EXERCÍCIO- ESPAÇO VETORIAL

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECOˆNCAVO DA BAHIA - UFRB
CENTRO DE CIEˆNCIAS EXATAS E TECNOLO´GICAS - CETEC
A´LGEBRA LINEAR - 2015.1
CET065 - T03 E T02 - BCET & ESA
Lista 02 - Espaços Vetoriais
Aluno(a):
Professor:Carlos Alison de Souza Azevedo
Espaços Vetoriais
1. Verifique se R2 com as operac¸o˜es definidas por:
i. (x, y) + (s, t) = (s, y + t), onde u = (x, y) e v = (s, t) pertencem a R2
ii. α(x, y) = (αx, y), onde α ∈ R e u = (x, y) ∈ R2.
e´ um espac¸o vetorial.
2. Moste que R2 com as operac¸o˜es definidas por:
i. (x, y) + (s, t) = (x+ s, y + t), onde u = (x, y) e v = (s, t) pertencem a R2
ii. α(x, y) = (αx, αy), onde α ∈ R e u = (x, y) e v = (s, t) pertencem a R2.
e´ um espac¸o vetorial .
3. Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto W e´ um subespac¸o do espac¸o
vetorial V.
(a) V = R3 e W = {(x, y, z) ∈ R3 : 2x+ 3y − z = 0}
(b) V = R3 e W = {(x1, x2, x3) ∈ R3 : x1 + x2 = 1}
(c) V = P3 e W = {p ∈ P3 : p(0) = p(1)}
(d) V = M(2, 2) e S = {X ∈ M2 upslopedet(X) = 0} (S e´ o conjunto das matrizes
na˜o-invers´ıveis)
(e) V = M(2, 2) e F = {X ∈ M(2, 2) upslopeAX = XA} (F e´ o conjunto das matrizes
que comutam com a matriz A){
p(x) ∈ P1 :
∫ 1
0
}
p(x)dx = 0(f) V = P1 e W =
(g) V = R3 e W =
(x, y, z) ∈ :R3 det
x y z1 2 1
0 1 1
 = 0

(h) V = M2×2 e W = {A ∈M2×2 : A2 = A}
1
4. a) Verifique se o conjunto S = {A ∈M(3, 3);A e´ uma matriz anti− sime´trica} e´ um
subespac¸o vetorial de M(3, 3).
b) Considere o subconjunto de M2, dado por
W =
{[
a b
c d
] }
∈M2 upslope b = a e d = −a . Verifique se o subconjunto W e´ um espac¸o
vetorial.
5. Sejam U = {a+ bx+ cx2 + dx3 ∈ P3 / a+ b− c+ 3d = 0} eW = {p(x) ∈ P3 / p′(−1) = 0}
dois subespac¸os vetoriais de P3. Determine U ∩W.
6. Qual o subespac¸o gerado pelas matrizes
(
1 1
1 0
)
,
(
0 0
1 1
)
e
(
0 2
0 −1
)
?
7. Considere o espac¸o vetorial P3 e o conjunto W = {p(x) ∈ P3; p′′(1) = 0} .
(a) Verifique se W e´ um subespac¸o vetorial de P3.
(b) Obtenha os geradores de W.
8. Sejam U =
{[
a b
c d
] }
/ a+ b+ c = 0 e W =
{[
a b
c d
] }
/ b+ 2d = 0 dois subespac¸os
vetoriais de M2. Determine os geradores de U ∩W.
9. Verifique se o conjunto W = {(1, 2, 3), (1, 3, 1), (0, 3, 1), (1, 4, 5)} ⊂ R3 e´ L.I ou L.D.
10. {βa) Se o conjunto = {v1, v2, ..., v}n} e´ um conjunto Linearmente Independente enta˜o
o o conjunto α = 0v1,
−→
, v2, ..., vn e´ LI ou LD? Justifique sua resposta.
b) Considere o subespac¸o N = 0
{−→}
. Qual e´ a base e a dimensa˜o de N.
11. Dado o conjunto W = {(1, 1, 3), (1, 2, 1), (0, 1, 3), (1, 4, 5)} ⊂ R3, extrair um subcon-
junto de vetores L.I.
12. Considere o subespac¸o de R4 gerado pelos vetores v1 = (1,−1, 0, 0), v2 = (0, 0, 1, 1),
v3 = (−2, 2, 1, 1) e v4 = (1, 0, 0, 0).
(a) O vetor (2,−3, 2, 2) ∈ ger{v1, v2, v3, v4}? Justifique.
(b) Exiba uma base para ger{v1,v2,v3,v4}. Qual e´ a dimensa˜o deste espac¸o?
(c) ger{v1,v2,v3,v4} = R4? Por queˆ?
13. Exiba uma base para cada subespac¸o determinado no exerc´ıcio 3.
14. Responda se os subconjuntos abaixo sa˜o subespac¸os de M(2, 2).
(a) W1 =
{[
a b
c d
] }
com a, b, c, d ∈ R e b = c e a = −b
2
(b) W2 =
{[
a b
c d
] }
com a, b, c, d ∈ R e b = d
Em caso afirmativo, determine:
i) uma base para W1 ∩W2
ii) W1 +W2 e´ soma direta?
iii) W1 +W2 = M(2, 2)?
15. Considere os subespac¸os de R5, W1 = {(x, y, z, t, w)upslopex+ z + w = 0, x+ w = 0} , W2 =
{(x, y, z, t, w)upslopey + z + t = 0} e W3 = {(x, y, z, t, w)upslope2x+ t+ 2w = 0}.
(a) Determine uma base para o subespac¸o W1 ∩W2 ∩W3.
(b) Determine uma base e a dimensa˜o de W1 +W3.
(c) W1 +W2 e´ soma direta? Justifique.
(d) W1 +W2 = R5?
16. Considere os seguintes subespac¸os de P3 :
U =
{
p ∈ P3 : p′′(1) = 0
}
e W =
{
p ∈ P3 : p′(1) = 0
}
Determine dim(U +W ) e dim(U ∩W ) .
17. Considere o subespac¸o W de M(2, 2) que e´ gerado pelas matrizes A1 =
[
1 2
0
]
,
A2 =
[−1 0
2 3
]
e A3 =
[−1 4
8 9
]
e o subespac¸o de M(2, 2) U =
{[
a b
c d
]
: a = 0
1}
.
(a) Determine uma base e a dimensa˜o de W.
(b) Determine uma base para U ∩W.
(c) Determine uma base para U +W.
18. Sejam U = ger{(1, 0, 0), (1, 1, 1)} e V = ger{(0, 1, 0), (0, 0, 1)} subespac¸os gerados do
R3. Determine:
(a) uma base e a dimensa˜o de U ∩W.
(b) U +W = R3 ?
19. Considere o seguinte subespac¸o de M(2, 2)
S =
{[
a b
c d
] }
∈M(2, 2) : a+ b = c+ d = 0
(a) Determine uma base e indique a dimensa˜o de S.
3
(b) Construa uma base de M(2, 2) que contenha a base de S obtida no ı´tem a).
20. Determine a dimensa˜o e encontre uma base do espac¸o-soluc¸a˜o do sistema
x− 3y + z = 0
2x− 6y + 2z = 0
3x− 9y + 3z = 0
21. Sejam U e W subespac¸os de R4 de dimensa˜o 2 e 3, respectivamente. Mostre que a
dimensa˜o de U ∩W e´ pelo menos 1. O que ocorre se a dimensa˜o de U ∩W for 2 ? Pode
ser 3 ? Justifique sua resposta.
22. A partir do conjunto A = {(1, 0, 2), (a2, a, 0), (1, 0, a)} podemos extrair uma base para
um subespac¸o do R3 de dimensa˜o 2 se e somente se a = 2 ?
23.
 x+ y + az = 0
Seja S = {X ∈ M3×1 : AX = 0} o espac¸o soluc¸a˜o do sistema  x+ ay + z = 0 .
ax+ y + z = 0
Determine os valores de a para os quais S seja: a pro´pria origem; uma reta que passa
pela origem; e, um plano que passa pela origem.
24. Verifique se as afirmac¸o˜es abaixo sa˜o VERDADEIRAS ou FALSAS. Se forem
verdadeiras, demonstre. Se forem falsas, deˆ um contra-exemplo.
(a) A intersec¸a˜o de dois subespac¸os vetoriais nunca e´ vazia.
(b) A matriz
(−1 2
0 3
)
pertence ao subespac¸o W =
[(
1 1
1 0
)
,
(
0 0
1 1
)
,
(
0 2
0 −1
)]
.
(c) Se os vetores −u→,−v→ e −w→ sa˜o LI enta˜o os vetores −u→−−v→,−v→−−w→ e −u→−−w→ sa˜o
LI ′s.
(d) W = [(1, 2, 0), (2, 4, 0)] e´ um plano no R3 que passa pela origem.
(e) Se β = {−v→1,−v→2,−v→3} e´ uma base de um espac¸o vetorial V , enta˜o o conjunto
A = {−v→1 +−v→3,−v→1 +−v→2,−v→1 +−v→2 +−v→3} e´ lineramente independente.
(f) O subespac¸o W = {p ∈ P3 : p′(1) = 0 e p′′(−1) = 0} e´ gerado pelos polinoˆmios
p1 = 1 e p2 = −9x+ 3x2 + x3.
(g) O conjunto {−v→1,−v→2,−v→3} e´ sempre uma base para o subespac¸o ger{−v→1,−v→2,−v→3}.
(h)
√
3, 1), (
√
Sejam β = {(1, 0), (0, 1)}, β1 = {(−1, 1), (1, 1)}, β2 = { 3,−1)} e β3 =
{(2, 0), (0, 2)} bases ordenadas de R2.
25. Encontre a matrizes mudanc¸a de base:
(a) 1. [I]β1β ii. [I]
β
β1
iii. [I]ββ2 iv. [I]
β
β3
.
(b) Quais sa˜o as coordenadas do vetor v = (3,−2) em relac¸a˜o a` base
1. β ii. β1 iii. β2 iv. β3.
(c) As coordenadas de um vetor u em relac¸a˜o a` base β1 sa˜o dadas por [u]β1 =
[
4
0
]
Quais as coordenadas do vetor u em relac¸a˜o a` base: i. β ii. β2 iii. β3
4
26. Sejam P4 = {p = a0 + a1x+ a2x2 + a3x3 + a4x4�a0, a1, a2, a3, a4 ∈ R} , α = {1, x, x2, x3, x4}
e β = {2, 2x, 4x2, 8x3, 16x4}.
(a) Determine [I]αβ ..
(b) Se [p]α =

1
2
3
4
 ,determinar [p]β
5
(c) Determine o polinoˆmio p cujas coordenadas sa˜o dadas no item b) acima.
27. Considere o seguinte subespac¸o de M2 : W =
{[
a b
c d
]
upsloped = 0
}
. Sejam
α =
{[
1 1
1 0
]
,
[
1 −1
1 0
]
,
[
1 1
−11 0
]}
β =
{[
1 0
1 0
]
,
[
1 1
0 0
]
,
[
1 0
0 0
]}
(a) Detemine [I]αβ
(b) Se [v]β =
 pie
0
 , determine [v]α .
28. Sejam α e β bases de R3.Determine a base β sabendo que α = {(1,−1, 0), (0, 1, 0), (0, 0,−1)}
e a matriz mudanc¸a de base de α para β e´
[I]αβ =
 1 0 00 2 1
−1 1 1

29. Seja α =
{(
1 1
0 0
)
,
(
0 1
1 0
)
,
(
2 1
−2 0
)}
uma base para um subespac¸o de M2×2 e
α
β[I] =
1 0 −11 1 −1
2 −1 2
 onde β e´ tambe´m uma base para um subespac¸o de M2×2
(a) Determine a base β.
(b) Se [v]β =
 1−2
1
 , determine [v]α.
30. SejaE um espac¸o vetorial qualquer e α = {u1, u2, u3} uma base de E. Considere ainda
os vetores v1 = u1 + u2, v2 = 2u1 + u2 − u3 e v3 = −u2.
5
(a) Determine a matriz S de mudanc¸a da base β = {v1, v2, v3} para a base α =
{u1, u2, u3}.
(b) Calcule as coordenadas do vetor w = v1 + v2 − v3 na base {u1, u2, u3}.
31. Sejam α e β bases de um espac¸o vetorial V
(a) Mostre que det
(
[I]αβ [I]
β
α
)
= 1
(b) Determine [I]αα
32. Seja V um espac¸o vetorial e γ = {v1, v2, v3, v4} uma base ordenada para V.
(a) Mostre que β = {v1, v1 + v2, v1 + v2 + v3, v1 + v2 + v3 + v4} e´ uma base para V.
(b) Determine a matriz de mudanc¸a da base ordenada β para a base ordenada γ.
(c) Determine a matriz de mudanc¸a da base ordenada γ para a base ordenada β.
(d) Se o elemento v ∈ V tem como vetor de coordenadas [v]γ =
(
1 1 −1 0) , em
relac¸a˜o a˜ base ordenada γ, determine o vetor de coordenadas em relac¸a˜o a˜ base
ordenada β.
6
ALGUMAS RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCI´CIOS:
E´
1. Na˜o e´ espac¸o vetorial.
2. espac¸o vetorial
3. a) Sim b) Na˜o c) Sim d) Na˜o e) Sim f) Sim g) Sim h) Na˜o
4. a) Sim b) Sim
5. Uma possibilidade de expressar U∩W e´ U∩W = {a+ bx+ cx2 + dx3 ∈ P3 / c = −a e b = 2c− 3d}
ou U ∩W = {p(x) = a+ (−2a− 3d)x− ax2 + dx3; a, d ∈ R} .
6. W =
a b
c d
{[ ]
∈M2 : a+ b− 2c+ 2d = 0
}
{[−1 0
1 0
]
,
[
2 −2
0 1
]}
E´
7. a) Sim b) W = ger{1, x, x3 − 3x2}
8. Uma das possibilidades e´: U ∩W = ger
9. LD.
10.
11. Um exemplo e´ W1 = {(1, 1, 3), (1, 2, 1), (0, 1, 3)}
12. a) Sim
b) β = {(1,−1, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (1, 0, 0, 0)} e dimW = 3
c) Na˜o.
13. a) Uma das bases e´: β = {(1, 0, 2), (0, 1, 3)}
c) Uma das bases e´: β = {1, x− xn, x2 − xn, ..., xn−1 − xn}
e) Sim
f) Uma das bases e´: β = {x, x2, x3}
g)Uma das bases e´: β = {1− 2x}
h) Uma das bases e´: β = {(1, 1, 0), (0, 1, 1)}
14. i) α =
{(−1 1
1 1
)}
ii) Na˜o iii) Sim
15. a) Uma das bases e´: β = {(1, 0, 0, 0,−1)}
b) Uma das bases e´: β = {(1, 0, 0, 0,−1), (0, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1, 0), (1, 0, 0,−2, 0), (0, 0, 1, 0, 0)}
c) Na˜o
7
d) Sim
16. dim(U +W ) = 4 e dim(U ∩W ) = 2
17. a) Uma das bases e´: β =
{[
1 2
1 0
]
,
[−1 0
2 3
]}
, dimW = 2
{[
0 2
3
1 1
]}
b) Uma das bases e´: β =
c) Uma das bases e´: β =
{[
1 2
1 0
]
,
[−1 0
2 3
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
1 0
]}
18. a) Uma das bases e´:β = {(0, 1, 1)}, dim(U ∩W ) = 1
b) Sim
19. a)Uma base e´ β =
{(
1 −1
0 0
)
,
(
0 0
1 −1
)}
e dimS = 2.
b) Um exemplo e´: β =
{(
1 −1
0 0
)
,
(
0 0
1 −1
)
,
(
0 0
1 0
)
,
(
0 1
0 0
)}
20. Uma base e´ β =

 10
−1
 ,
01
3
 e dimW = 2.
22. Falso, pois para a = 0 tambm temos uma base para um subespac¸o de dimenso 2.
b) a 6= 1, a = −2 c) a = 123. a) a 6= 1, a 6= −2
24. a) V b) F c) F d) F e) V f) V g) F
25. a) i) [I]β1β =
[−1 1
1 1
]
ii. [I]ββ1 =
[−1
2
1
2
1
2
1
2
]
iii. [I]ββ2 =
[√
3
√6
1
2
3
6
−1
2
]
iv. [I]ββ3 =[
1
2
0
0 1
2
]
(
3
−2
)
ii. [v]β1 =
(−5
2
1
2
)
iii. [v]β2 =
(√
3
√6 − 1
3
6
)
iv. [v]β3 =
(
3
2−1
)
b) i) [v]β =
c) i) [u]β =
(−4
4
)
ii. [u]β2 =
(
−2
√
3
√3
−2 3
3
+ 2
− 2
)
iii) [u]β3 =
+ 1(−2
2
)
26. a) [I]αβ =

1
2
0 0 0 0
0 1
2
0 0 0
0 0 1
4
0 0
0 0 0 1
8
0
0 0 0 0 1
16
 b) [p]β =

1
2
1
3
4
1
2
5
16
 c) p(x) = 1 + 2x+ 3x2 + 4x3 + 5x4
8
27. a) [I]αβ =
 1 1 −111 −1 1
−1 1 11
 b) [v]α =
12pi + 1110e1
2
pi
− 1
10
e

28. β = {(1,−2,−2), (0, 1, 1), (0,−1,−2)}
29. a) β =
{(−5
4
−3
2
1
2
0
)
,
(
3
4
3
2
1
2
0
)
,
(
3
4
1
2−1
2
0
)}
b) [v]α =
−1613
7

30. a) [I]βα =
1 2 01 1 −1
 b) [w]α =
 33
−1

31. b) [I]αα
0 −1 0
= In
9
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