Mecanica Aplicada e Resistencia dos Materiais

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CSO-Ifes-55-2009 
GERÊNCIA DE ENSINO 
COORDENADORIA DE RECURSOS DIDÁTICOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MECÂNICA APLICADA 
E 
RESISTÊNCIA DOS 
MATERIAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica 
 
 
CSO-Ifes-55-2009 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MECÂNICA APLICADA 
E 
RESISTÊNCIA DOS 
MATERIAIS 
 
 
 
 
 
 
JOÃO PAULO BARBOSA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São Mateus, Fevereiro de 2010. 
Mecânica Aplicada e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa 
 
 
1 
 
Sumário 
 
1 Sistemas de Unidades ................................................................................... 3 
1.1 Sistema Internacional - SI - ............................................................................ 6 
1.2 Sistema Inglês ................................................................................................ 6 
1.3 Sistema Gravitacional Britânico...................................................................... 7 
 
2 Estática de pontos materiais ...................................................................... 11 
2.1 Introdução .................................................................................................... 11 
2.2 Força Resultante .......................................................................................... 11 
2.3 Forças no Plano ........................................................................................... 11 
2.4 Componentes Cartesianas de uma força ..................................................... 12 
2.5 Equilíbrio de um ponto material .................................................................... 14 
 
3 Corpos Rígidos: sistemas equivalentes de forças ................................... 20 
3.1 Classificação das forças atuantes em corpos rígidos ................................... 20 
3.2 Princípio de transmissibilidade ..................................................................... 21 
3.3 Momento de uma força em relação a um ponto ........................................... 22 
3.4 Momento de um conjugado .......................................................................... 22 
3.5 Conjuntos Equivalentes ................................................................................ 23 
 
4 Equilíbrio de corpos rígidos ....................................................................... 28 
4.1 Equilíbrio de um Corpo Rígido em duas dimensões: ................................... 28 
4.2 Reações nos Apoios e Conexões. ............................................................... 29 
 
5 Análise das Estruturas ................................................................................ 40 
5.1 Análise de Treliças ....................................................................................... 40 
5.2 Análise de uma estrutura ............................................................................. 44 
5.3 Máquinas ...................................................................................................... 48 
 
6 Centróide e Baricentro ................................................................................ 66 
6.1 Áreas e Linhas - Placas e Arames Compostos ............................................ 67 
 
7 Movimento Circular ..................................................................................... 72 
7.1 Velocidade Angular (ω) ............................................................................... 72 
7.2 Período (T) ................................................................................................... 72 
7.3 Frequencia (f) ............................................................................................... 72 
7.4 Rotação (n)................................................................................................... 73 
7.5 Velocidade Periférica ou Tangencial (v) ....................................................... 73 
 
8 Relação de Transmissão (i) ........................................................................ 75 
8.1 Transmissão por Correias ............................................................................ 75 
8.2 Transmissão por engrenagens ..................................................................... 76 
 
9 Torção Simples ............................................................................................ 78 
9.1 Momento Torçor ou Torque (MT) .................................................................. 78 
9.2 Torque nas Transmissões ............................................................................ 79 
 
 
 
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2 
 
10 Potência (P) .................................................................................................. 81 
10.1 Torque X Potência .................................................................................... 82 
10.2 Força Tangencial (FT) ............................................................................... 83 
 
11 Rendimento das Transmissões (ηηηη) ............................................................ 94 
11.1 Rendimento das transmissões .................................................................. 94 
11.2 Perdas nas Transmissões ......................................................................... 95 
 
12 Noções de Resistência dos Materiais .......................................................103 
12.1 Introdução ............................................................................................... 103 
12.2 Esforços externos ou carregamentos...................................................... 104 
12.3 Solicitações Simples ............................................................................... 106 
12.4 Solicitações Compostas .......................................................................... 109 
12.5 Ensaio de Tração .................................................................................... 110 
12.6 Modos de falhas trativas: ........................................................................ 112 
12.7 Tensões .................................................................................................. 112 
12.8 Módulo de Elasticidade ........................................................................... 113 
12.9 Momento de Inércia, Raio de Giração e Módulo de Resistência: ........... 114 
 
13 Tração e compressão .................................................................................116 
13.1 Carregamento Axial ................................................................................ 116 
13.2 Deformação sob Carregamento Axial ..................................................... 116 
13.3 Tensão Normal σ .................................................................................... 117 
13.4 Deformação Longitudinal (ε) ................................................................... 117 
13.5 Deformação Transversal (εt) ................................................................... 118 
13.6 Estricção ................................................................................................. 118 
13.7 Coeficiente de Segurança k .................................................................... 118 
 
14 Flexão ..........................................................................................................124 
14.1 Diagrama de Força Cortante e Momento Fletor ...................................... 124 
14.2 Tensão de Flexão ................................................................................... 125 
 
15 Torção ..........................................................................................................130 
15.1 Transmissão de Potência ........................................................................ 130 
15.2 Análise das Tensões num Eixo ...............................................................131 
15.3 Deformações nos Eixos de Secção Circular ........................................... 132 
15.4 Tensão de Torque ................................................................................... 133 
15.5 Tensões no Regime Elástico .................................................................. 133 
15.6 Modos de Falha Torcionais ..................................................................... 135 
15.7 Ângulo de Torção no Regime Elástico .................................................... 140 
15.8 Eixos Estaticamente Indeterminados ...................................................... 140 
 
16 Flambagem ..................................................................................................143 
16.1 Módulo de Young .................................................................................... 143 
16.2 Carga Crítica de Flambagem .................................................................. 143 
16.3 Indice de Esbeltez ................................................................................... 144 
16.4 Flambagem de Colunas .......................................................................... 145 
 
17 Referencias Bibliográficas: ........................................................................146 
 
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3 
 
 
CAPÍTULO 1 
 
 
1 Sistemas de Unidades 
 
 
Se o instrumento é utilizado para medir variáveis de processos, convém então 
mencionar rapidamente sobre sistemas de unidades usados para medir a 
magnitude de grandezas (as variáveis dos processo mecânicos) e expressá-las 
como dimensões. Na medida em que ainda há diversos sistemas de unidades 
utilizados pelo homem, a sua definição e estabelecimento corretos auxiliam no 
processo de conversão de unidades entre os vários sistemas de unidades 
disponíveis. 
 
Há vários sistemas de unidades em uso nos ambientes industrial, comercial, 
laboratorial, residencial, etc. Por convenção, há um sistema aceito 
internacionalmente, estabelecido pela Conferência Geral de Pesos e Medidas 
(toda a documentação das Conferências é mantida e divulgada pelo Bureau 
International des Poids et Mesures – BIPM), o Sistema Internacional de 
Unidades - SI. As unidades básicas do SI, como todos sabemos, são o metro [m], 
a massa [kg], o segundo [s], o Kelvin [K], o Ampere [A] o mole [mol] e a candela [cd], 
para as dimensões comprimento, a massa, o tempo, a temperatura, a corrente, a 
quantidade de matéria e a intensidade luminosa, respectivamente. Todas as outras 
unidades são chamadas de unidades derivadas (joule [J] para trabalho, watt [W] 
para potência, etc), pois são definidas em termos das unidades básicas. 
 
Atribui valores numéricos específicos para fenômenos físicos observáveis, de 
maneira que estes possam ser descritos analiticamente. 
 
 
DIMENSÃO quantidade física utilizada para definir qualitativamente uma 
propriedade que pode ser medida ou observada. 
 
Exemplo: Comprimento [L], Tempo [t], Massa [M], Força [F] e Temperatura [θ]. 
 
 
UNIDADE são nomes arbitrários atribuídos às dimensões. 
 
Exemplo: dimensão → comprimento 
 unidades → centímetros, pés, polegadas, 
 
 
 
 
 
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4 
 
 
Grandezas e unidades derivadas de SI – Sistema Internacional de Unidades 
 
 
Assim, a dimensão especifica a magnitude da grandeza (variável do processo) 
medida de acordo com o sistema de unidades adotado. No SI a unidade da 
grandeza comprimento é o metro, em outros sistemas de unidade podem ser em a 
polegada, o centímetro, o kilômetro, a milha, etc. 
 
Em várias áreas industriais diferentes sistemas de unidades que misturam unidades 
do SI, com unidades inglesas e antigas unidades de comércio têm uso corrente. São 
comumente referidas como Unidades de Engenharia. É o caso, por exemplo, da 
indústria hidráulica: o diâmetro de tubulações é usualmente referido em polegadas 
(dimensão típica em uso nos USA e outros países de língua e industrialização de 
origem inglesa e americana), e o comprimento desta mesma tubulação pode ser 
referido em metros. Compra-se no comércio, mesmo no Brasil, uma tubulação de 
PVC de 6 m comprimento e 2” (polegadas) de diâmetro, classe 10 - pressão de 
trabalho de 10 atm (atmosferas, ou 1.01325 x 106 N/m2). Na indústria do petróleo a 
produção (a vazão de óleo, volume na unidade de tempo) é medida em barris/dia 
[bbl/dia]. 
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5 
 
 
Grandezas e unidades derivadas de SI – Sistema Internacional de Unidades 
 
 
O Sistema CGS foi corrente na área da mecânica, e se baseava em três dimensões 
e suas unidades básicas: o centímetro, o grama e o segundo. 
 
Na indústria automobilística de matriz baseada nos USA, todas as dimensões – 
folgas de válvulas, bitola de parafusos e porcas, tamanho de rodas, etc, têm por 
base o Sistema Inglês de Unidades. O Sistema Inglês, por sua vez, tem unidades 
de uso próprio nos USA, que diferem, em valor, de unidades usadas na Inglaterra: o 
pé inglês é maior que o pé americano, assim como o galão, etc. 
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6 
 
 
1.1 Sistema Internacional - SI - 
 
L Comprimento metro m 
M Massa quilograma kg 
t Tempo segundo s 
θθθθ Temperatura graus Celsius ou Kelvin °C ou K 
 
 
Força: definida pela 2ª Lei de Newton 
 
a.mF = 
 
F - força [N] 
m - massa [kg] 



== N
s
m
kgamF
2
 . 
a - aceleração [m/s2] 
 
 
1.2 Sistema Inglês 
 
 
L Comprimento Pés ft 
M Massa libra-massa lbm 
F Força libra-força lbf 
t Tempo Segundo s 
θθθθ Temperatura graus Fahrenheit ou Rankine °F ou °R 
 
 
Força: é estabelecido como uma quantidade independente definida por 
procedimento experimental: a força de 1 lbf acelerará a massa de 1 lbm 32,174 pés 
por segundo ao quadrado. 
 
 
- Ao relacionar força e massa pela lei de Newton, surge uma constante de 
proporcionalidade, gc: 
lbf
g
sftlbm
g
am
F
cc
1
)/174,32.(1.
2
=== 
 
- gc terá as dimensões MLF-1t-2 
- para sistema inglês: 
2.
.174,32
slbf
ftlbm
gc = 
 
gc tem o mesmo valor numérico que a aceleração da gravidade ao nível do mar, mas 
não é aceleração da gravidade. Serve para relacionar estas quantidades. 
 
 
 
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7 
 
1.3 Sistema Gravitacional Britânico 
 
 
L Comprimento pés ft 
M Massa slug slug 
F Força libra-força lbf 
t Tempo segundo s 
θ Temperatura graus Fahrenheit ou Rankine °F ou °R 
 
Outros: 
 - Sistema Técnico de Engenharia: kg, m, s, kgf 
 gc= 9,80665 kg.m/(kgf.s2) 
 
- Sistema CGS: g, cm, s, dina 
 
 
PESO ≠≠≠≠ MASSA 
 
O Peso de um corpo é definido como a força que age no corpo resultante da 
aceleração da gravidade. Varia com a altitude. 
 
Prefixo usados no SI 
 
Para facilitar a escrita de grandezas de magnitude muito grande ou muito pequenas, 
as unidades podem ser acompanhadas de prefixos que designam seus múltiplos e 
submúltiplos. 
 
Prefixos do SI 
 
Prefixo Símbolo Fator multiplicador 
exa E 1.000.000.000.000.000.000 
peta P 1.000.000.000.000.000 
terá T 1.000.000.000.000 
giga G 1.000.000.000 
mega M 1.000.000 
quilo k 1.000 
hecto h 100 
deca da 10 
deci d 0,1 
centi c 0,01 
mili m 0,001 
micro µ 0,000 001 
nano n 0,000 000 001 
pico p 0,000 000 000 001 
femto f 0,000 000 000 000 001 
atto a 0,000 000 000 000 000 001 
 
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8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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10 
 
 
1) Exercícios: Reescrever asunidades das grandezas como é indicado. 
 
a) 20000mm: m 
b) 14000000000 W: GW 
c) 2,75x104Pa: kPa 
d) 0,000055kg: g 
e) 0,00023cm: µm 
f) 250kN: N 
g) 0,0043 MPa: Pa 
h) 0,000025A: mA 
 
2) Exercícios: Reescrever as unidades das grandezas como é indicado. 
 
a) 50000N: kN 
b) 200000MPa: GPa 
c) 75000N: kN 
d) 0,000014kg: g 
e) 0,1x10-3 mm µm 
f) 500 000 000 N/m² kN/mm² 
g) 150km/h: m/s 
h) 20m/s km/h 
i) 30m/s km/min 
j) 120km/h m/min 
k) 50l m³ 
l) 100m³ l 
m) 200m² cm² 
n) 10pol cm 
o) 100mm pol 
p) 120HP KW 
q) 2000W CV 
r) 50Bar Psi 
 
 
 
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11 
 
 
CAPÍTULO 2 
 
2 Estática de pontos materiais 
 
2.1 Introdução 
 
O que é Mecânica? 
Pode ser definida como a ciência que descreve e prediz as condições de repouso ou 
movimento de corpos sob ação de forças. 
 
Corpos rígidos, deformáveis e fluidos. 
 
2.2 Força Resultante 
 
A somatória das forças que atuam em um dado ponto material é a força resultante. 
(produz o mesmo efeito que as forças originais) 
 
2.3 Forças no Plano 
 
Uma força representa a ação de um corpo sobre o outro. Ela é caracterizada por seu 
ponto de aplicação, sua intensidade, direção e sentido. 
 
2ª Lei Newton: F=m.a e no SI (N) 
 
Fazendo a regra do Paralelograma. 
 
 
As forças não obedecem às regras de adição definidas na álgebra ou na aritmética. 
 
Caso possua mais de um vetor 
 
 
P 
P + Q + S 
Q + S 
Q 
S 
P 
R 
Q 
P 
R 
Q 
ou 
A 
P P 
Q Q 
R R = P + Q 
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12 
 
2.4 Componentes Cartesianas de uma força 
 
Em muitos problemas é desejável decompor uma força em duas componentes 
normais uma à outra. 
 
Fx = F cos θ e Fy = F sen θ 
 
F² = Fx²+ Fy² 
 
 
Adição de forças pela soma das componentes segundo x e y. 
 
Resultante da soma dos vetores P, Q e S. 
 
Teremos as componentes: 
Rx + Ry; Px + Py ; Qx + Qy ; Sx + Sy. 
 
Sendo assim: Rx = Px + Qx + Sx e Ry = Py + Qy + Sy 
 
Aonde: Rx = ΣFx e Ry = ΣFy 
 
 
 
 R² = Rx²+ Ry² 
 
S 
P 
Q 
A 
S 
P 
Q 
A 
Sx 
Sy 
Px 
Py 
Qx 
Qy 
Ry 
Rx 
R 
Fy 
Fx 
F 
y 
x o 
θ 
F 
x 
y 
θ Fy 
Fx 
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13 
 
Exemplo 1: Dois cabos sujeitos a trações conhecidas estão presos ao ponto A. Um 
terceiro cabo AC é usado para sustentação. Determine a tração em AC sabendo que 
a resultante das três forças aplicadas em A deve ser vertical. 
 
 
 
Calculando a distância AC = 25 m. 
 
Como é vertical Rx = ΣFx=0 
 
Logo a Resultante é Ry 
 
Decompondo os vetores XY 
 
F1 = (-30.cos 25°) em x e (-30.sen 25°) em y 
 
F2 = (12.sen 10°) em x e (-12.cos 10°) em y 
 
 
TAC = (TAC.sen θ) em x e (-TAC.cos θ) em y (adotado o sentido de TAC) 
 
 
25
15
=θsen 
 
 
25
20
cos =θ 
 
010cos1225cos30 =+°+°−==∑ θsenTFR ACxx 
619,25
sen 
10 cos 12 - 25 cos 30
=
°
=
θAC
T 
KNRy
TsensenFR ACyy
257,35
cos10122530
−=
+°+°−==∑ θ
 
 
 
A 
B C 
10° 25° 
30kN=F1 
12kN=F2 
15
m 
20
m 
θ 20 
25 
15 
F1 = 30 KN 
F2 = 12 KN 
Tac= ? 
R ↨ 
 
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14 
 
2.5 Equilíbrio de um ponto material 
 
Quando a resultante de todas as forças que atuam sobre um ponto material é zero, 
este ponto está em equilíbrio. 
∴= 0R 
∑
∑
==
==
0
0
yy
xx
FR
FR
 
 
100N 100N 
 
Exemplo 2: Como parte do projeto de um novo veleiro deseja-se determinar a força 
de arrasto a uma dada velocidade. Com esse objetivo, um modelo do casco é 
colocado em um canal para testes, sendo mantido alinhado com o eixo do canal por 
meio de três cabos presos a sua proa. Leituras de dinamômetro indicam que, para 
uma dada velocidade da água, a tração no cabo AB é de 200N e de 300N no cabo 
AE. Determine a força de arrasto no casco e a tração no cabo AC. 
 
 
Decompondo os vetores XY 
 
 
Encontrar α e β 
75,1
2,1
1,2
==αtg e 375,0
2,1
45,0
==βtg 
α = 60,26° β = 20,56° 
 
AEACAB TTTTR +++= 
 
Corpo em equilíbrio 
 NF
senTsenTF
F
ACAB
x
37,98
0
0
=
=+−
=∑
βα
 NT
TTT
F
AC
ACABAE
y
5,214
0coscos
0
=
=++−
=∑
βα
 
TAB 
TAc 
F 
TAE 
A 
α β 
A 
B C 
E 
Fluxo 
1,2m 
1,2m 
0,45m 2,10m 
α 
β 
AB = 200N 
AE = 300N 
Fmastro = ? 
AC = ? 
 
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15 
 
Exemplo 3: A manga A pode deslizar livremente sobre o eixo horizontal, sem atrito. 
A mola presa à manga tem constante 1751 N/mm e elongação nula quando a manga 
está diretamente embaixo do suporte B. Determine a intensidade da força P 
necessária para manter o equilíbrio quando: (a) c= 228 mm e (b) c= 406 mm. 
 
 
mmLLx
mmLCLL
8,75
8,380²²²
0
0
=−=∆
=⇒+=
 
 
NF
xKF
72,132
1088,751751 3
=
××=∆⋅= −
 (F: força da mola; ∆x: deslocamento da mola) 
 
 
D.C.L 
 
 
 
 
 
 
F 
Fat=0 
Μ=0 N 
ω 
P 
Equilíbrio 
L
C
FP
FP
Fx
=
=−
=⊕→ ∑
0cos
0
θ
L
C
=θcos 
L 
L0 
C 
A 
B 
C 
305 mm 
P 
k = 1751 N/m 
P = ? 
C = 228 mm 
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16 
 
Exemplo 4: Caixotes de 30 kg estão suspensos por diversas combinações de corda 
e roldana. Determine, em cada caso, a tração na corda. (A tração na corda é a 
mesma dos dois lados da roldana, Veremos isto mais tarde). 
 
b) 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
A 
T 
T 
T 
T 
T 
P 
T’ 
T T 
T’ 
B 
C 
Roldana B 
T T 
T’ 
Roldana C 
T T 
T’ 
P 
T’ = 2T 
4
22
02'0
P
T
PTT
PTTFy
=
=+
=−+=∑
 
T 
T T 
T 
T T T 
T T 
R 
P 
P 
TR
Fy
2
0
=
=∑
 
2
02
0
P
T
PT
Fy
=
=−
=∑
 
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17 
 
Exercícios: 
 
1) Determine a Força resultante das quatros forças aplicadas na figura abaixo: 
 
a) b) 
 
 
2) Determine a Força Resultante das Forças aplicada no desenho abaixo. 
 
 
a) b) 
 
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18 
 
 
3) Determine o peso máximo do motor que pode ser suportado sem exceder uma 
força de 450N na corrente AB e de 480N na corrente AC. 
 
4) Uma caixa é erguida com um guincho pelas cordas AB e AC. Cada corda resiste a 
uma força de tração máxima de 2500 N sem se romper. Se AB permanece sempre 
horizontal e AC permanece com θ = 30°, determine o peso máximo da caixa para 
que ela posa ser levantada. 
 
 3) 4) 
 
5) João tenta alcançar Maria subindo com velocidade constante por uma corta 
amarrada no ponto A. Qualquer um dos três segmentos de corda suporta uma força 
máxima de 2 kN sem se romper. Determine se João, que tem massa de 65 kg, pode 
subir pela corda. Em caso positivo, verifique se ele, juntamente com Maria, que tem 
massa de 60 kg, pode descer pela corda com velocidade constante. 
 
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19 
 
 
6) Um bloco de 200kg pende de uma pequena polia que pode rolar sobre o cabo 
ACB. A polia e sua carga são mantidas na posição mostrada abaixo por um segundo 
cabo DF, paralelo ao trecho CB do cabo. Determine a tração no cabo ACB e no cabo 
DF. Despreze o raio da polia e a massa dos cabos e da roldana. Adote gravidade 
10m/s². 
 
 
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20 
 
 
CAPÍTULO 3 
 
3 Corpos Rígidos: sistemas equivalentes de forças 
 
3.1 Classificação das forças atuantes em corpos rígidos 
 
a) Forças Externas: Representam a ação de outros corpos sobre o corporígido 
considerado. 
Causarão o movimento (rotação/translação) ou assegurarão a permanência em 
repouso. 
b) Forças Internas: Mantém unidas as partículas que formam o corpo rígido. Se o 
corpo rígido é composto de diversas partes, essa força que mantém estas partes 
unidas. 
(Somatório das forças internas é zero) 
 
Guindastes: 
 
 
 
D.C.L. Guindaste (estrutura) 
 
 
D.C.L. da Barra BE D.C.L. da Barra ABC 
EBBE FF −= jCiCC yx += 
 
P TDG 
A Ay 
Ax 
jAiAA yx += 
0=++=∑ DGext TPAF 
P 
Barras: 
.,, ABCDCEFBE 
D C E F 
G A 
 B 
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21 
 
 
 
D.C.L. da Barra DCEF 
 
 
 
 
3.2 Princípio de transmissibilidade 
 
Este princípio é definido pelos pontos em que a força pode estar atuando em um 
corpo, sem que altere o efeito que ela exerce sobre o corpo. Uma força pode atuar 
em qualquer ponto sobre a sua linha de ação que o efeito causado no corpo será o 
mesmo. 
 
 
 
F 
F’ 
F” 
A 
A’ 
A” 
= 
R1 R1 R2 R2 
P P 
F F 
Cx Cy 
FEB 
P 
TDE 
α 
E 
FBE 
B 
FEB 
FBE 
Ay 
Ax 
Cy 
Cx 
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22 
 
 
3.3 Momento de uma força em relação a um ponto 
 
Momento é a tendência de giro que uma força aplicada a um ponto tende a outro 
ponto do corpo. 
 
 
Força no Plano xy 
 
α
α
FsenF
FF
FeF
Fdescomponente
y
x
yx
=
= cos
 
θ
θ
rsend
rd
ded
rdescomponente
y
x
yx
=
= cos
 
 
Momento de uma força em relação a um ponto é força vezes a distancia da linha de 
ação da força ao ponto aonde quero calcular o momento. 
 
yxxy dFdFM −=0 
 
 
3.4 Momento de um conjugado 
 
 
Duas forças F e –F que tenham o mesmo módulo, linhas de ação paralelas e 
sentidos opostos formam binários 
 
0
0
≠
=
∑
∑
M
F
 
 
Podemos calcular o momento das duas forças em relação a qualquer ponto do 
corpo, que o momento sempre será o mesmo. 
 
x 
y 
A 
B 
d 
F -F 
No caso de forças 
binárias, o momento 
é calculado pela 
força e a menor 
distância entre elas. 
 
M=F.d 
A 
Fy 
Fx 
F 
α 
r 
y 
x 
 
θ 
x 
y 
A 
B 
rA 
rB 
F -F 
= 
A 
F 
α 
r 
y 
x 
 
= 
θ 
F 
-F 
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23 
 
 
3.5 Conjuntos Equivalentes 
 
 
(Os três binários têm o mesmo efeito sobre a caixa) 
 
 
 
 
Exemplo 1: Uma força P de 300 N é aplicada ao ponto A da figura. (a) Calcule o 
momento de P em relação a O utilizando as componentes horizontal e vertical da 
força. 
 
 
P = 300N 
a) POM = ? (componentes y e x) 
 
a) 
°=
°=
=
=
40200
40cos200
30cos
30
seny
x
PP
PsenP
y
x
 
 
( )mmNM
xpyPM
O
yxo
⋅=
+−=
20527
..
 
 
 
A B 
o 
30° 
40° 
40° 200mm 
120mm 
P 
M M M 
y 
z 
x 
100N 
100N 
0,15m 150N 
150N 
150N 
150N 
0,1m 
0,1m 
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24 
 
Exemplo 2: A força P é aplicada a uma pequena roda que se desloca sobre um cabo 
ACB. Sabendo que a tração nas duas partes do cabo é de 750N, determine o 
módulo de P. 
 
 
 
TABC = 750N 
P = ? 
NTTT ABCBCAC 750=== 
 
D.C.L Roda 
 
 
 
α
α
cos
45
45cos
30
30cos
PPy
PsenPx
senTT
TT
senTT
TT
BCBCx
BCBCx
ACACy
ACACx
=
=
°=
°=
°=
°=
r
r
r
r
 
 
NPx
PxTT
F
BCAC
x
19,119
045cos30cos
0
=
=+°+°−
=∑
 
NPy
PysenTsenT
F
BCAC
y
33,905
04530
0
=
=−°+°
=∑
 
 
Sendo: 33,905;19,119 −== PyPx , teremos: 
 
P²=Px²=Py² -> P = 913,15N 
TAC TBC 
P 
30° 45° 
α 
A B 
C 
α 
P 
30° 45° 
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25 
 
Exercícios: 
1) Determine o momento no ponto A das cargas aplicadas mostrados, que atuam 
sobre o corpo. 
 
 
2) Determine o Momento das três forças em relação ao ponto A. 
 
3)Determine o momento da força F em relação ao ponto A. θ = 45°. 
 
 
 
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26 
 
4) Determine o momento no ponto A das cargas aplicadas mostrados, que atuam 
sobre o corpo. 
 
5) Determine a intensidade F da força aplicada no cabo da alavanca, de modo que a 
resultante das três forças passe pelo ponto 0. 
 
 
 4) 5) 
 
6) Determine o momento no ponto A das cargas aplicadas e do momento 
(conjugado), mostrados, que atuam sobre o suporte vertical. 
 
7) Uma força F e aplicada ao pedal de freio em A. Sabendo que F = 500N, determine 
o momento de F em relação a B. ( as medidas estão em milímetros). 
 
 
 6) 7) 
 
 
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27 
 
8) O corpo de 330N é mantido dentro no equilíbrio pelo peso W. E o sistema das 
polias excedentes B e C tem uma corda é contínua. As duas polias B e C estão 
presas em A e giram como uma unidade as cordas de A para B e C é prendido às 
bordas das polias em A. Determine o peso W para o equilíbrio do sistema e Todas 
as tensões nas demais cordas. 
 
 
 
9) Quatro pinos são presos a tábua. Dois barbantes, apoiados nos pinos, são 
tracionadas. Determine o diâmetro dos pinos sabendo que o momento do binário 
resultante aplicado à tábua é de 54,8N, anti-horário. 
 
 
 
 
 
A B 
C D 
111N 
111N 
156N 
156N 
203mm 
152mm 
x 
y 
z 
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28 
 
 
CAPÍTULO 4 
 
 
4 Equilíbrio de corpos rígidos 
 
 
4.1 Equilíbrio de um Corpo Rígido em duas dimensões: 
 
 
;0=∑F
r
 
)2(
)1(
;0
;0
=
=
∑
∑
y
x
F
F
 
 
 
∑ = 0OM
r
 )3( ∑ = 0zM
r
 
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29 
 
4.2 Reações nos Apoios e Conexões. 
 
Vinculo Reação Numero de incógnitas 
 
1 
 
 
1 
 
1 
 
2 
 
 
 
 
 
3 
 
 
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30 
 
Exemplo 1: Um tanque cilíndrico de 250 kg tem 2 m de diâmetro e deve galgar uma 
plataforma de 0,5 m de altura. Um cabo é enrolado no tanque e puxado 
horizontalmente. Sabendo que o canto A da plataforma é áspero, calcule a força de 
tração no cabo necessária para levantar o tanque e a reação em A. 
 
 
- Massa do tanque: 250kg 
- Canto A é áspero 
T = ? 
Reação em A = ? 
TR
TR
F
AX
AX
X
=
=−
=∑
0
0
 
mgPR
RP
F
Ay
Ay
y
==
=+−
=∑
0
0
 
 
5,1
05,1
0
lP
T
lPT
M A
⋅
=
=⋅−⋅
=∑
r
 ²5,0²1 −=l 
 
A 
G 
P 
B 
T 
2m 
0,5m 
obs: 0=BR
r
 (força T para retirar 
o tanque do chão ) 
 
1 
l 
0,5 
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31 
 
Exemplo 2: Determine em A e B quando: (a) α = 0, (b) α = 90 (c) α = 30 . 
 
 
 
02,0cos2,0
0
0250
0
0cos
0
=⋅+⋅
=
=++−
=
=+
=
∑
∑
∑
αα
α
α
BB
A
BAy
y
BAx
x
RsenR
M
senRR
F
RR
F
r
 
 
A 
B 
0,15m 0,15m 
0,2m 
250N 
α 
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32 
 
 
Exemplo 3: Sabendo que a tração em todos os pontos da correia é 300N, determine 
as reações nos apoios A e B, quando: (a) α = 0 (b) α = 90 e (c) α = 30 . 
 
 
 
T = 300N 
Reações nos apoios A e B para: 
a) α = 0° 
b) α = 90° 
c) α = 30° 
 
D.C.L 
 
 
yyyy
y
xxxx
x
BABA
F
BABA
F
−=⇒=+
=
−=⇒=++−
=
∑
∑
0
0
0300300
0
 
75000400250
0400250350300100300
0
=−
=⋅−⋅+⋅−⋅
=∑
xy
xy
A
BB
BB
M
 
Para cada α dado, encontramos os valores das reações 
 
 
α 
Ax 
By 
Bx 
Ay 
Ax 
300N 
300N 
A 
Ay 
A
Ay
sen
A
Ax == αα ;cos 
A 
B 
300N 
300mm 
250mm 200mm 
300N 
50mm 
αMecânica Aplicada e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa 
 
 
33 
 
Exemplo 4: Uma haste delgada BC de comprimento e peso P está presa a dois 
cabos, como se vê. Sabendo que o cabo AB está na horizontal, determine: (a) o 
ângulo θ que o cabo CD forma com a horizontal e (b) a força de tração em cada 
cabo. 
 
 
 
a) θ = ? 
b) TCD = ? e TAB = ? 
 
D.C.L. 
 
 
°
⋅
°⋅
=
=°⋅+°⋅−
°
⋅−
=∑
40
1
2
40cos
040cos40
2
40cos
0
sen
P
T
lTlsenT
l
P
M
CDx
CDyCDx
B
r
 
 
 
TCD 
TCDx 
TCDy 
TAB P 
l 
lcos40° 
lsen40° 40° 
A B 
C l 
40° 
θ 
PTPT
F
TT
F
CDyCDy
y
ABCDx
x
=⇒=−
=
=−
=
∑
∑
0
0
0
0
 
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34 
 
Exemplo 5: Uma barra delgada de comprimento L está apoiada em C e na parede 
vertical. Ela suporta uma carga P em sua extremidade A. Desprezando o atrito e o 
peso da barra, determine o ângulo θ correspondente ao equilíbrio. 
 
 
 
D.C.L. 
 
 
 
( )
( ) )2(00
)1(00
=⋅−
⋅
−∴=
=
⋅
−−∴=
∑
∑
aC
tg
aC
lsenPM
tg
aB
aLsenPM
y
x
B
C
θ
θ
θ
θ
r
r
 
( )






=⇒=
⋅=⋅
=⋅−⋅−⋅+⋅
=⋅−
⋅
+⋅
=
⋅
−−
L
a
arcsen
L
a
sen
aPLsenP
aPaPLsenPLsenP
aP
tg
aB
LsenP
tg
aB
aLsenP
θθ
θ
θθ
θ
θ
θ
θ
22
0
0
0
 
 
 
P 
B 
Cx 
Cy 
A 
P 
L 
a 
B 
θ 
00
00
=−∴=
=−∴=
∑
∑
PCF
BCF
yy
xx
 
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35 
 
Exemplo 6: Uma barra leve AD suporta uma carga vertical P e esta presa a mangas 
B e C que deslizam livremente nas hastes. Sabendo que o fio preso em A forma um 
ângulo α = 30 com a horizontal, determine: (a) a força de tração no fio e (b) as 
reações em B e C. 
 
 
 
 
 
)2(030cos30cos300
)1(0303030cos0
=−°+°+°−∴=
=°+°+°−∴=
∑
∑
PCBAsenF
CsenBsenAF
y
x
 
 
CBasenCasenB
M A
2023030
0
−=⇒=⋅°⋅+⋅°⋅
=∑ 
 
 
eq (1) 
 
CA
CACCA
⋅−=
=⋅−⋅−⇒=⋅+−⋅−
866,0
5,0
05,0866,005,0866,0
 
 
60° 
60° 
30° 
P 
A 
B 
C 
A 
B 
C 
D 
30° 
30° 
30° 
a 
a 
a 
°=
°=
°=
°=
−=
°=
°=
30cos
30
30cos
30
30
30cos
CCy
CsenCx
BBy
BsenBx
PyP
AsenAy
AAx
 
P 
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36 
 
eq (2) 
 
577,0
0577,0
0866,0866,025,0
866,0
5,0
P
CPC
PCCC
−=⇒=−−
=−⋅+⋅⋅−⋅⋅
 
 
 
577,0
2P
B = 
577,0866,0
5,0 P
A ⋅= 
 
 
Exercícios: 
1) Determine as reações nos apoios em A (rolete) e B (pino) da estrutura. 
 
2) Determine a intensidade das reações na viga em A e B. Despreze a espessura da 
viga. 
 
 
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37 
 
3) Determine as componentes horizontal e vertical do pino A e a reação no rolete B, 
necessárias para treliça. Considere F= 600N. 
 
 
 
4) Determine as reações em A e B. A barra tem espessura de 0,1m. 
 
 
 
5) A barra uniforme de 30 kg com roldanas nas extremidades está apoiada pelas 
superfícies horizontal e vertical e pelo arame AC. Calcule a força no arame e as 
reações contra as roldanas em A e B. 
 
 
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38 
 
 
6) Determine as reações em A e B. 
 
 
7) Determine as reações em A (roletes) e B (pino). 
 
 
8) O redutor de engrenagens, esta sujeito a dois conjugados, o seu peso de 200 N e 
a uma força vertical em cada uma das bases A e B. Se a resultante deste sistema de 
dois conjugados e de três forças for zero, determinar as forças em A e B. 
 
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39 
 
 
9) Determine as reações em A e B. 
 
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40 
 
 
CAPÍTULO 5 
 
5 Análise das Estruturas 
 
Princípio Básico: 
 
3ª lei de Newton- Estabelece que forças de ação e reação entre corpos em contato, 
possuem o mesmo módulo, mesma linha de ação e sentidos opostos. 
 
Categoria de estruturas: 
 
1) Treliça; 
2) Estruturas; 
3) Máquinas; 
 
 
5.1 Análise de Treliças 
 
Treliça: Barra comprimida ou tracionada 
 
 
Método dos Nós 
Eficaz quando é necessário determinar as forças em todas as barras da treliça. 
 
 
Método das Seções 
Eficaz quando a força em uma ou poucas barras são desejadas. 
 
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41 
 
5.1.1 Análise das treliças pelo método dos nós. 
 
 
F = 1000N 
Estrutura de 5 barras 
 
∑ =∴= ;00 xx AF NAFBAF yyyy 50000 =⇒=−+∴=∑ 
∑ =⋅+⋅−∴=+ 0210 yA BFM 
NBB yy 500
2
1000
=⇒=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nó A: 
 
∑ =⋅++∴= 0º45cos0 ACAD FFAxFx 
NFAD 500= Tração 
∑ =⋅+∴= 0º450 senFAF ACyy 
NFAC 707−= Compressão 
A B 
C 
D 
1 1 
1 
Ay 
Ax 
By F 
ACF BCF
CBF
DBF
 
BDF
 
ADF
 
DAF
CAF
CDF
A D 
A 
C 
B 
B 
F 
D 
C 
C 
D 
DCF
yA 
xA 
yB 
45º 
ACF
ADF
 
yA 
xA 
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42 
 
Nó B: 
 
∑ =⋅+∴= 0º450 senFBF BCyy 
NFBC 707−= Compressão 
 
∑ =⋅−−∴= 0º45cos0 BCBDx FFF 
NFBD 500= Tração 
 
 
 
 
Nó D: 
∑ = 0yF 
0=− FFDC 
NFDC 1000= )(T 
 
∑ = 0xF 
0=− DADB FF DADB FF =⇒ 
 
 
ADF
 
CD
F
F 
BDF
 
BCF
BC
F
yB 
45º 
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43 
 
5.1.2 Análise das treliças pelo método das Seções. 
 
 
 
D.C.L. da treliça: 
∑ ∴= 0xF 0=xG 
∑ ∴= 0yF 0321 =++−−− yy GEFFF NGy 3000−=⇒ 
 
 0=⊕ ∑ GM 
 
01123 321 =⋅−⋅+⋅+⋅ yEFFF 
NE y 6000= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seção 1 
 
∑ = 0Fx 
0º45 =⋅++ senFFF BEBDCE 
 
∑ = 0yF 
0º45cos21 =⋅−−− BEFFF N
FF
FBE 4,2828
º45cos
2 −=
−−
=⇒ 
 0=⊕ ∑ BM 
NFNFF
FF
BDCE
CE
30001000
011
1
1
=∴−=−=
=⋅+⋅
 
1 1 1 
2F 3F 1F 
A B D 
C E 
G 
xG 
yG 
yE 
1 
 
3F 
1F 2F 
A 
B 
BDF 
BE
F 
CEF E C 
º45 
Y
G
 
x
G 
B 
E 
D 
yE 
EB
F 
DB
F 
ECF 
G 
+ 
NFFF ³10321 === 
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44 
 
5.2 Análise de uma estrutura 
 
• Treliças ⇒ É uma estrutura com barras retas submetidas a apenas duas forças. 
 
⇒ Vamos considerar agora estruturas que possuem pelo menos uma barra 
submetida a três ou mais forças. 
 
 
 
 
 
2
1
LCB
LAC
=
=
 
1F e 2F atuam no ponto médio de cada barra. 
 
D.C.L. da estrutura 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D.C.L. barra AC : D.C.L. barra CB 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A B 
C 
F1 
F2 
β α 
xA
2F 1F 
yA 
xB 
yB 
x
A
yA
yC 
1F 
xC 
x
B 
yB 
2F 
yC 
xC 
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45 
 
D.C.L estrutura 
 
00
00
21 =−−+∴=
−=⇒=+∴=∑
FFBAF
BABAF
yyy
xxxxx 
 
 
 
 
( ) 0coscoscos
2
coscos
2
21
2
12
1
1 =++





+−⋅− βαβαα LLB
L
LF
L
F y
 
 
 
( )



+⋅
++⋅
=
βα
βαα
coscos
2coscos2cos
21
21211
LL
LLFLF
By Com isso teremos, By e Ay 
 
D.C.L AC 
 




=−+∴=
=+∴=
∑
∑
00
00
1FCAF
CAF
yyy
xxx
 Logo teremos xC e yC também. 
 
 
∑ =⊕ 0CM 
 
0cos
2
cos 1111 =⋅+⋅+⋅− ααα
L
FsenLALA xy
 
 



⋅
⋅⋅−⋅⋅
=
α
αα
senL
LFLA
Ax
y
1
111 2coscos Teremos xA 
∑ =⊕ 0AM 
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46 
 
Exemplo 1: Sabendo que a polia tem um raio de 0,5m, determine a componente das 
reações em A e E. 
 
 
 
 
 
 
Raio da Polia é 0,5m. 
Reações “A” e “B”. 
 
 
D.C.L da estrutura 
 
∑ =+∴= 00 xxx EAF 
 
NAEAF yyyy 25007000 =⇒=−+∴=∑ 
 
 
 ∑ =⊕ 0AM 
 
NE
E
y
y
450
05,47007
=
=⋅−⋅
 
 
 
A 
B 
C 
D 
E 
Ax 
Ay 
Ex 
Ey1m 
1m 
2m 
3m 3m 
700N 
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47 
 
D.C.L (Polia) 
 
 
 ∑ =∴= NDF xx 7000 
 ∑ =∴= NDF yy 7000 
 
 
 
 
D.C.L (Barra ABC) 
 
 
 
 ∑ =⊕ 0CM 
 
0131700 =⋅−⋅+⋅+ yx AA 
 
NAA xx 150
3
250700
−=⇒
+−
= 
 
Logo: 
 
NE
NC
x
x
150
550
=
−=
 
 
 
xA
 
yA
 
yC 
xC 
700 
x
D 
 
700 
700 
yD 
 
∑ =++∴= 07000 xxx CAF 
NCCAF yyyy 25000 −=⇒=+∴=∑ 
 
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48 
 
5.3 Máquinas 
 
• Máquinas são estruturas projetadas para transmitir e modificar forças. 
Seu principal objetivo é transformar forças de entrada em forças de saída. 
 
 
Exemplo 2: 
 
 
 
 
Analisamos as forças e momentos nas partes separadas 
 
ΣF=0; 
 
ΣM=0. 
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49 
 
Exemplo 3: A tesoura de poda pode ser ajustada apoiando-se o pino A em um dos 
vários dentes da lâmina ACE. Sabendo que forças verticais de 1500N são 
necessárias para cortar um ramo, determine o modulo P das forças que devem ser 
aplicadas nos apoios de mão quando a tesoura está ajustada como ilustrada. 
 
 
 
 
 
 
D.C.L(Barra AB) 
 
 
 
 
3,16
 
A 
B
 
AB
F 
BAF 
8,13
α
 
65,0
76,0cos
º25,40
3,16
8,13
⋅=⋅=
⋅=⋅=
==
ABABABY
ABABABX
FsenFF
FFF
arctg
α
α
α
 
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50 
 
D.C.L (ACE) 
 
 
 
076,0
0
0150065,0
0
=⋅+
=
=++⋅−
=
∑
∑
ABx
x
yAB
y
FC
F
CF
F
 
 ∑ =⊕ 0CM 
NF
FF
AB
ABAB
1740
01,3565,05,1276,05,371500
−=
=⋅⋅+⋅⋅+⋅
 
 
logo 
NC
NC
y
x
2631
1323
−=
=
 
 
D.C.L (MCD) 
 
 
 
 ∑ =⊕ 0DM 
NPP
CP x
7,150
5,87
132355,325,371500
055,325,3715005,87
=⇒
⋅−⋅
=
=⋅+⋅−⋅
 
P 
1500 
32,55 
37,5 87,5 
Cx 
Cy 
Dy 
Dx 
FAB 
FC E 
37,5 35,1 
12,5 
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51 
 
 
Exemplo 4: Uma barra uniforme de forma circular está presa por um pino em B e 
apoiada em uma parede sem atrito em A. determine as reações em A e B. 
 
 
 
∑ = 0BM 
PBPBF
r
r
r
P
BBAF
rr
rPA
r
rPrA
yyy
xxxx
x
x
=⇒=−⇒=





 −−=⇒=+⇒=





 −=
=




 −+⋅−
∑
∑
00
2
00
12
0
2
0
π
π
π
 
 
r 
2r/π 
By 
Ax 
P Bx 
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52 
 
Exemplo 5: Determine as forças nas barras GJ, GK e IK da treliça. 
 
 
 
 
 
KNkT
kTLF
KNjT
LjT
M
G
Gxx
G
xG
50
0cos0
30
034
01
−=
=⋅−∴=
=
=⋅+⋅−
=
∑
∑
θ
 
 
D.C.L (estrutura) 
KNLL
F
KNLLA
F
KNA
A
M
yy
y
xxx
x
x
x
L
45151515
0
400
0
10
041581512159
0
=⇒−−−
=
−=⇒=+
=
=
=⋅+⋅+⋅+⋅−
=
∑
∑
∑
 
 
kNkTLkTsenkTjTF IyIGGy 4500 −=⇒=++⋅+∴=∑ θ 
J 
L 
TGk TIk TGj θ 
3 
3 
4 
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53 
 
Exemplo 6: Usando o método dos nós, determine a força em cada barra da treliça. 
Indique se cada barra esta tracionada ou comprimida. 
 
D.C.L (Estrutura) 
∑ = 0CM 
∑
∑
=⇒+−∴
=⇒=+∴=
−=⇒=⋅+⋅
6,16,1
300
306,136,1
yyy
xxxx
xx
CCF
KNCFCF
KNFF
 
 
Método dos Nós 
D.C.L (A) 
 
kNT
TTF
arctg
BA
DABAx
3
0cos0
07,28
5,1
8,0
=
=⋅+∴=
=





=
∑ θ
θ
 
 
BAT
DA
T
1,6 
kNT
senT
F
DA
DA
y
4,3
06,1
0
−=
=⋅−−
=∑
θ 
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54 
 
 
Exemplo 7: Determine a força P que deve ser aplicada ao elo articulado CDE para 
manter o suporte ABC na posição. 
 
 
 
D.C.L (toda estrutura) 
60
09000
00
0150900150300150
0
−=
=−+∴=
=++∴=
=⋅+⋅+−⋅−
=
∑
∑
∑
x
yyy
xxx
yx
E
A
EAF
PEAF
PAA
M
 
 
D.C.L (ABC) 
09000
00
0150900450300
0
=−+∴=
=+∴=
=⋅+⋅−⋅−
=
∑
∑
∑
yyy
xxx
xy
C
CAF
CAF
AA
M
 
 
D.C.L (ED) 
00
00
025150
=+∴=
=++∴=
=⋅−⋅−∴
∑
∑
∑
yyy
xxx
yxD
DEF
PDEF
EEM
 
 
D.C.L (D.C) 
00
00
025150
0
=−−∴=
=+−−∴=
=⋅−⋅
=
∑
∑
∑
yyy
xxx
yx
D
DCF
PDCF
CC
M
 
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55 
 
Exercícios: 
 
1) Determine as forças em todas as Barras, e indique se ela esta sofrendo tração ou 
compressão. 
 
2) Determine a força em cada barra da treliça e indique se essas barras estão sob 
ação de tração ou compressão. Considere que P1 = P2 = 4 kN. 
 
 
 
3) Determine a força em cada barra da treliça e indique se essas barras estão sob 
tração ou compressão. Considere que P1 = 0 eP2 = 20 kN. 
 
 
 
 
 
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56 
 
4) Determine as forças em todas as barras da treliça e indique se eles estão sob 
tração ou compressão. 
 
5) Determine a força em cada barra da treliça. Indique se cada barra esta tracionada 
ou comprimida. As forças estão em [N]. 
 
6) Determine as forças em todas as barras da treliça e indique se eles estão sob 
tração ou compressão. 
 
 
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57 
 
7) Determine as forças nas barras BC, HC e HG para a treliça da ponte e indique se 
eles estão sob tração ou compressão. 
 
8) Determine as forças nas barras GF, CF e CD para a treliça da ponte e indique se 
eles estão sob tração ou compressão. 
 
 7) e 8) 
 
9) Determine as forças nos elementos CE, CD e BD da treliça e indique se eles 
estão sob tração ou compressão. 
 
10) Determine as forças nas Barras CE, CD e BD, e indique se ela esta sofrendo 
tração ou compressão. 
 
 
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58 
 
11) Determine as forças nas barras DF, EF e EG da treliça. As forças estão em [N]. 
 
 
 
12) Determine as forças nos elementos CE, CD e BD da treliça e indique se eles 
estão sob tração ou compressão. 
 
13) Calcular a força suportada pela barra BH da treliça, em balanço, carregada. 
 
 
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59 
 
 
14) Calcular as forças que atuam nas barras IH, BH e BC da treliça, carregada pelas 
forças de 40 E 60 kN. 
 
15) Calcular as forças que atuam nas barras CH, CB e GH da treliça em balanço. 
 
16) No guindaste em ponte rolante mostrado, todos os elementos cruzados são 
barras de amarração esbeltas incapazes de suportar compressão. Determine as 
forças nos elementos DF e EF e encontre a reação horizontal na treliça em A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(15) (16) 
 
17) Calcule a força no elemento HN da treliça carregada. 
 
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60 
 
18) Determine a força no elemento DK da treliça para placas de sinalização 
carregada. 
 
 
19) As estruturas articuladas ACE e DFB estão interligadas pelas duas barras 
articuladas, AB e CD, que se cruzam sem estarem ligadas. Calcular a força que atua 
em AB. 
 
20) A treliça é composta de triângulos retângulos isósceles. As barras cruzadas nos 
dois painéis centrais são tirantes esbeltos, incapazes de suportar compressão. 
Calcular as forças nas barras MN, GM e FN. 
 
 
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61 
 
21) A treliça suporta uma rampa (mostrada com uma linha tracejada) que se estende 
de um nível de chegada fixo próximo ao ponto F até um nível de saída fixo perto de 
J. As cargas mostradas representam o peso da rampa. Determine as forças nos 
elementos BH e CD e indique se eles estão sob tração oucompressão. 
 
 
22) Determine as forças nos elementos CD, CF e CG e indique se eles estão sob 
tração ou compressão. 
 
 
23) Determine as forças nos elementos DE, EI, FI e HI da treliça do telhado em arco 
e indique se eles estão sob tração ou compressão. 
 
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62 
 
24) Determinar a força suportada pelo pino B da estrutura, para as cargas aplicadas. 
As duas barras ABC e BD estão ligadas por este pino. 
 
 
25) Determine os componentes horizontal e vertical da força em C exercida pelo 
elemento ABC sobre o elemento CEF. 
 
 
 
26) Determine a maior força P que deve ser aplicada à estrutura, sabendo-se que a 
maior força resultante em A deve ter intensidade de 2 kN. 
 
30 
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63 
 
27) Determinar a força suportada pelo pino C da estrutura carregada. 
 
28) Determinar a força suportada pelo pino B da estrutura, para a carga aplicada de 
300 kg. As duas polias estão ligadas entre si, formando uma unidade integral. 
 
29) O elevador para carros permite que o carro seja movido para a plataforma, após 
o que as rodas traseiras são levantadas. Se o carregamento devido a ambas as 
rodas traseiras vale 6 kN, determine a força no cilindro hidráulico AB. Despreze o 
peso da plataforma. O elemento BCD é um suporte em ângulo reto preso por pino à 
plataforma em C. 
 
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64 
 
30) Uma força de 75 N é aplicada ao cabo OAB do saca-rolha. Determine a força de 
extração F exercida sobre a rolha. 
 
31) Para a tesoura de poda mostrada, determine a força Q aplicada ao galho circular 
de 15 mm de diâmetro para uma força de aperto P=200 N. 
 
32) O rebitador é usado para inúmeras operações de junção. Para a posição do 
cabo dada por α = 10º e um aperto no cabo P = 150 N, calcule a força de aperto C 
gerada. Observe que os pinos A e D são simétricos em relação à linha de centro 
horizontal da ferramenta. 
 
 
 
 
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65 
 
33) Um lingote de aço pesando 40kN é levantado pela tenaz. Determine as forças 
aplicadas nos pontos C e E da peça BCE. 
 
 
 
 
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66 
 
 
CAPÍTULO 6 
 
6 Centróide e Baricentro 
 
 
Baricentro: Centro de Gravidade 
 
Centróide: Centro Geométrico 
 
 
gAtgVgmP ⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅= ρρ g⋅= ρδ 
 
específicopeso
espessurat
específicamassadadensidade
:
:
:
δ
ρ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P 
G 
x 
y 
z 
x 
y 
∆P 
x 
y 
z 
x 
y 
= 
Aço Madeira 
Baricentro 
Centróide 
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67 
 
6.1 Áreas e Linhas - Placas e Arames Compostos 
 
Placas Arames 
∑∑
∑∑
⋅=
⋅=
AiiYAiY
AiiXAiX
 
∑
∑
⋅=
⋅=
LiiYLiY
LiiXLiX
 
 
 
 
 
Alguns centróides são tabelados devidos as suas formas comuns como veremos nas 
tabelas a seguir. 
 
∑= AiA 
x 
y 
X
Y C 
x 
y 
C1 
C2 
C3 
A3 
A2 
A1 
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68 
 
 
 
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69 
 
 
 
 
Exemplo 1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
i Xi Ai XiAi 
1 - + - 
2 + + + 
3 + - - 
 
 
+ _ 
A1 A2 A3 
A1 A2 A3 
Furo 
x 
y 
0=Y , pois tem o eixo de 
simetria no eixo x. 
Ai
XiAi
X
∑= 
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70 
 
Exemplo 2: 
 
 
 
 
 
i X Y L LX LY 
1 
2
L
 0 L 
2
²L
 0 
2 rL + 
π
r2
− r⋅π ( ) rrL ⋅⋅+ π ²2r− 
 
 
 
( ) ( )
( )
rL
rrL
L
X
rrL
L
rLX
iLiXLiX
⋅+
⋅++
=
⋅++=⋅+
=∑∑
π
π
ππ
2
²
2
²
 
rL
r
Y
⋅+
−
=
π
²20
 
 
 
Exercícios: 
Determine o centróide da área sombreada em relação aos eixos x e y. 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
1 
2 
y 
x r 
L 
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71 
 
c) d) 
 
 
 
e) f) 
 
 
g) 
 
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72 
 
 
CAPÍTULO 7 
 
7 Movimento Circular 
 
7.1 Velocidade Angular (ωωωω) 
 
Um ponto material “P”, descrevendo uma trajetória circular de raio “r”, apresenta uma 
variação angular (∆ϕ) em um determinado intervalo de tempo (∆t). A relação entre a 
variação angular (∆ϕ) e o intervalo de tempo (∆t) define a velocidade angular do 
movimento. 
 
t∆
∆
=
ϕ
ω 
 
Em que: 
ω = velocidade angular [rad/s] 
∆ϕ = variação angular [rad] 
∆t = variação de tempo [s] 
 
7.2 Período (T) 
 
É o tempo necessário para que um ponto material "P",movimentando-se em uma 
trajetória circular de raio "r",complete um ciclo. 
 
ω
π2
=T 
 
Em que: 
T = período [s] 
ω = velocidade angular [rad/s] 
π =constante trigonométrica 3,1415... 
 
7.3 Frequencia (f) 
 
É o número de ciclos que um ponto material "P" descreve em um segundo, 
movimentando-se em trajetória circular de raio "r". 
A freqüência (f) é o inverso do período (T). 
 
π
ω
2
1
==
T
f 
 
Em que: 
f = freqüência [Hz] 
T = período [s] 
ω = velocidade angular [rad/s] 
π = constante trigonométrica 3,1415... 
 
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73 
 
Radiano 
 
É o arco de circunferência cuja medida é o raio. 
 
7.4 Rotação (n) 
 
É o número de ciclos que um ponto material "P", movimentando-se em trajetória 
circular de raio "r", descreve em um minuto. 
Desta forma,podemos escrever que: 
 
Logo: fn 60= 
 
Como 
π
ω
2
=f , tem-se 
π
ω
2
60
=n , portanto: 
π
ω30
=n 
 
Em que: 
n = rotação [rpm] 
f = freqüência [Hz] 
ω = velocidade angular [rad/s] 
π =constante trigonométrica 3,1415... 
 
7.5 Velocidade Periférica ou Tangencial (v) 
 
A velocidade tangencial ou periférica tem como característica a mudança de 
trajetória a cada instante, porém o seu módulo permanece constante 
 
 
 
A relação entre a velocidade tangencial (v) e a velocidade angular (ω) é definida pelo 
raio da peça. 
 
r
v
=
ω
, portanto: rv .ω= 
mas,isolando ω na expressão da rotação,obtém-se: 
 
substituindo ω na expressão anterior,obtém-se: 
 
Em que: 
v =velocidade periférica [m/s] 
π =constante trigonométrica 3,1415... 
n =rotação [rpm] 
r =raio [m] 
ω =velocidade angular [rad/s] 
 
 
 
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74 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
1) A roda da figura possui d= 300mm ,gira com velocidade angular (J) = 10π rad/s. 
Determinar para o movimento da roda: 
 
a) Período(T) 
b) Freqüência (f) 
c) Rotação(n) 
d) Velocidade periférica (Vp) 
 
 
 
 
 
2) O motor elétrico da figura possui como característica de desempenho a rotação 
n= 1740rpm. 
Determine as seguintes características de desempenho do motor: 
 
a) Velocidade angular (ω) 
b) Período (T) 
c) Freqüência (f) 
 
 
 
 
 
 
 
3) O ciclista da figura monta uma bicicleta aro 26 (d=660mm), viajando com um 
movimento que faz com que as rodas girem com n= 240rpm. Qual a velocidade do 
ciclista? V[km/h]. 
 
 
 
 
 
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75 
 
 
CAPÍTULO 8 
 
8 Relação de Transmissão (i) 
 
8.1 Transmissão por Correias 
 
 
 
1
2
2
1
2
1
2
1
1
2
T
T
M
M
n
n
f
f
d
d
i =====
ω
ω
 
 
Em que: 
i = relação de transmissão[adimensional] 
d1 =diâmetro da polia (1) (menor) [m; ...] 
d2 =diâmetro da polia (2) (maior) [m; ...] 
ω1 =velocidade angular (1) [rad/s] 
ω2 =velocidade angular (2) [rad/s] 
f1 =freqüência (1) [Hz] 
f2 =freqüência (2) [Hz] 
n1 =rotação (1) [rpm] 
n2 =rotação (2) [rpm] 
MT1 =torque (1) [N.m] 
MT2 =torque (2) [N.m] 
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76 
 
 
Exercício: 
1) A transmissão por correias, representada na figura, é composta por duas polias 
com os seguintes diâmetros respectivamente: 
 
polia (1) motora d1 =100mm 
polia (2) movida d2 =180mm 
 
A polia (1) (motora) atua com velocidade angular ω =39π rad/ s. 
 
Determinar para transmissão: 
 
a) Período da polia (1) (T1) 
b) Freqüência da polia (1) (f1) 
c) Rotação da polia (1) (n1) 
d) Velocidade angular da polia (2) (ω2) 
e) Freqüência da polia (2) (f2) 
f) Período da polia (2) (T2) 
g) Rotação da polia (2) (n2) 
h) Velocidade periférica da transmissão (vp) 
i) Relação de transmissão (i) 
 
 
8.2 Transmissão por engrenagens 
 
 
 
Diâmetro primitivo da engrenagem: do= m . z 
Em que: 
do - diâmetro primitivo 
m – módulo da engrenagem 
z – número de dentes 
 
1
2
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
.
.
T
T
o
o
M
M
n
n
f
f
zm
zm
d
d
i ======
ω
ω
 
 
 
 
 
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77 
 
 
Observação 
 
Para que haja engrenamento entre duas engrenagens, é condição indispensável que 
os módulos sejam iguais. Portanto: 
 
1
2
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
T
T
o
o
M
M
n
n
f
f
z
z
d
d
i ======
ω
ω
 
 
 
 
Em que: 
i – relação de transmissão [adimensional] 
d01 - diâmetro primitivo do pinhão (1) [m] 
d02 – diâmetro primitivo da coroa (2) [m] 
Z1 – número de dentes do pinhão(1) [adimensional] 
Z2 – número de dentes da coroa (2) [adimensional] 
ω1 – velocidade angular do pinhão(1) [rad/s] 
ω2 – velocidade angular da coroa (2) [rad/s] 
f1 – freqüência do pinhão (1) [Hz] 
f2 – freqüência da coroa (2)[Hz] 
n1 – rotação do pinhão(1) [rpm] 
n2 – rotação da coroa (2) [rpm] 
MT1 - torque do pinhão (1) [Nm] 
MT2 – torque da coroa (2) [Nm] 
 
REDUTOR DE VELOCIDADE 
A transmissão será redutora de velocidade quando o pinhão acionara coroa. 
 
AMPLlADOR DE VELOCIDADE 
A transmissão será ampliadora de velocidade quando a coroa acionar o pinhão. 
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78 
 
 
CAPÍTULO 9 
 
9 Torção Simples 
 
Uma peça encontra-se submetida a esforço de torção,quando sofre a ação de um 
torque (MT) em uma das extremidades e um contratorque (MT) na extremidades 
oposta. 
 
9.1 Momento Torçor ou Torque (MT) 
 
É definido por meio do produto entre a carga (F) e a distância entre o ponto de 
aplicação da carga e o centro da seção transversal da peça (ver figura anterior). 
 
MT=2F.S 
 
Em que: 
MT- torque (Nm) 
F – carga aplicada (N) 
S – distância entre o ponto de aplicação da carga e o centro da seção transversal da 
peça (m). 
 
Exemplo1: 
 
Determinar o torque de aperto na chave que movimenta as castanhas na placa do 
torno. A carga aplicada nas extremidades da haste F=80N. O comprimento da haste 
é l= 200mm. 
 
Resolução: 
 
MT=2Fs 
MT=2.80.100 
MT=16000 Nmm 
MT=16 Nm 
 
Exemplo 2: 
 
Dada a figura, determinar o torque de aperto (MT) no parafuso da roda do 
automóvel. A carga aplicada pelo operador em cada braço da chave é F = 120N,e o 
comprimento dos braços é l=200mm. 
 
 
Resolução: 
 
MT=2F.l 
MT=2.120.200 
MT=48000 Nmm 
MT=48 Nm 
 
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79 
 
9.2 Torque nas Transmissões 
 
Para as transmissões de movimento, o torque é definido por meio do produto entre a 
força tangencial (FT) e o raio(r) da peça. 
 
MT=F.r 
 
Em que: 
MT- Torque [Nm] 
FT – Força tangencial [N] 
r – raio da peça [m] 
 
 
Exemplo 3: 
 
A transmissão por correias, representada na figura, é composta pela polia motora (1) 
que possui diâmetro d1= 100mm e a polia movida (2) que possui diâmetro 
d2=240mm. A transmissão é acionada por uma força tangencial FT= 600N. 
 
 
 
Determinar para transmissão: 
a) Torque na polia (1) 
b) Torque na polia (2) 
 
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80 
 
 
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81 
 
 
CAPÍTULO 10 
 
10 Potência (P) 
 
Define-se por meio do trabalho realizado na unidade de tempo. 
Tem-se então: 
 
 
 
 W-Watt 
 
Em que: 
P – potência [W] 
FT – força tangencial [N] 
Vp - velocidade periférica [m/s] 
 
No século XVIII ao inventar a máquina a vapor James Watt decidiu demonstrar ao 
povo inglês quantos cavalos equivalia a sua máquina. 
Para isso,efetuou a seguinte experiência: 
 
F= Qmáx= 76 kgf 
Carga máxima que o cavalo elevou com velocidade V= 1m/s. 
 
Resultado em: 
P=F.v 
P=76kgf. 1m/s 
P=76kgfm/s 
 
 
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82 
 
Como: 
kgf=9,80665N 
P=76.9,80665N.1m/s 
P=745,...Nm/s, a unidade Nm/s = 1W, homenagem a J. Watt, surgiu dessa 
experiência o HP (horsepower). 
hp=745,...w – cuja utilização é vedada no SI. 
Após algum tempo a experiência foi repetida na França constando-se que Q=75kgf. 
Resultou daí o cv (cavalo vapor) 
P=F.v 
P=75kgf. 1m/s 
P=75kgfm/s 
Como kgf=9,80665N 
 
Conclui-se que: 
 
P = 75 . 9,80665Nm/s 
p=735,5 W temporariamente permitida a utilização no SI. 
 
RELAÇÕES IMPORTANTES 
 
hp = 745,...W (horse power) – vedada a utilização no SI. 
cv = 735,5W (cavalo vapor) – permitida temporariamente a utilização no SI. 
 
OBSERVAÇÕES IMPORTANTES 
 
hp (horse power)-unidade de potência ultrapassada que não deve ser utilizada. 
 
cv (cavalo-vapor) – unidade de potência cuja utilização é admitida temporariamente 
no SI. 
 
10.1 Torque X Potência 
 
 
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83 
 
 
10.2 Força Tangencial (FT) 
 
 
 
Exemplo 1: 
 
O elevador da figura encontra-se projetado para transportar carga máxima 
Cmáx= 7000N (10pessoas). O peso do elevador é Pe=1KN e o contra peso possui a 
mesma carga Cp=1kN. 
Determine a potência do motor M para que o elevador se desloque com velocidade 
constante v=1m/s. 
 
 
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84 
 
Exemplo 2: 
A figura dada representa um servente de pedreiro erguendo uma lata de concreto 
com peso Pc=200N. A corda e a polia são ideais. A altura da laje é h=8m, o tempo 
de subida é t= 20s. Determinar a potência útil do trabalho do operador. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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85 
 
 
Exemplo 3: 
Supondo que, no exercício anterior, o operador seja substituído por um motor 
elétrico com potência P=0,25kW, determinar: 
a) Velocidade de subida da lata de concreto (vs) 
b) Tempo de subida da lata (ts) 
 
 
 
Exemplo 4: 
Uma pessoa empurra o carrinho de supermercado, aplicando uma carga 
F=150N,deslocando-se em um percurso de 42m no tempo de 1minuto. 
Determinar a potência que movimenta o veículo. 
 
 
 
 
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86 
 
 
Exemplo 5: 
A transmissão por correias, representada na figura, é acionada por um motor elétrico 
com potência P=5,5kW com rotação n=1720rpm chavetando a polia (1) do sistema. 
 
As polias possuem respectivamente os seguintes diâmetros: 
d1=120mm (diâmetro da polia 1) 
d2=300mm (diâmetro da polia 2) 
Desprezar as perdas. 
Determinar para transmissão: 
a) Velocidade angular da polia 1 (W1) 
b) Freqüência da polia 1 (f1) 
c) Torque da polia 1 (MT) I 
d)Velocidade angularda polia 2 (W2) 
e)Freqüência da polia 2 (f2) 
f) Rotação da polia 2 (n2) 
g)Torque da polia 2 (MT2) 
h)Relação de transmissão (i) 
i) Velocidade periférica da transmissão (Vp) 
j) Força tangencial da transmissão (FT) 
 
 
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87 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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88 
 
Exemplo 6: 
A transmissão por engrenagens, representada na figura, é acionada por intermédio 
de um motor elétrico que possui potência P=0,75KW e gira com rotação n=1140rpm, 
acoplado à engrenagem (1) (pinhão). As engrenagens possuem as seguintes 
características: 
 
Pinhão (1) Coroa (2) 
 
Número de dentes Número de dentes 
Z1=25 dentes Z2=47dentes 
Módulo Módulo 
M=2mm M=2mm 
 
 
 
 
 
Desprezando as perdas, determinar para a transmissão: 
 
a) Velocidade angular do pinhão 1 (ω1) 
b) Freqüência do pinhão 1 (f1) 
c) Torque no pinhão 1 (MT1) 
d) Velocidade angular da coroa 2(ω2) 
e) Freqüência da coroa 2 (f2) 
f) Rotação da coroa 2 (n2) 
g) Torque na coroa 2 (MT2) 
h) Relação de transmissão (i) 
i) Força tangencial da transmissão (FT) 
j) Velocidade periférica da transmissão (v) 
 
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90 
 
 
 
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91 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
1) A transmissão por correias, representada na figura, é acionada por meio da polia 
1 por um motor elétrico com potência P= 7,5kW (P = 10cv) e rotação n=1140rpm. As 
polias possuem respectivamente os seguintes diâmetros: 
 
 
 
d1 = 120mm (diâmetro da polia 1) 
d2 = 220mm (diâmetro da polia 2) 
 
Determinar para transmissão: 
 
a) Velocidade angular da polia 1(ω1) 
b) Freqüência da polia 1 (f1) 
c) Torque da polia 1 (MT1) 
d) Velocidade angular da polia 2 (ω2) 
e) Freqüência da polia 2 (f2) 
f)Rotação da polia 2 (n2) 
g) Torque da polia 2(MT2) 
h) Velocidade periférica da transmissão (v) 
i) Força tangencial (FT) 
j) Relação de transmissão (i) 
 
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92 
 
2) A transmissão por engrenagens, representada na figura, é acionada por meio do 
pinhão 1 acoplado a um motor elétrico de IV pólos com potência P= 15kW (p=20cv) 
e rotação n=1720rpm. 
As características das engrenagens são: 
Pinhão (engrenagem 1) Coroa (engrenagem 2) 
Z1=24dentes (número de dentes) Z2=73dentes (número de dentes) 
m=4mm (módulo) m=4mm (módulo) 
 
 
 
Determinar para a transmissão: 
 
Engrenagem 1 (pinhão) Engrenagem 2 (coroa) 
a) velocidade angular (ω1) d) velocidade angular (ω2) 
b) freqüência (f1) e) freqüência (f2) 
c) torque (MT1) f) rotação (n2) 
 g) torque (MT2) 
 
Características da transmissão: 
h) velocidade periférica (v) 
i) força tangencial (FT) 
j) relação de transmissão (i) 
 
 
 
 
3) O motor elétrico da figura possui como característica de desempenho a rotação 
n= 1500rpm. 
 
Determine as seguintes características de desempenho do motor: 
 
a) Velocidade angular (ω) 
b) Período (T) 
c) Freqüência (f) 
 
 
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93 
 
4) A transmissão por correias, representada na figura, é acionada por um motor 
elétrico com potência P=2,5kW com rotação n=2000rpm chavetando a polia (1) do 
sistema. 
 
As polias possuem respectivamente os seguintes diâmetros: 
d1=120mm (diâmetro da polia 1) 
d2=300mm (diâmetro da polia 2) 
Desprezar as perdas. 
 
Determinar para transmissão: 
a)Freqüência da polia 2 (f2) 
b) Rotação da polia 2 (n2) 
c)Torque da polia 2 (MT2) 
d)Relação de transmissão (i) 
e) Velocidade tangencial da transmissão (VT) 
f) Força tangencial da transmissão (FT) 
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94 
 
 
CAPÍTULO 11 
 
11 Rendimento das Transmissões (ηηηη) 
 
Em qualquer tipo de transmissão, é inevitável a perda de potência que ocorre nas 
engrenagens, mancais, polias, correntes, rodas de atrito, originada pelo atrito entre 
as superfícies, agitação do oléo lubrificante, escorregamento entre correia e 
polia,etc. 
Desta forma, constata-se que a potência de entrada da transmissão é dissipada em 
parte sob a forma de energia, transformada em calor, resultando a outra parte em 
potência útil geradora de trabalho. 
 
Pe = Pu + Pd 
 
Em que: 
Pe - potência de entrada [W;kW;...] 
Pu – potência útil [W;kW;...] 
Pd – potência dissipada [W;kW;...] 
 
11.1 Rendimento das transmissões 
 
Transmissão por parafuso sem fim 
 
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95 
 
 
11.2 Perdas nas Transmissões 
 
A transmissão da figura é acionada por um motor elétrico com potência (P) e rotação 
(n). As polias possuem os seguintes diâmetros: 
 
d1 – diâmetro da polia 1 
d2 – diâmetro da polia 2 
 
As engrenagens possuem os seguintes números de dentes: 
 
Z1 – número de dentes da engrenagem 1 
Z2 – número de dentes da engrenagem 2 
Z3 – número de dentes da engrenagem 3 
Z4 – número de dentes da engrenagem 4 
 
Os rendimentos: 
ηc - rendimento da transmissão por correias 
ηe - rendimento da transmissão por engrenagens 
ηm - rendimento do par de mancais 
 
 
 
 
Exemplo 1: 
 
Determinar as expressões de: 
 
a) Potência útil nas árvores (1, 2 e 3) 
b) Potência dissipada/estágio 
c) Rotação das árvores(1, 2 e 3) 
d) Torque nas árvores(1, 2 e 3) 
e) Potência útil do sistema 
f) Potência dissipada do sistema 
g) Rendimento da transmissão 
 
 
 
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96 
 
 
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97 
 
 
 
 
Exemplo 2: 
A transmissão da figura é acionada por um motor elétrico com potência P=5,5kW 
(P=7,5CV) e rotação n=1740 rpm. As polias possuem os seguintes diâmetros: 
 
d1=120mm 
d2 = 280mm 
 
As engrenagens possuem os seguintes números de dentes: 
Z1= 23 dentes; Z2= 49 dentes; 
Z3=27 dentes; Z4= 59 dentes 
 
Os rendimentos são: 
ηc = 0,97 (Transmissão por correia em V) 
ηe = 0,98 (Transmissão/par de engrenagens) 
ηm = 0,99 (Par de mancais (rolamentos)) 
 
Determinar na transmissão: 
a) Potência últil nas árvores 1, 2 e 3. 
b) Potência dissipada/estágio 
c) Rotação das árvores 1, 2 e3. 
d) Torque nas árvores 1, 2 e 3 
e) Potência útil do sistema 
f) Potência dissipada do sistema 
g) Rendimento da transmissão 
 
 
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98 
 
 
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99 
 
 
 
Exercícios: 
1) A transmissão da figura é acionada por um motor elétrico compotência P=3,7kW 
(p= 5cv) e rotação n=1710rpm. 
 
Os diâmetros das polias são: 
d1=100mm(polia motora) 
d2= 250mm(polia movida) 
 
O número de dentes das engrenagens: 
Z1= 21dentes; Z2= 57dentes; 
Z3= 29dentes e Z4= 73dentes 
 
Rendimentos dos elementos de transmissão: 
ηc= 0,97 (transmissão por correias) 
ηe= 0,98 (transmissão por engrenagens) 
ηm= 0,99 [par de mancais (rolamentos)] 
 
Determinar para transmissão: 
a) Potência útil nas árvores 1, 2 e 3 
b) Potência dissipada/estágio 
c) Rotação das árvores 1, 2 e 3 
d) Torque nas árvores 1, 2 e 3 
e) Potência útil do sistema 
f) Potência dissipada do sistema 
g) Rendimento da transmissão 
 
 
 
 
 
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100 
 
2) 
 
 
3) A transmissão da figura é acionadapor um motor elétrico com potência P=5,0kW 
e rotação n=1500 rpm. As polias possuem os seguintes diâmetros: 
 
d1=100mm 
d2 = 200mm 
As engrenagens possuem os seguintes números de dentes: 
Z1= 23 dentes; Z2= 59 dentes; 
Z3=27 dentes; Z4= 49 dentes 
 
Os rendimentos são: 
ηc = 0,97 (Transmissão por correia em V) 
ηe = 0,98 (Transmissão/par de engrenagens) 
ηm = 0,99 (Par de mancais (rolamentos)) 
 
Determinar na transmissão: 
a) Torque na saída do sistema. 
b) Potência útil do sistema. 
c) Potência dissipada do sistema. 
d) Rendimento da transmissão. 
 
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101 
 
 
4) A transmissão da figura é acionada por um motor elétrico com potência P = 5,1 
kW e rotação de n=1930 rpm. 
 
Os diâmetros das polias são: 
 
d1=225mm(polia motora) 
d2= 450mm(polia movida) 
 
O número de dentes das engrenagens 
de módulo 2mm: 
 
Z1= 23dentes, Z2= 73dentes; 
Z3= 29dentes, Z4= 57dentes; 
Z5= 17dentes e Z6= 43dentes 
 
Rendimentos dos elementos de transmissão: 
ηc= 0,97 (transmissão por correias) 
ηe= 0,98 (transmissão por engrenagens) 
ηm= 0,99 [par de mancais (rolamentos)] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determinar para transmissão: 
a) Potência útil nos eixos I, II, III e IV; 
b) Rotação nos eixos I, II, III e IV; 
c) Torque nos eixos I, II, III e IV; 
d) Freqüência nos eixos I, II, III e IV; 
e) Velocidade angular nos eixos I, II, III e IV; 
f) Velocidade Tangencial de cada transmissão (da polia 1 para 2, e das 
engrenagens de 1 para 2, 3 para 4 e 5 para 6); 
g) Força tangencial da de cada transmissão (da polia 1 para 2, e das 
engrenagens de 1 para 2, 3 para 4 e 5 para 6); 
h) Potência útil do sistema; 
i) Potência dissipada do sistema; 
j) Rendimento da transmissão; 
k) Qual a relação de transmissão do sistema (motor até a saída da transmissão)? 
 
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102 
 
5) A transmissão da figura é acionada por um motor elétrico com potência P = 9,5 
kW e rotação de n=2500 rpm. 
 
Os diâmetros das polias são: 
 
d1=125mm(polia motora) 
d2= 400mm(polia movida) 
 
O número de dentes das engrenagens 
de módulo 2mm: 
 
Z1= 17dentes, Z2= 31dentes; 
Z3= 21dentes, Z4= 47dentes; 
Z5= 27dentes e Z6= 53dentes 
 
Rendimentos dos elementos de transmissão: 
ηc= 0,97 (transmissão por correias) 
ηe= 0,98 (transmissão por engrenagens) 
ηm= 0,99 [par de mancais (rolamentos)] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determinar para transmissão: 
a) Potência útil nos eixos I, II, III e IV; 
b) Rotação nos eixos I, II, III e IV; 
c) Torque nos eixos I, II, III e IV; 
d) Freqüência nos eixos I, II, III e IV; 
e) Velocidade angular nos eixos I, II, III e IV; 
f) Velocidade Tangencial de cada transmissão (da polia 1 para 2, e das 
engrenagens de 1 para 2, 3 para 4 e 5 para 6); 
g) Força tangencial da de cada transmissão (da polia 1 para 2, e das 
engrenagens de 1 para 2, 3 para 4 e 5 para 6); 
h) Potência útil do sistema; 
i) Potência dissipada do sistema; 
j) Rendimento da transmissão; 
k) Qual a relação de transmissão do sistema (motor até a saída da transmissão)? 
 
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CAPÍTULO 12 
 
12 Noções de Resistência dos Materiais 
 
12.1 Introdução 
 
A Resistência dos materiais é um ramo da mecânica que estuda as relações entre 
cargas externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças 
internas que atuam dentro do corpo. 
Abrangência 
Cálculo da deformação do corpo 
Estudo da estabilidade do corpo quando ele está submetido a forças externas. 
Nomes 
Mecânica dos materiais e Mecânica dos corpos deformáveis 
Corpos sólidos considerados: Barras com carregamentos axiais, eixos em torção, 
vigas em flexão e colunas em compressão. 
 
 
 
Por que o entendimento do comportamento 
mecânico é essencial? 
Pense nos parafusos que são usados no 
acoplamento da estrutura apresentada na 
figura ao lado. 
 
 
 
 
 
Forças Externas: Força de superfície ou força de corpo. 
Forças de superfície: Causadas pelo contato direto de um corpo com a superfície 
de outro ⇒ Força distribuída na área de contato entre os corpos. 
Caso particular: Carga concentrada Por que? 
Forças de Corpo: Um corpo 
exerce uma força sobre outro, 
sem contato físico direto entre 
eles. Ex: Efeitos causados pela 
 gravidade da terra…etc 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Os objetivos do estudo da resistência dos materiais são: 
 
Analisar o comportamento dos elementos ou estruturas quando estes estão sendo 
solicitados; 
Determinar as propriedades dos elementos (dimensões, forma, material) que o 
fazem ser capaz de resistir à ação destas solicitações; 
Descobrir as possíveis causas das falhas dos elementos. 
 
12.2 Esforços externos ou carregamentos 
 
Os esforços externos que estão interagindo com o elemento a ser estudado, devem 
ser determinados com certa exatidão, para que o projeto seja valido. 
Os esforços externos podem ser divididos em: 
Forças externas; 
Momentos externos. 
 
Forças externas 
Quanto ao ponto de aplicação 
Quanto ao fato de serem ação ou reação 
Quanto em relação ao eixo 
Quanto à direção relativa a uma seção 
Quanto ao tipo de carregamento 
 
Força Normal N e Força Cortante Q 
A força normal N é perpendicular a superfície ou seção, enquanto que a força 
cortante Q é tangencial a esta superfície ou seção. 
 
Momentos externos 
Momentos de torção 
Momentos de flexão 
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Momento de Flexão 
 
O momento fletor tende a encurvar as barras ou eixos 
 
 
 
 
 
MOMENTO DE TORÇÃO 
 
O momento torçor ou torque tende a produzir giro ou deslizamento entre as seções 
de um eixo. 
 
 
 
 
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SOLICITAÇÕES MECÂNICAS 
 
COMBINAÇÃO 
 
 
 
 
12.3 Solicitações Simples 
 
São Cinco os tipos básicos de carregamentos (forças e momentos) que podem 
submeter os elementos de máquinas. 
Tração: Cabo de aço; 
Compressão: Latas de refrigerantes empilhadas; 
Corte ou cisalhamento: Chapas parafusadas, Corte de chapas (guilhotina); 
Flexão: Viga ou eixo; 
Torção: Chave apertando um parafuso. 
 
12.3.1 Tração 
 
 
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12.3.2 Compressão 
 
 
 
 
12.3.3 Cisalhamento ou corte 
 
Cisalhamento ou corte ocorre quando se aplica um esforço tangencial à área da 
seção transversal da peça de modo a produzir nesta área uma pressão maior que a 
máxima pressão (tensão admissível) suportada pela peça em questão. 
 
 
 
 
 
12.3.4 Flexão 
 
Flexão quando se aplica um esforço cortante na peça, as fibras superiores da peça 
serão comprimidas e as fibras inferiores serão tracionadas, ou vice-versa. 
 
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12.3.5 Torção 
 
Torção quando atuar um torque em uma de suas extremidades e um contra-torque 
na extremidade oposta. Assim, tendem a produzir rotação sobre o eixo longitudinal 
da barra. 
 
 
 
 
Resumo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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12.4 Solicitações Compostas 
 
Combinações das solicitações simples aplicadas em peças e elementos de 
máquinas. 
 
Eixo de transmissão 
 
 
 
Barra em forma de L 
 
 
 
Elo de corrente 
 
 
Viga e tirante 
 
 
 
 
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12.5 Ensaio de Tração 
 
 
 
 
 
 
12.5.1 Tensão Deformação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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