12. PARAMETRIZAÇÃO DE SUPERFÍCIES

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Teoria Exercícios
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Definição
Antes de aprendermos
a integrar em
superfícies, precisamos
saber como descrevê-
las. Basicamente, as
superfícies podem ser
escritas em três formas
principais:
Forma implícita: quando
temos 
Por exemplo, a equação
de um plano 
.
Forma explícita: quando
isolamos uma das
12.
PARAMETRIZAÇÃO
DE SUPERFÍCIES
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5
 6
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4 � 5 � 6 � �
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CÁLCULO 3
Guia Provas
1. O Que São Integrais Duplas
2. Integrais Duplas Sobre
Regiões Gerais
3. Mudança de Variáveis
4. Coordenadas Polares
5. Integrais Triplas
6. Coordenadas Cilíndricas
7. Coordenadas Esféricas
8. Integrais de Linha - Caso
Escalar
9. Integrais de Linha - Caso
Vetorial
10. Teorema de Green
11. Campos Conservativos
12. Parametrização de
Superfícies
Teoria Exercícios
13. Áreas de Superfícies
variáveis e temos 
, 
ou .
No exemplo anterior,
teríamos:
Forma paramétrica:
escrevemos as
coordenadas , e dos
pontos da superfície em
função de dois
parâmetros. Como assim?
Vamos explicar!
Lembra que, para
parametrizarmos uma
curva (linha), tínhamos
que escrever cada uma
de suas coordenadas
em função de um único
parâmetro? Por
exemplo, a reta 
 poderia ser
parametrizada como 
, uma função
vetorial de parâmetro 
.
6 � "	4
5
 5 � "	4
 6
4 � "	5
 6
6 � Ã4 Ã 5
5 � Ã4 Ã 6
4 � Ã5 Ã 6
4 5 6
5 � 4 � �
	4
 �4 � �
4
14. Integrais de Superfície -
Caso Escalar
15. Integrais de Superfície -
Caso Vetorial
16. Teorema de Stokes
17. Teorema de Gauss
A diferença agora é
que, para descrever
uma superfície, nós
teremos dois
parâmetros (pois temos
uma “área”). Assim
como as curvas, as
superfícies podem ter
mais de uma
parametrização, então,
cabe a nós, escolher a
que for melhor para a
questão.
Dizemos, então, que
uma superfície do 
é parametrizada por
uma função vetorial ,
tal que:
Dentro de um domínio 
 do plano .
Utilizamos e como
parâmetros, mas você
pode escolher a
variável que quiser.
Essa forma, a
paramétrica, é a que
utilizaremos para o
cálculo de integrais de
superfícies, vamos dar
ênfase a ela.
Exemplo: Vamos
�
�
�
X
X 	1
 �2
 � 	4 	1
 �2
 �5 	
� 12
1 2
analisar a esfera de
equação 
.
Sua forma implícita é
Sua forma explícita
(em função de e ) é
Agora vamos
parametrizar a
superfície em termos
de e . Uma forma
bem direta seria fazer 
 e e
escrever em função
dessa definição, ou
seja, 
.
No plano , teríamos 
 como
domínio, então, no
plano , temos 
Essa seria uma
parametrização para a
parte superior da
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�
5
�
6
�
� � Ã � � �4
�
5
�
6
�
4 5
6 � e � Ã Ã4
�
5
�
à ÃÃÃÃÃÃÃÃ
�
1 2
4 � 1 5 � 2
6
6 � � Ã Ã
1
�
2
�
à ÃÃÃÃÃÃÃÃ
Ê
X 	1
 �2
 � �1
 �2
 � � Ã
ÃÃÃ
�
45
� Þ �4
�
5
�
12
� � \	1
 2
�]� � Þ1
�
2
�
esfera.
Porém, raízes podem
não ser muito
agradáveis de ser
trabalhar, né? Ainda
mais quando
envolvemos integrais
na história. Então,
assim como para as
circunferências, que
parametrizamos com
coordenadas polares,
para as esferas
usaremos coordenadas
esféricas. Você se
lembra dessas
coordenadas?
Definimos as
coordenadas esféricas
assim:
Como nossa esfera tem
raio , podemos,
então, parametrizá-la
assim:
4 � S DPT J TFOD
5 � S TFO J TFOD
6 � S DPTD
S � �
X 	J
 �D
 � 	DPT J TFOD
 TFO
O domínio será 
Esse ângulo é o que
costumávamos chamar
de .Veja que não
varia em nossa
parametrização pois
estamos nos referindo
à superfície,da esfera,
ou seja, à sua casca.
Exemplo: Vamos ver,
agora, um exemplo ao
contrário. Que
superfície é essa
abaixo?
O que essa
parametrização nos diz
é que
, , 
Agora, para reconhecer
essa superfície, vamos
encontrar uma relação
entre essas equações,
ou seja, juntá-las
novamente. Perceba
que , pois:
� � \	J
 �D
�]�� Þ J Þ �
D
X S
X 	1
 �2
 � 	DPT1
 �2
 TFO
4 � DPT1 5 � 2
6 � TFO1
� � �4
�
6
�
� � �	DPT1
�
	TFO1
�
Isso nos dá uma
circunferência no
plano . Temos,
também, um termo
independente, , o
que significa que essa
circunferência se
repete ao longo desse
eixo, ou seja, para todo 
. Essa não é a
descrição de um
cilindro? Veja:
Superfícies de
revolução
Primeiramente, o que é
uma superfície de
revolução? É a
superfície gerada
quando rotacionamos
uma curva em torno de
um eixo, formando,
46
5 � 2
5
portanto, uma simetria
em relação a ele.
As superfícies de
revolução mais
conhecidas são o
cilindro (que acabamos
de ver) e o cone. Mas
temos muitas outras,
como, por exemplo, o
paraboloide elíptico de
seção circular, que é a
rotação de um arco de
parábola em torno de
seu eixo de simetria,
veja:
Temos também
superfícies de
revolução sem nomes
específicos, pois
podemos rotacionar
qualquer curva em
torno que qualquer
eixo arbitrário. Por
isso, vamos definir
uma forma de
parametrização bem
geral que serve para
qualquer superfície de
revolução.
Vamos tomar uma
função qualquer 
, do plano ,
e rotacioná-la em torno
do eixo , gerando a
seguinte superfície:
Agora, vamos
descrever essa
superfície. Suponha
que a função 
seja parametrizada por
, com
parâmetro . Vamos
deduzir a
parametrização da
superfície a partir
disso. Veja que o valor
5 � "	4
 45
5
5 � "	4
	4 	0
 �5 	0
0
da variável não se
altera, pois é medido
no eixo de rotação. Já
as variáveis e ,
dependem do ângulo
de rotação , como
você pode ver na figura
abaixo.
Podemos interpretar 
 como sendo o
“raio” de rotação, ou
seja, a distância até o
eixo . Assim, você
pode ver que a
superfície terá 
, o cateto
adjacente ao ângulo e 
, o cateto
oposto. Portanto, a
superfície pode ser
parametrizada por:
5
4 6
J
4	0
5
4 � 4 	0
 DPT J
6 � 4 	0
 TFO J
X 	J
 0
 � 	4 	0
 DPT J
 �5
Em resumo: temos uma
curva no plano e
vamos girá-la em torno
de . A variável ,
paralela ao eixo de
rotação não se altera, 
. As outras
duas variáveis serão
escritas em função de 
, a coordenada da
parametrização da
curva que nos restou.
Como é pertencente
ao plano a curva,
apresentará e ,
não pertencente,
apresentará . Esse
raciocínio pode ser
seguido para rotação
em torno dos eixos e 
 também!
45
5 5
5 � 5	0
4	0
4
DPT J 6
TFO J
4
6
Caso especial
Essa forma de
parametrização serve,
também, quando
giramos a curva em
torno de eixos
paralelos aos eixos
coordenados, por
exemplo:
Se formos girar a curva
em torno do eixo 
, podemos
raciocinar da mesma
forma que acabamos
de fazer, basta pensar
que o novo “raio” de
rotação é ,
então teremos para a
rotação em torno de :
Exemplo: Seja o
4 � �
<4 	0
 Ã �>
5
X 	J
 0
 � 	<4 	0
 Ã �> DPT
�
�
segmento de reta do 
que liga os pontos 
 e ,
parametrize a
superfície obtida na
rotação de em torno
do eixo .
Passo 1: Esse segmento
pertence ao plano ,
pois tanto o ponto
inicial como o final
apresentam .
Vamos fazer um gráfico
para compreender
melhor.
A rotação desse
segmento em torno de 
 gera um tronco de
cone.
Passo 2: Vamos, agora,
parametrizar esse
segmento, pelo
seguinte método
�
�
	�
�
 �
 	�
�
 �
�
�
6
46
5 � �
6
Ã¥Ã
Onde é um ponto da
reta e é um vetor
paralelo a ela.
Calculamos esse vetor
fazendo a diferença
entre os pontos dados
pelo problema:
Onde , pois
quando temos o
ponto e quando 
 temos .Passo 3: Agora vamos
rotacionar esse
segmento. Como o eixo
de simetria é o , temos
. Já que a curva
pertence ao plano , a
coordenada virá
acompanhada do
cosseno, a coordenada 
 terá, então, o seno.
Vamos montar a
parametrização da
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à ¥Ã
2
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6 � 6	0
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4
5
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Capítulo
seguinte forma:
Substituindo os valores
da parametrização de 
:
Onde e 
 (pois temos
uma volta completa).
Beleza? Vamos ver uns
exercícios agora!
X 	J
 0
 � 	4 	0
 DPT J
4 	
�
X 	J
 0
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 DPT J
� Þ 0 Þ �
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