01. O QUE SÃO INTEGRAIS DUPLAS

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Teoria Exercícios
Definição
Até aqui você já aprendeu o que são Integrais de funções de uma
variável e diversas técnicas chatas e trabalhosas para calculá-las.
Agora, vamos levar essa ideia para mais dimensões: Integrais de
funções de duas variáveis (calma, não chore). Como assim? Antes, você
calculava integrais de funções do tipo , certo? Agora,
vamos ver como integrar funções de e , como 
. Não é tão bizarro quanto parece :D
Vamos pegar uma função real contínua, (a superfície azul
da figura, por exemplo) e o domínio , (o retângulo hachurado
embaixo dela). Essa superfície, o retângulo e os planos laterais 
, , e formam uma região fechada, certo? (um
bloco, dá uma olhada). 
Lembra que você aprendeu que, para as funções de uma variável, a
integral pode ser representada pela área entre a função e o eixo
coordenado ( ? Aqui, temos algo parecido: o que chamamos de
Integral Dupla de em é exatamente o volume dessa região que fica
embaixo de , escrevemos assim: 
 ou 
(sendo a área de ).
O que você acabou de ver é a interpretação geométrica de integral
dupla. Agora, vamos definir esse conceito de forma mais matemática
(eba), como fizemos com as Integrais Simples.
Vamos pegar nossa função e a região 
 (ou seja, e ). Nós queremos
calcular o volume da região e, para isso, vamos dividir a área de 
 em vários sub-retângulos. Faremos isso repartindo o intervalo em
 partes e o em partes, criando uma “malha” como você vê
abaixo:
01. O QUE SÃO INTEGRAIS DUPLAS
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CÁLCULO 3
Guia Provas
1. O Que São Integrais Duplas
Teoria Exercícios
2. Integrais Duplas Sobre
Regiões Gerais
3. Mudança de Variáveis
4. Coordenadas Polares
5. Integrais Triplas
6. Coordenadas Cilíndricas
7. Coordenadas Esféricas
8. Integrais de Linha - Caso
Escalar
9. Integrais de Linha - Caso
Vetorial
10. Teorema de Green
11. Campos Conservativos
12. Parametrização de
Superfícies
13. Áreas de Superfícies
14. Integrais de Superfície -
Caso Escalar
15. Integrais de Superfície -
Caso Vetorial
16. Teorema de Stokes
17. Teorema de Gauss
Até aqui sem muito mistério, né? Beleza, vamos lá.
Para um ponto arbitrário de cada um desses sub-retângulos
(um ponto qualquer mesmo), temos um valor correspondente de 
representado acima deles. Formamos, assim, várias colunas no
domínio , que, se somadas, aproximam o valor do volume , dá uma
olhada:
Cada uma dessas “caixas” tem volume dado pelo valor da área da sua
base vezes sua altura , ou seja, , certo? Se
somarmos todos esses pequenos volumes, temos a Soma Dupla de
Riemann (muito parecida com o que você viu para uma variável):
A soma é dupla porque temos duas dimensões, e !
Nossa intuição nos diz que, quanto menores esses sub-intervalos (e,
portanto, menores essas "caixas"), melhor será essa aproximação de 
. Assim, vamos fazer e tender ao infinito, o que nos dá
exatamente a definição de Integral dupla.
É claro que, nesse caso, nossa função é positiva e, portanto, essa
integral dupla representa o volume abaixo dela, mas podem ocorrer
casos em que teremos números negativos. Sem problemas! A integral
existe, apenas não representa um volume. Tínhamos algo parecido
com as integrais simples, lembra? Quando a função se encontrava
abaixo do eixo , sua integral em era um número negativo.
Propriedades
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Partindo da definição de integral dupla, podemos deduzir algumas das
suas propriedades fundamentais, que são, basicamente, as mesmas
das Integrais Simples:
Linearidade: quer dizer que a Integral da soma de duas funções é a
soma de cada Integral e que, quando temos uma constante 
 multiplicando uma função, podemos colocá-la para "fora" da
Integral.
Exemplo:
Monotonicidade: Wtf?! Calma, ignora o nome bizarro. Essa
propriedade diz apenas que, se temos duas funções tais que ,
teremos:
O que faz sentido, né? Pensa bem, se está mais "afastada" do plano 
, o volume embaixo dela será maior que o abaixo de . Repare que
ambas as funções estão sendo integradas em .
Aditividade: essa propriedade é bem intuitiva, nos permite dividir
nossa área de integração em sub-áreas , e , por exemplo. Assim,
teremos:
Ou seja, podemos integrar separadamente em cada parte da região ,
o que vai ser muito útil para a gente mais à frente!
Integrais iteradas
Agora você sabe que o que são integrais duplas, mas surge a questão:
como calculá-las? Agora a coisa ficou séria. Tem um teorema muito
simples (e importante!) que facilitará sua vida, é o Teorema de
Fubini, que transforma as integrais duplas em duas integrais simples,
que nós sabemos calcular. Segundo ele, se é contínua em um
retângulo , então:
Repara só, nós temos uma integral em , com limites de integração e 
 e uma em , com limites e , o que faz muito sentido, não é? Já que
retângulo é .
Esse Teorema é muito útil, pois nos permite não apenas integrar a
função em e separadamente, como também trocar essa ordem de
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integração.
Nas questões que você vai resolver, as integrais não serão escritas com
esses colchetes, então, é importante que você se lembre de
que sempre deve começar pela integral de dentro! Em regiões mais
complexas, essa ordem faz muita diferença.
Exemplo: Calcule , sendo a região do plano tal que 
 e .
Passo 1: Segundo o Teorema de Fubini, podemos separar essa integral
dupla em duas integrais simples, dessa forma:
Note que o intervalo da integral de fora se refere a , enquanto o de
dentro, a .
Passo 2: Agora, você deve resolver a integral de dentro, esquecendo,
por enquanto, a de fora. Como você vai integrar em , considere a
variável como se fosse uma constante (mesmo conceito que
utilizamos em derivadas parciais).
Passo 3: Agora sim, integraremos em , substituindo o valor que
encontramos na 1ª integral:
Assim:
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