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Álgebra Linear 
 

 

 

 

Este livro ganhou o prêmio Jabuti de 
Ciências Exatas e Tecnologia, outorgado 

pela Câmara Brasileira do Livro, em 1996 
 

 



 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lima, Elon Lages 
    Álgebra linear  / Elon Lages Lima. 1.ed. Rio de Janeiro : 
IMPA, 2014. 
    357 p. : il. ; 23 cm. (Coleção matemática universitária) 
 

    Inclui bibliografia. 
    e-ISBN 978-85-244-0390-3 
 

    1. Matrizes. 2. Espaços Vetoriais. I. Título. II. Série. 
      

                                                                            CDD-512 
 

 



COLEÇÃO MATEMÁTICA UNIVERSITÁRIA 
 

 

 

 

 

 

Álgebra Linear 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

Elon Lages Lima 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 INSTITUTO NACIONAL DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA



Copyright  2014 by Elon Lages Lima 
 

Impresso no Brasil / Printed in Brazil 
 

Capa: Rodolfo Capeto, Noni Geiger e Sérgio R. Vaz 
 

 

 

Coleção Matemática Universitária 
Comissão Editorial: 
       Elon Lages Lima 
       S. Collier Coutinho 
       Paulo Sad 
 

 

Títulos Publicados: 
• Análise Real, vol. 1: Funções de uma Variável – Elon Lages Lima 
• EDP. Um Curso de Graduação – Valéria Iório 
• Curso de Álgebra, Volume 1 – Abramo Hefez 
• Álgebra Linear – Elon Lages Lima 
• Introdução às Curvas Algébricas Planas – Israel Vainsencher 
• Equações Diferenciais Aplicadas – Djairo G. de Figueiredo e Aloisio Freiria Neves 
• Geometria Diferencial – Paulo Ventura Araújo 
• Introdução à Teoria dos Números – José Plínio de Oliveira Santos 
• Cálculo em uma Variável Complexa – Marcio G. Soares  
• Geometria Analítica e Álgebra Linear – Elon Lages Lima 
• Números Primos: Mistérios e Recordes – Paulo Ribenboim 
• Análise no Espaço Rn – Elon Lages Lima 
• Análise Real, vol. 2: Funções de n Variáveis – Elon Lages Lima 
• Álgebra Exterior – Elon Lages Lima 
• Equações Diferenciais Ordinárias – Claus Ivo Doering e Artur Oscar Lopes 
• Análise Real, vol. 3: Análise Vetorial – Elon Lages Lima 
• Álgebra Linear. Exercícios e Soluções – Ralph Costa Teixeira 
• Números Primos. Velhos Mistérios e Novos Recordes – Paulo Ribenboim 
 

 

Distribuição: 
       IMPA 
       Estrada Dona Castorina, 110 
       22460-320 Rio de Janeiro, RJ 
       e-mail: ddic@impa.br 
       http://www.impa.br 
 



Prefa´cio

A´lgebra Linear e´ o estudo dos espac¸os vetoriais e das transformac¸o˜es

lineares entre eles. Quando os espac¸os teˆm dimenso˜es finitas, as

transformac¸o˜es lineares possuem matrizes. Tambe´m possuem ma-

trizes as formas bilineares e, mais particularmente, as formas qua-

dra´ticas. Assim a A´lgebra Linear, ale´m de vetores e transformac¸o˜es

lineares, lida tambe´m com matrizes e formas quadra´ticas. Sa˜o nu-

merosas e bastante variadas as situac¸o˜es, em Matema´tica e em suas

aplicac¸o˜es, onde esses objetos ocorrem. Daı´ a importaˆncia central da

A´lgebra Linear no ensino da Matema´tica.

O presente livro apresenta uma exposic¸a˜o introduto´ria de A´lge-

bra Linear. Ele na˜o pressupo˜e conhecimentos anteriores sobre o as-

sunto. Entretanto conve´m lembrar que a posic¸a˜o natural de um tal

curso no currı´culo universita´rio vem apo´s um semestre (pelo menos)

de Geometria Analı´tica a duas e treˆs dimenso˜es, durante o qual o

estudante deve adquirir alguma familiaridade, em nı´vel elementar,

com a representac¸a˜o alge´brica de ide´ias geome´tricas e vice-versa.

Tornou-se quase obrigato´rio, ja´ faz alguns anos, dedicar as pri-

meiras sessenta ou mais pa´ginas de todo livro de A´lgebra Linear ao

estudo dos sistemas de equac¸o˜es lineares pelo me´todo da eliminac¸a˜o

gaussiana, motivando assim a introduc¸a˜o das matrizes e dos deter-

minantes. Somente depois disso sa˜o definidos os espac¸os vetoriais.

Esse costume na˜o e´ seguido neste livro, cuja primeira sentenc¸a

e´ a definic¸a˜o de espac¸o vetorial. Mencionarei treˆs razo˜es para isso:

(a) A definic¸a˜o de A´lgebra Linear dada acima; (b) Na˜o vejo vantagem

em longas motivac¸o˜es; (c) Sistemas lineares sa˜o entendidos mais in-

teligentemente depois que ja´ se conhecem os conceitos ba´sicos de

A´lgebra Linear. De resto, esses conceitos (nu´cleo, imagem, base,

posto, subespac¸o, etc), quando estudados independentemente, teˆm

muitas outras aplicac¸o˜es.



O me´todo da eliminac¸a˜o gaussiana e´ apresentado na Sec¸a˜o 9 e

retomado na Sec¸a˜o 17. Ele e´ aplicado para obter respostas a va´rios

outros problemas ale´m da resoluc¸a˜o de sistemas lineares.

O livro e´ dividido em vinte e duas sec¸o˜es. As oito primeiras de-

senvolvem os conceitos fundamentais e as proposic¸o˜es ba´sicas, que

formam a linguagemmı´nima necessa´ria para falar inteligentemente

sobre A´lgebra Linear. A nona sec¸a˜o faz a primeira aplicac¸a˜o dessas

ide´ias, tratando da eliminac¸a˜o gaussiana.

A partir da Sec¸a˜o 10, os espac¸os dispo˜em de produto interno,

o que possibilita o emprego de evocativas noc¸o˜es geome´tricas como

perpendicularismo, comprimento, distaˆncia, etc. Sa˜o destacados

tipos particulares de operadores lineares, cujas propriedades

especiais sa˜o demonstradas nas Sec¸o˜es 13, 14 e 15. O Teorema

Espectral para operadores auto-adjuntos e´ provado na Sec¸a˜o 13,

onde se demonstra tambe´m o Teorema dos Valores Singulares

(Teorema 13.10), cuja grande utilidade na˜o corresponde a` sua cons-

pı´cua auseˆncia na maioria dos textos elementares.

Outro assunto igualmente importante e igualmente esquecido

no ensino da A´lgebra Linear e´ a pseudo-inversa, que expomos na

Sec¸a˜o 16. Trata-se de um to´pico fa´cil, atraente, de grande apelo

geome´trico, que constitui um bom campo de aplicac¸a˜o para os con-

ceitos anteriormente estudados.

A Sec¸a˜o 17 e´ um interlu´dio matricial, onde se mostra como as

propriedades das transformac¸o˜es lineares estudadas antes se tradu-

zem imediatamente em fatos na˜o-triviais sobre matrizes, principal-

mente algumas decomposic¸o˜es de grande utilidade nas computac¸o˜es.

As formas bilineares e quadra´ticas sa˜o estudadas na Sec¸a˜o 18,

onde e´ estabelecida a correspondeˆncia fundamental (isomorfismo)

entre formas e operadores (Teorema 18.2) e provado o Teorema dos

Eixos Principais (Teorema 18.3), que e´ a versa˜o do Teorema Espec-

tral para formas quadra´ticas. E´ ainda exposto o me´todo de Lagrange

para reduzir uma forma quadra´tica a uma soma (ou diferenc¸a) de

quadrados e e´ feito um estudo das superfı´cies qua´dricas.

Os determinantes sa˜o estudados na Sec¸a˜o 19, onde se define di-

retamente o determinante de um operador sem recurso a bases nem

matrizes. Em seguida, o determinante de uma matriz n × n e´ ca-
racterizado como a u´nica func¸a˜o n-linear alternada de suas colunas

(ou linhas) que assume o valor 1 na matriz unita´ria. A colocac¸a˜o dos



determinantes quase no final do livro, depois de ja´ terem sido es-

tabelecidos os resultados principais da A´lgebra Linear e ensinados

os me´todos mais eficientes para resolver sistemas, inverter matri-

zes etc, e´ uma atitude deliberada, que visa poˆr esse conceito em seu

devido lugar. Trata-se de uma noc¸a˜o de grande importaˆncia teo´rica,

indispensa´vel em va´rias a´reas da Matema´tica, a qual foi, e ainda

na˜o deixou inteiramente de ser, equivocadamente considerada como

instrumento computacional. Usar a Regra de Cramer para resolver

um sistema linear, ou calcular o determinante de um operador para

ver se ele e´ invertı´vel ou na˜o, sa˜o me´todos que funcionam bem no

caso 2 × 2, e ate´ mesmo 3 × 3, mas se tornam altamente invia´veis a
partir daı´.

Depois que se teˆm os determinantes, o polinoˆmio caracterı´stico e´

estudado na
Bruno Rodrigues fez um comentário
  • Esse negocio de só visualizar ta complicando a nossa vida. Toda vez temos que carregar todas as páginas...
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    Robson da Rocha fez um comentário
  • Disponham!
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    Marco Batista fez um comentário
  • Graças a Deus. Obrigado
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    Kaah Marques fez um comentário
  • obrigado
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    Robson da Rocha fez um comentário
  • Disponha!
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