Revisao de Estatica_Reações de Apoio

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Revisão de alguns conceitos de Estática - Prof. Lyvio 
edulyvio@uniderp.edu.br 
1) SISTEMA EQUIVALENTE: 
Uma força aplicada sobre um corpo tem a capacidade de provocar tanto sua translação quanto sua 
rotação, com intensidade que depende do ponto de aplicação e de como essa força é aplicada. 
Quando um corpo rígido está sujeito a um sistema de forças e momentos de binários, com frequência é 
mais simples estudar os efeitos externos sobre ele substituindo o sistema por uma única força resultante 
equivalente, atuando em um ponto especifico O, e um momento resultante. 
 
Em resumo: 
 
UM SISTEMA EQUIVALENTE REPRESENTA UM SISTEMA NO QUAL A FORÇA E O 
MOMENTO RESULTANTE PRODUZAM NA ESTRUTURA O MESMO EFEITO QUE O 
CARREGAMENTO ORIGINAL APLICADO. 
 
Esse procedimento de simplificação de qualquer sistema de forças e momentos de binários em uma força 
resultante atuando no ponto O e um momento resultante pode ser generalizado e representado pela 
aplicação das seguintes equações: 
 
O
R
R C O
F F
M M M
 
 
 
Se duas forças atuam em um bastão e são substituídas por uma força resultante e um momento de binário 
equivalentes, no ponto A, ou pela sua força resultante e momento de binário equivalentes, no ponto B, 
então, em cada caso, a mão pode fornecer a mesma resistência à translação e rotação para manter o 
bastão na posição horizontal. Em outras palavras, os efeitos externos sobre o bastão são os mesmos em 
cada caso. 
 
 
 
 
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2) REDUÇÃO DE UM CARREGAMENTO DISTRIBUIDO: 
Em algumas situações um corpo pode estar sujeito a um carregamento que está distribuído sobre uma 
superfície. Por exemplo, a pressão do vento sobre a superfície de um cartaz de propaganda (outdoor), a 
pressão da água dentro de um tanque ou o peso da areia sobe o piso de uma caixa de armazenamento são 
cargas distribuídas. 
A pressão exercida em cada ponto da superfície indica a intensidade da carga. Ela é medida usando 
pascals Pa (ou N/m
2
) em unidades do SI. 
 
Carregamento uniforme ao longo de um único eixo 
O tipo mais comum de carga distribuída encontrado na prática de engenharia é geralmente uniforme ao 
longo de um único eixo. 
Por exemplo, considere a viga da Figura 1 que possui uma largura constante e está sujeita a um 
carregamento de pressão que varia apenas ao longo do eixo x. 
 
 Figura 1 Figura 2 Figura 3 
 
Esse carregamento pode ser descrito pela função 
2N mp p x
. Ele contém somente uma variável x e, 
por isso, também podemos representá-lo como um carregamento distribuído coplanar. Para isso, 
multiplicamos a função de carregamento pela largura b da viga, tal que 
N mw x p x b
 (Figura 2). O 
próximo passo é substituir esse sistema de forças paralelas coplanares por uma única força resultante 
equivalente 
RF
 que age em uma posição especifica sobre a viga (Figura 3). 
A intensidade de 
RF
 é equivalente à soma de todas as forças do sistema. Nesse caso, precisamos usar 
integração porque existe um número infinito de forças paralelas 
Fd
 agindo sobre a viga (Figura 2). Como 
Fd
 está agindo sobre um elemento do comprimento 
dx
, e 
w x
 é uma força por unidade de 
comprimento, então, 
dF w x dx dA
. Em outras palavras, a intensidade de 
Fd
 é determinada pela 
área diferencial em cinza 
dA
 abaixo da curva de carregamento. Para o comprimento inteiro L, 
 R
L A
F w x dx dA A
 
Portanto, a intensidade a força resultante é igual à área total A sob o diagrama de carregamento 
(Figura 3) 
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Localização da força resultante 
Aplicando-se a equação 
OR O
M M
, a posição da linha de ação de 
RF
 pode ser determinada 
igualando-se os momentos da força resultante aos da distribuição das forças paralelas em relação ao ponto 
O (eixo y). 
Como 
Fd
 produz um momento de 
 x dF x w x dx
 em relação a O (Figura 2), então, para o 
comprimento inteiro 
 R
L
x F x w x dx
 
 
 
L A
L A
x w x dx x dA
x
w x dx dA
 
Essa coordenada 
x
, localiza o centro geométrico ou centróide da área sob o carregamento distribuído. Em 
outras palavras, a força resultante tem uma linha de ação que passa pelo centróide C (centro geométrico) 
da área sob o diagrama de carregamento. 
Uma vez que 
x
 é determinado, 
RF
, por simetria, passa pelo ponto 
,0x
 na superfície da viga. 
 
Portanto, nesse caso, a força resultante possui uma intensidade igual a área sob a 
curva de carregamento 
p p x
 e uma linha de ação que passa pelo centróide dessa 
área. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3) EQUILIBRIO DE UM CORPO RIGÍDO 
Matematicamente, o equilíbrio de um corpo é expresso como: 
0F FR
 e 
0M MR OO
 
Equilíbrio em duas dimensões: 
Inicialmente consideraremos o caso em que o sistema de forças que age sobre um corpo rígido se situa em 
um único plano (sistema de forças bidimensional ou coplanar). 
Diagramas de corpo livre: 
A aplicação bem sucedida das equações de equilíbrio requer uma especificação completa de todas as 
forças externas conhecidas e desconhecidas que atuam sobre o corpo. A melhor maneira de considerar 
essas forças é desenhar o diagrama de corpo livre. 
Reações de apoio: 
 Se um apoio impede a translação de um corpo em uma determinada direção, então, uma força é 
desenvolvida no corpo nessa direção; 
 Se a rotação é impedida, um momento de binário é exercido sobre o corpo; 
 
Rolete ou apoio móvel: 
Esse tipo de apoio apenas impede que a viga translade na 
direção vertical, o rolete só exercerá uma força sobre a 
viga nessa direção (possui apenas uma incógnita, a 
reação é uma força que atua perpendicularmente à 
superfície do ponto de contato). 
Articulação ou pino: 
O pino passa por um furo na viga e duas folhas que são 
fixas no solo. Neste caso, o pino pode impedir a 
translação da viga em qualquer direção 

, e portanto o 
pino deve exercer uma força F sobre a viga nessa direção 
(possui duas incógnitas, as reações são os dois 
componentes da força resultante e atuam paralela e 
perpendicularmente à superfície do ponto de contato). 
Apoio fixo ou engastamento: 
Esse apoio impedirá tanto a translação quanto a rotação 
da viga. Para isso, uma força e um momento devem ser 
desenvolvidos sobre a viga em seu ponto de conexão 
(possui três incógnitas, as reações são os dois 
componentes da força resultante que atuam paralela e 
perpendicularmente à superfície do ponto de contato e 
um momento). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Na tabela 1.1, apresentamos os apoios mais comuns. 
 
Exercícios: Nos exercícios de 1 a 7, determine as reações nos apoios em cada caso 
1) 
 
2) 
 
 
 
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3) 
 
 
4) 
 
 
 
 
 
5) 
 
 
 
 
 
 
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6) 
 
7) 
 
8) Determine as componentes horizontal e vertical da reação no pino A e a tração desenvolvida no cabo 
BC usado para sustentar a estrutura deaço da figura. R.: 
34,62 , 20,8 , 87,7 x yT kN A kN A kN
 
 
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9) Determine as reações nos apoios A e B para o equilíbrio da viga. 
 
10) Determine a força no cabo e os componentes horizontal e vertical da reação do pino em A. A polia em 
D é sem atrito e o cilindro pesa 80 libras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios Complementares – Reação de Apoio 
1) A haste mostrada na figura é conectada por um pino em A e sua extremidade B tem o movimento limitado pelo 
apoio liso em B. Calcule os componentes horizontal e vertical da reação no pino A. R.: 
100 , 233 x yA N A N
 
 
2) Para a estrutura mostrada na figura determine as 
reações nos apoios em A e C. 
 
 
4) Para a estrutura mostrada na figura determine as reações 
nos apoios em A e B. 
 
 
3) Para a estrutura mostrada na figura determine as 
reações nos apoios em A e B. 
 
 
5) Para a estrutura mostrada na figura determine as reações 
nos apoios em A e B. 
 
 
6) Para a estrutura mostrada na figura determine as reações nos apoios em A e C. 
 
 
 
 
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7) Determine a reação no rolete A e os componentes 
horizontal e vertical no pino B para o equilíbrio do 
elemento. R.: 
8 , 5,20 , 5 A x yN kN B kN B kN
 
 
8) Determine os componentes horizontal e vertical da 
reação no pino A e a reação no rolete B, necessárias 
para apoiar a treliça. Considere 
600F N
 
 
 
 
9) Determine as componentes horizontal e vertical da 
reação nos apoios. Despreze a espessura da viga. Resp.: 
1500 , 1300 , 700x y yA N B N A N
 
 
 
10) Determine as componentes horizontal e vertical 
da reação no pino A e a reação na viga em C. Resp.: 
11,3 , 8 , 4CD x yF kN A kN A kN
 
 
 
11) A treliça é suportada por um pino em A e um rolete 
em B. Determine as reações de apoio. Resp.: 
8,05 , 3,54 , 5,49B x yN kN A kN A kN
 
 
 
12) Determine a tração na corda e as componentes 
horizontal e vertical da reação no apoio A da viga 
abaixo. 
 
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13) Determine as componentes de reação no apoio fixo 
A. Despreze a espessura da viva. Resp.: 
346 , 800 , 3,90 .x y AA N A N M kN m
 
 
14) Determine as reações nos apoios em A e B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Hibbeler – Estática