(t) −pi
2
≤ t ≤ pi
2
∫
C
xy4ds =
∫ pi
2
−pi
2
2cos(t)(2sen(t))4
√(
dx
dt
)2
+
(
dy
dt
)2
dt =
=
∫ pi
2
−pi
2
32cos(t)sen4(t)
√
(−2sen(t))2 + (2cos(t))2dt =
=
∫ pi
2
−pi
2
32cos(t)sen4(t)
√
4cos2(t) + 4sen2(t)dt =
=
∫ pi
2
−pi
2
64sen4(t)cos(t)dt =
Substituindo: u = sen(t) du = cos(t)dt
=
∫
64u4du =
64u5
5
=
[
64sen5(t)
5
]pi2
−pi
2
=
64
5
(1 + 1) =
128
5
4
Exercício 02: Calcule
∫
C
xeyzds onde C é o segmento de reta do ponto
A(0, 0, 0) ao ponto B(2, 1, 3).
Primeiramente parametrizando a reta temos que,
se ~d = B − A = (2, 1, 3) e x = x0 + tdx e y = y0 + tdy
então x = 2t, y = t e z = 3t, com 0 ≤ t ≤ 1.
Substituindo os valores em
∫
C
xeyzds, temos
⇒
∫ 1
0
2te3t
2
ds (4)
Temos que ds =
√(
∂x
∂t
)2
+
(
∂y
∂t
)2
+
(
∂z
∂t
)2
então,
ds =
√
(
∂2t
∂t
)2 + (
∂t
∂t
)2 + (
∂3t
∂t
)2dt (5)
voltando em 4, temos
⇒
∫ 1
0
2te3t
2
√(
∂2t
∂t
)2
+
(
∂t
∂t
)2
+
(
∂3t
∂t
)2
dt =
∫ 1
0
2te3t
2
√
22 + 12 + 32dt
=
∫ 1
0
2
√
14te3t
2
dt
fazendo 3t2 = u, temos que du = 6tdt, então
=
√
14
∫
2teu
du
6t
=
√
14
∫
eu
3
du
=
√
14
(
eu
3
)
como u = 3t2,
=
√
14
(
e3t
2
3
)1
0
=
√
14
(
e3 − 1
3
)
5
∴
∫
C
xeyzds =
√
14
(
e3 − 1
3
)
Exercício 03: Determine o trabalho realizado pelo campo de força
~F (x, y, z) = exi + eyj + ezk, sobre uma partícula que percorre o arco de
curva C, definido por ~r(t) = ti + t2j + t3k, 0 ≤ t ≤ 2 . Suponha que o arco
seja medido em metros e a força em Newton.
Parametrizando a curva:
x = t y = t2 z = t3 0 ≤ t ≤ 2
Temos: ~r′(t) = 1i+ 2tj+ 3t2k
w =
∫
C
~Fd~r =
∫
C
~F (~r(t)).~r′(t)dt
w =
∫ 2
0
(eti+ et
2
j+ et
3
k)(i+ 2tj+ 3t2k)dt
w =
∫ 2
0
(et + 2tet
2
+ 3t2et
3
)dt
w =
∫ 2
0
etdt+
∫ 2
0
2tet
2
dt+
∫ 2
0
3t2et
3
dt
Usando a substituição simples, temos na segunda integral: u = t2 e
du = 2tdt e na terceira integral: k = t3 e dk = 3t2dt
w =
[
et
]2
0
+
∫
eudu+
∫
ekdk
w = [e2 − 1] +
[
et
2
]2
0
+
[
et
3
]2
0
w = e2 − 1 + e4 − 1 + e8 − 1
w = e2 + e4 + e8 − 3
6
Exercício 04: Determine uma função φ tal que ~F = ∇φ e use o re-
sultado para calcular
∫
C
~F · d~r sobre a curva C, sendo ~F (x, y, z) = (2xz +
y2)i+2xyj+(x2+3z2)k e C uma curva ligando os pontos (0, 1,−1) à (1, 2, 1).
Primeiramente verificando se o campo vetorial é conservativo temos que,
∂f
∂y
=
∂g
∂x
(6)
∂f
∂z
=
∂h
∂x
(7)
∂g
∂z
=
∂h
∂y
(8)
como
∂f
∂y
= 2y, ∂g
∂x
= 2y,∂f
∂z
= 2x,∂h
∂x
= 2x,∂g
∂z
= 0 e ∂h
∂y
= 0, temo que as
relações 6,7,8 são respeitada, portanto
~F é um campo vetorial conservativo.
Para determinar a função φ temos que:
Primeiramente como
∂φ
∂z
= 2xz + y2, integramos ela em relação a x,
φx =
∫
∂φ
∂x
= 2xz + y2 = x2z + xy2 +K(y, z) (9)
sendo K(y, z) uma constante que pode ou não depender de y e/ou z. De
forma semelhante temos que (o indice no φ indica em relação a qual variável
a função foi integrada),
φy =
∫
∂φ
∂y
= xy2 +K(x, z) (10)
φz =
∫
∂φ
∂z
= x2z + z3 +K(x, y) (11)
Para determinar as constantes temos:
Derivando 9 em y,
∂φx
∂y
= 2xy +
∂K(y, z)
∂y
Fazendo agora a derivada de 9 em função de z,
∂φx
∂z
= x2 +
∂K(y, z)
∂z
Agora para 10 temos:
Derivando 10 em relação à x,
∂φy
∂x
= y2 +
∂K(x, z)
∂x
7
Agora derivando em z temos,
∂φy
∂z
=
∂K(x, z)
∂z
Em relação ao 11 temos: Derivando 11 em relação à y temos:
∂φz
∂y
=
∂K(x, y)
∂y
11 em relação à x temos:
∂φz
∂x
= 2xy +
∂K(x, y)
∂x
Igualando essas relações à 9,10 e a 11, chegamos que,
∂φ
∂y
=
∂K(x, y)
∂y
= 2xy
chegando então que,integrando em y temos,
Ky(x, y) = xy
2 +K(x) (12)
O índice de K representa em relação a qual variável foi feita a integral. De
forma semelhante para as outras relções temos que,
Kz(x, z) = x
2 + z3 +K(x) (13)
Ky(y, z) = K(z) (14)
Kz(y, z) = z
3 +K(y) (15)
Kx(x, z) = x
2z +K(z) (16)
Kx(x, y) = xy
2 +K(y). (17)
De 12 e 17, concluímos que,
K(x) = K(y) = K.
De 13 e 16, concluímos que,
K(z) = z3 +K(x) = z3 +K.
De 14 e 15, concluímos que,
K(z) = z+K(y) = z3 +K.
8
Portanto, voltando em 10, temos que, K(x, z) = K(z) = z3+K(x) = z3+K,
então
φy = xy
2 +K(x, z) = xy2 + z3 +K (18)
Derivando essa função em relação a x temos,
∂φy
∂x
= y2 +K ′
como
∂φy
∂x
= 2xz + y2
K ′ = 2xz
Integrando K em relção a x temos,
⇒ K = x2z
Voltando em 18 temos,
φ = xy2 + z3 + x2z
Por ser um campo vetorial conservativo, temos que,∫
c
~Fd~r = φi − φf
então, ∫
c
~Fd~r = (1.22 + 13 + 12.1)− (0.12 + (−1)3 + 02.(−1)) = 7
∴
∫
c
~Fd~r = 7
Exercício 05: Uma partícula inicialmente no ponto (−2, 0) se move ao longo
do eixo x até o ponto (2, 0) e então aolongo dasemi circunferência y =
√
4− x2
até o ponto inicial. Calcule o trabalho realizado nessa partícula pelo campo
de força
~F (x, y) = (x, x3 + 3xy2).
Temos que o trabalho é dado pela área entre as curvas. Desta forma, temos
o teorema de Green que relaciona a integral de linha ao longo de uma curva
fechada no plano com a integral dupla sobre a região limitada por essa curva.∮
f(x, y)dx+ g(x, y)dy =
∫ ∫
s
(
∂g
∂x
− ∂f
∂y
)
dA (19)
Fazendo assim, a aplicação do teorema. Temos:
∂g
∂x
= 3x2+3y2 e a ∂f
∂y
= 0
Substituindo em (7) temos:
9
rea = Trabalho =
∫ 2
−2
∫ √(4−x2)
0
(3x2 + 3y2)dydx
Usando para coordenadas polares, obtemos:
x = rcos(t) y = rsen(t)
Com 0 ≤ t ≤ pi e 0 ≤ r ≤ 2
Temos então:
rea = Trabalho =
∫ pi
0
∫ 2
0
[3.(rcos(t)2 + 3.(rsen(t)2)]rdrdt
w =
∫ 2
0
∫ pi
0
(3r2(cos2(θ) + sen2(θ))rdθdr
w =
∫ 2
0
∫ pi
0
(3r3)dθdr
w =
∫ 2
0
[θ]pi0 3r
3dθdr
w =
∫ 2
0
3pir3dθdr
w =
[
3pir4
4
]2
0
∴ w = 12pi
Exercício 06: Calcule
∫ ∫
s
(x2 + y2)ds, onde s é a parte do parabolóide
z = 4− x2 − y2 que está acima do plano xy.
Primeiramente devemos calcular o ds,
ds =
√(
∂z
∂x
)2
+
(
∂z
∂y
)2
+ 1
como
∂z
∂x
= −2x e ∂z
∂y
= −2y
ds =
√
4x2 + 4y2 + 1
10
Em coordenadas polates temos, x = rcosθ e y = rsenθ, então temos a
integral, ∫ 2
0
∫ 2pi
0
r2
√
4r2 + 1rdrdθ
⇒
∫ 2pi
0
∫ 2
0
r3
√
4r2 + 1drdθ
Fazendo um calculo auxiliar para calcular a integral
∫ 2
0
r3
√
4r2 + 1dr Cha-
mando 4r2 + 1 de u temos que,
u = 4r2 + 1
1
8
du = rdr e
u− 1
4
= r2
∫ 2
0
r3
√
4r2 + 1dr =
1
32
∫
(u− 1)(u) 12du
=
1
32
∫
u
3
2 − u 12du
=
1
32
(
2
5
u
5
2 − 2
3
u
3
2
)
=
[
1
32
(
2
5
(4r2 + 1)
5
2 − 2
3
(4r2 + 1)
3
2
]2
0
Portanto a integral será∫ 2pi
0
∫ 2
0
r3
√
4r2 + 1drdθ =
∫ 2pi
0
[
1
32
(
2
5
(4r2 + 1)
5
2 − 2
3
(4r2 + 1)
3
2
]2
0
dθ
= θ
[[
1
32
(
2
5
(4r2 + 1)
5
2 − 2
3
(4r2 + 1)
3
2
]2
0
]2pi
0
.
=
pi
16
[
2
5
172
√
17− 2
3
17
√
17 +
4
15
]
∴
∫ ∫
s
(x2 + y2)ds =
pi
16
[
2
5
172
√
17− 2
3
17
√
17 +
4
15
]
Exercício 07: Como calcula o gradiente, divergente e o rotacional? Dê um
exemplo de cada e uma aplicação.
No cálculo vetorial o vetor gradiente tem a função de indicar o sentido e
a direção na qual, por deslocamento a partir do ponto especificado, obtém-se
o maior incremento possível no valor de uma grandeza a partir da qual se
11
define um campo escalar para o espaço em consideração. Ele é cálculado por
meio da equação:
∇φ = ∂φ
∂x
i+
∂φ
∂y
j+
∂φ
∂z
k (20)
O exemplo, já inserido com a aplicação é dado por: Suponha-se que a
temperatura em um ponto (x, y, z) do espaço seja dado por T (x, y, z) =
1 + x2 + 2y2 + 3z2, onde T é medida em graus Celsius e x, y e z em metros.
Em que direção a temperatura aumenta mais rapidamente?
Temos então:
∇T = ∂T∂x
i+
∂T
∂y
j+
∂T
∂z
k
∇T = 2xi+ 2yj+ 2zk
Portanto, se tivermos um ponto, como por exemplo, (1,1,1) e quisermos
saber em que direção a sua temperatura aumenta mais rapidamente. Subs-
tituimos na equação acima e temos:
∇T = 2i+ 2j+ 2k
Rotacional refere-se as propriedades de rotação do fluido num ponto,
na física, poderiamos chamá-lo de circulação. Tomando F = P i + Qj + Rk
temos:
rotF = ∇× F (21)
rotF =
 i j k∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
P Q R

(22)
rotF =
(
∂R
∂y
− ∂Q
∂z
)
i+
(
∂P
∂z
− ∂R
∂x
)
j+
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
k (23)
O exemplo cuja aplicação está inserida é dado por: Um fluido em movi-
mento, como um gás escoando uniformemente em um tubo e, seja V(x,y,z)
o vetor velocidade em um ponto (x,y,z). Então V associa um vetor a cada
ponto (x,y,z) de certo domínio E no interior do tubo, assim, V é um campo
vetorial em R3 chamado campo de velocidade. Se V = xz i + xyz j + yz k
determine se este fluido está apenas percorrendo o tubo, ou se ele roda em
torno do eixo que aponta na direção de rot F (x,y,z).
Em 30 temos a forma em que é dado o rotacional de F, usamos então,
para V:
rotV = (z − xy) i+ (x− 0) j+ (yz − 0)k
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rotV = (z − xy) i+ xj+ (yz)k
Como o rotacional de V 6= 0, temos que há circulação do gás em torno
do seu eixo conforme ele flui pelo tubo.
O divergente refere-se a maneira como a fluido flui para ou afasta-se de
um ponto. Seja F = P i+Qj+Rk o divergente é dado por:
divF = ∇ · F (24)
divF =
∂P
∂x
+
∂Q
∂y
+
∂R
∂z
(25)
A aplicação juntamente com o exemplo é dado também, na mecânica dos
fluidos. Apesar de estar presente em diversas áreas da física, assim como no
eletromagnetismo. Se F(x,y,z) é a velocidade de um fluido qualquer escoando
do ponto (x,y,z) e F é dado por: F (x, y, z) = xyi + zxj + zyk. Determine a
tendência do líquido divergir do ponto (x,y,z):
Temos o div F dado por 32, aplicando então ao nosso campo velocidade,
obtemos:
divF = y + 0 + y
divF = 2y
Concluindo então que o fluido é compressível e além disso, diverge do
ponto (x,y,z) com uma tendência de 2y.
Exercício 08: Explique em poucas palavras o teorema de Gauss e de
Stokes.
Teorema de Gauss: No cálculo vetorial, é um resultado que relaciona fluxo
com o campo vetorial através de uma superfície com o comportamento do
campo vetorial dentro da superfície. Em palavras, o Teorema diz que o
fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com orientação
para fora equivalate a integral tripla de divergencia na região envolvida pela
superfície. Na maioria das vezes, é mais facil calcular o fluxo atraves de uma
superffcie fechada usando o Teorema de Gauss do que calculando o fluxo
diretamente. ∫ ∫ ∫
G
(∇~F )dV =
∫ ∫
~Fd ~A.
Teorema de Stokes: O teorema de Stokes diz que o fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície de caminho fechado equivale a uma integral dupla
do rotacional na região envolvida pela superfície. Esse teorema, geralmente,
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é a alternativa preferida para calcular trabalho ao longo de curvas por partes,
uma vez que elimina a necessidade de calcular uma integral separada para
cada parte da curva. ∫ ∫
σ
(∇X ~F )d ~A =
∮
~Fd~r.
Referências Bibliográficas
[1] Introduction to Electrodynamics- David J. Griffiths- 3
a
Edição.
[2] Cálculo, um novo horizonte,Vol.2-Howard Anton-8
a
Edição.
[3] Cálculo,Vol.2-James Stewart-7
a
Edição.
[4] Um curso de Cálculo, Vol.3-Hamilton Luiz Guidorizzi
[5] http://www.if.ufrgs.br/historia/millikan.html, página acessada dia 28/02/2016,
às 0h43.
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