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Universidade Estadual de Maringá Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática Disciplina de Álgebra Linear Lista de exercícios Preceptoria – Álgebra linear - Física 1) Verifique dentre as funções dadas abaixo quais delas se qualificam como transformação linear. a) T: IR2 IR2 e T(x,y) = (2x – y, 0) É transformação linear b) T: IR2 IR2 e T(x,y) = (2x – y, 3x + 5y) É transformação linear c) T: IR2 IR2 e T(x,y) = (x2, y2) Não é transformação linear d) T: IR2 IR2 e T(x,y) = (x +1, y) Não é transformação linear e) T: IR2 IR4 e T(x,y) = (y, x, y,x) É transformação linear f) T: IR3 P3 T(x,y,z) = 3x – 2y + z É transformação linear g) T: IR2 IR T(x,y) = x.y Não é transformação linear h) T: IR2 IR2 T(x,y) = (2y) Não é transformação linear 2) Dada a transformação linear f: IR3 IR2 tal que f (1,0,0) = (2,1), f (0,1,0) = (-1,0) e f (0,0,1) = (1,-2). Determinar: a) f (3,4,5) R: (7,-7) b) f (x,y,z) R: (2x – y + z, x – 2z) 3) Dada a transformação linear f: IR2 IR3 tal que f (-1,1) = (3,2,1), f (0,1) = (1,1,0) Determinar: a) f (2,3) R: (-1,1,-2) b) f (x,y) R: (-2x + y, -x + y, -x) c) v ϵ IR2 tal que f (v) = (-2,1,-3) R: v = (3,4) 4) Seja f: IR3 IR2 a transformação linear definida por f (1,1,1,) = (1,2), f (1,1,0) = (2,3), f (1,0,0) = (3,4). Determinar: a) f (x, y, z) R: (3x – y – z , 4x – y - z) b) u1 ϵ IR3 tal que f(u1) = (-3,-2) R:u1 = (1, 6 – z, z) c) u2 ϵ IR3 tal que f (u2) = (0,0) R:u2 = (0, – z, z) 5) Dado o operador linear f: IR2 IR2, f (x,y) = (2x + y, 4x + 2y) diga quais dos seguintes vetores pertencem ao núcleo de f, isto é, N(f) a) u1 = (1,-2) R: Pertence ao N(f) b) u2 = (2,-3) R: Não pertence ao N(f) c) u3 = (-3,6) R: Pertence ao N(f) 6) Dado o operador linear f: IR2 IR2, f (x,y) = (2x + y, 4x + 2y) diga quais dos seguintes vetores pertencem a imagem de f, isto é, Im(f) a) u1 = (2,4) R: Pertence a Im(f) b) u2 = (-½,-1) R: Pertence a Im(f) c) u3 = (-1,3) R: Não pertence a Im(f) 7) Dado o operador linear f: IR2 IR2, f (x,y) = (3x – y, -3x + y). Determine: O núcleo de f, a dimensão do núcleo de f e uma de suas bases; A imagem de f, a dimensão da imagem e f e uma de suas bases; Verificar a propriedade da dimensão: Dim N(f) + Dim Im(f) = Dim V Respostas N(f) = {(x ,3x) ϵ IR2/ x ϵ IR}, Dim N(f) = 1 e B = {(1,3)} Im(f) = {(a,b) ϵ IR2/ a + b = 0} Dim Im(f) = 1 B = {( -1, 1)} Dim N(f) + Dim Im(f) = Dim V se verifica 8) Dado o operador linear f: IR2 IR3, f (x,y) = (x + y, x, 2y). Determine: O núcleo de f, a dimensão do núcleo de f e uma de suas bases; A imagem de f, a dimensão da imagem e f e uma de suas bases; Verificar a propriedade da dimensão: Dim N(f) + Dim Im(f) = Dim V Respostas N(f) = {(0,0,0) }, Dim N(f) = 0 e B = {(0,0,0)} Im(f) = {(a,b,c) ϵ IR/ 2a – 2b – 2c = 0} Dim Im(f) = 2 Base: {v1= (1,0,2) e v2 = (0,1,-1)} Dim N(f) + Dim Im(f) = Dim V se verifica 9) Dado o operador linear f: IR2 IR2, f (x,y) = (x – 2y, x + y). Determine: O núcleo de f, a dimensão do núcleo de f e uma de suas bases; A imagem de f, a dimensão da imagem e f e uma de suas bases; Respostas N(f) = {(0,0) }, Dim N(f) = 0 e B = {(0,0)} Im(f) = {(a,b) ϵ IR/ } Dim Im(f) = 2 Base: {v1= () e v2 = (1,0)} 10) Dado o operador linear f: IR3 IR2, f (x,y,z) = (x + 2y – z , 2x – y + z). Determine o núcleo de f, a dimensão do núcleo de f e uma de suas bases Resposta: N(f) = {(,) }/ z ϵ IR}, Dim N(f) = 1 e B = {()} 11) Determine a matriz da transformação de cada uma das seguintes transformações lineares, considerando as bases canônicas T: IR2 IR2 e T(x,y) = (2x – y, 0) T: IR2 IR2 e T(x,y) = (2x – y, x) T: IR3 IR3 e T(x,y,z) = (2x – y, 0, y + z) Respostas b) c) 12) Determine a imagem do vetor v = (-2,4) das transformações lineares do exercício anterior letras (a) e (b), isto é, a f(vB) sabendo que: f (vB) = T. vA Respostas: b) 13) Sabendo que T: IR3 IR2 e T(x,y,z) = (2x – y + z, 3x + y – 2z) e tomando A = { v1 = (1,1,1), v2 = (0,1,1) e v3 = (0,0,1)} e B = { w1 = (1,0) e w2 = (0,1)}. Determine: a) A matriz transformação de A em B b) Tomando v = (3, -7, 6) calcular f(vB) Respostas b) 14) Sabendo que T: IR3 IR2 e T(x,y,z) = (2x – y + z, 3x + y – 2z) e tomando A = { v1 = (1,0,0), v2 = (0,1,0) e v3 = (0,0,1)} e B = { w1 = (1,0) e w2 = (0,1)}. Determine: a) A matriz transformação de A em B b) Tomando v = (3, -4, 2) calcular f(vB) Respostas b) 15) Dadas as bases A = { (1,1), (1,0)} do IR2 e B = {(1,2,0), (1,0,-1), (1,-1,3)} do IR3. Determinar a transformação linear T: IR2 IR3 cuja matriz T = Resposta: T (x, y) = (x + y, - 3x + 8y, 11x – 15y)
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