02. INTEGRAIS DUPLAS SOBRE REGIÕES GERAIS

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Teoria Exercícios
Introdução
Para as integrais simples, a região em que
integramos é sempre um intervalo, certo? Seja da
variável ou . Porém, quando temos duas
variáveis, a história já é outra: nosso domínio pode
ser diversos tipos de área. Bom você já viu como
calcular integrais duplas sobre retângulos, mas e
se quisermos integrar em uma região qualquer?
Tem um teorema que nos permite fazer isso.
Imagine uma região fechada, representada na
figura abaixo em verde. Ela sempre estará contida
dentro de um retângulo maior , certo?
Vamos definir, então, uma função que seja assim:
Sendo assim, podemos dizer que é verdade que:
Pensa bem: nossa função tem valor nulo fora
de , portanto, essa região "a mais" não
acrescenta nada para a nossa Integral. Não é?
Agora, para calcularmos a integral nessa região,
02. INTEGRAIS DUPLAS SOBRE REGIÕES
GERAIS
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CÁLCULO 3
Guia Provas
1. O Que São Integrais Duplas
2. Integrais Duplas Sobre
Regiões Gerais
Teoria Exercícios
3. Mudança de Variáveis
4. Coordenadas Polares
5. Integrais Triplas
6. Coordenadas Cilíndricas
7. Coordenadas Esféricas
8. Integrais de Linha - Caso
Escalar
9. Integrais de Linha - Caso
Vetorial
10. Teorema de Green
11. Campos Conservativos
12. Parametrização de
Superfícies
13. Áreas de Superfícies
14. Integrais de Superfície -
Caso Escalar
15. Integrais de Superfície -
Caso Vetorial
16. Teorema de Stokes
17. Teorema de Gauss
vamos separá-la em integrais simples:
Acontece que, quando nossa região não é um
retângulo, não podemos descrevê-la apenas por
intervalos de números , , e , pois ela não será
limitada por retas, mas sim por funções, curvas
como , por exemplo. Ok, e agora? O que
fazer?
Sem problemas, digamos que varie entre dois
números ( máximo e mínimo) e varie entre as
funções e . Quando está fora desse
intervalo temos , certo?
Enquanto dentro, temos . Assim,
podemos escrever a integral em como:
Em resumo, é isso aqui o que você precisa saber!
Também podemos escrever como integrais iteradas
as integrais duplas em regiões que não são
retângulos, a diferença é que teremos funções nos
limites de integração para uma das variáveis.
Mas porque apenas para uma das variáveis? Pensa
bem, depois que nós resolvermos a integral de
dentro, vai sobrar apenas uma integral simples,
não é? E os limites de integração de uma integral
simples são números! Como você já está cansado
de ver. Vamos ver melhor como isso funciona
daqui a pouco.
Tipos de regiões
Bom, você acabou de ver que, para integrarmos em
regiões gerais, devemos ter uma variável limitada
por constantes e a outra, por funções. Agora, é
fundamental que você saiba como escrever a
região de integração. Para entendermos isso
melhor, vamos dividir as regiões em 2 tipos:
Regiões do Tipo I: são as regiões contínuas em , o
que significa que precisamos apenas dos valores
inicial e final dessa variável ( e ). Neste caso,
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o intervalo de integração de será dado por duas
funções de ( e ). Descrevemos essas
regiões assim:
Graficamente, uma região genérica desse tipo é
assim:
Você pode pensar dessa forma: em cima e embaixo
a região é limitada por funções (a curvas em azul),
já na esquerda e na direita, por números (as retas
tracejadas). Visualizou?
A integral sobre esse tipo de região é, então, escrita
dessa forma (como já vimos):
Exemplo: Calcule , onde é a região
entre a parábola e a reta .
Primeiramente, precisamos escrever
matematicamente essa região.
Olhando para figura abaixo, vemos que varia
entre e (onde a reta e a parábola se
encontram), enquanto varia entre as duas
funções. Logo, podemos escrever a região como:
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Repara que é maior ou igual à função “de baixo”
(em azul) e menor ou igual à “de cima” (em rosa).
Nossa integral passa a ser, então:
Nada demais, né? Beleza, vamos continuar.
Regiões do Tipo II: são o oposto das regiões do
tipo I, portanto, contínuas em . Ou seja, em ,
temos um intervalo definido (números), já em , a
região é limitada por funções. Elas podem ser
escritas assim:
O gráfico de uma região genérica desse tipo seria
assim:
5
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 Þ 4 Þ 	5
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Se você reparar, na esquerda e na direita, a região
é limitada por funções (as curvas em azul), já em
cima e embaixo, por números (as retas tracejadas).
Com o mesmo raciocínio que usamos nas regiões
do tipo I, concluímos que, as integrais para as
regiões do tipo II podem ser escritas assim:
OBS: Algumas regiões podem ser escritas tanto
como tipo I como tipo II. Nesse caso, você decide a
forma que achar mais simples ou melhor para a
questão!
Mudança da ordem de integração
Muitas vezes, uma integral parece muito complexa
quando olhamos de primeira, mas quando
trocamos sua ordem de integração percebemos
que ela se torna muito mais fácil. Outras vezes, o
próprio exercício vai dizer para você inverter essa
ordem.
Mas o que é trocar a ordem de integração? Não é
simplesmente inverter e ! Não faça isso,
nunca!! Sério.Você tem também que reescrever os
intervalos de integração. Como assim? Olha só.
Vamos tomar um exemplo:
Essa região está escrita como tipo I (o intervalo de 
 são números e o de , equações), inverter sua
ordem de integração significa escrevê-la como tipo
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II. Teremos algo assim:
Mas quais são os intervalos? Não tenta adivinhar!
Faz um esboço para ver melhor.
Passo 1: Desenhar a reta : encontre os
pontos onde ela corta os eixos
Ela vai cortar o eixo no ponto em que tiver 
, certo? Então faremos:
E vai cortar o eixo no ponto em que 
Passo 2: Desenhar a parábola : como o
número que multiplica o termo é negativo, você
já sabe que a parábola está virada para baixo. Mas
onde ela encontra a reta? Vamos igualar as duas
equações para saber:
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Passo 3: São os pontos e , exatamente
onde a reta corta os eixos. Agora vamos reescrever
os intervalos. O valor de varia entre e como
podemos ver pelo gráfico.
O de deve variar entre as equações da reta e da
parábola, porém, com em função de , ou seja,
termos o isolado.
 (pois temos 
Assim, a integral passa a ser:
Note que os novos intervalos não são os outros
invertidos! São completamentediferentes.
Beleza? Vamos ver uns exercícios agora!
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