Estatística (Capítulo 1 e 2)

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Capítulo 1 
Teoria da Amostragem 
 
 
 
1.1 O método científico e a estatística. 
O método científico é a ordem ou conjunto de processos que devem ser 
estabelecidos para, através da investigação, atingir determinado objetivo, ou seja, visa 
estruturar e organizar as fases ou etapas que devem ser estabelecidas na abordagem de 
uma observação estatística. 
Este é dividido em método experimental e estatístico. 
O método experimental é utilizado no estudo dos fenômenos através da 
experiência. Este método geralmente impõe em cada experiência a exigência de se 
conservar constante todas às causas dominantes, deixando apenas uma variável, 
estudando então o seu efeito. 
O método estatístico consiste da impossibilidade de manter as causas constantes, 
variando todas essas causas, registrando essas variações e procurando determinar, no 
resultado final, que influências cabem a cada uma delas. 
 
As fases do método estatístico: 
1. Definição e identificação do problema; 
2. Planejamento do estudo a desenvolver; 
3. Coleta de informação (dados) de acordo com o objetivo; 
4. Classificação e organização dos dados em suporte informático; 
5. Análise dos dados e apresentação dos resultados; 
6. Interpretação dos resultados, e de acordo com o problema, elaborar a decisão 
mais adequada. 
1.2 Objetivo da estatística 
A estatística é a parte da matemática aplicada que possui o objetivo de obter 
conclusões a partir de dados observados e desempenha papel importante em quase todas 
as fases da pesquisa humana. Desta maneira podem-se entender grandes volumes de 
informação e realizar previsões confiáveis. 
De maneira resumida, pode-se dizer que a Estatística é essencial no avanço dos 
conhecimentos, para: 
a) Aumentar nossa confiança nos dados obtidos; 
b) Entender os princípios básicos de probabilidade; 
c) Dar suporte às conclusões de trabalhos científicos; 
d) Estimar o grau de certeza das conclusões tiradas, separando o sinal do ruído; 
e) Definir critérios para diversos tipos de julgamentos. 
1.3 Conceitos fundamentais 
Para um maior entendimento alguns conceitos devem ser destacados como: 
 Fenômeno estatístico é qualquer evento que se pretenda analisar, cujo estudo 
seja possível da aplicação do método estatístico. Ex: Estimar a inflação de um 
determinado país. 
 Dado estatístico é um dado numérico considerado a matéria-prima sobre a qual 
iremos aplicar os métodos estatísticos. Ex: o valor da inflação. 
 Parâmetros são valores que caracterizam uma população. Para definirmos um 
parâmetro devemos examinar toda a população. Ex: Meta da inflação em 6.5%. 
 Estimativa é um valor aproximado do parâmetro e é calculado com o uso da 
amostra. Ex: Prever a inflação durante em um determinado tempo. 
 Um atributo é quando os dados estatísticos apresentam um caráter qualitativo. 
Ex: ótimo, péssimo, homem, mulher, etc. 
 A População é o maior conjunto tomado como referência na observação de um 
fenômeno, podendo ser finita ou infinita, concreta ou abstrata. Ex: Discentes da 
UFOPA. 
 A Amostra é um Subconjunto da população, seu uso gera economia e rapidez 
dos resultados e deve ser representativa da população. Ex: Discente do PCEDR. 
1.4 Variáveis 
Do ponto de vista estatístico, os indivíduos, as unidades, os itens observados 
sempre variam, pois se assim não fosse, bastaria o estudo de um único elemento para 
termos a composição de uma População. 
E como as unidades variam de um indivíduo para o outro, a Estatística as 
denomina de variáveis. Essas constituem um conjunto de resultados possíveis de um 
fenômeno. A cada fenômeno corresponde um número de resultados possíveis. 
De acordo com o tipo de medição utilizada, as variáveis classificam-se em: 
1.4.1 Variáveis Qualitativas 
a) NOMINAIS ou CATEGÓRICAS: Elas recebem uma designação que 
exprime uma qualidade, ou seja, uma denominação alfabética, 
permitindo a distinção entre elas. Exemplo: sexo dos empregados de uma 
empresa, podendo ser Masculino ou Feminino. A variável Estado civil 
pode apresentar as seguintes categorias: solteiro, casado, divorciado, 
viúvo ou, então, solteiro e não solteiros. 
b) ORDINAIS: São variáveis qualitativas, como as anteriores, mas recebem 
designação alfabética que representa uma ordem, uma sequência, um 
posto, uma grau, crescente ou decrescente, permitindo distingui-las na 
População investigada. Ex: Grau de satisfação em um atentimento, 
podendo ser ótimo, bom, regular, ruim e péssimo, nota-se que existi uma 
ordem decrescente de satisfação. 
1.4.2 Variáveis Quantitativas 
a) DISCRETAS: São variáveis que expressam contagem, como por exemplo, 
números de pessoas por domicilio: 3, 5, 8 ou mais pessoas, ocorrendo somente 
valores inteiros. OBS: suponha os preços de três sapatos: R$ 56,50, R$ 59,00, 
R$ 60,35; não temos valores intermediários entre duas quantias quaisquer 
fixadas pelo vendedor. 
b) CONTÍNUAS: A expressão numeral destas variáveis pode assumir valores 
teoricamente ilimitados, sem solução de continuidade entre dois valores 
quaisquer. Ex: Renda 
1.5 Teoria Estatística 
A Teoria Estatística se divide em dois grandes campos: A Estatística Descritiva 
e a Estatística Indutiva ou Inferencial. 
 A estatística indutiva ou inferencial consiste em inferir propriedades de um 
universo sobre a base de uma amostra com resultados conhecidos, isto é, se uma 
amostra é representativa de uma população, conclusões importantes sobre essa podem 
ser inferidas em sua análise. 
Assim, a análise e a interpretação dos dados estatísticos tornam possível o 
diagnóstico de uma empresa, o conhecimento de seus problemas, a formação de 
soluções apropriadas e um planejamento objetivo de ação. 
A estatística descritiva consiste num conjunto de métodos que ensinam a reduzir 
uma quantidade de dados bastante numerosa por um número pequeno de medidas, 
substitutas e representantes daquela massa de dados. Então, é responsável pela coleta, a 
organização e a descrição dos dados. 
A coleta de dados pode ser direta e indireta. 
É direta quando feita sobre elementos informativos de registros obrigatórios, 
elementos pertinentes aos prontuários dos alunos de uma escola, ou ainda, quando os 
dados são coletados pelo próprio pesquisador através de inquéritos e questionários. 
A coleta direta de dados pode ser classificada relativamente ao fator tempo em: 
a) contínua – é feita continuamente, tal como a de nascimentos, casamentos e 
óbitos; 
b) periódica – quando feita em intervalos constantes de tempo; 
c) ocasional – quando feita de tal modo que não se considera o tempo em 
continuidade e nem periódico, a saber, independente do tempo e é feita quando a 
requer o estudo de um fenômeno. 
A coleta se diz indireta quando é inferida de elementos conhecidos (coleta 
direta) e/ou do conhecimento de outros fenômenos relacionados com o fenômeno 
estudado. 
1.6 Amostra 
A maioria dos estudos estatísticos tem por base os levantamentos e experimentos 
efetuados com apenas um segmento do Universo, a Amostra. 
1.6.1 Representação 
O tamanho de uma População é representado graficamente pela letra latina N. As 
Amostras, por sua vez, pela mesma letra, mas minúscula n. Como podemos tirar várias 
amostras da mesma População, colocamos um subíndice em cada uma, como por 
exemplo, n1, n2, n3 ... nn. 
 1.6.2 Vantagens 
Existem muitas vantagens dos estudos amostrais, entre elas podemos citar: 
1. No caso de Populações consideradas infinitas, como por exemplo, as 
produções de um determinado produto em uma fábrica, pois não se sabe 
quantos produtos serão fabricados e quanto tempo à empresa funcionará. 
Nesse caso, a solução é retirar amostrar e generalizar seusresultados para 
a População. 
2. Em alguns casos quando se estuda certos Universos, o interesse 
investigatório pode destruir as unidade, os indivíduos componentes da 
População. Ex: um fabricante de lâmpadas precisa testar o tempo médio 
de seus produtos, para melhor concorrer com outras marcas existentes no 
mercado. O produtor não pode testar toda sua produção, pois ao final dos 
experimentos todas as lâmpadas estariam queimadas. 
3. Quando as Populações são numerosas, o trabalho consumido, os custos 
operacionais e a qualificação da mão de obra específica para efetuação de 
um Censo, tornam-se tão elevados. É por essas razões que o Censo 
demográfico das Populações de cada país só é efetuado a cada 10 anos. 
Para obter amostras representativas de uma População é fundamental evitar a 
interferência do pesquisador nessa fase do procedimento, o essencial é que o 
investigador não deve escolher a seu arbítrio, a seu gosto, os elementos que constituirão 
a amostra. 
1.7 Técnicas de Amostragem 
A amostragem é uma técnica para escolher amostras que garanta o acaso na 
escolha, ou seja, qualquer elemento da população tem a mesma probabilidade de ser 
escolhido. 
Se extrairmos um objeto de uma urna, temos a escolha de repor ou não o objeto 
dentro da urna antes da seguinte extração. No primeiro caso, um objeto em particular 
pode aparecer várias vezes, enquanto no segundo ele pode aparecer no máximo uma 
vez. A amostragem onde cada membro da população pode ser escolhido mais de uma 
vez é chamada de amostragem com reposição, enquanto a amostragem onde cada 
membro não pode ser escolhido mais de uma vez é chamada de amostragem sem 
reposição. 
Uma população finita que é amostrada com reposição pode teoricamente ser 
considerada infinita desde que amostras de qualquer tamanho podem ser extraídas sem 
esgotar a população. Para propósitos mais práticos, a amostragem de uma população 
finita muito grande pode ser considerada como amostragem de uma população infinita. 
1.7.1 Amostragem aleatória Simples 
Na amostragem aleatória cada elemento da população tem a mesma 
probabilidade de ser incluído na amostra, sem interferência do pesquisador, de modo 
casual/randômico. 
Exemplo: Digamos que temos uma amostra de 100 indivíduos, o procedimento é 
enumerar cada indivíduo de 1 a 100, e sortear cada uma por meio de uma urna contendo 
os números. Assim, cada indivíduo te uma chance a cada cem para ser sorteado, ou seja, 
uma probabilidade de 1/100 = 0,01 ou 1% de ser escolhido. 
1.7.2 Amostragem sistemática 
Na amostragem sistemática a primeira unidade é escolhida ao acaso e as demais, 
a partir da inicial, selecionadas de modo sistemático a intervalos iguais e definidos, até 
se atingir o tamanho da amostra desejado. O intervalo é estabelecido pela razão entre o 
tamanho da População e o tamanho da amostra: 
  int
N
ervalo k
n
 (1.1) 
Exemplo: População: N = 20 Amostra n = 4 
Intervalo: k = 20/4 = 5 
Primeiro número escolhido ao acaso entre 1 e 4: n1 = 3 
Números subsequentes: 8 (3+5), 13 (8+5). 18 (13+5) 
Amostra sistemática obtida: n1 = 3, n2 = 8, n3 = 13, n4 = 18 
A amostra sistemática apresenta as seguintes vantagens: 
a) Facilidade de sua obtenção. 
b) Representatividade amostral melhor expressada. 
1.7.3 Amostragem estratificada 
Na amostragem estratificada a população é dividida em estratos e a amostragem 
é proporcional a eles. Os estratos constituem-se de indivíduos homogêneos entre si e 
heterogêneos entre eles. 
Exemplo: Suponhamos que possuímos uma população de 100 empregados de uma 
empresa, o objetivo do estudo é inferir sobre a diferença de salários dos trabalhadores 
levando em consideração a sua raça. Para isso, é necessário dividir a população entre 
empregados da raça branca, parda e negra. 
É constatado que existem 42 empregados da raça branca (Nb = 42), 33 da raça 
parda (Np = 33) e 25 da raça negra (Nn = 25), portanto temos a construção de três 
estratos. Como a obtenção das amostras deve ser proporcional ao tamanho dos estratos, 
fazemos para a raça branca o seguinte calculo: 
 
42
42 0,42 42 17,64 18
100
b
b b
N
n N
N
        (1.2) 
 Para raça parda: 
 
33
33 0,33 33 10,89 11
100
p
p p
N
n N
N
       
 (1.3) 
Para raça negra: 
 
25
25 0,25 25 6,25 6
100
n
n n
N
n N
N
        (1.4) 
Neste caso, o tamanho da amostra selecionada seria: 
 18 11 6 35b p nn n n n       (1.5) 
E se o interesse da pesquisa fosse fixar uma amostra de 30% da população. 
Para empregados da raça branca: 
 
30
(%) 42 0,30 42 12,60 13
100
b bn Amostra N        (1.6) 
Para empregados da raça parda: 
 
30
(%) 33 0,30 33 9.9 10
100
p pn Amostra N        (1.7) 
Para empregados da raça negra: 
 
30
(%) 25 0,30 25 7,50 7
100
n nn Amostra N        (1.8) 
Neste caso, o tamanho da amostra selecionada seria: 
 13 10 7 30b p nn n n n       (1.9) 
Pode-se proceder a seleção da amostra de cada extrato por meio da amostragem 
aleatória simples. 
 
1.7.4 Amostragem por conglomerados ou cluster 
 São amostras obtidas de Unidades coletivas, como bairros, distritos residenciais, 
quarteirões, etc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
1. Classificar as variáveis em qualitativas ou quantitativas (continuas e discretas): 
a) População: os alunos de uma escola 
Variável: Cor dos cabelos 
b) População: Casais residentes em uma cidade 
Variável: Número de filhos 
c) População: As jogadas de um dado 
Variável: O ponto obtido em cada jogada 
d) População: Peças produzidas por certas máquinas 
Variável: Número de peças produzidas por hora 
e) População: Peças produzidas por certa máquina 
Variável: Diâmetro externo 
2. A massa (em quilogramas) de 20 trabalhadores de uma empresa com 100 
funcionários esta registrada a seguir: 
62 52 73 80 65 50 70 
75 80 65 70 77 82 91 
75 52 68 86 70 80 
 
Com base nos dados obtidos, responda: 
a) Qual a população dessa pesquisa? 
b) Qual é a sua amostra? 
c) Qual é a variável nessa pesquisa? Ela é discreta ou contínua? 
3. Uma população encontra-se dividida em três estratos, com tamanhos, 
respectivamente, n1=40, n2 = 100 e n3= 60. Sabendo-se que, ao ser realizada uma 
amostragem estratificada proporcional, nove elementos da amostra foram 
retirados do 3º estrato, determine o número total de elementos da amostra. 
4. Mostre como seria possível retirar uma amostra de 32 elementos de uma 
população ordenada formada por 2.432 elementos. Na ordenação geral, qual dos 
elementos abaixo seria escolhido para pertencer à amostra, sabendo-se que o 
elemento de ordem 1.420 a ela pertence? 
290, 725, 1648, 2025 ou 1120 
5. Em uma escola existem 250 alunos, sendo 35 na 1ª série, 32 na 2ª série, 30 na 3ª, 
28 na 4ª série, 35 na 5ª série, 32 na 6ª série, 31 na 7ª série e 27 na 8ª série. 
Obtenha uma amostra de 40 alunos e preencha o quadro. 
Séries População Cálculo proporcional Amostra 
1ª 
2ª 
3ª 
4ª 
5ª6ª 
7ª 
8ª 
Total 250 - 40 
 
6. Indique como seria possível retirar uma amostra sistemática de 35 elementos a 
partir de uma população ordenada formada por 2590 elementos. Na ordenação 
geral, qual dos elementos abaixo seria escolhido para pertencer à amostra, 
sabendo-se que o elemento de ordem 1546 a ela pertence? 
2323º, 636º, 1841º, 1028º e 242º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 2 
Estatística Descritiva: Representações 
Tabular e Gráfica 
 
 
 
1 Introdução 
Após a coleta dos dados deve-se organizá-los de tal forma que facilite o 
entendimento do leitor. Dois procedimentos que se complementam são utilizados pela 
estatística para a representação dos dados em Tabelas e Gráficos. 
2 Tipos de dados 
2.1 Dados brutos 
Quando se efetua a coleta dos dados obtemos um grupo de valores que se 
denomina de Dados brutos, como se observa, a seguir, de uma amostra de tamanho 
n = 24: 
94 83 32 1 70 66 
40 45 53 32 76 89 
73 23 39 12 95 46 
16 80 67 39 2 54 
 
 
2.2 Rol 
O Rol constitui uma relação dos valores dispostos em uma forma ordenada, 
crescente ou decrescente. Se dispusermos os dados anteriores em uma relação ordenada 
crescente, teremos: 
1 23 39 53 70 83 
2 32 40 54 73 89 
12 32 45 66 76 94 
16 39 46 67 80 95 
 
O Rol já permite observar os valores extremos, 1 e 95, respectivamente. A 
organização dos dados estatísticos segue certas etapas. 
1. A amostra é coletada e é verificada a característica de interesse. 
2. São medidos e classificados os dados estatísticos em bruto. 
3. É realizada a ordenação crescente dos dados. 
4. É construída a tabela de frequências. 
5. São construídos os gráficos de interesse. 
2.3 Representação tabular 
A representação tabular consiste na apresentação numérica dos dados dispondo 
os valores coletados em tabelas constituídas de colunas e linhas, permitindo uma visão 
geral e imediata, sobretudo de dados muito numerosos. 
A representação tabular pode se dispor em varias maneiras tais como: séries 
estatísticas e em distribuições de frequências e de pontos. 
2.3.1 Séries estatísticas 
 São constituídas de uma sucessão de dados estatísticos representativas de 
caracteres qualitativos ou quantitativos, levando-se em consideração, para diferenciá-
las, os seguintes elementos: 
a) Época ou tempo em que o assunto foi investigado. 
b) Local ou espaço da ocorrência. 
c) Tema ou espécie objetivo do estudo. 
 
2.3.1.1 Série Temporal 
Identifica-se pelo caráter variável do fator cronológico. O local e a espécie 
(fenômeno) são elementos fixos. 
Exemplo: 
Tabela 1. Números de desempregados em Belém, 1980/1984. 
 
Ano Desempregados 
 
 
1980 320222 
 
 
1981 375243 
 
 
1982 420529 
 
 
1983 411768 
 
 
1984 429253 
 
 Houve variação no tempo (1980 a 1984), mas o tema estudado (desempregados) 
e o local do levantamento (Belém) foram os mesmos. 
2.3.1.2 Série Geográfica 
Apresenta como elemento variável o fator geográfico. A época e o Tema 
(espécie) são elementos fixos. 
Exemplo: 
Tabela 2. Números de desempregados em cinco Estados brasileiros, 1990. 
 
Estados Desempregados 
 
 
Amazonas 320222 
 
 
Pará 375243 
 
 
Maranhão 420529 
 
 
Rondônia 411768 
 
 
Amapá 429253 
 
Variou o Local (Estados), permanecendo fixos o Tempo (1990) e o Tema 
(desempregados). 
2.3.1.3 Série Específica ou Categórica 
O caráter variável é apenas o fato ou espécie. 
 
 
 
 
Exemplo: 
Tabela 3. Grau de escolaridade dos professores da rede pública de ensino do Brasil, 
2000. 
 
Escolaridade Número de Professores 
 
 
Graduação 348102 
 
 
Especialização 1753 
 
 
Mestrado 209 
 
 
Doutorado 78 
 
 
Pós-Doutorado 13 
 
 Houve variação da categoria (Escolaridade), mantendo-se fixos o Local (Brasil) 
e o tempo (2000). 
2.4 Distribuições de Frequências 
 São tipos de séries estatísticas onde o tempo, o local e o fenômeno são fixos, 
mas o fenômeno estudado apresenta graduações, ou seja, varia em magnitude ou grau, 
sendo disposto em linhas e colunas, o que permite avaliar os respectivos valores. 
 Para as distribuições de frequências há necessidade de informações para melhor 
entendimento dessa parte da Estatística Descritiva. 
2.4.1 Tabelas de Frequências de dados não agrupados em classes 
 Essas tabelas são utilizadas para representar variáveis discretas ou descontínuas. 
Exemplo: 
Tabela 4. Dentes cariados, Escola B, Belém, 2000. 
Dentes Cariados (Xi) Número de Estudantes (fi) 
2 58 
3 106 
4 95 
5 74 
 
TOTAL = 333 Alunos 
 Na primeira coluna, encabeçada por Xi, são anotados os valores da variável 
Dentes cariados, e a segunda coluna, denominada fi, é utilizada para contar os valores 
repetidos da variável, ou seja, as respectivas frequências, permitindo visualizar que o 
menor numero de dentes cariados foi 2, e o maior numero de repetições correspondeu a 
3 cáries ocorridas em 106 alunos. 
 
2.4.2 Tabelas de Frequências de dados agrupados em classes 
 Se a variável for contínua, é aconselhável agrupar os valores obtidos em classes. 
Quando, entretanto, a variável for discreta, mas o numero de valores for muito grande, 
recomenda-se também agrupá-los em classes. 
Exemplo: 
Tabela 5. Estatura de alunos, Escola C, Escola B, Belém, 2000. 
Estatura (cm) Números de alunos (fi) 
140 ˫150 5 
150 ˫160 10 
160 ˫170 30 
170 ˫180 40 
180 ˫190 10 
190 ˫200 5 
 
TOTAL = 100 Alunos 
Os intervalos de classe são simbolizados como segue: 
I. 20 ˫ 30: a classe compreende os valores 20 até 29,99, exceto o valor 30. 
II. 20 30: a classe compreende os valores 20,01 até 30,00, exceto o valor 
20. 
III. 20 |-| 30: a classe compreende os valores 20 até 30. 
IV. 20 - 30: a classe compreende os valores 20,01 até 29,99, exceto os 
valores 20 e 30. 
2.4.2.1 Amplitude Total (At) 
 A Amplitude Total representa a diferença entre o maior e o menor dos valores 
observados da variável estudados. (2.1) 
 máx mínAt X X  (2.1) 
 
 
2.4.2.2 Classe de Frequência 
 É cada u dos grupos de valores em que se subdivide a Amplitude Total do 
conjunto de valores estudados da variável em questão. Cada classe é representada pela 
letra k. 
 O número de classes pode ser calculado das seguintes maneiras: 
 Fórmula de Sturges. 
 101 3,332 log ( )k N   (2.2) 
 Menor inteiro k tal que 
 2
k 
> N (2.3) 
 Regra empírica 
Com N ≤ 25 o valor de k = 5. 
Com N > 25 o valor de k N . 
2.4.2.3 Limites dos Intervalos de Classe 
 São os valores extremos de cada classe, ou seja, o limite inferior e o superior de 
cada uma. São obtidos da seguinte maneira: 
 
At
ICl
k
 (2.4) 
2.4.2.4 Amplitude dos Intervalos de Classe 
 Representa a diferença entre o maior e o menor valor de cada classe. 
2.4.2.5 Tipos de Frequência 
 Uma Tabela de Frequência pode apresentar os seguintes tipos: 
i. Frequência simples absoluta (fsa): é o número de observações de cada classe, 
sendo que a soma das frequências é chamada de FrequênciaTotal e corresponde 
ao número total de observações; 
ii. Frequência simples relativa (fsr): são obtidas dividindo-se cada frequência 
simples pelo total e multiplicadas por 100 para representar a percentagem de 
cada classe. 
iii. Frequência acumulada absoluta (faa): é resultante da soma da frequência 
simples absoluta da primeira classe com a segunda, da segunda com a terceira, e 
assim sucessivamente. 
iv. Frequência acumulada relativa (far): são obtidas dividindo-se cada frequência 
acumulada pelo total e multiplicadas por 100 para representar a percentagem de 
cada classe. 
A construção da Tabela de Frequências é mostrada abaixo com os respectivos 
cálculos. 
Valores distintos ou 
em intervalos de classe fsa fsr faa far 
a1 fsa1 
1 100sr
f
N
 
 
  fsa1 
1 100sr
f
N
 
 
  
a2 fsa2 
 
2 100sr
f
N
 
 
  fsa1 + fsa2 = Fa1 
1 2
1100
sr sr
ar
f f
F
N
 
  
  
a3 fsa3 
 
3 100sr
f
N
 
 
  Fa1 + fsa3 = Fa2 
3
1 2100
sr
ar ar
f
F F
N
 
   
  
... ... ... N 100% 
Total N 100% 
 
2.4.4 Roteiro para tabelas de frequências 
O roteiro deve conter as seguintes etapas 
1. Lista dos dados brutos; 
2. Transformação em Rol; 
3. Determinação da Amplitude Total; 
4. Escolha do número de Classes; 
5. Determinação da amplitude do Intervalo de Classe; 
6. Limite inferior da primeira classe; 
7. Limite superior da última classe 
8. Traçar a tabela inserindo, na primeira coluna, as classes e nas demais as 
frequências: simples absoluta, simples relativa, simples acumulada e acumulada 
relativa. 
Exemplo: Suponhamos que uma empresa deseja avaliar a distribuição dos salários 
pagos por hora a seus 30 funcionários. Os dados coletados são: 
13,30 15,20 12,40 15,79 9,60 10,40 13,20 8,80 8,30 8,50 
11,50 12,60 10,70 12,60 9,70 12,10 13,50 10,30 14,30 9,80 
10,40 11,60 12,40 12,90 11,60 10,30 14,20 13,80 10,20 12,30 
 
 Seguindo o primeiro passo do roteiro notamos que os dados apresentados são os 
dados brutos. 
 O segundo passo é colocar os dados em Rol crescente. 
8,30 9,60 10,20 10,40 11,50 12,10 12,40 12,90 13,50 14,30 
8,50 9,70 10,30 10,40 11,60 12,30 12,60 13,20 13,80 15,20 
8,80 9,80 10,30 10,70 11,60 12,40 12,60 13,30 14,20 15,79 
 
 
 O terceiro passo é calcular a Amplitude Total utilizando a equação (2.1) 
15,79 8,30 7,5At    
 O quarto passo é calcular o número de classes utilizando a regra empírica. 
30 5,46 5k    
 O quinto passo é calcular o intervalo da classe utilizando a equação (2.4). 
7,5
1,5
5
ICl   
 O sexto e o sétimo passo referem-se a construir os intervalos das 5 classes. 
A primeira classe (k = 1) é calculada com o valor mínimo representando o limite 
inferior da classe e o limite superior acrescido de ICl = 1,5. Logo temos: 
Para k = 1. 
8,3 + 1,5 = 9,8 
onde o limite inferior = 8,3 e o limite superior = 9,8. 
Para k = 2. 
9,8 + 1,5 = 11,3 
onde o limite inferior = 9,8 e o limite superior = 11,3. 
Para k = 3. 
11,3 + 1,5 = 12,8 
onde o limite inferior = 11,3 e o limite superior = 12,8. 
Para k = 4. 
12,8 + 1,5 = 14,3 
onde o limite inferior = 12,8 e o limite superior = 14,3. 
Para k = 5. 
14,3 + 1,5 = 15,8 
onde o limite inferior = 14,3 e o limite superior = 15,8. 
 Desta forma temos na primeira coluna os valores da variável divididos em cinco 
classes, admitindo o intervalo fechado à esquerda, e na segunda coluna suas respectivas 
frequências de cada classe. 
Classes 
 
fsa 
8,3 ˫ 9,8 
 
5 
9,8 ˫ 11,3 
 
7 
11,3 ˫ 12,8 
 
9 
12,8 ˫ 14,3 
 
6 
14,3 ˫ 15,81 
 
3 
Total 
 
30 
Para o oitavo passo é necessário o cálculo das fsr, faa e far, assim como indicado 
na sua tabela. 
 
 
Classes fsa fsr faa far 
8,3 ˫ 9,8 5 5 100 17%30     5 
5
100 17%
30
 
  
  
9,8 ˫ 11,3 7 7 100 23%30     5 + 7 = 12 
5 7
100 40%
30
 
  
  
11,3 ˫ 12,8 9 9 100 30%30     12 + 9 = 21 
9
40% 100 70%
30
 
   
  
12,8 ˫ 14,3 6 6 100 20%30     21 + 6 = 27 
6
70% 100 90%
30
 
   
  
14,3 ˫ 15,8 3 3 100 10%30     30 
3
90% 100 100%
30
 
   
  
Total 30 100% 
Podemos descrever que: 
1. Na frequência acumulada o valor 21 indica que, nessa empresa, 21 funcionários 
recebem salários/horas abaixo de 12,8 unidades. 
2. Podemos constatar, também, certa predominância de salários mais baixos, 
realmente cerca de 70% da distribuição dos salários concentra-se até o salário de 
12,8 unidades. 
3. Os maiores salários servem apenas 10% dos funcionários da empresa. 
4. 40% dos funcionários (12 funcionários) recebem até 11,3 unidades, sendo 23% 
(ou seja, 7 funcionários) recebendo entre 9,8 e 11,3 unidades. 
2.5 Representação Gráfica 
A representação Gráfica tem como finalidade uma comunicação rápida, clara e 
efetiva dos dados, objetos do estudo, às vezes difíceis de serem observados sob a forma 
de dados numéricos. Após a reunião das unidades em tabelas, elas são apresentadas sob 
a forma de Gráficos. 
2.5.1 Principais tipos de Gráficos 
2.5.1.1 Área 
 Destina-se comparar as áreas abrangidas pelos escores de uma ou de duas 
amostras, exibindo a tendência da contribuição de cada valor em relação ao tempo ou a 
categoria. Utiliza-se para enfatizar a tendência total entre séries para mesma categoria. 
Exemplo: Foi realizado um estudo para analisar as diferenças entre remunerações dos 
empregados da Empresa β com relação a seu salário e gratificação, sendo que estão 
ordenados por ordem alfabética os empregados que possuem mais tempo de serviço na 
empresa. A Tabela 6 mostra essas informações. 
Tabela 6. Salário, Gratificação e Remuneração dos empregados da Empresa β, 
Santarém, 2010. 
Empregado Salário Gratificação Remuneração 
A 3500 1575 5075 
B 3500 1890 5390 
C 3500 1435 4935 
D 3500 1155 4655 
E 3500 1540 5040 
F 3500 2310 5810 
G 3500 1785 5285 
H 3500 2065 5565 
 A Figura 1 mostra a divisão da remuneração dos empregados em áreas 
correspondentes ao salário e a gratificação. 
Figura 1. Gráfico de área para os Salários, Gratificações e Remunerações dos 
empregados da Empresa β, Santarém, 2010. 
 
 Pode-se notar que o Empregado F possui a maior gratificação e remuneração, 
enquanto que o Empregado D a menor gratificação e remuneração, apesar de ambos 
terem o mesmo salário. 
2.5.1.2 Colunas 
 Constituída de retângulos da mesma largura e de alturas proporcionais às 
grandezas que estão representando. Os retângulos são separados uns dos outros por 
pequenos espaços do mesmo tamanho. 
É importante atender certos critérios na elaboração destes gráficos, como: 
0 
1000 
2000 
3000 
4000 
5000 
6000 
7000 
A B C D E F G H 
R
e
m
u
n
e
ra
çã
o
 
Empregados 
Gratificação 
Salário 
1. Os espaços entre os retângulos devem ser menores que a largura dos 
mesmos; 
2. Os retângulos devem ser dispostos em ordem decrescente ou crescente; 
3. Evitar legendas no interior dos retângulos ou em seus extremos, pois 
dificulta a comparação; 
4. Quando representarem séries temporais, obedecer a ordem cronológica 
dos dados; 
5. As legendas devem ser curtas, para facilidade do entendimento; 
Alguns exemplos de Gráficos de colunas utilizando os dados dos Empregados da 
Empresa β: 
a) Colunas Simples: 
Figura 2. Gráfico de Colunas Simples Remuneração dos empregados da Empresa β, 
Santarém, 2010. 
 
b) Colunas Justapostas: 
Figura 3. Gráfico de Colunas Justapostas para os Salários, Gratificaçõese 
Remunerações dos empregados da Empresa β, Santarém, 2010. 
 
 
 
0 
1000 
2000 
3000 
4000 
5000 
6000 
7000 
D C E A G B H F 
Remuneração dos Empregados 
0 
1000 
2000 
3000 
4000 
5000 
6000 
7000 
D C E A G B H F 
Salário 
Gratificação 
Remuneração 
c) Colunas Superpostas: 
Figura 4. Gráfico de Colunas Superpostas para os Salários, Gratificações e 
Remunerações dos empregados da Empresa β, Santarém, 2010. 
 
2.5.1.3 Barras 
 O Gráfico de Barras é semelhante ao de colunas, mas disposto no sentido 
horizontal. Nesse podemos ter textos longos para representar as barras. 
a) Barras Simples: 
Figura 5. Gráfico de Barras Simples para a Remuneração dos empregados da Empresa 
β, Santarém, 2010. 
 
 
 
0 
2000 
4000 
6000 
8000 
10000 
12000 
14000 
D C E A G B H F 
Remuneração 
Gratificação 
Salário 
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 
Alexandre da Silva Neto 
Paulo Queiroz Monteiro 
Fernando Juarez Fonseca 
Henrique Luiz Junior 
Rogério Souza Macedo 
Luis César da Silva 
Michel de Souza Batista 
Fabiano Machado Aguiar 
Remuneração dos Empregados 
b) Barras Justapostas: 
Figura 6. Gráfico de Barras Justapostas para os Salários, Gratificações e Remunerações 
dos empregados da Empresa β, Santarém, 2010. 
 
c) Barras Superpostas: 
Figura 7. Gráfico de Barras Superpostas para os Salários, Gratificações e Remunerações 
dos empregados da Empresa β, Santarém, 2010. 
 
2.5.1.4 Histograma 
Um histograma divide uma série de dados em diferentes classes igualmente 
espaçadas e mostra a frequência de valores em cada classe. Em um gráfico, o 
histograma mostra diferentes barras, com bases iguais e amplitudes relativas às 
frequências dos dados em cada classe. O eixo das ordenadas, portanto, mostra a 
frequência relativa de cada classe e o eixo das abscissas os valores e intervalos das 
classes. 
0 2000 4000 6000 8000 
Alexandre da Silva Neto 
Paulo Queiroz Monteiro 
Fernando Juarez Fonseca 
Henrique Luiz Junior 
Rogério Souza Macedo 
Luis César da Silva 
Michel de Souza Batista 
Fabiano Machado Aguiar 
Remuneração 
Gratificação 
Salário 
0 5000 10000 15000 
Alexandre da Silva Neto 
Paulo Queiroz Monteiro 
Fernando Juarez Fonseca 
Henrique Luiz Junior 
Rogério Souza Macedo 
Luis César da Silva 
Michel de Souza Batista 
Fabiano Machado Aguiar 
Salário 
Gratificação 
Remuneração 
Exemplo: Foi feito um Histograma com os dados da distribuição de frequência dos 
salários/hora do exemplo anterior. 
Figura 8. Histograma realizado para a distribuição de frequências dos salários/hora. 
 
2.5.1.5 Gráfico de Linhas 
 Bastante utilizado nas séries temporais, marcando-se o eixo das abscissas (X) os 
pontos representativos dos períodos – horas, semanas, meses, anos, séculos, etc. – e no 
eixo das ordenadas (Y) os valores da variável nos respectivos períodos. 
Exemplo: A Figura 9 mostra o Gráfico de Linhas para os dados da Tabela 1 sobre o 
numero de desempregados em Belém no período de 1980 até 1984. 
Figura 9. Gráfico de Linhas para o Número de desempregados em Belém, 1980/1984. 
 
2.5.1.6 Diagrama de Dispersão 
O diagrama de Dispersão é utilizado nas amostras bivariadas, como ocorre nas 
Correlações e Regressões Lineares, onde se observam as variáveis X e Y retiradas do 
mesmo elemento, chamando-se a esse conjunto de Unidade de Associação. 
300000 
350000 
400000 
450000 
1980 1981 1982 1983 1984 
Desempregados 
Desempregados 
Exemplo: Suponhamos que uma fabrica dispõe dos seguintes dados sobre o custo e a 
quantidade produzida de um produto dado pela Tabela 6. 
Tabela 6. Dados sobre o Custo e a quantidade produzida de certo produto de uma 
empresa X. 
Custo (R$) Quantidade Produzida 
2421 141 
2518 159 
2606 160 
2718 172 
1986 85 
1802 87 
2975 171 
1768 78 
1520 58 
1480 62 
2489 144 
 Na Figura 10 é feito o Diagrama de Dispersão representando uma relação linear 
de forma crescente entre as variáveis. 
Figura 10. Diagrama de Dispersão entre o Custo e a Quantidade Produzida de um 
produto da Empresa X. 
 
 
 
0 
500 
1000 
1500 
2000 
2500 
3000 
3500 
0 50 100 150 200 
C
u
st
o
 (
R
$
) 
Quantidade Produzida 
2.5.1.7 Pictograma 
São gráficos de figuras que simbolizam fatos estatísticos, ao mesmo tempo em 
que indicam a proporcionalidade. Não tem muita precisão, mas são atrativos, daí a 
utilização em larga escala em publicidade. 
Exemplo: 
Tabela 7. Quantidade de peixe pescado no rio “A” da cidade “B” durante 1980 até 2010. 
Ano Quantidade de peixes 
1980 9890 
1990 15789 
2000 21432 
2010 30232 
Figura 11. Pictograma da Quantidade de peixe pescado no rio “A” da cidade “B” 
durante 1980 até 2010. 
1980 
1990 
2000 
2010 
Cada figura representa 5 mil unidade da Tabela 7. 
2.5.1.7 Setor ou Gráfico de Pizza 
 Tem por objetivo comparar várias parcelas com o total, dividindo-se um circulo 
em setores, cada um compreendendo a um valor da tabela. 
Exemplo: A Figura 12 mostra o Gráfico de Setor para os dados da Tabela 3 sobre 
Dentes cariados na Escola B em Belém no de 2000. 
 
 
Figura 12. Gráfico de Setor para o estudo da quantidade de Dentes cariados na Escola B 
em Belém no ano de 2000. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17.42% 
31.83% 28.53% 
22.22% 
Dentes Cariados 
2 
3 
4 
5 
EXERCÍCIOS 
1. Uma Escola quer dividir as turmas de cada série por faixa etária dos alunos, cada 
turma necessita de pelo menos 10 alunos para ser formada. Os dados coletados 
se referem a idade dos alunos matriculados na escola para o 4º ano. 
12 10 10 12 9 10 14 9 8 9 
15 15 13 9 9 13 9 10 12 12 
11 14 10 13 13 8 11 12 14 14 
10 8 11 9 11 12 13 9 10 13 
8 15 9 11 9 10 15 8 11 10 
a) Faça a tabela de frequências com os dados agrupados em quatro classes, 
utilizando |-| em cada classe. 
b) Faça o Gráfico para representar a frequência simples relativa. 
c) Faça o Gráfico para representar a frequência acumulada relativa. 
2. Quais séries estatísticas definem os dados das tabelas abaixo: 
a) 
Tabela 8. A incidência de doenças contagiosas no Estado de São Paulo, 1974. 
Doenças Número de casos 
Aftosa 29000 
Brucelose 22000 
Tuberculose 19000 
Raiva 12000 
Leptospirose 10000 
b) 
Tabela 9. Maiores exportadores de carne suína (mil t), em 2001 
Exportador Quantidade 
União Européia 1220 
Canadá 710 
Estados Unidos 699 
Brasil 265 
China 110 
Outros 539 
 
3. Faça gráficos que melhor podem representar os dados das Tabelas 7, 8 e 9. 
4. Considere as notas de um teste de inteligência aplicado a 100 alunos de um 
estabelecimento de ensino: 
62 72 78 85 89 95 99 104 111 119 
63 73 79 87 90 95 99 104 112 120 
64 74 80 87 90 96 99 105 112 120 
65 74 80 88 91 97 100 106 113 120 
65 74 81 88 91 97 100 107 114 121 
67 74 82 89 92 97 101 108 116 122 
68 75 83 89 92 98 101 109 117 125 
68 76 83 89 92 98 102 110 119 128 
68 78 85 89 93 99 102 110 119 128 
68 78 85 89 95 99 103 110 119 130 
 
a) Retire uma amostra sistemática de n = 25 alunos admitindo que a amostra da 
46º posição foi selecionada. 
b) Com base na amostra de 25 alunos faça a distribuição de frequências 
utilizando a regra empírica para o cálculo de k. 
c) Construa um gráfico para representar a tabelas de frequências utilizando as 
frequências relativas. 
 
5. Barulho é medido em decibéis, representado por dB. Um decibel corresponde ao 
nível do som mais fraco que pode ser ouvido emum local silencioso por alguém 
com boa audição. Um sussurro corresponde a cerca de 30 dB; a voz humana em 
conversação normal corresponde a cerca de 70 dB; um rádio em volume alto 
cerca de 100 dB; Desconforto para os ouvidos geralmente ocorre a cerca de 120 
dB. Os dados abaixo correspondem aos níveis de barulho medidos em 36 
horários diferentes em um determinado local. 
82 89 94 110 74 122 112 95 100 78 65 60 90 83 87 75 114 85 69 94 124 115 
107 88 97 74 72 68 83 91 90 102 77 125 108 65 
6. Os valores abaixo relacionados em rol (estão organizados) representam as 
alturas dos 40 alunos de uma turma, em cm. Organizar uma distribuição de 
frequências com 6 classes distintas. 
 
 
150 154 155 157 160 161 162 164 166 169 
151 155 156 158 160 161 162 164 167 170 
152 155 156 158 160 161 163 164 168 172 
153 155 156 160 160 161 163 165 168 173