Cálculo II - Módulo 05 - FUMEC Virtual

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Cálculo II
CÁLCULO DA 
INTEGRAL INDEFINIDA 
AS INTEGRAIS 
INDEFINIDAS 
IMEDIATAS
INTEGRAIS INDEFINIDAS 
USANDO O MÉTODO 
DA SUBSTITUIÇÃO
O CÁLCULO DA INTEGRAL 
INDEFINIDA NA SOLUÇÃO 
DE PROBLEMAS PRÁTICOS
APRESENTAÇÃO
Olá aluno(a), seja bem-vindo(a)! Vários são os métodos para o cálculo da Integral Indefinida. Neste módulo daremos 
início ao cálculo das integrais propriamente dito, partindo do método de cálculo das 
integrais imediatas e em seguida estudaremos o método da substituição da variável de 
integração. Para tanto, usaremos a tabela de integrais e apresentaremos a forma como a 
mesma foi estruturada.
Após este aprendizado, utilizaremos a integral indefinida na solução de problemas práti-
cos, ressaltando os conceitos de solução geral e solução particular das equações diferen-
ciais envolvidas nos problemas.
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Ao final deste módulo você será capaz de:
• Resolver as integrais indefinidas imediatas;
• Resolver integrais indefinidas usando o método da substituição;
• Utilizar o cálculo da integral indefinida na solução de problemas práticos.
FI
CH
A
 T
ÉC
N
IC
A FUMEC VIRTUAL - SETOR DE 
EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Gestão Pedagógica
Coordenação
Gabrielle Nunes P. Araújo
Transposição Pedagógica
Flávia Juliana da Silva
Produção de 
Design Multimídia
Coordenação
Rodrigo Tito M. Valadares
Design Multimídia
Nathan Ackerman Chagas de Souza
Raphael Gonçalves Porto Nascimento
Infra-Estrututura e Suporte
Coordenação
Anderson Peixoto da Silva
AUTORIA DA DISCIPLINA 
Profa. Dayse Magda Fialho Sodré
Prof. Renaldo Sodré
BELO HORIZONTE - 2013
CÁLCULO DA INTEGRAL INDEFINIDA
INTEGRAIS IMEDIATAS E 
MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO 
Vamos aprender a técnica de integração denominada Integrais Imediatas e o Método da 
Substituição, que é uma técnica na qual faremos a substituição da variável de integração.
INTEGRAIS IMEDIATAS
Para o cálculo das integrais imediatas, faremos uso de uma 
tabela de integração, que você vai conhecer mais adiante. 
Antes, vamos entender como esta tabela foi estruturada.
Como vimos anteriormente, a operação de derivação e integração são operações inversas 
uma da outra.
Portanto, a partir das regras adequadas de derivação de funções particulares em x, pode-
mos deduzir as fórmulas e regras para a integração.
Como exemplo, observe algumas fórmulas e regras de derivação no Quadro 01.
QUADRO 01 - DERIVADAS DE FUNÇÕES SIMPLES
FUNÇÃO DERIVADA
( )f x x C= + ( ) 1f x′ =
( )
1
1
nxf x C
n
+
= +
+
( ) nf x x′ =
( ) lnf x x C= + ( ) 1f x
x
′ =
( )f x senx C= + ( )'f x cosx=
( ) xf x e C= + ( ) xf x e′ =
Como já sabemos, o resultado de uma integral indefinida é uma primitiva, ou seja, uma 
família de curvas. Daí a razão de colocarmos no Quadro 01 as funções acrescidas de uma 
constante C.
Se integrarmos as derivadas apresentadas no Quadro 01, chegaremos às funções que 
foram derivadas, ou seja, as primitivas, como você pode ver no Quadro 02.
Cálculo da Integral Indefinida 85
QUADRO 02 - REGRAS DE INTEGRAÇÃO
REGRAS DE INTEGRAÇÃO
dx x C= +∫
1
, 1
1
n
n xx dx C n
n
+
= + ≠ −
+∫
lndx x C
x
= +∫
 cosdx senx C= +∫
x xe dx e C= +∫
Você percebeu como foi fácil a obtenção das fórmulas de 
integração através da inversão das fórmulas da derivada?
Veja agora duas propriedades importantes, que são regras algébricas, na preparação das 
integrais indefinidas. Estas fórmulas farão parte do formulário básico de Integrais.
TOME NOTA
1ª propriedade: Regra do múltiplo constante: ( ) ( )af x dx a f x dx′ ′=∫ ∫
A constante a que multiplica a diferencial, ao multiplicar a integral, o resultado da inte-
gração não será alterado. Isso quer dizer que você pode passar a constante para fora do 
sinal de integração, sempre que necessário.
2ª propriedade: Regra da soma e da diferença: ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx′ ′ ′ ′ ±  = ± ∫ ∫ ∫
A integral de uma soma ou diferença é a soma ou a diferença das integrais. Portanto, 
quando necessário, você pode separar as integrais. 
A seguir, será apresentada a você, a tabela básica de integrais:
TABELA 01: INTEGRAIS IMEDIATAS 
1. dx x c= +∫
2. 
1
1
n
n xx dx c
n
+
= +
+∫ , n 1≠ −
3. lndx x c
x
= +∫
4. x xe dx e c= +∫
5. 
ln
x
x aa dx c
a
⋅ = +∫
6. cos x dx senx c⋅ = +∫
7. 
cossenx dx x c⋅ = − +∫
8. 2sec x dx tg x c⋅ = +∫
Cálculo da Integral Indefinida86
9. 2csc x dx ctg x c⋅ = − +∫
10. sec secx tg x dx x c⋅ ⋅ = +∫
11. csc cscx ctg x dx x c⋅ ⋅ = − +∫
12. ln sectg x dx x c⋅ = +∫
13. ( )lnctg x dx sen x c⋅ = +∫
14. ( )sec ln secx dx x tg x c⋅ = + +∫
15. ( )csc ln cscx dx x ctg x c⋅ = − +∫
16. 
21 cos
arc sen x c
dx ou
x arc x c
+
= 
− − +
∫
17. 2
2
ln 1
1
dx x x c
x
= + + +
+
∫
18. 
2
2
ln 1
1
dx x x c
x
= + − +
−
∫
19. 21
arc tg x c
dx ou
x
arc ctg x c
+
= 
+ − +
∫
20. 
2
1 1ln , 1
2 1
1
1 1ln , 1
2 1
x c x
xdx ou
x
x c x
x
+ + < −
= 
−  + + >
−
∫
21. 
2
1 1ln , 1
2 1
1
1 1ln , 1
2 1
x c x
xdx ou
x
x c x
x
+− + < −
= 
−  +− + >
−
∫
22. 
2
sec
1
dx arc x c
x x
= +
−
∫
23. 
2
2
1 1ln
1
dx x c
xx x
 + −
= − + 
 −  
∫
24. 
2
2
1 1ln
1
dx x c
xx x
 + +
= − + 
 +  
∫
Agora, com o uso das propriedades e da tabela básica de integração, vamos a alguns 
exemplos onde calcularemos algumas integrais imediatas: 
a) x dx∫
Como x está elevado a 1, usamos a fórmula:
1
 
1
n
n xx dx C
n
+
= +
+∫
Então, 
1 1 2
 
1 1 2
x xx dx C C
+
= + = +
+∫
b) 1/5x dx∫
Para solução desta integral, usaremos a fórmula: 
1
 
1
n
n xx dx C
n
+
= +
+∫
Assim, 
1 1 6/55
1/5 6/55
1 6 61
5 5
x xx dx C C x C
+
= + = + = +
+
∫ 
c) 2
1 dx
x∫
Cálculo da Integral Indefinida 87
Nesta integral, como x está elevado a 2, podemos passar x2 para o numerador e usar a 
fórmula nx dx∫ . Assim:
2 1 1
2
2
1 
2 1 1
x xdx x dx C C
x
− + −
−= = + = +
− + −∫ ∫
Então a resposta da integral é:
2
1 1 dx C
x x
=− +∫
d) 1x dx−∫
Para esta integral, você não pode usar a fórmula nx dx∫ , pois n = –1, veja por que:
1 1 0
1 
1 1 0
x xx dx C
− +
− = = +
− +∫ e como você sabe, esta operação, ou seja, a divisão por zero, não existe no conjunto dos números reais. 
Então vamos usar a fórmula 
dx
x∫ . Para isto, devemos passar x –1 para o denominador, 
naturalmente com o expoente positivo. Se tiver dúvida quanto a isso, consulte o módulo 
sobre as funções exponenciais.
Então, 1
1 x dx dx ln x C
x
− = = +∫ ∫
REFLITA 
Pense um pouco e busque em sua base de conhecimentos o que você aprendeu quando estu-
dou o módulo sobre Funções Exponenciais e Logarítmicas. Pelo que você aprendeu saberia 
dizer por que colocamos o sinal modular em x?
e) 23x dx∫ 
Para esta integral, vamos usar a regra do múltiplo constante, passando a constante 3 para 
fora da integral.
( )
2 1
2 3( )3
2 1
xx dx C
+
= + =
+∫
 
3
3 33 3
3
x C x C x C
 
+ = + = + 
 
Como você pode observar, a aplicação da regra de integração tende a gerar constantes 
de integração pouco cômodas (3C). Para simplificar o resultado, podemos substituir a 
constante 3C, por somente C, por tratar-se de uma constante arbitrária. E assim, será o 
nosso procedimento para todas as integrais.
f) 
4) ( 5 )
4
xef x senx dx+ −∫ 
Usando as fórmulas de preparação, podemos separar as integrais e passar as constantes 
para o lado de fora da integral:
5
4
1 2 3
1 15 5
4 5 4
x xxx dx senxdx e dx C cosx C e C+ − = + + + − +∫ ∫ ∫
 
Combinaremos as constantesC1, C2 e C3 em uma única constante arbitrária que será a soma 
de todas as constantes, 1 2 3C C C C= + + , assim, o resultado da integral será simplificado.
Portanto, 4( 5 ) 
4
xex senx dx+ − =∫
5 15
5 4
xx cosx e C+ − +
Cálculo da Integral Indefinida88
Este procedimento deverá ser sempre utilizado no caso da solução da soma ou diferença 
de duas ou mais integrais indefinidas.
g) 
1
2 3
2
2) 4cos 5 3
1
g ec x x dx
x
 
− + − + 
∫ 
Usando as fórmulas de preparação e as regras de integração, temos:
1
2 4/33
2
1 154 2 5 3 4 2 
1 4
dxcosec xdx x dx dx cotgx arctgx x C
x
− + − = − − + +
+∫ ∫ ∫ ∫ 
Você pode conferir todas as respostas das integrais acima, por diferenciação, ou seja, 
derivando o resultado, você chegará à função integrando.
E aí caro(a) aluno(a), achou simples esta pequena amostra de 
resoluções de integrais indefinidas? Como você pôde perceber, com 
o uso das regras básicas de integração, o trabalho de encontrar as 
primitivas das funções simples, torna-se bem mais fácil!
Agora, precisamos ir além das funções simples. As fórmulas para integrais indefinidas que 
estabelecemos até aqui têm objetivo limitado, porque não podemos usá-las diretamente 
para calcular as integrais como
5cos xdx∫ , 4 1x dx+∫ ou 2
xtg dx∫
Para integrar este tipo de função, chamada função composta, que você já conhece desde 
o ensino médio, usaremos o Método da Substituição, que veremos a seguir.
MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO
Este método é também chamado de mudança de variável de integração e essa mudança 
possibilita que essas integrais acima e muitas outras, possam ser calculadas por meio de 
uma integral imediata.
Para utilizar este método, vamos conhecer a Tabela Geral de Integrais.
Esta tabela foi estruturada a partir da inversão das derivadas de funções compostas, onde 
foi utilizada a regra da cadeia.
Vamos a um exemplo: 
Derivando a função ( )senf x C+ em relação a x, usaremos a fórmula 2.2, das regras de 
derivação, cuja tabela se encontra disponibilizada na Biblioteca Virtual. Então:
( )( ) ( ) ( ). 'd senf x C cosf x f xdx + = 
Integrando a derivada em relação a x, inverteremos a operação, obtendo a regra 8 da 
Tabela Geral de Integrais Básicas. Assim,
( ) ( ). 'cosf x f x dx =∫ ( )senf x C+
Esta fórmula é assim apresentada na tabela, de maneira simplificada.
cosfdf =∫ senf C+
Cálculo da Integral Indefinida 89
É importante observar que f é uma função de x, ou seja, f (x). E que df é a diferencial da 
função: ( ): df f x dx′= .
As demais fórmulas foram obtidas da mesma maneira.
Observe que esta tabela é a mesma tabela já mostrada anteriormente, apenas foi substi-
tuída a variável de integração x por f.
Este recurso nos permitirá usar a tabela geral para calcular as integrais imediatas e 
também as integrais de funções compostas. Vamos à Tabela:
TABELA 02: TABELA GERAL DE INTEGRAIS 
FÓRMULAS DE PREPARAÇÃO
1. .a df∫ = a df∫ 2. ( )df dg±∫ = df dg±∫ ∫
FÓRMULAS GERAIS
3. df f C= +∫
4. 
nf df⋅∫ =
1
1
nf c
n
+
+
+
, n 1≠ −
5. 
df
f∫ = ln f c+
6. 
fe df⋅∫ = fe c+
7. 
fa df⋅∫ =
ln
fa c
a
+
8. cos f df⋅∫ = senf c+
9. senf df⋅∫ = cos f c− +
10. 
2ü ü ⋅∫ = tg f c+
11. 
2csc f df⋅∫ = ctg f c− +
12. sec f tg f df⋅ ⋅∫ = sec f c+
13. csc f ctg f df⋅ ⋅∫ = csc f c− +
14. tg f df⋅∫ = ln sec f c+
15. ctg f df⋅∫ = ( )ln sen f c+
16. sec f df⋅∫ = ( )ln sec f tg f c+ +
17. csc f df⋅∫ = ( )ln csc f ctg f c− +
18. 
21 cos
arc sen f c
df ou
f arc f c
+
= 
− − +
∫
19. 21
df
f+∫ =
2ln 1f f c+ + +
20. 2 1
df
f −∫ =
2ln 1f f c+ − +
21. 21
df
f+∫ =
arc tg f c
ou
arc ctg f c
+


− +
22. 21
df
f−∫ =
1 1ln , 1
2 1
1 1ln , 1
2 1
f c f
f
ou
f c f
f
+ + < −

 + + >
−
23. 
2
1 1ln , 1
2 1
1
1 1ln , 1
2 1
f c f
f
df ou
f
f c f
f
+− + < −= 
−  +− + >
−
∫
24. 2 sec1
df arc f c
f f
= +
−
∫
25. 
2
2
1 1
ln
1
fdf c
ff f
 + −
 = − +
 −  
∫
26. 
2
2
1 1
ln
1
fdf c
ff f
 + +
 = − +
 +  
∫
Cálculo da Integral Indefinida90
Agora que você conheceu a Tabela Geral de Integrais vamos 
aprender a usá-la, utilizando o método da substituição da variável 
de integração, através de alguns exemplos.
a) ( )54x dx+∫ 
Para esta integral, vamos usar a fórmula 4: nf df⋅∫ =
1
1
nf c
n
+
+
+
, n 1≠ −
ATENÇÃO
Nesta fórmula, assim como em todas as outras, estaremos integrando em relação à f, portanto, 
a variável de integração será sempre f.
Assim, faremos a seguinte substituição: 4 f x= + 
Vamos calcular a diferencial da função ( )df f x dx′= , assim:
( )'4df x dx df dx= + ∴ = .
Vamos agora às substituições ( f substitui x + 4 e df substitui dx):
( )5 54x dx f df+ =∫ ∫ 
Integrando em relação a f (usando a fórmula 4), temos:
6
5
6
ff df C= +∫
 
Para voltar à variável x, basta substituir na resposta f = x + 4. Logo:
( ) ( )
6
5 44
6
x
x dx C
+
+ = +∫
 
b) ( )1/33 3 2x dx−∫ 
Fazendo 3 2, 3f x df dx= − =
Como a ordem dos fatores não altera o produto, podemos escrever a integral desta forma:
( )1/33 2 3 x dx−∫
E agora fazendo a substituição:
( )
4/3
1/3 1/3 4/333 2 3 4 4
3
fx dx f df C f C− = = + = +∫ ∫
Substituindo f por 3x – 2:
( )
41
33
33 2 3 (3 2)
4
x dx x C− = − +∫ 
Cálculo da Integral Indefinida 91
c) ( )42 6x dx−∫ 
Fazendo 2 6, 2f x df dx= − = , portanto 
2
dfdx =
Substituindo na integral:
( )42 6x −∫ . 4
1
2
dx f df= ∫ 
Usando a fórmula de preparação, passamos a constante 1
2
 para fora da integral. Assim, 
podemos usar a fórmula 4, veja:
( )
5
4 4 51 1 12 6 (2 6)
2 2 5 10
fx dx f df C x C− = = + = − +∫ ∫
 
d) ( )25 1
dx
x −∫ 
Podemos passar ( )25 1x − para o numerador, naturalmente invertendo o sinal do expoente:
( ) 25 1x dx−−∫
Fazendo 5 1f x= −
5 
5
dfdf dx dx= ∴ =
 
Substituindo na integral:
( ) ( ) ( )
1
2 22 1 1 1 15 1 . 
5 5 5 1 5
fx dx f df f df C C
f
−
− −−− = = = + = − +
−∫ ∫ ∫
Então: ( ) ( )
2 1 15 1 
5 5 1 25 5
x dx C C
x x
−
− = − + = − +
− −∫
e) 2 3
xdx
x +∫
O denominador 2 3x + = ( )
1
2 23x + pode ser passado para o numerador:
( )
1
2 23x xdx
−
+∫
Fazendo 2 3f x= +
2df xdx= 
2
dfxdx∴ =
Neste caso, temos que substituir f e xdx no integrando, então,
( )
1 1 11
2 2 2 22 1 13
2 2 2
dfx xdx f f df f C
−
− −
+ = = = +∫ ∫ ∫
Logo, ( ) ( )
1
2 21
2 22
313 312
2
x
x xdx C x C
− +
+ = + = + +∫
Cálculo da Integral Indefinida92
Caro(a) aluno(a), acredito que esses exemplos já deram a você uma 
noção de como resolver integrais de função potência enésima do tipo 
nf df∫ , para todo 1n ≠ − . E quando 1n = − ? O que fazer?
Observe este exemplo:
f) 2
2 
5
x dx
x −∫
Se passarmos a equação do denominador para o numerador, ela ficará elevada a -1, 
portanto não poderemos usar a fórmula 4, como já vimos anteriormente.
Neste caso, a fórmula a ser usada é a de número 5, veja:
 lndf f C
f
= +∫
 
Fazendo 2 – 5 f x= → 2 df x dx=
Repare que já temos a diferencial no numerador, então, substituindo na integral, temos: 
2
2 
5
x dx
x
=
−∫
2 5df lnf C ln x C
f
= + = − +∫
Vamos a outros exemplos envolvendo a mesma fórmula 5:
g) 
2
3
 
1
x dx
x−∫
Fazendo 31f x= − 
23df x dx= −
2
3
 dfx dx =
− , 
Façamos a substituição na integral:
2
3
3
 1 1 13 1
1 3 3 3
df
x dx df lnf C ln x C
x f f
−= = − = − + = − − +
−∫ ∫ ∫ 
h) 
 
4 cos
senx dx
x∫
 1 
4
senx dx
cosx∫
cosf x=
 df senx dx= −
 senx dx df=− 
Cálculo da Integral Indefinida93
Substituindo na integral:
1 1 1 1
4 4 4 4
df df lnf C ln cosx C
f f
−
= − = − + = − +∫ ∫
 
i) 
3 3
2 5 2 5
x x
x x
e dx e dx
e e
=
+ +∫ ∫
2 5xf e= +
2 xdf e dx=
2
x dfe dx =
 
Substituindo na integral:
3 3 323 3 2 5
2 5 2 2 2
x
x
x
df
e dx df lnf C ln e C
e f f
= = = + = + +
+∫ ∫ ∫
Depois destes exemplos, querido(a) aluno(a), uma boa dica é sempre tentar resolver as 
integrais usando a fórmula 4 ou a fórmula 5 da tabela. Caso não seja possível, tente as 
outras fórmulas.
Vamos agora à outros exemplos envolvendo outras fórmulas da tabela. 
j) 3xe dx∫ 
Para solucionar esta integral, utilizaremos a fórmula 6:
f fe df e c= +∫ 
Fazendo 3f x=
3 
3
dfdf dx dx= ∴ =
Substituindo na integral: 
3 1
3 3
x f fdfe dx e e df= = =∫ ∫ ∫ 
1
3
fe C+ = 3
1
3
xe C+
ATENÇÃO
Observe que a base da exponencial que aparece na integral é o número “e”, constante de Euler, 
esse assunto foi visto no módulo sobre Funções Exponenciais e Logarítmicas, você se lembra?
k) 65 .x dx∫ 
Neste caso temos uma função exponencial, onde a > 0 e a 1≠ − , isto é, a base é 5. 
Para resolver a integral deste exemplo, devemos usar a fórmula 7:
Cálculo da Integral Indefinida94
. 
ln
f
f aa df C
a
= +∫
 
5a = 
6f x=
6
6
dfdf dx dx= ∴ =
 
Substituindo na integral, temos:
6
6 1 1 5 55 . 5 . 5
6 6 6 5 6 5
f x
x f fdfdx df C
ln ln
= = = = +∫ ∫ ∫
 
l) cos 
5
x dx∫
Trata-se de uma integral da função cosseno, então usaremos a fórmula 8:
cos f df senf C= +∫ 
 5
5 5
x dxf df dx df= → = ∴ =
Substituindo na integral:
cos cos 5 5 cos 5 5
5 5
x xdx f df fdf senf C sen C= = = + = +∫ ∫ ∫
m) ( )4 3sen x dx−∫
Certamente para esta integral, você usaria a fórmula do seno, correto?
 cossenf df f C= − +∫
f = ( )4 3 x − → df = 4 dx ∴ dx = 4
df
Substituindo na integral, temos:
( ) ( )1 1 14 3 . cos cos 4 3
4 4 4 4
dfsen x dx senf senfdf f C x C− = = = − + = − − +∫ ∫ ∫
Caro(a) aluno(a), com base nesses exemplos, acredito que você 
seja capaz de calcular as outras integrais que envolvam funções 
trigonométricas (circulares). É preciso se familiarizar com todas elas, 
para saber como e quando você irá usá-las.
Vamos conhecer agora, a última parte da tabela, envolvendo as regras do número 18 ao 
número 26.
n) 2
 
1 
dx
x−∫ 
Cálculo da Integral Indefinida 95
Como recomendado, vamos tentar resolver esta integral, usando a fórmula 4: ∫ f n d f
( )
( ) 1/221/22 2 11 1
dx dx x dx
x x
−
= = −
− −
∫ ∫ ∫
Fazendo 21f x= − → df = 2x dx− 
Então, 
1
2
dx df
x
−
= , substituindo, teríamos
( ) 1/22 1/2 1/211 . .2 2
dfx dx f f
x
− − −−− = = −∫ ∫ ∫
df
x
Com o uso da fórmula de preparação, só é possível passar constantes para o lado de fora 
da integral. Desta forma, a variável x não pode ser excluída do interior da integral.
Como você pode observar, neste caso, a integral apresenta duas variáveis x e f, uma 
operação impossível de ser executada, uma vez que estamos integrando somente em 
relação a f.
Portanto, após a substituição, não conseguimos adequar a integral para o uso da fórmula 4.
ATENÇÃO
Aluno(a), você está notando que mesmo com o uso das regras, o processo de integração é 
feito por tentativas. Neste caso, devemos procurar uma fórmula alternativa para a resolução. 
Paciência, vamos tentar novamente!
Na escolha da fórmula adequada, procure uma parecida com a sua integral. Observe, na 
tabela geral, a de número 18. Ela é parecida com a fórmula proposta para o nosso exemplo? 
Mãos a obra, vamos tentar!
Esta é a fórmula 18: 
21 
df arc sen f C
f
= +
−
∫ 
21
dx
x−∫ Vamos iniciar o processo da substituição
Assim, vamos fazer f x= → df dx= , substituindo, temos 
21
dx
x
=
−
∫ 21 
df arc sen f C
f
= +
−
∫ , como f x= , concluímos
21
dx
x
=
−
∫ arc sen x C+
o) 24
dx
x−∫ 
Este é outro exemplo para o uso da mesma fórmula, a 18. Você pode notar que esta inte-
gral ainda precisa de pequenos ajustes para se adequar à regra.
Acompanhe este ajuste algébrico que você deverá fazer, sempre que necessário.
Vamos colocar o número 4 em evidência, veja:
Cálculo da Integral Indefinida96
2 2 22
1 1 
 2 2
2 1 14 1 14 44 2
dx dx dx dx
x xx x
= = =
   − −− −   
  
∫ ∫ ∫ ∫
A integral agora está devidamente ajustada para o uso da fórmula. Neste caso,
 2
2 2
x dxf df dx df= → = ∴ = , substituindo:
2 2 2 2
1 1 2 2 
 2 2 21 1 1
1
2
dx df df df arc sen f c
f f fx
= = = = +
− − − −  
 
∫ ∫ ∫ ∫
Como 
2
xf = , finalizando, 
2 24
dx xarc sen C
x
= +
−
∫
A solução das demais integrais de expressões 2 f ± 1 e 21 f− , debaixo ou não de radi-
cal, é semelhante aos exemplos dados.
Assim, basta identificar a fórmula e adequar a integral para a solução.
Veja se você assimilou esta técnica em mais este exemplo. Tente fazer sem olhar a solu-
ção, depois confira o resultado.
p) 2 9
dx
x −∫
Como o denominador é 2 9x − e não está debaixo de radical, a fórmula a ser usada é a 
de número 23: 
2
1 1 ln
1 2 1
df f C
f f
+
= − +
− −∫ 
Colocando o 9 em evidência:
2 22
1 1
9 919 1 199 3
dx dx dx
xx x
= =
   −− −   
  
∫ ∫ ∫
Fazendo 3
3 3
x dxf df dx df= → = ∴ =
Substituindo:
2 2 2
1 1 3 3 1 1 1 1 1.
9 9 1 9 1 3 2 1 6 1
1
3
dx df df f fln C ln C
f f f fx
 + +
= = = − + = − + 
− − − −   − 
 
∫ ∫ ∫
Então substituindo na resposta 
3
xf = , temos
2
11 1 33
9 6 6 31
3
x
dx xln C ln Cxx x
+ +
= − + = − +
− −−
∫
Cálculo da Integral Indefinida 97
Veja como o resultado foi simplificado: efetuamos a soma e a diferença indicadas no 
numerador e no denominador e procedemos a divisão. 
–
3
1 3 36
3
x
ln Cx
+
+
−
, simplificando, – 1 3
6 3
xln C
x
+
+
−
Caro(a) aluno(a), você agora está apto(a) a calcular as integrais 
imediatas, bem como calcular integrais pelo método da substituição da 
variável de integração.
Esta técnica é importantíssima, pois as demais técnicas a serem 
estudadas dependem dela. Portanto, é recomendável que você adquira 
domínio de cada regra estudada até aqui através da resolução de 
muitos exercícios.
Vamos lá, o sucesso desta empreitada depende de seu esforço! Está 
na hora de colocarmos em prática o que aprendemos até agora sobre 
diferenciais e integrais, com os problemas resolvidos a seguir.
PROBLEMAS RESOLVIDOS
Problema 1
a) Encontre a posição "s" de uma partícula, em função do tempo "t", a partir da velo-
cidade dada 23 /v t m s= . 
b) Determine a função posição ( )s t da partícula no instante 0t = e 4s m= .
Solução
a) Já sabemos de estudos anteriores, que a velocidade é igual à derivada do desloca-
mento: 
23dsv t
dt
= =
Para encontrarmos a equação do deslocamento ( )s t , basta integrar a equação da derivada, 
23ds t
dt
=
Então: 23
ds dt t dt
dt
=∫ ∫
Resolvendo a integral:
3
33 
3
ts C s t C= + → = +
 
Repare que esta equação nos fornece a posição de todas as partículas cuja velocidade é 
igual a 23 /t m s , ou seja, esta é a solução geral do problema. 
b) Para determinar a equação do deslocamento da partícula descrita no problema, temos 
que encontrar aquela que satisfaça a seguinte condição específica, quando 0t = , o 
seu deslocamento deve ser igual a 4m
Cálculo da Integral Indefinida98
Usando as condições específicas ou condições iniciais estaremos determinando a solução 
particular do problema.
Assim, como s = 4 e t = 0, podemos calcular a constante C, substituindo na equação 
geral do deslocamento: 3s t C= +
Logo, 4 = 0 + C e C = 4
Portanto a posição "s" da partículaem função de t é 
( ) 3 4s t t= + , que é a solução particular.
Problema 2
Um projétil é lançado verticalmente, de uma plataforma situada a 10 metros do solo, com 
velocidade inicial de 160 m / s. A força da gravidade provoca no projétil uma aceleração 
de 9,8 m / s 2. Encontre uma equação que dê a altura do projétil em função do tempo t, 
sabendo que o projétil é lançado no tempo t = 0
Solução
Como já foi explicado anteriormente, a velocidade é a derivada do deslocamento e a acele-
ração, a derivada da velocidade. Chamaremos o deslocamento de "s" que neste caso, 
determina a altura do projétil em relação ao solo. Então, a velocidade e a aceleração do 
projétil são:
 e ds dvv a
dt dt
= = e e 
ds dvv a
dt dt
= =
Como o projétil é lançado verticalmente para cima, contrariando a força da gravidade, a 
velocidade será uma função decrescente de t. Portanto, a equação que devemos resolver é 
29,8 /dva m s
dt
= = −
sujeita às seguintes condições iniciais:
( ) ( )0 160 / 0 10ev m s s m= = e ( ) ( )0 160 / 0 10ev m s s m= =
Integrando a equação diferencial temos:
9,8dv dt dt
dt
= −∫ ∫
Resolvendo as integrais:
19,8 v t C= − + (Equação da velocidade de qualquer projétil lançado verticalmente 
sob a ação da gravidade → solução geral)
A velocidade do projétil do problema, deve atender às condições iniciais: 
v (0) = 160 e t = 0 substituindo na equação geral:
( ) 1 1160 9,8. 0 160 C C= − + → =
( ) 9,8 160v t t= − + (Equação da velocidade do projétil → solução particular)
Como 
dsv
dt
= e queremos a equação da altura (s), precisamos integrar a equação da 
velocidade, em função de t:
9,8 160dsv t
dt
= = − +
Cálculo da Integral Indefinida 99
Assim, ( )9,8 160ds dt t dt
dt
= − +∫ ∫ , podemos separar a integral
9,8 160s t dt dt= − +∫ ∫ , resolvendo as integrais, temos:
2
2
9,8 160
2
ts t C−= + +
( ) 2 2 4,9 160s t t t C=− + +
(Esta é a equação do deslocamento de todo projétil lançado verticalmente sob a ação da 
gravidade a uma velocidade inicial de 160 m / s → solução geral).
Sabendo que a altura inicial de lançamento do projétil é de 10 metros a equação do deslo-
camento do projétil, deve atender às seguintes condições iniciais: 
s (0) = 10 e t = 0, substituindo na equação geral:
( )2 2 210 4,9.(0) 160. 0 10C C= − + + → =
Então a equação da altura do projétil no instante t é: 
( ) 24,9 160 10s t t t= − + + (Equação do deslocamento do projétil → solução particular).
Pois bem caro(a) aluno(a), conseguiu acompanhar o conteúdo estudado até aqui?
Para avaliar sua aprendizagem, procure resolver todas as atividades de fixação, pois o que 
veremos adiante depende dos conceitos aprendidos neste módulo. Caso encontre dificul-
dades, retome a leitura e tente esclarecer suas dúvidas.
Treine a derivada, treine a integral, porque quem não sabe derivar, não aprende a integrar. 
Está disponível na Biblioteca Virtual, uma série de exercícios de Integral Indefinida com 
suas respectivas respostas para você exercitar. Aproveite!
Cálculo da Integral Indefinida100
101
Síntese
Meu(minha) caro(a) aluno(a),
Neste módulo conhecemos o método das integrais imediatas e o método da substituição 
da variável de integração. Para a fixação deste conteúdo foram apresentados vários exem-
plos de como calcular estas integrais.
Resolvemos, utilizando o cálculo da integral indefinida, alguns problemas aplicados a Física, 
aplicando os conceitos de solução geral e solução particular das equações diferenciais. 
Cabe ressaltar que estamos iniciando o processo do cálculo das integrais indefinidas e 
nem todas são resolvidas pelos métodos apresentados. 
Não se preocupe, pois novas técnicas de integração serão abordadas posteriormente.
Bons estudos e até nosso próximo encontro!
Referências Básicas
ANTON, H., BIVENS, I. e DAVIS, S. – Cálculo – Volume 1. Porto Alegre: Bookman, 2007.
FLEMMING, D. M. e GONÇALVES, M. B. – Cálculo A. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
THOMAS, G. B. – Cálculo - Volume 1. São Paulo: Addison Wesley, 2002.
Referências Complementares
BOULOS, Paulo – Introdução ao Cálculo – Volume 1, Cálculo Diferencial. São Paulo: Blücher, 1988.
LEITHOLD, L. – O Cálculo com Geometria Analítica – Volume 1. São Paulo: Harbra Ltda, 1994.
LARSON, R. E., HOSTETLER, R. P. e EDWARDS, B. H. – Cálculo e Geometria Analítica – Volume 1. 
USA: LTC, 2006.
SIMMONS G. F. – Cálculo com Geometria Analítica – Volume 1. São Paulo: Makron Books, 1987.
SWOKOWISKI, Earl William – Cálculo com Geometria Analítica – Volume 1 - 2. São Paulo: Makron Books, 1995.