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Aula_1_Revisão_1_2016

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1 
 
 
Curso: Engenharia de produção Ano: 2015-2° semestre 
Disciplina: Vetores e Geometria Analítica Turma: 
Professor: Alice Lima de Souza da Cruz 
AULA 1 
Conteúdo: Revisão de conceitos fundamentais 
Temas: Equações de 1º e 2º grau, função de primeiro grau, sistemas de equações do 1º grau 
Objetivo: Introduzir conceitos práticos de eletricidade e recordar conceitos sobre capacitância e associação 
de capacitores 
 
Revisão 
Equação é uma sentença que expressa uma relação de igualdade entre duas expressões algébricas. 
Equação do 1º grau ou linear 
Uma equação linear é aquela que pode ser escrita da forma 
 , 
onde 
 é uma incógnita, ou seja é um termo desconhecido, é o coeficiente de e deve ser diferente de 0 e é 
chamado termo independente. 
Resolvê-la é encontrar todos os valores de (raiz) que satisfaçam a igualdade. Sabemos que somente um 
valor de satisfaz esta igualdade, isto é, todos os números reais que multiplicados por e somados com 
resultem zero. 
Equação do 2º grau ou quadrática 
Uma equação quadrática em é aquela que pode ser escrita na forma. 
 
onde é uma incógnita. Neste caso, as raízes da equação serão e . 
O grau é definido pelo maior expoente da incógnita ( ). 
Quanto à completeza da equação, diz-se que é incompleta quando um dos monômios que completa a 
sequência decrescente do polinômio é igual a zero. Ex.: 
 (falta o termo independente(c)). 
Exemplo: 
 
 
 (falta o termo linear ( )) 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 (faltam os termos b e c) 
Exemplo: 
 
 
Quando temos todos os graus presentes no polinômio, então se diz que a equação é completa, e podemos 
encontrar as raízes da equação por meio da fórmula de Bhaskara. 
 
 
 
 
 
 (não existe) 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 , 
 
 
 
 
Mas como esta fórmula foi deduzida? Sua dedução utiliza a ideia de “completar quadrados”. Acompanhe a 
dedução com atenção.
 
 
 Soma-se o inverso de c dos dois lados da igualdade 
(se ≠0 admite inverso). 
 
 
 
Comparando a sentença anterior com um produto 
notável, se nota que faltam termos. Multiplicar a 
equação toda por para que o primeiro termo 
passe a ser e o apareça no termo que 
contém , passando a ser . 
 Veja que o segundo termo do quadrado perfeito é 
multiplicado por 2, para esse 2 aparecer no 
segundo termo da equação de 2º grau, devemos 
multiplicar por 2. 
 O 2 do segundo termo é o que queríamos, porém o 
2 do primeiro termo não é o que queríamos, para 
resolvermos esse problema multiplicaremos por 2 
mais uma vez, porque dessa forma o 2 do primeiro 
termo pode ser elevado ao quadrado. 
 
 
 
Veja que o primeiro termo está completo, e o 
segundo também, porém falta o terceiro. Pela 
comparação podemos ver que o termo que falta é 
o , pois ele é o . Para resolver isso vamos somar 
 
3 
 
dos dois lados da equação . 
 Agora nós temos o quadrado perfeito formado . 
 Vamos escreve-lo na forma reduzida 
 O lado direito da equação, , é uma 
constante, ou seja, nós conhecemos seu valor ao 
resolver uma equação de 2º grau, portanto, 
mudaremos seu nome para a letra grega delta. 
 Tirar a raiz quadrada de ambos os lados para 
tirarmos o quadrado da equação do lado esquerdo. 
Lembremos que ao fazer isso o delta ficará dentro 
da raiz quadrada, e não podemos afirmar se seu 
valor será positivo ou negativo, então colocaremos 
o sinal positivo e negativo do lado da raiz. 
 Como nosso objetivo é descobrir o valor de “x” 
iremos isola-lo. 
 
 
 
 
Assim, a partir da equação de segundo grau 
podemos deduzir a sua fórmula 
 
 
 
Funções 
Uma função de um conjunto A em um conjunto B é a lei que associa para todo elemento em A um único 
elemento em B. 
 ou 
 
R1 = corresponde a uma função, pois cada elemento de A corresponde a um elemento de B. 
 
 
R2 = corresponde a uma função. 
 
 
R3 = não corresponde a uma função, pois o um elemento de A tem dois correspondentes 
em B. 
 
R4 = não corresponde a uma função, pois um dos elementos de A não possui 
correspondente em B. 
 
Função de 1º grau 
Uma função de primeiro grau é uma função polinomial de grau 1, e, assim, tem a forma de 
1 
2 
3 
2 
3 
4 
R1 
5 
-5 
3 
2
5 
4 
R2 
4 
2 
-2 
R3 
4 
6 
8 
R4 
 
4 
 
 , 
onde e são constantes e . 
A representação gráfica de pontos da equação é feita por meio de pares ordenados, onde o primeiro 
número se refere à abscissa (eixo x) e o segundo a ordenada (eixo y). 
Exemplo: 
 
 
O gráfico cartesiano é constituído pelos pontos correspondentes dos pares ordenados, sendo cada par 
associado a um ponto. 
Exemplo: 
 
 
 
Sistema Linear 
Conjunto de duas ou mais equações lineares com n incógnitas. Podemos resolver estes sistemas lineares por 
meio de dois métodos: substituição e adição. 
 
Exemplo: 
 
 
 Método da substituição 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
 Método da adição 
 
 
 
 
5 
 
 
 
Exercícios 
1. Resolva as equações em . 
a) ( 
b) 
c) 
d) 
 
 
e) 
f) 
g) 
h) 
 
 
i) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Dada a função , com e com , determine: 
a) 
b) 
 
c) 
d) 
3. Construa o gráfico da função com três pontos negativos e três positivos. 
 
4. Dado o sistema abaixo, calcule o valor de x e y. 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
c)

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