Continuidade_de_Funcoes_Derivaveis

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Continuidade de Funções Deriváveis 
 
A função 
3)( xxf 
 existe para todo x real. Sua derivada é 
3 23
1
)´(
x
xf 
 e não 
existe quando x = 0, indicando assim que f(x) não é derivável neste ponto. Porém: 
 
Teorema: Toda função derivável em um ponto x1 é contínua neste ponto. 
 
* f(x) não apresentar derivada em um ponto x1 pode ser por um dos seguintes motivos: 
 i) Ela é descontínua em x1. 
 ii) Ela é contínua em x1, porém a tangente é vertical. 
 iii) Ela é contínua em x1, porém não há uma reta tangente no ponto. 
 
 
 
 
Derivadas Laterais 
 Ao assumirmos o resultado 
x
xfxxf
xf
x 



)()(
lim)('
0
 entende-se que ∆x→0 
por valores maiores e menores do que 0 (zero). Portanto, uma função f é derivável em 
um ponto x1, se e somente se 
)0()( 1
' 
 xxf
 e 
)0()( 1
' 
 xxf
 existirem e forem 
iguais. 
 
Exemplo: Seja 







42
2
4
)(
xse
x
xsex
xf
. Verifique se f(x) é contínua e diferenciável 
em todos os números reais. 
 
 
 
1 
 
Teoremas sobre Derivadas de funções Algébricas 
 
O cálculo da derivada de uma função por meio da definição é um “processo” 
bastante trabalhoso. Os teoremas descritos na sequência nos proporcionam uma 
maneira rápida e prática de calcular a derivada de uma função. 
 
Teorema 1: Se c for uma constante e se f(x) = c ∀ ∊ ℝ, então: f´(x) = 0. 
 
Teorema 2: Se n for um inteiro positivo e se f(x) = xn, então: f´(x) = nxn-1. 
 
Teorema 3: Se f(x) for uma função, c uma constante e g a função definida por g(x) = c.f(x), 
então: g‘(x) = c.f´(x). 
 
Teorema 4: Sejam f(x) e g(x) duas funções e h(x) a função definida por h(x) = f(x) + g(x). 
Se f´(x) e g´(x) existirem, então: h´(x) = f´(x) + g´(x). 
 
Teorema 5: A derivada da soma de um número finito de funções é igual a soma das 
derivadas de cada uma das funções, se elas existirem. 
 
Teorema 6: Se f(x) e g(x) forem funções e h(x) a função definida por: h(x) = f(x).g(x), então: 
h’(x) = f´(x).g(x) + f(x).g’(x). Se f´(x) e g´(x) existirem. 
 
Teorema 7: Se f(x) e g(x) forem funções e h(x) a função definida por: 
)(
)(
)(
xg
xf
xh 
, onde 
g(x)≠0. Se f´(x) e g´(x) existirem, então: 
 2)(
)´().()().´(
)(´
xg
xgxfxgxf
xh


 
 
Teorema 8: Se 
nxxf )(
, onde -n é um inteiro negativo e x ≠ 0, então: 
1)´(  nnxxf
 
 
 
2 
 
Exemplos: Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo: 
a) 
6343)( 235  xxxxxf
 b) 
33 4)4).(32()( xxxxxg 
 
c) 
72
63
)(



x
x
xh
 d) 
3
6
)(
x
xi


 
e) 
32
54
)(
xx
xj 
 f) 
3)12()(  xxl
 
 
Derivadas de Funções Trigonométricas 
 Quando no cálculo de derivadas de funções, muitas vezes ocorre que nos 
deparamos com funções trigonométricas. Neste sentido, a derivada deste tipo de função 
pode ser obtida por meio da utilização dos resultados dos seguintes teoremas. 
Teorema: Se 
)()( xsenxf 
, então: f´(x) = cos(x). 
 
Teorema: Se 
)(cos)( xxg 
, então: g´(x) = -sen(x). 
 
Teorema: Se 
)()( xtgxh 
, então: h´(x) = sec2(x). 
 
Teorema: Se 
)()( xtgcoxf 
, então: f´(x) = -cosec2(x). 
 
Teorema: Se 
)(sec)( xxg 
, então: g´(x) = sec(x).tg(x). 
 
Teorema: Se 
)(sec)( xcoxh 
, então: h´(x) = -cosec(x).cotg(x). 
 
Exemplo 1: Encontre a derivada de cada uma das seguintes funções: 
a) 
)cos().(.3)( xxsenxf 
 b) 
)cos(.3)(  xxxg
 c) 
tttf cos.5)( 3
 
Exemplo 2: Encontre o valor de f´(a) para cada uma das funções: 
a) 
2
)(  aem
x
senx
xf
 b) 
2
3sec.)(  aemxcoxxf