002 - AULA 2_propriedades de limites

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UNIFACS - Cursos de Engenharia 
Disciplina: Cálculo I Semestre: 2013.2 
 
AULA 2: Limite e Continuidade de Funções + Propriedades dos Limites 
OBJETIVOS: i) Revisar os conceitos de limite e continuidade de uma função através dos seus gráficos. 
 ii) Calcular alguns limites simples usando suas propriedades. 
Limite e Continuidade: É importante não esquecer das observações seguintes: 
a) Para uma função ter limite num ponto xo basta que 
)x(fmil)x(fmil
oxxoxx


(limites laterais iguais). Mas para uma 
função ter limite NÃO É importante que ela esteja definida nesse ponto. É importante para testar sua continuidade. 
 
b) Uma função pode ter limite num ponto xo e não ser contínua. Isso acontece quando os limites laterais são iguais, 
mas o valor da função no ponto é DIFERENTE do limite, ou seja, 
)x(f)x(fmil o
xx o


. 
Exercício 1: Trace os gráficos das funções abaixo determine o que se pede: 









2 x se ; 5x-
2 x se ; 4
2x se ; 1x
)x(f 
.........)x(fmil
2x


.........)x(fmil
2x


 f(2)=.......... 
Existe limite da função nesse ponto? _______ 
Por quê? _____________________________________ 
A função f é contínua no ponto x=2? _______ 
Por quê? _____________________________________ 









2 x se ; 5x-
2x se ; 2
2x se ; 3x
)x(g
2
 
.........)x(gmil
2x


 
.........)x(gmil
2x


 g(2)=.......... 
Existe limite nesse ponto? ______ 
Por quê? _____________________________________ 
A função g é contínua no ponto x=2? ______ 
Por quê? ______________________________________ 
 
Propriedades dos Limites: Para calcular o limite de uma soma de duas (ou mais) funções basta somar os limites de 
cada uma das parcelas. O mesmo acontece com o produto ou quociente de duas (ou mais) funções. 
Além de tudo isso, os limites “comutam” com qualquer função contínua F, ou seja, 
))x(flim(F))x(f(Flim
oo xxxx 

. 
Exemplo 1: 
2
3
4
9
)2x3(lim
)5x(lim
2x3
5x
lim
2x3
5x
lim
2x
2
2x
2
2x
2
2x












 
Exemplo 2: 
8222lim 9
)1x4(
2x
lim
1x4
2x




 
Exemplo 3: 
29log)
1
9
(log))
1x2
5x4
(lim(log))
1x2
5x4
(log(lim 33
1x
33
1x







 
Exercício 2: Utilize as propriedades dos limites para calcular: 
a) 
......... lim 
6x2x
7x4 x
lim
3x2
2
3x




 
b) 
................. osc )limcos( ) 
1x2
3x4 x
(coslim
1x
2
1x




 
c) 
...........
log
)(lim
)(lim
)
5x
)4x3(log
(lim 2
4x
4x2
4x





