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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECOˆNCAVO DA BAHIA - UFRB CENTRO DE CIEˆNCIAS EXATAS E TECNOLO´GICAS - CETEC A´LGEBRA LINEAR - 2015.1 CET065 - T03 E T02 - BCET & ESA Lista 01 - Matrizes e Sistemas Lineares Aluno(a): Professor:Carlos Alison de Souza Azevedo I - Matrizes (1) Sejam: A = [ 1 2 3 2 1 −1 ] , B = [ −2 0 1 3 0 1 ] , C = −12 4 , D = [ 2 −1 ], E = 1 03 −1 4 2 e F = [ 1 0 0 1 ] . Calcule, quando possı´vel: (a) A+ B (b) B+ F (c) A · C (d) C · A (e) Et + (−A) (f) C · D+ 2E− At (g) Ct · E− 3D (h) E · F+ At − Bt (2) Dadas as matrizes A = [ aij ] 2×2, tal que aij = { i+ j , se i = j 0 , se i 6= j e B = [ bij ] 2×2, tal que bij = 2i− 3j, enta˜o A+ B e´ igual a: (a) [ −1 4 −1 −2 ] (b) [ 1 −4 −1 −2 ] (c) [ −1 4 1 2 ] (d) [ 1 −4 1 2 ] (e) [ 1 4 1 2 ] (3) Sendo as matrizes M = [mij]2×3, N = [nij]a×b, P = [pij]c×4, Q = [qij]d×e, e´ possı´vel determinar M+ N, N · P e P−Q, se: (a) b− a = c− d (b) a = b = c = d = e− 1 (c) b = a+ 1, c = d = e = 4 (d) a · b = 6, a+ 1 = b = c = d = e− 1 (e) b = c = d = a+ c 2 (4) O valor de x para que [ −2 x 3 1 ] · [ 1 −1 0 1 ] seja uma matriz sime´trica e´: (a) −1 (b) 0 (c) 1 (d) 2 (e) 3 (5) Seja A = [aij] uma matriz antissime´trica. Demonstre que os elementos da diagonal principal sa˜o todos nulos, ou seja, aii = 0 para i = 1, . . . , n. (6) Seja A uma matriz idempotente de ordem n. Prove que B = I − A e´ uma matriz idempotente. (7) Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem tais que AB = A e BA = B. Mostre que A e B sa˜o matrizes idempotentes. (8) Considere A e B matrizes quadradas de mesma ordem. Demonstre que: (a) se A e´ uma matriz sime´trica, enta˜o BtAB e´ uma matriz sime´trica. 1 2 (b) se A e´ uma matriz antissime´trica, enta˜o BtAB e´ uma matriz antissime´trica. (9) Determine, se possı´vel, o valor de x para que a matriz A = 0 2x 1x2 0 −x x+ 1 x3 0 seja: (a) sime´trica (b) antissime´trica (10) Mostre que: (a) Se A e B sa˜o sime´tricas, enta˜o AB e´ sime´trica se, e somente se, AB = BA. (b) Se A e B sa˜o sime´tricas, enta˜o A+ B e kA sa˜o sime´tricas, para todo escalar k. (c) Se A e B sa˜o antissime´tricas, enta˜o A+ B e kA sa˜o antissime´tricas, para todo escalar k. (d) Para toda matriz A de ordem n, a matriz A + At e´ sime´trica e a matriz A − At e´ antis- sime´trica. (11) (a) Prove que toda matriz quadrada A e´ a soma de uma matriz sime´trica com uma matriz an- tissime´trica. (b) Ilustre o item (a) usando a matriz A = 1 2 34 5 6 7 8 9 . (12) Determine todas as matrizes que comutam com a matriz A = [ 1 1 0 0 ] . (13) Para cada nu´mero real α consideremos a matriz: Tα = [ cos α − sin α sin α cos α ] . Mostre que: (a) TαTβ = T(α+β) (b) T−α = Ttα (14) Usando a regra de Sarrus, calcule o determinante das seguintes matrizes: (a) A = 1 3 2−1 0 −2 2 5 1 (b) B = 1 1 −22 −4 −3 0 −6 1 (15) Usando o Teorema de Laplace, calcule o determinante da matriz A = 3 −1 5 0 0 2 0 1 2 0 −1 3 1 1 2 0 (16) Verifique se as matrizes abaixo sa˜o inversı´veis, caso afirmativo, calcule as inversas. (a) A = [ 5 3 8 6 ] (b) B = 1 2 20 1 1 0 1 −1 3 (17) Dada uma matriz A inversı´vel, de ordem n, mostre que o determinante da matriz inversa de A e´ igual ao inverso do determinante de A. (18) Utilizando as propriedades de trac¸o, mostre que na˜o existem matrizes A e B, de ordem n, tais que AB− BA = I. (19) Considere a matriz real A dada por A = [ a b c d ] com ad− bc 6= 0. (a) Mostre que A−1 = 1 ad− bc [ d −b −c a ] . (b) O que podemos concluir se ad− bc = 0? Justifique sua resposta. (20) Seja A uma matriz invertı´vel. Prove que, para qualquer escalar λ na˜o-nulo, (λA)−1 = 1 λ A−1. (21) Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem e B invertı´vel. Mostre que tr(B−1AB) = tr(A). (22) Uma matriz quadrada A e´ ortogonal quando A e´ inversı´vel e A−1 = At. (a) Determine se possı´vel x e y em R a fim de que a matriz A = [ √ 2 x y √ 2 ] seja ortogonal. (b) Mostre que o produto de duas matrizes ortogonais e´ ortogonal. (23) Use a regra de Cramer para resolver o sistema S2 = x+ y+ z+ t = 1 2x− y+ z = 2 −x+ y− z− t = 0 2x+ 2z+ t = −1 (24) Encontre a matriz LRFE equivalente a cada uma das seguintes matrizes: (a) A = 1 4 0 02 2 1 0 0 0 0 0 (b) B = 1 −1 0−2 2 0 0 1 0 (c) D = 1 23 4 2 1 (25) Reduza as matrizes abaixo a` forma reduzida escalonada e determine o posto e a nulidade das mesmas. (a) A = 1 1 1 31 0 −1 1 0 1 2 2 (b) B = [ 1 −4 3 2 ] (c) C = 6 3 −4−4 1 −6 1 2 −5 (d) D = 0 1 3 −22 1 −4 3 2 3 2 −1 4 (26) Seja a matriz B = 1 1 0 30 0 −1 1 0 2 2 2 determine a matriz N, linha reduzida a forma escada equi- valente a matriz B e uma matriz inversı´vel M, de ordem 3, tal que N = MB. (27) Mostre que uma matriz A e´ inversı´vel se, e somente se, At e´ inversı´vel. Conclua que as operac¸o˜es de inversa˜o e de transposic¸a˜o comutam, ou seja, [At]−1 = [A−1]t, quando A e´ inversı´vel. (28) Usando as operac¸o˜es elementares sobre linhas, determine se as matrizes abaixo sa˜o inversı´veis e, em caso afirmativo, determine a sua inversa. (a) A = [ 1 3 2 7 ] (b) B = 2 5 14 1 2 0 4 1 (c) C = 1 2 60 1 5 2 3 7 (d) D = [ 1 2 3 4 ] (e) E = 4 2 34 5 6 7 8 8 II - Sistemas Lineares (29) Resolva os seguintes sistemas: (a) S1 = x+ 2y− z = 2 2x− y+ 3z = 9 3x+ 3y− 2z = 3 (b) S2 = 2x− 3y+ z = 2 3x+ 2z = 0 5y− 2w = −5 y− z+ w = −4 (30) Considere o sistema de equac¸o˜es lineares S = 3x− 5y+ 12z− w = −3 x+ y+ 4z− w = −6 2y+ 2z+ w = 5 (a) Determine a soluc¸a˜o do sistema; (b) Acrescente a equac¸a˜o 2z + kw = 9 no sistema acima, e enta˜o discuta a soluc¸a˜o do novo sistema em func¸a˜o do paraˆmetro real k; (c) Admita, agora, que o sistema S, dado, seja homogeˆneo, isto e´, todos os termos indepen- dentes, das varia´veis, sa˜o iguais a zero. Adicione a equac¸a˜o 2z− y− 2w = 0 neste sistema homogeˆneo, e enta˜o obtenha a sua soluc¸a˜o. (31) Um bio´logo colocou treˆs espe´cies de bacte´ria (denotadas por I, II e III) em um tubo de ensaio, onde elas sera˜o alimentadas por treˆs fontes diferentes de alimentos (A, B e C). A cada dia sera˜o colocadas no tubo de ensaio 2.300 unidades de A, 800 unidades de B e 1.500 unidades de C. Cada bacte´ria consome um certo nu´mero de unidades de cada alimento por dia, como mostra a tabela abaixo.Quantas bacte´rias de cada espe´cie podem coexistir no tubo de ensaio de modo a consumir todo o alimento? 5 Alimento Bacte´ria 1 Bacte´ria 2 Bacte´ria 3 A 2 2 4 B 1 2 0 C 1 3 1 (32) A tabela abaixo da´ a quantidade de proteı´na, carboidrato e gordura existentes em 1 Kg das rac¸o˜es R1, R2 e R3. Rac¸a˜o Proteı´na Carboidrato Gordura R1 0,1 0,2 0,3 R2 0,1 0,3 0,4 R3 0,1 0,1 0,2 Pergunta-se: (a) Que quantidade de cada uma destas rac¸o˜es deve ser dada a um animal que precisa receber 0,7 Kg de proteı´na, 1,1 Kg de carboidrato e 1,8 Kg de gordura? (b) Qual o custo mı´nimo para alimentar um animal, sabendo-se que os prec¸os das rac¸o˜es R1, R2 e R3 sa˜o R$ 1,50, R$ 3,00 e R$ 2,00, respectivamente? (33) Usando apenas as teorias dos sistemas de equac¸o˜es lineares e de escalonamento gaussiano, pro- cure balancear, de forma mı´nima, a seguinte equac¸a˜o quı´mica, ou seja, determine os valores de x, y, z e w inteiros positivos, na expressa˜o abaixo: xAl(OH)3 + yH2SO4 −→ zAl2(SO4)3 + wH2O (34) Construir o polinoˆmio interpolador quadra´tico dos pontos A = (1, 4), B = (−1, 10), C = (2, 7). (35) Determineos valores de a e b que tornam o seguinte sistema possı´vel e determinado S = 3x− 7y = a x+ y = b 5x− 3y = 5a+ 2b x+ 2y = a+ b− 1 (36) Calcule o valor de k para que o sistema linear homogeˆneo admita infintas soluc¸o˜es. S = x− y− z = 0 x− 2y− 2z = 0 2x+ ky+ z = 0 (37) Discuta, segundo o paraˆmetro m, os seguintes sistemas lineares: (a) S1 = x+ y+ z = 0 x− y+mz = 2 mx+ 2y+ z = −1 (b) S2 = mx+ y− z = 4 x+my+ 2z = 0 y− z = 2 Bom Estudo!
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