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17. TEOREMA DE GAUSS
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Teoria Exercícios NESSE CAPÍTULO VOCÊ TAMBÉM PODE: Ver em Vídeo Introdução O Teorema de Gauss, também conhecido como Teorema da Divergência, relaciona uma integral tripla sobre um volume com uma integral de superfície sobre a sua fronteira, que chamamos de . Você vai perceber que esse teorema possui certa semelhança com os teoremas de Stokes e Green. Para aprender a aplicar o Teorema de Gauss, 17. TEOREMA DE GAUSS � ¼� HOME LIVROS RESOLVIDOS PLANOS JUNTE-SE A NÓS FALE CONOSCO Voltar CÁLCULO 3 Guia Provas 1. O Que São Integrais Duplas 2. Integrais Duplas Sobre Regiões Gerais 3. Mudança de Variáveis 4. Coordenadas Polares 5. Integrais Triplas 6. Coordenadas Cilíndricas 7. Coordenadas Esféricas 8. Integrais de Linha - Caso Escalar 9. Integrais de Linha - Caso Vetorial 10. Teorema de Green 11. Campos Conservativos 12. Parametrização de Superfícies 13. Áreas de Superfícies 14. Integrais de Superfície - Caso Escalar você precisa ter dois conceitos em mente. Primeiro, temos que saber como orientar essa superfície que limita o sólido . Você já viu que uma superfície é orientada por um campo vetorial de vetores normais a ela, mas há dois possíveis, qual escolhemos? Para uma superfície que limita um sólido estar orientada positivamente, seu vetor normal deve sempre apontar para fora do sólido. Veja a figura abaixo: ¼3 � * � Caso Escalar 15. Integrais de Superfície - Caso Vetorial 16. Teorema de Stokes 17. Teorema de Gauss Teoria Exercícios A região está compreendida entre duas esferas de raios diferentes. Como você pode ver, sempre aponta para fora de . Agora precisamos introduzir outro conceito: o divergente de um campo vetorial. Para isso, considere um campo que tenha derivadas parciais definidas no . Sendo assim, seu divergente é dado por: Podemos obter essa expressão fazendo o produto escalar: Onde é o operador de derivadas parciais: � �* � � �4 5 6� � � � �� � � � � � � � � %2� � � � �� � ¼� � ¼4 ¼� � ¼5 %2� � � ¿� �� � � � ¿ ¿ � � � � � ¼ ¼4 ¼ ¼5 ¼ ¼6 Observação: Não confunda divergente com rotacional! O divergente é obtido por um produto escalar com o operador , o que resulta em um número, enquanto o rotacional é obtido por um produto vetorial, o que resulta em um vetor. Definição Sendo uma superfície orientada positivamente, fronteira de uma região sólida e um campo vetorial que tenha derivadas parciais contínuas em , pelo Teorema de Gauss pode-se afirmar que: Em outras palavras, esse teorema afirma que, nessas condições acima, o fluxo de ¿ ¼� � � � � � � / � � � ¼� � � * � � � 3 � � pela superfície é igual à integral tripla do divergente desse campo em . Quando você cair, então, nessa integral tripla, precisará usar aqueles recursos que você já aprendeu para resolvê- la: mudanças esféricas, cilíndricas etc, então é uma boa dar uma revisada nisso! Para aplicar esse teorema é muito importante que você tenha isso em mente: a região deve ser limitada, fechada, pois ela é um sólido. Veja esse exemplo: Digamos que seja pedido o fluxo de sobre essa superfície azul, um semicone e ¼� � � � � que você queira aplicar o Teorema de Gauss. Primeiramente, você deve definir sua região , pois a superfície dada não limita nenhuma região, ou seja, você deve “fechar” a região. Como? Depende do problema, procure sempre simplificar as contas. Vamos utilizar, pó exemplo, um plano. Agora sim, temos uma região , compreendida entre o plano e o semicone. Temos, então: � � � � / �� � /!)%�+*! � � * � � , � � Podemos, então, calcular o fluxo sobre a superfície azul dessa forma, utilizando a definição de integral de superfície para a integral sobre o plano. Esse raciocínio é muito semelhante ao que vimos com o Teorema de Green, muitas vezes tínhamos que fechar a curva dada pelo problema. Exemplo: Calcule o fluxo , onde e é a superfície do sólido limitado pelo cilindro e os planos e , com a normal apontando para fora da superfície. Passo 1: Vamos fazer um gráfico dessa região � � / �� � /!)%�+*! � � * � � � � /� � � � � * � 4 5 6 � �4 � 5 � � 5 � 4 � � � � �4 � 5 � 6 � � 6 � Ã� Como a região limitada por é fechada e está orientada positivamente, podemos aplicar o Teorema de Gauss, temos: Passo 2: Calcular Passo 3: Montar a integral � � � / � %2�� � � � � � � 3 %2� �� � %2� � � � �� � ¼� � ¼4 ¼� � ¼5 � / � �� � � � � � � 3 5 � Onde Passo 4: Vamos fazer, agora, a substituição cilíndrica. A região passa a ser descrita como , , e a integral passa a ser: Passo 5: Resolver a integral � � ��4 5 6� � Î Î 4 � 5 � 4 � . DPT J 5 � .�/!*�J 6 � 6 ]� ] � . . Þ � � Þ J Þ �R Ã� Þ 6 Þ � � �� � Ã� � �R � � � � . DPT J � . J � � Ã� � �R � � � � . � � J 6� � Ã� � �R � . � � Î Î Î .�� .�� Ir para Exercícios Beleza? Vamos à prática agora! � 6 � � � � � Ã� J] J��R J�� � � R � � � Ã� 6] 6�� 6�Ã� R Políticas de Privacidade Termos de Uso Time Planos Procon RJ
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