Calculo 1-b UFRGS

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MAT 0102 – Ca´lculo IB 2014/2
Lista de Exerc´ıcios 6
Exerc´ıcios
1. As func¸o˜es y = ln
(
x2
9
)
e y = ln
(
3x2
5
)
possuem a mesma derivada para todo x 6= 0?
2. A derivada da func¸a˜o y = 2x+ ln
(
5e3−2x
)
e´ nula para todo x?
3. Ao lado temos o gra´fico da derivada de f.
Dentre os gra´ficos abaixo, identifique aquele que poderia ser
o gra´fico de f e justifique por que os demais na˜o poderiam
ser.
b
-2 -1 0 1 2 3
-2
-1
0
1
2
-2 -1 0 1 2 3
-2
-1
0
1
2
b
bc
b
-2 -1 0 1 2 3
-2
-1
0
1
2
-2 -1 0 1 2 3
-2
-1
0
1
2
b
4. A func¸a˜o f(x) = ln
(
x4 + 2x2 + 1
)
, possui um mı´nimo relativo em x = 0?
5. O gra´fico da func¸a˜o y = e−8x
2+4 e´ coˆncavo para cima no intervalo (−∞,+∞)?
6. Considere a func¸a˜o g(x) = ln
(
x2 − 2x+ 3
)
.
a) Determine os intervalos nos quais g e´ crescente e aqueles nos quais e´ decrescente.
b) Com base no item a), determine os ma´ximos e os mı´nimos relativos de g, caso existam.
c) Com base nos itens anteriores, identifique, entre as opc¸o˜es abaixo, os gra´ficos de g e g′.
O gra´fico de g e´ o da figura .... abaixo e o gra´fico de g′ e´ o da figura .... abaixo.
1 2−1−2
y
x
figura A
1 2−1−2
y
x
figura B
1 2−1−2
y
x
figura C
7. Calcule o montante (ou saldo composto) apo´s 6 anos, sabendo que o capital inicial (tambe´m chamado
de Principal) de R$500, 00 foi composto anualmente, a uma taxa de 6% ao ano. (R: R$709, 26)
8. Calcule o montante apo´s 10 anos, sabendo que o capital inicial de R$50.000, 00 foi composto a cada
treˆs meses, a uma taxa de 9, 5% ao ano. (R: R$127.857, 61)
9. Sa˜o depositados R$4.000, 00 numa caderneta de poupanc¸a a juros de 3, 5%, compostos continuamente.
a) Qual sera´ o saldo apo´s 2 anos? (R: R$4.290, 03)
b) Quando o saldo atingira´ R$5000, 00? (R: 6, 4 anos)
c) Qua˜o ra´pido estara´ aumentando o saldo quando ele atingir R$5000, 00? (R; R$175, 00 por ano)
10. Cem ac¸o˜es de uma empresa de tecnologia foram compradas em 02/01/1990 por R$1200, 00 e vendi-
das em 02/01/1998 por R$12.500, 00. Qual a taxa anual de juros compostos continuamente que este
investimento rendeu? (R:29, 3%)
11. Quantos anos sa˜o necessa´rios para que um investimento dobre de valor, se estiver valorizando a` taxa
de juros de 4% ao ano, compostos continuamente. (R: 17, 3 anos)