Limites_no_Infinito

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Limites no Infinito 
 
 Anteriormente verificamos o comportamento de funções que aumentavam ou 
diminuíam ilimitadamente a medida que x aproximava-se de um certo número “a”. Agora 
vamos verificar o comportamento de funções a medida que x cresce ou decresce 
indefinidamente, ou seja, quando x→-∞ ou x→+∞. 
Consideremos a função 𝑓(𝑥) =
3𝑥
𝑥+1
 e o seu comportamento à medida que 
x→-∞ ou x→+∞ conforme a tabela abaixo. 
x 
1
3
)(


x
x
xf 
x 
1
3
)(


x
x
xf 
-5 3,75 1 1,5 
-10 3,333... 10 2,7272... 
-100 3,0303... 100 2,9702970... 
-1000 3,003003... 1000 2,997002997... 
-10 000 3,00030003.... 10 000 2,99970002997... 
 
 
 
-100 000 3,0000300003... 100 000 2,9999700002997... 
-1000 000 3,000003000003... 1000 000 2,999997000002997... 
 
 Por meio da tabela anterior podemos observar que f(x) pode tornar-se tão 
próxima de 3 quanto desejarmos, basta tomarmos valores de x suficientemente grandes, 
ou fazendo x decrescer a valores negativos indefinidamente, neste caso dizemos que o 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = 3 e também que 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = 3, pois tomando valores de x negativos 
cada vez menores ou valores de x positivos cada vez maiores, f(x) tende a 3. 
A partir da tabela anterior podemos esboçar o gráfico de f(x) abaixo. 
 Ao fazermos x→±∞ as curvas da função tendem a reta horizontal y = 3, chamada 
de assíntota horizontal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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* Os teoremas a respeito de limites de funções também são válidos para quando x→±∞. 
O teorema seguinte tem um importante papel na determinação de limites no infinito. 
 
Teorema: Se r for um inteiro positivo qualquer, então: 
i) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
 
1
𝑥𝑟
= 0 
 
ii) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
 
1
𝑥𝑟
= 0 
 
Exemplos e exercícios: 
1) Calcule 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
4𝑥+3
𝑥2−2
. 
 
2) Calcule 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
𝑥+7
√𝑥2+7𝑥
. 
 
3) Calcule 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
 
2𝑥3+3
600𝑥2−2𝑥
. 
 
4) Calcule os limites: 
a) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
𝑥5 − 2𝑥4 + 5𝑥2 + 3𝑥 − 7 b) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
√𝑥2 + 3𝑥 + 4 − 𝑥 
 
5) Mostre que se P(x) = 𝑎0 𝑥
𝑛 + 𝑎1𝑥
𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛 e Q(x) = 𝑏0 𝑥
𝑚 +
𝑏1𝑥
𝑚−1 + ⋯ + 𝑏𝑚, então: 
 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→±∞
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→±∞
𝑎0𝑥
𝑛
𝑏0𝑥𝑚
 
Definição: A reta y = b é denominada assíntota horizontal ao gráfico da função f(x) se 
uma das seguintes afirmações forem satisfeitas: 
i) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = 𝑏 e para algum nº N, se x > N; 𝑓(𝑥) ≠ 𝑏. 
ii) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = 𝑏 e para algum nº N, se x < N; 𝑓(𝑥) ≠ 𝑏.