APA - CÁLCULO AVANÇADO - LEI DE GAUSS ELETROSTÁTICA

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LEI DE GAUSS PARA A ELETROSTÁTICA 
A Lei de Gauss é um dos pilares da eletrostática e relaciona o campo elétrico 
gerado por distribuições de carga elétrica com a carga total contida em uma 
região do espaço. Essa lei está presente nas equações de Maxwell e possui 
duas formas fundamentais: a forma integral e a forma diferencial. 
Forma Integral da Lei de Gauss 
∮ E ⋅ dS = Q / ε₀ 
 
Onde: 
• E: vetor campo elétrico. 
• dS: vetor área orientado para fora da superfície fechada. 
• Q: carga total contida na superfície. 
• ε₀: permissividade elétrica do vácuo. 
 
A forma integral expressa que o fluxo do campo elétrico através de uma 
superfície fechada é proporcional à carga elétrica dentro dessa superfície. 
Forma Diferencial da Lei de Gauss 
 
∇ ⋅ E = ρ / ε₀ 
 
Onde: 
• ∇ ⋅ E: divergência do campo elétrico. 
• ρ: densidade volumétrica de carga elétrica. 
• ε₀: permissividade elétrica do vácuo. 
 
Essa forma descreve como a presença local de cargas elétricas influencia a 
divergência do campo elétrico. 
Ligação entre as Formas 
As formas integral e diferencial da Lei de Gauss estão conectadas pelo Teorema 
da Divergência: 
 
∭ (∇ ⋅ E) dV = ∮ E ⋅ dS 
 
Isso significa que o fluxo da divergência de E num volume V é igual ao fluxo de 
E na superfície que delimita V. 
Aplicações da Lei de Gauss 
A Lei de Gauss é especialmente útil para calcular o campo elétrico em sistemas 
com simetria, tais como: 
• Carga pontual (simetria esférica). 
• Casca esférica carregada. 
• Fio infinito uniformemente carregado (simetria cilíndrica). 
• Plano infinito com carga superficial (simetria planar). 
Ela permite determinar o campo elétrico de forma mais simples do que usar 
diretamente a Lei de Coulomb. 
Exemplo de Exercício Resolvido 
Considere uma carga pontual Q colocada no centro de uma esfera de raio R. 
Qual o fluxo elétrico através da superfície da esfera? 
 
Solução: 
Como a esfera é simétrica e a carga está no centro, aplicamos a Lei de Gauss: 
∮ E ⋅ dS = Q / ε₀ 
 
O fluxo elétrico através da superfície esférica é: 
Φ = Q / ε₀ 
Ou seja, depende apenas da carga total interna e não do raio da esfera.