CDI II Lista 11- Integrais de Linha

Prévia do material em texto

Preceptores: Cesar Postingel Ramos e Juniormar Organista.
Co´digo da mate´ria: CDI II
Cursos atendidos: Estat´ıstica, F´ısica e Qu´ımica.
Lista XI
1. Calcule a integral de linha, onde C e´ a curva dada:
(a)
∫
C
xydS, onde C : x = t2, y = 2t, 0 ≤ t ≤ 1.
(b)
∫
C
sen(x)dx, onde C e´ o arco da curva x = y4 de (1,−1) a (1, 1).
(c)
∫
C
x
√
ydx+ 2y
√
xdy, onde C consiste na metade superior da circunfereˆncia
x2 + y2 = 1 de (0, 1) a (1, 0) e no segmento de reta de (1, 0) a (4, 3).
(d)
∫
C
xyz2dS, onde C e´ o segmento de reta de (−1, 5, 0) a (1, 6, 4).
(e)
∫
C
zdx+ xdy + ydz, onde C : x = t2, y = t3, z = t2, 0 ≤ t ≤ 1.
2. Um arame fino tem a forma da parte que esta´ no primeiro quadrante da circunfereˆncia com
centro na origem e raio a. Se a func¸a˜o densidade for r(x, y) = kxy, encontre a massa e o
centro de massa do arame.
3. Determine a massa e o centro de massa de um arame com formato da he´lice x = t,
y = cos(t), z = sen(t), 0 ≤ t ≤ 2pi, se a densidade em qualquer ponto for igual ao quadrado
da sua distaˆncia do ponto a` origem.
4. Determine se F e´ ou na˜o um campo vetorial conservador. Se for, determine uma func¸a˜o f
tal que F = Of.
(a) F (x, y) = exsen(y)i + exsen(y)j.
(b) F (x, y) = (3x2 − 2y2)i + (4xy + 3)j.
(c) F (x, y) = (xy cos(xy) + sen(xy))i + (x2 cos(xy))j.
1
5. Determine uma func¸a˜o f tal que F = Of e a use para calcular
∫
C
F · dr sobre a curva C
dada:
(a) F (x, y) = x2i + y2j, onde C e´ o arco da para´bola y = 2x2 de (−1, 2) a (2, 8).
(b) F (x, y) = y
2
1+x2
i + 2y arctan(x)j, onde C : r(t) = t2i + 2tj, 0 ≤ t ≤ 1.
2