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0 Limites Infinitos Nosso interesse neste momento é analisar o comportamento de funções que aumentam ou diminuem ilimitadamente a medida em que x tende a um determinado valor. Seja 𝑓(𝑥) = 1 𝑥2 , sabe-se que 𝐷(𝑓) = ℝ* Qual o comportamento de f quando x tende a 0? X 2 1 )( x xf x 2 1 )( x xf 1 1 -1 1 0,5 4 -0,5 4 0,1 100 -0,1 100 0,01 10000 -0,01 10000 0,001 1000000 -0,001 1000000 0,0001 100000000 -0,0001 100000000 0,00001 10000000000 -0,00001 10000000000 Da tabela acima podemos identificar que f(x) pode tornar-se tão grande quanto se queira, basta que os valores de x tornem-se cada vez mais próximos de zero, ou seja: lim 𝑥→0− 𝑓(𝑥) = + ∞ e lim 𝑥→0+ 𝑓(𝑥) = + ∞ Portanto, quando x tende a zero (0) tanto por valores menores, quanto por valores maiores, f(x) cresce sem limites (ilimitadamente) e escrevemos: lim 𝑥→0 1 𝑥2 = + ∞ Graficamente 𝑓(𝑥) = 1 𝑥2 apresenta o seguinte gráfico: Aproximando de x=0 as “curvas da função” crescem ilimitadamente, esta reta vertical x = 0 é chamada de Assíntota Vertical. Formalmente uma Assíntota Vertical tem a seguinte definição: Nos casos onde o “ limite é infinito”, positivo ou negativo, o limite não existe, os símbolos (+) e (-) indicam o comportamento da função. 1 Os teoremas seguintes desempenham significativa importância para os cálculos de limites infinitos. Teorema: Se r for inteiro positivo qualquer, então: i) lim 𝑥→0+ 1 𝑥𝑟 = + ∞ ii) lim 𝑥→0− 1 𝑥𝑟 = { + ∞ 𝑠𝑒 𝑟 é 𝑝𝑎𝑟 − ∞ 𝑠𝑒 𝑟 é 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 Teorema: Se a for um número real qualquer e se lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 0 e lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) = 𝑐, onde c é uma constante não nula, então: i) Se 𝑐 > 0 e se 𝑓(𝑥) → 0 por valores positivos de f(x), então: lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) = +∞ ii) Se 𝑐 > 0 e se 𝑓(𝑥) → 0 por valores negativos de f(x), então: lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) = −∞ iii) Se 𝑐 < 0 e se 𝑓(𝑥) → 0 por valores positivos de f(x), então: lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) = −∞ iv) Se 𝑐 < 0 e se 𝑓(𝑥) → 0 por valores negativos de f(x), então: lim 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) = +∞ O teorema acima também é válido se 𝑥 → 𝑎− ou 𝑥 → 𝑎+. Definição: A reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico de uma função f(x), se pelo menos uma das seguintes afirmativas ocorrer: i) lim 𝑥→𝑎− 𝑓(𝑥) = −∞ ii) lim 𝑥→𝑎− 𝑓(𝑥) = +∞ iii) lim 𝑥→𝑎+ 𝑓(𝑥) = −∞ iv) lim 𝑥→𝑎+ 𝑓(𝑥) = +∞ 2 Exemplos e exercícios: 1) Se 𝑓(𝑥) = 3𝑥+5 𝑥−2 calcule: lim 𝑥→2− 𝑓(𝑥) e lim 𝑥→2+ 𝑓(𝑥). 2) Calcule lim 𝑥→0− 𝑥2+4𝑥+4 𝑥2−𝑥 3) Calcule lim 𝑥→2− 1 2𝑥−4 . 4 2𝑥+5 4) Determine quais são as assíntotas verticais da função ℎ(𝑥) = [7𝑥+5 3−𝑥 + 4 𝑥 ] e porque são?
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