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Limites_Infinitos

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Limites Infinitos 
 Nosso interesse neste momento é analisar o comportamento de funções que 
aumentam ou diminuem ilimitadamente a medida em que x tende a um determinado 
valor. 
 Seja 𝑓(𝑥) =
1
𝑥2
 , sabe-se que 𝐷(𝑓) = ℝ* 
Qual o comportamento de f quando x tende a 0? 
X 
2
1
)(
x
xf 
 x 
2
1
)(
x
xf 
 
1 1 -1 1 
0,5 4 -0,5 4 
0,1 100 -0,1 100 
0,01 10000 -0,01 10000 
0,001 1000000 -0,001 1000000 
0,0001 100000000 -0,0001 100000000 
0,00001 10000000000 -0,00001 10000000000 
 
Da tabela acima podemos identificar que f(x) pode tornar-se tão grande quanto 
se queira, basta que os valores de x tornem-se cada vez mais próximos de zero, ou seja: 
lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥) = + ∞ e lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) = + ∞ 
Portanto, quando x tende a zero (0) tanto por valores menores, quanto por valores 
maiores, f(x) cresce sem limites (ilimitadamente) e escrevemos: 
 lim
𝑥→0
1
𝑥2
= + ∞ 
 Graficamente 𝑓(𝑥) =
1
𝑥2
 apresenta o seguinte gráfico: 
 Aproximando de x=0 as 
“curvas da função” crescem 
ilimitadamente, esta reta vertical 
x = 0 é chamada de Assíntota 
Vertical. Formalmente uma 
Assíntota Vertical tem a seguinte 
definição: 
 
Nos casos onde o “ limite é infinito”, positivo ou negativo, o limite não existe, os símbolos 
(+) e (-) indicam o comportamento da função. 
1 
 
 
Os teoremas seguintes desempenham significativa importância para os cálculos 
de limites infinitos. 
 
Teorema: Se r for inteiro positivo qualquer, então: 
i) lim
𝑥→0+
1
𝑥𝑟
= + ∞ 
 
ii) lim
𝑥→0−
1
𝑥𝑟
= {
+ ∞ 𝑠𝑒 𝑟 é 𝑝𝑎𝑟 
− ∞ 𝑠𝑒 𝑟 é 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 
 
 
Teorema: Se a for um número real qualquer e se lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 0 e lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝑐, 
onde c é uma constante não nula, então: 
i) Se 𝑐 > 0 e se 𝑓(𝑥) → 0 por valores positivos de f(x), então: 
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥)
= +∞ 
 
ii) Se 𝑐 > 0 e se 𝑓(𝑥) → 0 por valores negativos de f(x), então: 
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥)
= −∞ 
 
iii) Se 𝑐 < 0 e se 𝑓(𝑥) → 0 por valores positivos de f(x), então: 
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥)
= −∞ 
 
iv) Se 𝑐 < 0 e se 𝑓(𝑥) → 0 por valores negativos de f(x), então: 
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥)
= +∞ 
 
 O teorema acima também é válido se 𝑥 → 𝑎− ou 𝑥 → 𝑎+. 
 
Definição: A reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico de uma função f(x), 
se pelo menos uma das seguintes afirmativas ocorrer: 
i) lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = −∞ ii) lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = +∞ 
iii) lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = −∞ iv) lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = +∞ 
2 
 
Exemplos e exercícios: 
1) Se 𝑓(𝑥) =
3𝑥+5
𝑥−2
 calcule: lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) e lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥). 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Calcule lim
𝑥→0−
𝑥2+4𝑥+4
𝑥2−𝑥
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Calcule lim
𝑥→2−
1
2𝑥−4
.
4
2𝑥+5
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Determine quais são as assíntotas verticais da função ℎ(𝑥) = [7𝑥+5
3−𝑥
+ 4
𝑥
] e 
porque são?

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