Aula 10 - Rotor Rígido

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Oscilador Harmônico Quântico
Construção do Hamiltoniano
Obtenção da Função de Onda
Obtenção da Função de Onda
Polinômios de Hermite
Obtenção da Energia
A expressão que descreve a energia de um sistema desse tipo é bem mais simples que a função de onda, sendo dependente do valor do número quântico : 
Onde:
 é um número inteiro qualquer: 
 é a frequência angular do oscilador: 
Propriedades da Solução
Propriedades da Solução
Princípio da Correspondência
A correspondência entre o resultado clássico e quântica fica clara neste sistema. 
Podemos observar que a medida que aumenta o valor no número quântico, e assim da energia do sistema, a densidade de probabilidade de encontrar a partícula se aproxima da forma da função clássica, como deveria ser esperado.
 
Tunelamento
Nesta figura colocamos, simultaneamente, as funções de onda dos cinco primeiro estados e a forma do potencial utilizado para descrever o movimento harmônico oscilatório. 
Classicamente, não deveria existir função de onda na região onde a energia potencial é máxima, pois não pode haver um sistema com energia cinética negativa. Entretanto, quanticamente, a função existe além desses limites.
Essa capacidade de uma partícula penetrar uma barreira de energia potencial maior que sua energia cinética já nos foi mostrada anteriormente. É o fenômeno do tunelamento.
Aula 10
O Problema do 
Rotor Rígido
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Partícula em um anel
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Partícula em um anel
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Construção do Hamiltoniano
Para este sistema, não temos qualquer potencial atuando sobre a partícula. Isto implica, como em outros casos que já vimos, que:
Dessa maneira, na expressão do Hamiltoniano teremos apenas o termo de energia cinética, já conhecido:
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Construção do Hamiltoniano
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Construção do Hamiltoniano
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Obtenção da Função de Onda
Aplicando este Hamiltoniano na equação de Schroedinger, obtemos a seguinte equação diferencial:
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Obtenção da Função de Onda
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Obtenção da Função de Onda
Podemos determinar o valor da variável utilizando uma propriedade da simetria do problema. A função deve se repetir a cada volta, ou seja, cada vez que o valor do ângulo variar de :
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Obtenção da Função de Onda
Analisaremos essa expressão reescrevendo a exponencial complexa pelo teorema de Euler:
Para que essa expressão seja satisfeita, o termo complexo deve ser igual a zero e o termo do cosseno deve ser igual a um. Isso será verdade apenas quando:
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Normalização da Função de Onda
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Obtenção da Função de Onda
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Obtenção da Energia
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Obtenção da Energia
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Propriedades da Solução
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Propriedades da Solução
Para relembrar, a função de onda tem a seguinte forma:
Onde:
 é o momento de inércia do sistema de uma partícula;
 é o número quântico: 
Note que todos os estados, com exceção de , são duplamente degenerados, por causo do sinal do número quântico.
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O Problema do Rotor Rígido
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Rotor Rígido
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Momento de Inércia
Para relembrar, o momento de inércia de um rotor rígido, como na figura mostrada, é dado por:
Onde:
 é a massa reduzida do sistema;
 é a distância entre os dois corpos;
A massa reduzida é obtida da relação entre as massas:
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Construção do Hamiltoniano
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Construção do Hamiltoniano
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Obtenção da Função de Onda
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Separação de Variáveis
Assim como fizemos no caso da partícula na caixa bidimensional e tridimensional, iremos propor uma separação de variáveis:
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Obtenção da Função de Onda
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Obtenção da Função de Onda
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Obtenção da Função de Onda
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Polinômios associados de Legendre
São funções matemáticas obtidas pelo francês Adrien Legendre que são soluções de equações diferenciais.
Estas funções são determinadas por dois números inteiros, que aqui chamamos de e :
 é um número inteiro positivo qualquer: 
 é um número inteiro entre e : 
	Dessa forma, os valores variam como: 
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Polinômios associados de Legendre
Nesta tabela temos exemplos de alguns destes polinômios.
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Obtenção da Função de Onda
Assim, podemos escrever a função de onda do rotor rígido:
Onde:
 é um número inteiro: 
 é um número inteiro entre e : 
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Obtenção da Energia
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Regras de Seleção
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Propriedades da Solução
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Momento Angular em Mecânica Quântica
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Momento Angular Clássico
Na Mecânica Clássica, aprendemos que o momento angular é uma grandeza vetorial relacionada com o momento de inércia e a velocidade circular.
Para um sistema de uma partícula, podemos escrever como:
 
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Construção do Operador
Podemos construir um operador relativo ao momento angular de uma partícula sem carga que se move em uma trajetória circular, como as dos casos que vimos na última aula.
Em analogia com o caso clássico, podemos propor:
Conhecemos os operadores de posição e momento linear, enunciados nos postulados. Dessa forma:
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Momento Angular Quântico
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Autovalor de Momento Angular
Operadores de momento angular possuem formas características de autovalores:
Onde temos os números quânticos:
 
Conforme vimos, a função de onda de um movimento circular em três dimensões é determinada por dois números quânticos que possuem uma relação entre eles. 
A energia e o momento angular total dependem apenas do valor de . Entretanto, a componente do momento angular é quantizada e dependente do valor de , que chamaremos de projeção do momento angular.
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Propriedades de Comutação
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Projeção do Momento Angular
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Projeção do Momento Angular
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Relação do Momento Angular e Energia
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Conclusões da aula de hoje
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Conclusões
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Próximas aulas
Próximas aulas
Na próxima aula partiremos para a resolução do problema do átomo hidrogenóide do ponto de vista da mecânica quântica.
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Até a próxima aula!