Resolução Fakury

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Resolução dos exemplosResolução dos exemplos
de aplicação do Capítulo 6de aplicação do Capítulo 6
6.10.16.10.1 Largura líquida e área líquida de elemento planoLargura líquida e área líquida de elemento plano
Será determinada a largura líquida e a área líquida do elemento plano da Figura 6.14b, com as dimensões indica-Será determinada a largura líquida e a área líquida do elemento plano da Figura 6.14b, com as dimensões indica-
das a seguir, sabendo-se que esse elemento possui espessura de 8 mm. Os parafusos usados na ligação têm diâmetrodas a seguir, sabendo-se que esse elemento possui espessura de 8 mm. Os parafusos usados na ligação têm diâmetro
de 19 de 19 mm mm (3/(3/4").4").
N N N N 
II
MM
EE
HH
AA
DD
JJ
KK
FF
GG
LL
BB
CC
40 mm40 mm
40 mm40 mm
60 mm60 mm
60 mm60 mm
30 mm30 mm
30 mm30 mm
40 mm40 mm
80 mm80 mm
Elemento planoElemento plano
a) Determinação da largura líquidaa) Determinação da largura líquida
O diâmetro dos furos é:O diâmetro dos furos é:
d d 
hh
 = 19 + 3,5 = 22,5 mm = 2,25 cm = 19 + 3,5 = 22,5 mm = 2,25 cm
As possíveis linhas de ruptura, todas necessariamente passando pelos furos B e C, são mostradas na Figura 6.14c.As possíveis linhas de ruptura, todas necessariamente passando pelos furos B e C, são mostradas na Figura 6.14c.
Aplicando a Equação (6.1), os valores das larguras líquidas dessas linhas de ruptura são:Aplicando a Equação (6.1), os valores das larguras líquidas dessas linhas de ruptura são:
•• linha de ruptura linha de ruptura A-B-C-DA-B-C-D::
226 6 2 2 22, 2, 25 5 2211, 5, 500bb
nn
   ( ( )) ====    – – 
  
cmcm
•• linhas de rlinhas de ruptura A-B-F-C-D e A-B-G-C-D:uptura A-B-F-C-D e A-B-G-C-D:
2266 33 22,,2255
8822
4 4 × × 1122 4 4 × × 66
8822
23,25 cm23,25 cmbb
nn
   ( ( ))== −− ++ ++ ==
  
•• linha de rlinha de ruptura A-B-F-G-C-D:uptura A-B-F-G-C-D:
2266 4 24 2,,2255 22
88
4 × 64 × 6
22,33 cm22,33 cm
22
bb
nn    ( ( ))== −− ++
  
  


  
  
  
     ==
•• linha de ruptura A-B-F-K-G-C-D:linha de ruptura A-B-F-K-G-C-D:
2266 5 25 2,,2255 22
88
22
4 × 34 × 34 × 64 × 6
22,75 cm22,75 cm
22
44
22
bb
nn
   ( ( ))== −− ++
  
  


  
  
  
     ++
  
  


  
  
  
     ==
  
A menor largura líquida, e que deve ser adotada nos cálculos posteriores, é igual a 21,50 cm, correspondente à linhaA menor largura líquida, e que deve ser adotada nos cálculos posteriores, é igual a 21,50 cm, correspondente à linha
de ruptura A-B-C-D.de ruptura A-B-C-D.
  
22 Dimensionamento de elementos estruturais de aço e mistos de aço e Dimensionamento de elementos estruturais de aço e mistos de aço e concretoconcreto~~~~
b) Cálculo da área líquidab) Cálculo da área líquida
Como a chapa tem espessComo a chapa tem espessura de 8 ura de 8 mm (0,8 cm), obtém-se:mm (0,8 cm), obtém-se:
 A A
nn
 = 21,50 × 0,8 = 17,20 cm = 21,50 × 0,8 = 17,20 cm 22
6.10.26.10.2 Alteração da linha de ruptura dominante do Subitem 6.10.1Alteração da linha de ruptura dominante do Subitem 6.10.1
 No elemento plano do exemplo precedente, suponha que se queir No elemento plano do exemplo precedente, suponha que se queira substitua substituir a distir a distância de 80 mm entância de 80 mm entre as linre as linhashasde furação ABCD e EFGH para um valor tal que a linha de ruptura A-B-F-G-C-D prevaleça sobre A-B-C-D. Comode furação ABCD e EFGH para um valor tal que a linha de ruptura A-B-F-G-C-D prevaleça sobre A-B-C-D. Como
se pode obter esse valor?se pode obter esse valor?
Solução Solução 
O valor que deve substituir a distância de 80 mm para que a linha de ruptura A-B-F-G-C-D prevaleça sobreO valor que deve substituir a distância de 80 mm para que a linha de ruptura A-B-F-G-C-D prevaleça sobre
A-B-C-D, representado porA-B-C-D, representado por s s
11
, pode ser , pode ser obtido pela expressão:obtido pela expressão:
pelos dois lados da almab) Perfil W 310 x 97 ligado pelos dois lados da alma
b1) Escoamento da seção bruta b1) Escoamento da seção bruta 
 N  N 
t,Rd t,Rd 
 = 3.877 kN (igual ao  = 3.877 kN (igual ao caso anterior)caso anterior)
  
44 Dimensionamento de elementos estruturais de aço e mistos de aço e Dimensionamento de elementos estruturais de aço e mistos de aço e concretoconcreto~~~~
b2) Ruptura da seção líquida b2) Ruptura da seção líquida 
1,351,35
,,
 N  N 
 A  A f  f  
t t Rd Rd 
e e uu== , com, com A A
ee
 = C  = C 
t t 
 A A
nn
Furação com padrão uniformeFuração com padrão uniforme  A A
nn
 = 123,6  = 123,6 – 2(2,75 × 0– 2(2,75 × 0,99) = 118,1,99) = 118,16 cm6 cm22
4,95 ×4,95 ×  277,2 + 2 ×277,2 + 2 ×  152,5 × 15,4152,5 × 15,4
4,95 × 277,2 ×4,95 × 277,2 ×
4,954,95
22
152,5152,5
22
+ 2 ×+ 2 ×  152,5 ×15,4 ×152,5 ×15,4 ×
 – 4,95 = 54,62 mm – 4,95 = 54,62 mmee
cc
  ==
C C 
tt
= 1 −= 1 −
  
54,6254,62
2 × 802 × 80
ee
cc

cc
= = 1 1 −− = 0= 0,,666 6 ((vvaalloor r eennttrre e 00,,660 0 e e 00,,9900))
GG 308 mm308 mm277,2 mm277,2 mm
9,9/2 = 4,95 mm9,9/2 = 4,95 mm
15,4 mm15,4 mm
305/2 = 152,5 mm305/2 = 152,5 mm
 A A
ee
 = 0,66 × 118,16 = 77,99 cm = 0,66 × 118,16 = 77,99 cm 22
77,99 × 4577,99 × 45
1,351,35
2.600 kN2.600 kN
,,
 N  N 
t t Rd Rd 
== ==
b3) Conclusão b3) Conclusão 
Prevalece o menor valor da força resistente de cálculo, considerando os dois estados-limites últimos. Portanto:Prevalece o menor valor da força resistente de cálculo, considerando os dois estados-limites últimos. Portanto:
 N  N 
t,Rd t,Rd 
 = 2.600 kN = 2.600 kN
c) Perfil U 152,4 x 12,2 ligado pelo lado externo da almac) Perfil U 152,4 x 12,2 ligado pelo lado externo da alma
c1) Dimensões e área bruta da seção transversal c1) Dimensões e área bruta da seção transversal 
152,4 mm152,4 mmGG    AA
g g 
 = 15,5 cm = 15,5 cm22
13 mm13 mm
5,08 mm5,08 mm
8,7 mm8,7 mm
48,8 mm48,8 mm
c2) Escoamento da seção c2) Escoamento da seção bruta bruta 
== ==
1,101,10
15,5 × 34,515,5 × 34,5
1,101,10
486,14 kN486,14 kN
,,
 N  N 
 A  A f  f  
t t Rd Rd 
 g  g yy
==
c2) Ruptura da seção líquida c2) Ruptura da seção líquida 
1,351,35
,,
 N  N 
 A  A f  f  
t t Rd Rd 
e e uu== , com, com A A
ee
 = C  = C 
t t 
 A A
nn
Furação com padrão uniformeFuração com padrão uniforme ⇒⇒   A A
nn
 = 15,5 – 2(2,75 × 0,508) = 12,71 cm = 15,5 – 2(2,75 × 0,508) = 12,71 cm22
  
   Resolução dos exemplos Resolução dos exemplos de aplicação do Capítulo de aplicação do Capítulo 66 55
ee
cc
 = 13 mm = 13 mm
11 11
1313
2 × 802 × 80
0,920,92C C 
ee
t t 
cc
cc

== −− == −− ==    ⇒⇒   Como esse valoComo esse valor é maior r é maior que 0,90, usa-seque 0,90, usa-se C C 
t t 
 = 0,90 = 0,90
 A A
ee
 = 0,90 × 12,71 = 11,44 cm = 0,90 × 12,71 = 11,44 cm22
11,44 × 4511,44 × 45
1,351,35
381,33 kN381,33 kN
,,
 N  N 
t t Rd Rd 
== ==   
c3) Conclusão c3) Conclusão 
Prevalece o menor valor da força resistente de cálculo, considerando os dois estados-limites últimos. Portanto:Prevalece o menor valor da força resistente de cálculo, considerando os dois estados-limites últimos. Portanto:
 N  N 
t,Rd t,Rd 
 = 381,33 kN = 381,33 kN
d) Perfil L 127 x 7,94 lid) Perfil L 127 x 7,94 ligado pela face externa de uma abagado pela face externa de uma aba
d1) Dimensões e área bruta da seção transversal d1) Dimensões e área bruta da seção transversal 
34,7 mm34,7 mm
GG
7,94 mm7,94 mm
AA
g g 
 = 19,50 cm = 19,50 cm22
127 mm127 mm
d2) Escoamento da seção d2) Escoamento da seção bruta bruta 
== ==
19,50 × 34,519,50 × 34,5
1,101,101,101,10
611,59 kN611,59 kN
,,
 N  N 
 A  A f  f  
t t Rd Rd 
 g  g yy
==
d3) Ruptura da seção líquida d3) Ruptura da seção líquida 
1,351,35
,,
 N  N 
 A  A f  f  
t t Rd Rd 
e e uu
== , com, com A A
ee
 = C  = C 
t t 
 A A
nn
Como a furação não possui padrão uniforme, deve-se rebater a cantoneira segundo a linha do esqueleto, transfor-Como a furação não possui padrão uniforme, deve-se rebater a cantoneira segundo a linha do esqueleto, transfor-
mando-a em um elemento plano, para obtenção das linhas de ruptura, da largura líquida e da área líquida:mando-a em um elemento plano, para obtenção das linhas de ruptura, da largura líquida e da área líquida:
22 ×× 127 – 7,94 = 246,06 mm 127 – 7,94 = 246,06 mm
N N 
AA
BB
DD
CCEE
40 mm40 mm
40 mm40 mm40 mm40 mm
40 mm40 mm
52 mm52 mm
  
66 Dimensionamento de elementos estruturais de aço e mistos de aço e Dimensionamento de elementos estruturais de aço e mistos de aço e concretoconcreto~~~~
As possíveis linhas de ruptura passam pelo furo B, e, com as suas larguras líquidas, são:As possíveis linhas de ruptura passam pelo furo B, e, com as suas larguras líquidas, são:
•• A-B-CA-B-C ⇒⇒  bb
nn
 = 24,61 – 2,75 = 21,86 cm = 24,61 – 2,75 = 21,86 cm
•• A-B-D-EA-B-D-E ⇒⇒ 2244,,6611 22 22,,7755
4 × 5,24 × 5,2
19,88 cm19,88 cm
44
22
bb
nn
   ( ( ))== −− ++ ==
Logo, a largura líquidaLogo, a largura líquida bb
nn
 a ser adotada é igual a a ser adotada é igual a  19,88 cm e19,88 cm e
 A Ann = 19,88 × 0,794 = 15,78 cm = 19,88 × 0,794 = 15,78 cm22
ee
cc
 = 34,7 mm = 34,7 mm
11 11
34,734,7
2 × 802 × 80
0,780,78C C 
ee
t t 
cc
cc
= = −− = = −− ==  (valor entre 0,60 e 0,90) (valor entre 0,60 e 0,90)
 A A
ee
 = 0,78 × 15,78 = 12,31 cm = 0,78 × 15,78 = 12,31 cm22
12,31 × 4512,31 × 45
1,351,35
410,33 kN410,33 kN
,,
 N  N 
t t Rd Rd 
== ==
d4) Conclusão d4) Conclusão 
Prevalece o menor valor da força resistente de cálculo, considerando os dois estados-limites últimos. Portanto:Prevalece o menor valor da força resistente de cálculo, considerando os dois estados-limites últimos. Portanto:
 N  N 
t,Rd t,Rd 
 = 410,33 kN = 410,33 kN
6.10.56.10.5 Força axial resistente de cálculo em cantoneiraForça axial resistente de cálculo em cantoneira
Uma cantoneira L 101,6 x 6,35, em aço ASTM A572 – Grau 50, está ligada a outra peça por três linhas de doisUma cantoneira L 101,6 x 6,35, em aço ASTM A572 – Grau 50, está ligada a outra peça por três linhas de dois
 parafu parafusos de diâmetro de 16 mm, duas linhas sos de diâmetro de 16 mm, duas linhas situadas em umsituadas em uma aba e uma linha na outra aba, como se vê na figua aba e uma linha na outra aba, como se vê na figura (ara (a))
a seguir (os furos indicam as posições dos parafusos). Será determinado: (1) o valor da força axial de tração resistentea seguir (os furos indicam as posições dos parafusos). Será determinado: (1) o valor da força axial de tração resistente
de cálculo; (2) o valor dessa força, supondo ligação soldada em apenas uma das abas da cantoneira, com soldas longi-de cálculo; (2) o valor dessa força, supondo ligação soldada em apenas uma das abas da cantoneira, com soldas longi-
tudinais com comprimento de 150 mm, conforme a figura (b).tudinais com comprimento de 150 mm, conforme a figura (b).
50 mm50 mm
30 mm30 mm
60 mm60 mm
50 mm50 mm
50 mm50 mm
50 mm50 mm
150 mm150 mm
N N 
N N 
SoldaSolda
a) Ligação parafusada nas duas abas a) Ligação parafusada nas duas abas 
a1a1) Aç) Aço estrutural o estrutural 
ASTM A572 – Grau 50ASTM A572 – Grau 50 ⇒⇒   f  f 
 y y
 = 345 MPa = 34,5 k = 345 MPa = 34,5 kN/cmN/cm22;; f  f 
uu
 = 450 MPa = 45,0 kN/cm = 450 MPa = 45,0 kN/cm22
  
   Resolução dos exemplos Resolução dos exemplos de aplicação do Capítulo de aplicação do Capítulo 66 77
a2) Dimensões e área ba2) Dimensões e área bruta da seção transversal ruta da seção transversal 
27,7 mm27,7 mm
GG
AA
g g 
 = 12,51 cm = 12,51 cm22
101,6 mm101,6 mm
6,35 mm6,35 mm
a3) Escoamento da seção bruta: a3) Escoamento da seção bruta: 
,,
11
 N  N 
 A  A f  f  
t t Rd Rd 
 g  g yy
aa
==
γγ
12,5112,51 ×× 34,5 34,5
1,101,10
,,
 N  N 
t t Rd Rd 
== = = 339922,,336 6 kkNN  
a4) Ruptura da seção líquida a4) Ruptura da seção líquida 
,,
22
 N  N 
 A  A f  f  
t t Rd Rd 
e e uu
aa
==
γγ
 A Aee = C  = C t t  A Ann
Para o cálculo da área líquidaPara o cálculo da área líquida A A
nn
, como a furação não tem padrãouniforme, deve-se rebater a cantoneira segundo, como a furação não tem padrão uniforme, deve-se rebater a cantoneira segundo
a linha do esqueleto, conforme se mostra a seguir:a linha do esqueleto, conforme se mostra a seguir:
N N 
101,6101,6 -- 50 50 -- 30 = 21,6 mm 30 = 21,6 mm
50 mm50 mm
101,6101,6 -- 60 = 41,6 mm 60 = 41,6 mm
30 + 6030 + 60 -- 6,35 = 83,65 mm 6,35 = 83,65 mm
2 x 101,62 x 101,6 -- 6,35 = 196,85 mm 6,35 = 196,85 mm
5500 5500 5500
O diâmetro dos furos é:O diâmetro dos furos é:
d d 
hh
 = 16 + 3,5 = 19,5 mm = 1,95 cm = 16 + 3,5 = 19,5 mm = 1,95 cm
As possíveis linhas de ruptura, todas passando pelo furo B, com as suas larguras líquidas, são:As possíveis linhas de ruptura, todas passando pelo furo B, com as suas larguras líquidas, são:
•• A-B-CA-B-C ⇒⇒  bb
nn
 = 19,685 – 1,95 = 17,735 cm = 19,685 – 1,95 = 17,735 cm
•• A-B-F-GA-B-F-G ⇒⇒   1199,,668855 22 11,,9955
4 × 7,8654 × 7,865
16,580 cm16,580 cm
55
22
bb
nn
   ( ( ))= = − − + + ==
•• D-E-B-CD-E-B-C ⇒⇒   1199,,668855 22 11,,9955
4 × 54 × 5
17,035 cm17,035 cm
55
22
bb
nn    ( ( ))= = − − + + ==
•• D-E-B-F-GD-E-B-F-G⇒⇒   1199,,668855 33 11,,9955 1155,,88880 0 ccmmbb
nn    ( ( ))= − = − + + + + ==
4 × 54 × 5
55
22
4 × 7,8654 × 7,865
55
22
  
88 Dimensionamento de elementos estruturais de aço e mistos de aço e Dimensionamento de elementos estruturais de aço e mistos de aço e concretoconcreto~~~~
AA
CC
DD
GG
BB
EE
FF
AA
CC
DD
GG
BB
EE
FF
AA
CC
DD
GG
BB
EE
FF
AA
CC
DD
GG
BB
EE
FF
O menor valor deve ser usado como largura líquida, ou seja,O menor valor deve ser usado como largura líquida, ou seja, bb
nn
 = 15,88 cm. Assim: = 15,88 cm. Assim:
 A A
nn
 = b = b
nn
 t  t  = 15,88 × 0,635 = 10,08 cm = 15,88 × 0,635 = 10,08 cm22
Como a ligação é feita pelas duas abas,Como a ligação é feita pelas duas abas, C C 
t t 
 = 1,00, e: = 1,00, e:
 A A
ee
 = 1,00 × 10,08 = 10,08 cm = 1,00 × 10,08 = 10,08 cm 22
Finalmente:Finalmente:
10,08 × 4510,08 × 45
1,351,35
336 kN336 kN
,,
 N  N 
t t Rd Rd 
   = = ==
a4) Conclusão a4) Conclusão 
 N  N 
t t 
 , ,
 Rd  Rd 
 = 336 kN (o menor valor obtido com base nos dois esta = 336 kN (o menor valor obtido com base nos dois estados-limites últidos-limites últimos)mos)..
b) Ligação soldada por apenas uma abab) Ligação soldada por apenas uma aba
b1) Escoamento da seção bruta: b1) Escoamento da seção bruta: 
 N  N 
t,Rd t,Rd 
 = 392,36 kN (igual ao da ligação parafusada) = 392,36 kN (igual ao da ligação parafusada)
b2) Ruptura da seção líquida: b2) Ruptura da seção líquida: 
1,351,35
,,
 N  N 
 A  A f  f  
t t Rd Rd 
e e uu
==
   AA
ee
 = C  = C 
t t 
 A A
nn
   AA
nn
 = A = A
 g  g 
 = 12,51 cm = 12,51 cm22
1 1 11
  2,77  2,77
1515
0,820,82C C 
ee
t t 
cc
cc
= = − − = = − − ==

 (valor entre 0,60 e 0,90) (valor entre 0,60 e 0,90)
Logo:Logo:
 A A
ee
 = 0,82 × 12,51 = 10,26 cm = 0,82 × 12,51 = 10,26 cm22
ee
10,26 × 4510,26 × 45
1,351,35
== 342 kN 342 kN
,,
 N  N 
t t Rd Rd 
   ==
b3) Conclusão b3) Conclusão 
 N  N 
t t 
 , ,
 Rd  Rd 
 = 342 kN (o menor valor obtido com base nos dois  = 342 kN (o menor valor obtido com base nos dois estados-limites estados-limites últimos).últimos).
6.10.96.10.9 Verificação de banzo de treliça em perfil TVerificação de banzo de treliça em perfil T
 Na treliça a  Na treliça a seguir, submetida à força de seguir, submetida à força de cálculcálculo go gravitaciravitacionalonal P  P 
d d 
 indicada, os banzos AB e BCD são constituídos indicada, os banzos AB e BCD são constituídos
 por um perf por um perf il T originado do il T originado do corte de um corte de um perfil W perfil W 250 x 73 ao longo de seu eixo longitudinal, fabricado em aço com250 x 73 ao longo de seu eixo longitudinal, fabricado em aço com
resistências ao escoamento e à ruptura de 345 MPa e 450 MPa, respectivamente. Sabendo-se que o nó B tem contençãoresistências ao escoamento e à ruptura de 345 MPa e 450 MPa, respectivamente. Sabendo-se que o nó B tem contenção
contra deslocamento fora do plano da treliça, será verificado qual o valor máximo da distânciacontra deslocamento fora do plano da treliça, será verificado qual o valor máximo da distância  s s para que a linha de para que a linha de
ruptura predominante passe por quatro furos e, com esse valor, se o banzo axialmente tracionado está adequadamenteruptura predominante passe por quatro furos e, com esse valor, se o banzo axialmente tracionado está adequadamente
dimensionado (notar, pelo detalhe da furação, que apenas a mesa do T é conectada).dimensionado (notar, pelo detalhe da furação, que apenas a mesa do T é conectada).
e e 
c c 
 = 2,77 cm = 2,77 cm
GG
  
   Resolução dos exemplos Resolução dos exemplos de aplicação do Capítulo de aplicação do Capítulo 66 99
40 mm40 mm
80 mm80 mm
40 mm40 mm
s s s s s s 
AA
x x 
y y 
y y 
Seção transversalSeção transversal
do banzo ABdo banzo AB
Parafusos comParafusos com
diâmetro de 19 mm (3/4")diâmetro de 19 mm (3/4")
x x 
DD
Mesa do TMesa do T
x x 
y y 
y y 
Seção transversalSeção transversal
do banzo BCDdo banzo BCD
x x 
2 m2 m
2 m2 m
BB
CC    x x 
x x 
y y 
y y 
DD
AA
P P 
d d 
 = 364 kN = 364 kN
3 3 mm 3 3 mm
a) Dimensões a) Dimensões e propriedades geométricas relevantes da seção transversal e propriedades geométricas relevantes da seção transversal 
O perfil T originado do perfil W 250 x 73 possui as seguintes dimensões e propriedades geométricas principais:O perfil T originado do perfil W 250 x 73 possui as seguintes dimensões e propriedades geométricas principais:
112,3 mm112,3 mm
yy
11
8,6 mm8,6 mm
14,2 mm14,2 mm
254 mm254 mm
xxxx
yy
yy
= = ==
92,792,7
22
46,35 cm46,35 cm22
 g  g 
 (metade da área tot (metade da área total do W 250 x 73)al do W 250 x 73)
25,425,4 ××  
25,4 × 1,42 + 0,86 × 11,2325,4 × 1,42 + 0,86 × 11,23
1,421,42
22
++ 0,860,86 × 11,23× 11,23   1,421,42 ++
11,2311,23
22
11
22
 y y ==
  
  


  
  


2,05 cm2,05 cm==
2255, 4, 4 11, 4, 422
1212
2255,,44 11,,4422 22,,0055
1,421,42
22
00,,8866 1111,,2 32 333
1212
33
22
 I  I 
 x x
++== ++×× – – 
×× ××  
  


  
  


11,2311,23
22
11,,4422 22,,0055 441122,,332 2 ccmm44
22
++ – – + 0,86 × 11,23+ 0,86 × 11,23
  
  


  
  

 ==
= = ==
412,32412,32
46,3446,34
2,98 cm2,98 cmr r 
 x x
= = ==
3.8803.880
22
1940 cm1940 cm44 I  I 
 y y
 (metade do momento de inércia em relação ao eixo y  (metade do momento de inércia em relação ao eixo y do W 250 x 73)do W 250 x 73)
6,47 cm6,47 cmr r 
 y y
==  (igual ao r (igual ao raio de giração aio de giração em relação ao eixo y do W 250 x 73)em relação ao eixo y do W 250 x 73)
b) Força axial solicitante de cálculo nos banzos AB e Bb) Força axial solicitante de cálculo nos banzos AB e BCD CD 
ΣΣ F  F 
 H  H (( B B))
 = 0 = 0 ⇒⇒   N  N 
 AB AB
 cos cos αα + + N  N 
 BCD BCD
 cos cos αα = 0 = 0 ⇒⇒   N  N 
 AB AB
 = –  = –  N  N 
 BCD BCD
  
1010 Dimensionamento de elementos estruturais de aço e mistos de aço e Dimensionamento de elementos estruturais de aço e mistos de aço e concretoconcreto~~~~
ΣΣ F  F 
V V (( B B))
 = 0 = 0 ⇒⇒ 364 – 364 – N  N 
 AB AB
 sen sen αα + + N  N 
 BCD BCD
 sen sen αα = 0 = 0
 L L
 AB AB
 = = L L
 BCD BCD
 = = 22 66 66,,332 2 mm
22 22
+ + ==   ⇒⇒ sen sen αα = =
22
6,326,32
0,3160,316==
 N  N 
 AB AB
==
363644
2 sen2 sen  αα
363644
2 × 0,3162 × 0,316
575,95 kN575,95 kN= = ==   ⇒⇒   N  N 
 BCD BCD
  = –575,95 kN= –575,95 kN
Portanto, AB é o banzo tracionado, e a força axial de tração solicitante de cálculo nesse banzo,Portanto, AB é o banzo tracionado, e a força axial de tração solicitante de cálculo nesse banzo,
 N  N t,Sd t,Sd , é ig, é igual a 575,95 kN.ual a 575,95 kN.
c) Valor máximo da distância s para que a lc) Valor máximo da distância s para que a linha de ruptura passe por quatro furos inha de ruptura passe por quatro furos 
40 mm40 mm
80 mm80 mm
40 mm40 mm
s s ss s s 
AA
BB
EE
FF
CC
DD
São duas as São duas as linhas de linhas de rupturruptura possíveisa possíveis: A-B-C-D e A-B-E-F-C-D. T: A-B-C-D e A-B-E-F-C-D. Tendo em vista queendo em vista que d d 
hh
 = 19 + 3,5 = 22,5 mm = 2,25 cm, = 19 + 3,5 = 22,5 mm = 2,25 cm,
as larguras líquidas, considerando apenas a mesa, são:as larguras líquidas, considerando apenas a mesa, são:
••  para A-B-C-D: para A-B-C-D: bb
n,n,A-B-C-DA-B-C-D
 = 25,4 – 2(2,25) = 20,9 cm = 25,4 – 2(2,25) = 20,9 cm
••  para A-B-E-F-C-D: para A-B-E-F-C-D:
= = ++2255,,44 44 22,,2255 22
4 × 44 × 4
16,416,4
88
22
bb
nn, A-B-E-F-C-D, A-B-E-F-C-D
 s s
22
 s s
( ( ))= = − − ++
  
  


  
  


  
Igualando-se as duas larguras líquidas, chega-se àIgualando-se as duas larguras líquidas, chega-se à s s = 6,00 cm. = 6,00 cm.
d) Escoamento da seção brutad) Escoamento da seção bruta
kNkN575,95575,95
46,3546,35 ×× 34,5 34,5
1,101,10
1.454 kN1.454 kN
,, ,,
11
 N  N N N 
 A  A f  f  
t t SSd d t t RRd  d  
 g  g yy
aa
≤ ≤ ==
γγ
⇒ ⇒m, foi constituído, por imposição arquite-
tônica, por duas barras redondas rosqueadas. Será verificado se essas barras, que têm diâmetro de 22,23 mm e foramtônica, por duas barras redondas rosqueadas. Será verificado se essas barras, que têm diâmetro de 22,23 mm e foram
 produzidas  produzidas com aço com aço ASTM AASTM A36, são 36, são adequadas adequadas para para uso noruso normal da mal da edificação. edificação. Para tPara tanto, seranto, serão consideradão consideradas, as, porpor
simplicidade, as ações permanentes agrupadas.simplicidade, as ações permanentes agrupadas.
a) Aço estrutural a) Aço estrutural 
ASTM A36ASTM A36 ⇒⇒   f  f 
 y y
 = 250 MPa = 25 k = 250 MPa = 25 kN/cmN/cm22;; f  f 
uu
 = 400 MPa = 40 kN/cm = 400 MPa = 40 kN/cm22
b) Força axial de tração solicitante de cálculo nas barras redondas rosqueadas b) Força axial de tração solicitante de cálculo nas barras redondas rosqueadas 
A carga permanente e a sobrecarga provocam tração nas barras redondas rosqueadas (barra BC da treliça). EssasA carga permanente e a sobrecarga provocam tração nas barras redondas rosqueadas (barra BC da treliça). Essas
ações, em valores de cálculo, estão mostradas a seguir, nas treliças internas, que são as mais solicitadas:ações, em valores de cálculo, estão mostradas a seguir, nas treliças internas, que são as mais solicitadas:
15 m15 m
44,,5 5 mm 44,,5 5 mm6 m6 m
q q 
d d 
EE
P P 
d d 
   P P 
d d 
1,5 m1,5 m
V V 
D D 
V V 
AA
DD
AA
BB CC
• Carga permanente e sobrecarga na cobertura• Carga permanente e sobrecarga na cobertura::
q q 
dd
 = (1,4 x 0,75 + 1,5 x 0,25)6 = 8,55 kN/m = (1,4 x 0,75 + 1,5 x 0,25)6 = 8,55 kN/m
• Carga permanente do ar-condicionado:• Carga permanente do ar-condicionado:
P P dd = 1,4 x 1,8 = 2,52 kN = 1,4 x 1,8 = 2,52 kN
  
As reações de apoioAs reações de apoio , V  , V 
 A A
 e e V V 
 D D
, em valores de cálculo, são:, em valores de cálculo, são:
8,55 × 15 + 2 × 2,528,55 × 15 + 2 × 2,52
22
66,65 kN66,65 kN
,, ,,
V V V V 
 A  A d d D D d d 
= = = = ==
 Na t Na treliça sob reliça sob ação ação das das cargas cargas de cálculo, de cálculo, substituisubstituindo a ndo a barra barra BC (BC (barrabarras rs redondas) pela edondas) pela força axial força axial solicitantesolicitante
de cálculo correspondente e estabelecendo o equilíbrio de momentos da parte da treliça ABE em relação ao nó Ede cálculo correspondente e estabelecendo o equilíbrio de momentos da parte da treliça ABE em relação ao nó E
(Método das Seções), tem-se:(Método das Seções), tem-se:
15 m15 m
4,5 m4,5 m
66,65 kN66,65 kN
N N 
BC,Sd BC,Sd 
   N N 
BC,Sd BC,Sd 
66,65 kN66,65 kN
4,5 m4,5 m6 m6 m
8,55 kN/m8,55 kN/m
EE
2,52 kN2,52 kN 2,52 kN2,52 kN
1,5 m1,5 m
DD
AA
BB CC
 N  N 
 BC,Sd  BC,Sd 
  == 167,90kN167,90kN
ΣΣM(E) = 0M(E) = 0 ⇒⇒ 66,6566,65 ×× 7,5 7,5 −− 2,522,52 ×× 3 3 −−
8,558,55 ×× 7,5 7,522
−− 1,51,5 N  N 
 BC,Sd  BC,Sd 
  = 0= 0
22
== N  N 
 BC  BC Sd Sd 
167,90167,90
22
== 83,95kN (em cada uma das duas barras) 83,95kN (em cada uma das duas barras)
,, ,1,1
c) Escoamento da seção brutac) Escoamento da seção bruta
Sabe-se que cada barra redonda tem diâmetro comercial de 22,23 mm (2,223 cm), o que significa que possui áreaSabe-se que cada barra redonda tem diâmetro comercial de 22,23 mm (2,223 cm), o que significa que possui área
 bruta ( bruta ( A A
 g  g 
) de 3,88 cm) de 3,88 cm22, conforme a Tabela A.6 do Apêndice A. Logo, tem-se:, conforme a Tabela A.6 do Apêndice A. Logo, tem-se:
kNkN83,9583,95 3,883,88 ×× 2525
1,101,10
88,18 kN88,18 kN ⇒⇒  Atende!  Atende!
,, ,,11 ,,
11
 N  N N N   A  A f  f  
t t SSd d t t RRd  d  
 g  g yy
aa
≤≤ ==
γγ
⇒⇒