Combinação Linear e Dependência Linear

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Geometria Analítica
Seção 2 – Combinação Linear / Dependência Linear
Objetivos:
O aluno deverá reconhecer a definição geométrica de dependência linear de vetores, sua caracterização algébrica e aplicações.
Introdução
No estudo de Geometria em três dimensões encontra-se com frequência situações de paralelismo entre retas, planos, ou entre retas e planos. 
A dependência linear é uma das ferramentas utilizadas em tais situações. 
Um vetor não nulo é paralelo a uma reta (respectivamente, ao plano) se tem um representante (A,B) tal que o segmento AB seja paralelo à reta (respectivamente, ao plano). 
Observações
Dois vetores paralelos a uma mesma reta são paralelos (mas cuidado: dois vetores paralelos a um mesmo plano podem não ser paralelos!)
Se é paralelo à reta r (respectivamente ao plano ), então existe um representante (A,B) de tal que o segmento AB esteja contido em r (respectivamente ao plano ).
Notação de paralelismo: 
Observações
Sendo n um número natural não nulo, o símbolo indica a sequencia, ou n-upla ordenada, dos vetores (n-upla lê-se ênupla). Informalmente, trata-se do conjunto formado por , considerados na ordem em que estão escritos. Isso quer dizer que:
Se n = 2, trata-se de um par ordenado; se n = 3, 
de uma tripla ordenada.
O conceito de dependência linear de uma sequencia será definido caso a caso, conforme o valor de n.
(continuação)
Observações
Definição
Uma sequencia é linearmente dependente se e linearmente independente se .
Um par ordenado é linearmente dependente se e são paralelos ou colineares. Caso contrário, é linearmente independente.
Uma tripla ordenada é linearmente dependente se 
 são paralelos ou colineares a um mesmo plano. Caso contrário, é linearmente independente.
Se , qualquer sequencia de n vetores é linearmente dependente. 
(continuação)
Observações
Adotaremos as abreviaturas LD para Linearmente Dependente e LI para Linearmente Independente.
Exemplo: Os vetores = (1, -1, 0), = (1, 3, -1) e 
 = (5, 3, -2) são dependentes, pois 3 + 2 - = .
(continuação)
Definição LD/LI
LD para Linearmente Dependente e LI para Linearmente Independente
Se , dizemos que é combinação linear de ou que é gerado 
por . Os escalares são chamados coeficientes da combinação linear.
Definição LD/LI
Exemplo
²:
(continuação)
x
y
v1
v2
Definição LD/LI
Exemplo
3:
(continuação)
z
y
x
z
y
x
Definição LD/LI
Exemplo
Se é LI, então é LD se, e somente se, é gerado por .
 é LD se, e somente se, um dos vetores é gerado pelos outros dois.
Se é LI, então qualquer vetor é combinação linear de 
 . 
Uma sequencia , em que , é LI se, e só se, a equação admite apenas a solução nula: 
Uma sequencia , em que , é LD se, e só se, a equação admite solução não nula: 
(continuação)
Definição de norma (módulo)
x
a
y
b
 a
 b
No triangulo retângulo acima temos que é a hipotenusa, então aplicando o teorema de Pitágoras (soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa). 
Definimos o comprimento (módulo ou norma) de um vetor 
 , no plano pela expressão:
Definição de norma (módulo)
Em geral,
 , onde 
Uma das bases mais utilizadas em ³ (é conhecida como base canônica ou usual) e é formada por um conjunto com três vetores unitários. 
Base: Uma tripla ordenada LI chama-se base de ³.
(continuação)
Vetores 
A base canônica do 3
é:
A base canônica do 3
Estes três vetores formam a base canônica para o espaço ³, o que significa que todo vetor no espaço ³ pode ser escrito como combinação linear dos vetores , e , isto é, se 
 , então:
 
Exemplo:
O vetor pode ser escrito na forma
(continuação)