Apostila Completa C_lculo 1

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Profa. Roseli Camargo da Silva de Paula
2010
Responsabilidade é saber que cada um de meus atos vai me construindo, vai me definindo, vai me inventando. Ao escolher o que quero fazer vou me transformando pouco a pouco.	
(Savater, 1998, p. 111).
Programa
Funções de uma Variável Real, Limite, Continuidade, Derivada de uma Função.
Objetivos
Criar habilidades matemáticas para utilização na vida profissional. Obter conceitos matemáticos e raciocínio lógico para situações do dia a dia. Aprender a usar noções de Cálculo Diferencial como forte ferramenta de trabalho.
Ao final do componente curricular o aluno deve ser capaz de:
Identificar funções através de tabelas, gráficos e leis de associação;
Construir gráficos de funções;
Calcular limites utilizando as técnicas desenvolvidas;
Calcular derivadas utilizando as técnicas desenvolvidas;
Aplicar os conceitos na resolução de problemas.
Sistema de avaliação 
O processo de avaliação obedecerá aos critérios estabelecidos pelo Regimento da Universidade.
A – se o aluno atingiu todos os objetivos do componente curricular;
B – se o aluno atingiu a maioria dos objetivos do componente curricular;
R – o aluno não atingiu o mínimo dos objetivos do componente curricular.
A avaliação da participação do aluno será feita através de listas de exercícios (em classe ou extraclasse). A entrega de todas as listas de exercícios no prazo determinado é obrigatória para atribuição de um conceito. Esse conceito poderá substituir uma prova. Serão realizadas três provas individuais e escritas, nas quais o aluno, para ser aprovado, deverá obter conceito A ou B. Para o aluno que obtiver conceito R será aplicada uma prova substitutiva ao final do semestre envolvendo o conteúdo da(s) prova(s) em que obteve R; neste caso será aprovado se obter conceito A ou B.
Bibliografia 
- GUIDORIZZI, H. L. Um curso de Cálculo. Rio de Janeiro: Livros Técnicos Científicos, 2002. v. 1.
- ANTON, H. Cálculo: um novo horizonte. 6ª ed., vol. 1. Porto Alegre: Bookman, 2000.
- HUGHES, Hallett et al. Cálculo e Aplicações. SãoPaulo: Edgard Blucher, 1999. v. 1.
- SWOKOWSKI, E. W.. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Makron Books do Brasil, 1994.
- LEITHOLD, L.. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Harbra, 1982. v. 1.
- ÁVILA, G.. Cálculo 1: Funções de Uma Variável. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1983. 
- SIMMONS, G. F.. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Makron Books do Brasil, 1987.
- LARSON, R. E. et al. Cálculo com aplicações. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1998.
e-mail e/ou msn: roseli.paula@prof.uniso.br
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“Dicas” para aprender a matéria e ser aprovado na disciplina
... Sofia lembrou-se muito bem de situações nas quais sua mãe ou o professor da escola tinha tentado lhe ensinar alguma coisa para a qual ela não estava receptiva. Todas as vezes que ela havia realmente aprendido alguma coisa, isto só tinha acontecido graças a uma ajuda que partira dela mesma.
 (Gaarder, 1995, p. 74).
Bom semestre e Bom curso. 
0. REVISÃO BÁSICA
Números Reais
Os números com os quais trabalhamos mo curso de Cálculo Diferencial e Integral, são os números reais. Dentre eles, destacamos os números naturais, números inteiros e números racionais. 
Os números naturais são utilizados para a contagem de objetos, pessoas, quantidades em geral. Denotamos por |N o conjunto dos números naturais.
|N ={0,1,2,3,....}
 
Se somarmos ou multiplicarmos dois números naturais, o resultado será um número natural. Porém, se subtrairmos dois números naturais, o resultado pode não ser um número natural. Por exemplo, 3-5 = -2 não é um número natural.
Assim, precisamos recorrer a outro conjunto, o conjunto dos números inteiros, denotado por Z.		
Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
Nesse conjunto efetuamos, sem restrições, adições, multiplicações e subtrações. Porém a divisão entre dois números inteiros, nem sempre, é um número inteiro. Por exemplo, 4/7 não é um número inteiro.
Precisamos, então, dos números racionais, que são os números que podem ser representados sob a forma de fração 
,com a e b números inteiros e b é diferente de zero. Denotamos esse conjunto por Q.
Q = {
 | a,b (Z e b(0}
Como todo número inteiro pode ser escrito na forma de fração ( 3 = 3/1) temos que: 
|N( Z(Q
Observe que todo número racional 
pode ser escrito sob a forma decimal, bastando para isso dividirmos a por b. Feito isso, podem ocorrer dois casos:
1º o número é decimal finito.
2º o número é decimal infinito e periódico.
Exemplos:
¾ = 0,75
1/3 = 0,333....
–3/5 = -0,6
47/90 = 0,5222...
Porém, existem números decimais, que são infinitos e não periódicos. Esses números são ditos irracionais. Denotamos por I,o conjunto dos números irracionais. Os números irracionais não podem ser representados por frações.
Exemplos:
raiz quadrada de 2:
=1,414213...
pi: (= 3,141592...
base do logaritmo natural: e = 2,718281...
raiz quadrada de qualquer nº inteiro, cujo resultado não é um nº inteiro.
Os números reais são aqueles que possuem uma representação decimal (que pode ser finita, infinita periódica ou infinita não periódica). Denotamos por |R, o conjunto dos números reais. O conjunto dos números racionais “mais” (união) conjunto dos irracionais formam o conjunto dos números reais. Assim, |R = Q ( I.
						
O diagrama abaixo mostra a relação entre os conjuntos numéricos:
|N ( Z ( Q ( |R
Representação geométrica do conjunto |R
Subconjuntos de |R (intervalos)
Dados dois números reais a e b, tais que a < b, chama-se intervalo a todo conjunto de todos números reais compreendidos entre a e b, podendo inclusive incluir a e b. Os números a e b são os limites do intervalo, sendo a diferença b - a , chamada amplitude do intervalo. Se o intervalo incluir a e b, o intervalo é fechado e caso contrário, o intervalo é dito aberto. 
A tabela, abaixo, define os diversos tipos de intervalos.
	TIPOS
	REPRESENTAÇÃO
	OBSERVAÇÃO
	INTERVALO FECHADO
	[a;b] = {x ( R; a ( x ( b} 
	inclui os limites a e b
	INTERVALO ABERTO
	(a;b) = { x ( R; a < x < b} 
	exclui os limites a e b
	INTERVALO FECHADO A ESQUERDA
	[a;b) = { x ( R; a ( x < b} 
	inclui a e exclui b
	INTERVALO FECHADO À DIREITA
	(a;b] = {x (R; a < x ( b} 
	exclui a e inclui b
	INTERVALO SEMI-FECHADO
	[a;+( ) = {x ( R; x ( a} 
	Valores maiores ou iguais a a.
	INTERVALO SEMI-FECHADO
	(- ( ; b] = { x (R; x ( b} 
	Valores menores ou iguais a b.
	INTERVALO SEMI-ABERTO
	(-( ; b) = { x ( R; x < b}
	Valores menores do que b.
	INTERVALO SEMI-ABERTO
	(a; +() = { x ( R: x > a }
	Valores maiores do que a.
Observe que o conjunto dos números reais pode ser representado na forma de intervalo como |R = ( - (; + ( ).
Geometricamente representamos os intervalos por retas:
[a, b] = {x ( R( a ( x ( b}
 (a, b] = {x ( R( a < x ( b}
[a, b) = {x ( R( a ( x < b}
(a, b) = {x ( R( a < x < b}
[a, +() = {x ( R( x ( a}
 (a, +() = {x ( R( x > a}
 (-(, b] = {x ( R( x ( b}
 (-(, b)= {x ( R( x < b}
Exemplos:
[ 1,5 ] = {x 
|R | 1 
 x 
5}.
(-
, 3 ) ={x 
|R | x < 3}. 
		 
(-1, 4 ] = {x 
|R | - 1 < x 
 4}.
[ 2 , +
) ={x 
|R | x 
2}.
EXERCÍCIOS 
1) Escreva os intervalos abaixo em notação de conjuntos:
	a) (2, 8)		d) [4,+()	g) [3,4)
	b) [-2, 3]	e) (-(, +()	h) (3,4]	
	c) (-(, 2)	f) [ 0,+()		
					
2) Diga se cada uma das sentenças é verdadeira ou falsa:
a) ((Q		b) 2/3(Z		c) -3(Z		d) ((I		e) 2((Q		
f) 
(|N		g) 
(|R		h)
(|R	i) 
(Q	j) 
(Q 	
l) 0,43( Q		m) 2,444...( I		n) 2/5(Q	o) -4(Q
3)Determine o resultado das seguintes operações:
	[2,5] ( [3,7]
	[2,5] ( [3,7]
	[0,3)( (1,5)
	[0,3) ( (1,5)
	[1,5] \ (3,6)
	[1,5] ( (3,6)
4) Represente os seguintes intervalos na reta real:
	a) (2, 8)		c) (-(, 2)	e) (-(, +() 	g) [3,4)
	b) [-2, 3]	d) [4,+()	f) [ 0,+() 	h) (3,4]
EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU
Chamamos de equação do2° grau à sentença a x2 +b x +c = 0, onde a, b e c são números reais conhecidos, a
0 e x é a variável.
Exemplos:
1) x2 + 3x-1 =0, aqui a = 1, b = 3, c = -1.
2x2 –2 =0, aqui a = 2, b = 0, c = -2.
4x 2 +3x = 0, aqui a = 4, b =3, c = 0
Para encontrarmos as soluções ou raízes da equação de 2° grau, a x 2 + b x + c = 0,, usamos a fórmula de Báskara 
			x = 
, onde 
 = b2 – 4 a c.
Exemplos:
x2 + 2x -15 =0 (a = 1, b = 2, c = -15,)
 
= 22 – 4 . 1 .(-15) 
	 
= 4 + 60 = 64
x = 
x1 = 
= 3 x2 = 
= -5
Solução: S = {-5,3}
2x2 – 5x + 2 = 0 ( a = 2, b = -5 , c = 2 )
= (-5)2 – 4.2.2
 = 25-16 = 9
 x = 
= 
x1 = 
 = 2 x2= 
= 0,5 
Solução: S = {0,5; 2}
Podemos prever a existência ou não de raízes de uma equação examinando o ( (delta):
Se (> 0 => existem duas raízes reais distintas (x1 
x2)
Se (= 0 => existem duas raízes reais iguais. (x1 = x2)
Se (< 0 => não existem raízes reais.
Exemplos: 
x 2 –6x +7 = 0	 
= (-6)2 – 4 .1 . 7 =36 –28 = 8 > 0 	2 raízes distintas
9x2 +12x +4 = 0 
 = (12)2 – 4 .9 .4 = 144 – 144 = 0 	 2 raízes iguais
2x2 +5x+9 = 0 
 = (5) 2 – 4 .2. 9 = 25 –72 = -47 < 0 	 nenhuma raiz.
OBS.: As equações que têm b = 0 ou c = 0 são chamadas incompletas. Para resolvermos equações incompletas do 2º grau não é necessário o uso da fórmula conhecida por Báskara.
(I) Se b = 0 ( ax2 + c =0 ( ax2 = - c ( x2 = 
 ( x = 
.
( Obs.: Se 
 < 0, a equação em questão não terá solução real.)
Exemplos:
3x2 + 3 = 0 ( 3x2 = -3 ( x2 = -3 / 3 = -1 ( x2 = -1 < 0 e a equação não tem solução.
 3x2 – 12 = 0 ( 3x2 = 12 ( x2 = 12 / 3 ( x2 = 4 ( x = 
�� EMBED Equation.3 ( x = 
2.
(II) Se c = 0 ( ax2 + b x = 0 ( x (ax+b) = 0 ( x = 0 ou a x + b = 0 ( x = 0 ou x = 
. 
Exemplos:
x 2 +2x = 0 ( x .( x + 2) = 0 ( x =0 ou x+2 = 0 ( x =0 ou x = -2.
3x2 – 6x = 0 ( x (3x – 6 ) = 0 ( x = 0 ou 3x – 6 = 0( x = 0 ou 3x = 6 ( 
	x =0 ou x = 6/3 =2 ( x = 0 ou x = 2.
EXERCÍCIO Resolva as seguintes equações:
x2 –2x-15 = 0		i) –x2+10x-21=0
 x2 –16 =0 			j) x2 + x+2 = 0
 x2 – 5x+6 = 0		 k) x2 +7x+10 = 0
4x2 –16 = 0			l) x2 –7x+12 = 0
–3x2 +27 = 0			m) x2 –5x +6 = 0 
			n) 
4x2 - 10 x = 0		o) x2 + 5 = 0
 x2 +2x = 0 			p) –x2 +1 = 0
DESIGUALDADES
Sejam a e b números reais quaisquer. Então:
a e b têm o mesmo sinal se e somente se a.b> 0.
a e b têm sinais opostos se e somente se a.b<0.
a>b se e somente se -a < -b.
Sejam a e b números reais conhecidos, a 
0 e x a variável. Chamamos de inequação do primeiro grau as sentenças 
a x + b < 0, a x + b > 0, a x + b 
 0, a x + b 
 0,
 A resolução de inequações do 1º grau segue as mesmas regras das equações do 1º grau; com exceção da mudança de sinal.
Exemplos:
5x – 20 > 0 
	5x > 20 
	x > 20 / 5 ( 	x > 4 ( S = { x 
 |R | x > 4 } = ] 4, +([
4 – 2x > 0 
	-2x > -4 . (-1)
	2x < 4		(Observe a troca de sinal)	
	 x < 4 / 2 
	 x < 2 ( S = {x 
 |R | x < 2}=]-(, 2[
Note que 3 > 2 (3 é maior que 2) ; mas - 3 < - 2 (-3 é menor que –2).
EXERCÍCIO 
1) Resolva as seguintes inequações:
a) –0,5x >4,5		g) –5x< -10
b) 10 +x 
 2x- 4		h) 8 x + 4 
 5 x + 4
c) 10 - 3x + 4 ( -5x + 2	i) 10x < 100
d) 3x < 9			j) –x > 8
e) –2x-18 ( 0		k)-3+x ( 1-x
f) 
		l) 
2) Resolva as seguintes inequações justificando os procedimentos:
4x -1 > 2x- 3
(x-2). (x-1) < 0
(x+1). (x-5)> 0
( 0
INEQUAÇÃO DO 2º GRAU
Chamamos de inequação do 2º grau às sentenças:
	a x2 + b x + c > 0, a x2 + b x + c < 0, a x2 + b x + c 
 0, a x2 + b x + c 
 0,
onde a , b, c são números reais conhecidos, a 
0, e x é a variável. 
Para resolvê-las devemos estudar o sinal de a x2 + b x + c, seguindo as seguintes regras:
Se a > 0 ( 		+		 +		 (concavidade para cima)			 	 	 x1 	 -	x2	
					
Se a < 0 ( 								(concavidade para baixo)				 	 x1 + 	 x2
 			 -			 -
	
Assim, dada uma inequação do 2° grau, as regras são:
achar as soluções, x1 e x2 , da equação ax2+bx+c = 0. 
2) analisar a concavidade a >0 ( para cima; a < 0( para baixo.
3) escrever o conjunto solução, conforme o sinal da inequação 
 Se temos > ou 
 tomamos os valores positivos na parábola (+),
 Se temos < ou 
 tomamos os valores negativos na parabóla (- ).
Exemplos: 
a) x2 –6x-7 >0
1°)determinamos as soluções da equação: x2 –6x-7 = 0
= (-6)2 – 4 .1.(-7) = 36 +28 = 64 ( x = 
(
Como a = 1 > 0 ·
			 +			 +			
				-1	- 7
A solução será a parte hachurada, pois queremos os valores (estritamente) maiores que zero, ou seja positivos. Portanto S = { x 
|R | x<-1 ou x > 7}.
b) x2 –6x-7 < 0
Já vimos que as soluções da equação: x2 –6x-7 = 0, são x1 =7 e x2 = - 1.
Como a = 1 > 0 ( 
			 +		 +
				-1	- 7
A solução será a parte hachurada, pois queremos os valores (estritamente) menores que zero, ou seja negativos. Portanto S = { x 
|R | -1< x < 7}.
c) -x2 + 6x + 7 
 0 
 Devemos achar a solução da equação -x2 + 6x + 7= 0:
 
= 62 – 4 .(-1).7 = 36 +28 = 64 ( x = 
 (
 Como a= -1 < 0 ( 
				 -1	 + 7 
			 	 - 		 -
Assim a solução será a parte hachurada, pois queremos os valores maiores ou iguais a zero, ou seja positivos. Logo S = { x 
|R | -1
 x 
 7}.
d) -x2 + 6x + 7 
 0
Novamente, as soluções da equação -x2 + 6x + 7 = 0, são x1 = -1 e x2 = 7.
 Como a = -1 < 0 ( 
				 
 -1 +	 7
			 	 -		 -
		
 Logo S = {x 
|R | x 
 -1 ou x 
 7}.
EXERCÍCIOS 
1) Resolva as seguintes inequações:
x2 –2x-15 < 0 			i) x2 – 5x+6 > 0
–x2+10x-21>0			j) x2 +7x+10 ( 0
 x2 –16 <0 			k) x2 +2x > 0 
x2 + 5 > 0			l) x2 + x+2( 0 
x2 –5x +6 
 0			m) x2 –4x +4 
 0
x2 – 12 x < -20 			n) 3x2 < 9
x 2 – 4x +4 < 0			o) x < 
 , x 
0
x2 –16 > 0			p) x 2 > 4	
2) Resolva as inequações:
a) 
<0		b) 
≥ 0.		
c) 
>0	d) (x-1)(x2 – x) >0
VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO REAL
Definimos o valor absoluto ou módulo de um número real x por:
|x|=
.
Observe que o módulo é sempre um número positivo, ou seja, |x| é sempre maior ou igual a zero. Mas, x pode ser negativo, (o que está dentro do módulo pode ser negativo), e o resultado será sempre positivo.
 
Exemplos: 
|2| = 2.		2) |-2| = 2	3) |0| = 0
Propriedades: Sejam a, x ,y(|R
|x| ( 0.
|x| ( a ( x ( -a ou x (a. 
| x| ( a ( x ( a e –x ( a( –a ( x ( a
|x| > a ( x < -a ou x >a. 
| x| < a ( x < a e –x < a( –a < x < a
|x+y| ( |x| + |y|
|x|.|y| =|x.y|
| x- z| ( |x-y| + |y – z|
Exemplos:
1) |x| ( 5. Pela propriedade iii temos que - 5 ( x ( 5.
2) |x|( 5. Pela propriedade ii temos que x ( -5 ou x ( 5.
3) |x-1|< 3. Pela propriedade v temos que –3 <x-1< 3.
Somando 1 de todos os membros desta desigualdade temos que –2 <x<4.
EXERCÍCIOS
1)Resolva as equações:
|x-1| = 9			b) |3x-3| = 0		c) |3-x| = | x+1|
2)Resolva as inequações:
|2x-1| <3	b) |2x+3| > 4		c) 
 ≥ 1
3) Resolva:
a) | 2x –8 | = 4		b) | x-5| = 3		c) | 5x+4| < 1
d) | x-7 | ( 2		e) | 7-x| ( 1		f) | 4 + 2x| > 6
I. FUNÇÕES
Função é uma das idéias essenciais em Matemática. Através de “fórmulas”, “regras”, tabelas ou gráficos, as funções traduzem em linguagem matemática as relações que ocorrem no nosso dia-a-dia.
Uma função é uma lei que associa a cada elemento de um conjunto o chamado domínio, um único elemento de um conjunto B, chamado contra-domínio neste caso se denotarmos a função por f entre o conjunto A será denotado por Dom(f) e podemos representar esta definição por:
f:A→B
Assim para cada x
A existe um único y
B e denotaremos y=f(x) e estes elementos formarão a imagem da função f, que será denotada por Im(f) este é Im(f)={y
B/y=f(x) para x
A}.
Exemplos:
1) Seja x um número real. A fórmula que calcula a soma desse número com o seu quadrado é S = x + x2.
Por exemplo, se x é o número 3, o valor da soma S é 12, pois S = 3 + 32 = 12.
Para x = -1 temos S = (-1)+(-1)2 = -1+1= 0.
Para x= 5 temos S = 5+52 = 5+25 = 30.
Vemos que o valor da soma S depende do valor de x, sendo assim, escrevemos S = S(x). 
Logo S(3) = 12 indica o valor da soma para x = 3.
	
2) Uma locadora A aluga carro popular nas seguintes condições: uma taxa fixa de R$50,00 e mais R$ 0,30 por quilômetro (km) rodado. Expresse o custo da locação em função dos km rodados. (Considere c = custo da locação e x = n° de km rodados).
Analisando o problema, temos que:
Para x =2 km( c = 50 + 0,30. 2 = 50,60
Para x =3 km( c = 50 + 0,30. 3= 50,90
Para x =100 km( c = 50 + 0,30. 100 = 80,00
Para x km( c = c(x) = 50+0,30.x, com x ( 0.
Vemos que o custo da locação depende do n° de km rodados, ou seja, o custo c é dado em função de x. Escrevemos c = c(x). Assim, c(100) = 80 indica que o custo da locação para 100km é de R$ 80,00.
3) A distância percorrida por um móvel é dada por st=5t2+70t (em km), a partir do repouso (t=0 h). Expresse a velocidade média em função do tempo t (em h).
vm = 
=
=5t+70 se t ( 0. 
Ou seja, a velocidade média é dada pela função vm= 5t+70, t(0.
Para t = 0 (repouso), a distância percorrida é s0 = 5.02+70.0 = 0.
Para t = 1 h, a distância percorrida é s1 = 5.12+70.1 = 5+70 = 75 e a velocidade média é vm = 5.1+70 = 75 km/h.Para t = 2 h, a distância percorrida é s2 = 5.22+70.2 = 20+140 =160 e a velocidade média é vm = 5.2+70 = 80km/h.
4) Em dez de 2000 as temperaturas em Chicago foram baixas . As temperaturas mais altas nos dias entre 19 e 28 de dezembro estão na tabela:
	Temperatura diária mais alta em Chicago, de 19 a 28 de dez de 2000
	Data
	19
	20
	21
	22
	23
	24
	25
	26
	27
	28
	Temperatura (°F)
	20
	17
	19
	07
	20
	11
	17
	19
	17
	20
Dom(f) = {19,20,21,22,23,24,25,26,27,28}
Im(f) = {7,11,17,19,20}
H= temperaturas e t = datas (H =f(t).
H = f(19) = 20		H = f(21) =?
H = f(20) = ?		H = f(25) = ? 
H = f(28) = ?		H = f(22) = ?
Restrições quanto ao DOMÍNIO:
Fração (em que o x está no denominador): neste caso, fazemos o denominador diferente de zero.
 Raiz de expoente par: neste caso, fazemos o radicando (a função que está dentro da raiz) maior do que ou igual a zero (
0).
 Logaritmo: neste caso, fazemos o logaritmando maior do que zero (>0). 
Função dada por um problema real: neste caso, devemos analisar a variável de acordo com o que ela representa.
Exemplos:
1) f(x) = 
x-3 ( 0(x ( 3 
Df= {x(|R | x (3}
2) f(x) =
4-2x ( 0( -2x ( 0-4( -2x ( -4 (-1)( 2x ( 4( x ( 2
D = {x(|R| x ( 2}
3) f(x) = 
D= |R 	(pois não há restrições em raízes ímpares)
4) f(x) = 3x- 7
D= |R (pois não há restrições)
GRÁFICO 
Seja y = f(x) com x em D, uma função. O conjunto de todos os pares ordenados (x, y) com x em D e y = f(x) denomina-se gráfico de f.
Graf f ={(x, y)| x (D, y = f(x)}.
Para esboçar o gráfico de f, munimos o plano com um sistema de coordenadas cartesianas. O eixo horizontal é o eixo da variável independente x e o eixo vertical é o eixo da variável dependente y.
eixo das 
 ordenadas(	 	 (x0, y0)			(x,y) par ordenado
		
 0	
( eixo das abcissas
Exemplos: 
1) Marque no plano os pontos de coordenadas dadas por:
a) (1,3)		b) (-2,-3)	c)(2,1)		d) (0,0)
e) (1,0)		f) (-1,2)		g)(0,1)		h) (3,3).
Uma maneira natural para fazer o esboço do gráfico de uma função é construir uma tabela de pontos, onde a primeira coordenada é o valor de x e a segunda é o valor de y; marcar os pontos no gráfico e uni-los por pequenos segmentos. Quanto menor for o passo do valor para x melhor será o esboço do gráfico.
Exemplos:
1) Construa o gráfico da função y =2x.
	X
	F(x)=2x
	-4
	-8
	-2
	-4
	0
	0
	1
	2
	2
	4
	3
	6
 
2) Construa o seu gráfico, determine o seu domínio e a imagem da função f(x)=
.
Como f(x)=
, temos que Dom(f)=R
={x
R/x ≥ 0}
 
	X
	F(x)=
	0
	0
	 1
	1
	2
	
	3
	
	4
	2
	9
	3
Pelo gráfico, podemos ver que Im f = {y(|R |y( 0}. Isto é claro, pois sabemos que o valor de uma raiz quadrada é um número positivo.
3) Construa seu gráfico e determine o seu domínio e a sua imagem da função f(x)=5.
 
Dom(f)=R
Im(f)={5}
Esta função recebe o nome de função constante.
Função Constante
É uma função do tipo y = k, onde k é um número constante. O domínio é o conjunto dos números reais: D =|R e a imagem é o conjunto formado pela constante k: Im f = {k}. O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo x passando pelo ponto (0,k).
Exemplos:
1) y = f(x)=3					2) y = f(x) = -5	
 y						 y		 
x 
	3
			 x				-5					
 
Função Linear
Consideremos agora a função f:R→R dada por f(x)=ax+b, onde a
R* e b
R. Esta função recebe o nome de função linear, onde a é chamado de coeficiente angular. O domínio e a imagem de uma função linear é o conjunto dos números reais: D = Im = |R. O gráfico dessa função é uma reta. Para esboça-lo basta determinar 2 pontos distintos (A escolha de x é arbitraria) .
Exemplos:
1) Seja f(x) =2x+1, construa seu gráfico e determine o domínio e a imagem:
Dom=R. Como o gráfico de f é uma reta, para construí-lo basta conhecermos 2 de seus pontos.
 Im(f)=R
	x
	F(x)=2x+1
	0
	1
	2
	5
Observe que quando x=0 temos que f(x)=ax+b assume o valor f(x)=b, ou seja, o gráfico de f intercepta o eixo y no ponto y = b. 
Por outro lado quando f(x)=0 temos que f(x)=ax+b( 0=ax+b ( x= 
ou seja, o gráfico de f intercepta o eixo x no ponto x = 
(raiz da função).
2) Construa o gráfico das seguintes funções lineares:
a) f(x)= -2x+1 
x= 
= 
Observe que quando a<0 a função é decrescente.
b) f(x)=2x-1
x= 
= 
Observe que quando a>0 a função é crescente.
c) f(x)=-2x-1
x= 
= 
 
Como a<0 a função é decrescente
Observamos o exemplo anterior percebemos que:
f(-2)=-3 f(-1)=-1	f(0)=1	f(1)=3	f(2)=5
De maneira geral f(x+h)–f(x) recebe o nome de variação da função entre x e x+h. Para obtermos informações mais precisas sobre uma função f, definimos a sua taxa de variação entre x e x+h por 
. No caso da função linear f(x)=ax+b a taxa de variação 
, é sempre constante e igual a “a”. Isto é, 
= a.
Exercício: Demonstre a afirmação acima
Observando os gráficos das funções acima, vemos que:
Se a >0 os valores de y crescem à medida que x aumenta (função crescente).
Se a<0 os valores de y decrescem à medida que x aumenta (função decrescente).
Se a = 0, y = c (constante) e y não depende de x.
Resumindo:
a>0				a=0				a< 0
y cresce quando x cresce		y é constante		y decresce quando x cresce
(função crescente)							(função decrescente)
Vimos que uma equação do primeiro grau tem uma única solução, logo a função do 1° grau tem uma única raiz. Para encontrá-la devemos resolver a equação ax + b = 0.
Exemplos:
A função f(x) = 5x-3 tem raiz x = 3/5. Como a=5>0, vemos, então, que se trata de uma função crescente. Fazer gráfico.
A função f(x) = -2x+4 tem raiz x = 2. Neste caso, a = -2<0, logo a função é decrescente. Fazer gráfico.
Conhecendo dois pontos (x0, y0) e (x1, y1) de uma reta, a função correspondente é dada por y – yo = a(x-x0), onde a =
. O valor de a coincide com o valor de a na função linear y = ax+b e representa a variação proporcional de y em relação à uma variação ocorrida em x. a é conhecido por coeficiente angular. Já o valor b é conhecido como coeficiente linear, e representa o cruzamento da função com o eixo y.
Exemplo:
Observando o gráfico podemos identificar alguns pontos da reta, por exemplo, P0= (0,5) e P1= (1,7). Assim, calculamos o coeficiente angular: a = 
 = 
.E depois substituímos na fórmula y – yo = a(x-x0) ( y –5 = 2 (x-0)( y-5 = 2x( y = 2x+5.
Função Quadrática
São funções do tipo f(x)=ax²+bx+c onde a, b, c
R e a≠0. O domínio de uma função quadrática é o conjunto dos reais: D=|R. 
Exemplos:
f(x)=x² -5x+6 é uma função quadrática onde a=1, b=-5 e c=6
g(x)=-2x²+4x -8 é uma função quadrática onde a=-2, b=4 e c=-8
h(x)=x²+1é uma função quadrática onde a=1e c=6 (b=0)
q(x)=2x²+x é uma função quadrática onde a=2 e b=1 (c=0)
 O gráfico dessa função é uma parábola. Para esboçá-lo é necessário conhecer:
1°) Os pontos de cruzamento com o eixo x, que são determinados fazendo y = 0, ou seja, são os pontos que são solução da equação ax2 + b x +c = 0.
2º) Os pontos de cruzamento com o eixo y, que são determinados fazendo x = 0, ou seja, é o ponto y = c.
3º) O vértice da parábola V = (xV, yV) onde xV =
 e yV =
4º) Concavidade: Quando a>0 a concavidade da parábola está voltada para cima, e quando a<0, para baixo. 
Obs: Vértice do gráfico é o ponto do gráfico onde a variável x recebe é o ponto médio entre x
 e x
.
 
Isto é:
x
=
Assim:
yv =f(x
)=
=
=
=
f(x
)=
=
=
Logo o vértice da parábola é 
.
Exemplos: Construir o gráfico e determinar a imagem das seguintes funções
1) f(x)=x²-5x+6
i) intersecção com o eixo x:
x²-5x+6 =0 ( ( = 25-24=1
x=
 x
=2 x
= 3( (2,0) e (3,0) são as intersecções com o eixo x
 ii) vértice
x
=
= 
 e yv= f(x
)=
= -
( vértice:
iii) intersecção com o eixo f(x)(y = 6
iv) concavidade para cima, pois a = 1>0
	X
	f(x)
	2
	0
	3
	0
	2.5
	0.25
	0
	6
	-1
	2
	5
	6
	
	
 Im(f)=[
2) y = -x²
i) intersecção com o eixo x ( y =0( -x²=0 ( x =0 é o ponto (0,0)
ii) vértice ( x
=0	f(x
)=0 vértice (0,0)
iii) intersecção com o eixo f(x) 
x = 0( f(x) = c = 0 é o ponto (0,0)
iv) a=-1<0 → concavidade para baixo
	X
	f(x)
	0
	0
	1
	-1
	1
	-1
	2
	-4
 
 Im=(-
,0]
3) y = x² +1
i) intersecção com o eixo x
x²+1=0
Δ=0²-4=-4<0
não admite raiz real		
não intercepta o eixo x
ii) vértice
x
=
= 
 vértice:
f(x
)=
= 
iii) intersecção com o eixo f(x)( x=0 ( f(x) = c= 1 é o ponto (0,1)
iv) a=1>0 concavidade para cima
	x
	f(x)=x²+1
	0
	1
	1
	2
	-1
	2
	2
	5
	-2
	5
 Im= (1,
]
Para a função linear f(x)= ax+b vimos que a taxa média de variação, dada por:
 é sempre constante e igual a “a”.
Considere agora a função quadrática f(x)=x²-5x +6 e calcule a taxa de variação nos intervalos [0,2] e [4,6]:
•Intervalo [0,2]
 h=2
Taxa de variação = 
 = 
 
•Intervalo [4,6]
 h=2
Taxa de variação = 
= 
Observe que os intervalos [0,2] e [4,6] possuem a mesma amplitude, ou seja, para ambos h=2, no entanto as taxas de variação são diferentes. Logo, para a função quadrática (e para todas as outras ainda não vistas) a taxa de variação não é constante. Daí, para todas estas funções, devem se referir taxa média de variação no intervalo [a,b].
Crescimento: Seja y = f(x) uma função quadrática:
Se a > 0 então f é crescente em [
,+() e f é decrescente em (-(, 
].
Se a < 0 então f é decrescente em [
,+() e f é crescente em (-(, 
].
Função polinomial
As funções já estudadas (linear e quadrática) são casos particulares da função polinomial de grau n: p
(x)=a
x
+ a
x
+...+ a
x
+ a
x
+ a
x+a
, onde a
, a
,..., a
, a
, a
, a
�� EMBED Equation.3 R e a
≠0 e n
N*. O domínio das funções polinomiais é o conjunto dos reais: D=|R. 
Exemplos de funções polinomiais
f(x) = 2x -1
g(x) = 5x² +2x -1
h(x) = 3x³ -2x² +x
Gráfico de funções polinomiais de grau ímpar e ≥ 3
Gráfico de funções polinomiais de grau par e ≥ 2
 
Exemplos: 
y =2x4+5x3-4x +6
y = x3
 y = x8-2
Para traçar o gráfico das funções acima devemos determinar vários pontos (x,y), pois se não marcamos um número de pontos suficiente, todos os gráficos ficam com a aparência de uma reta; e reta é o gráfico apenas da função linear.
Lista de exercícios 
1) Observe o seguinte gráfico e responda as questões propostas:
1.1 Determine as raízes da equação x²-x-6=0
1.2 Determine as raízes da equação 2x-2=0
 1.3 Determine os valores de x tais que 2x-2≥0
1.4 Determine os valores de x tais que 2x-2≤0
1.5 Determine os valores de x tais que 2x-2>0
1.6 Determine os valores de x tais que 2x-2<0
1.7 Determine os valores de x tais que x²-x-6≥0
1.8 Determine os valores de x tais que x²-x-6≤0
1.9 Determine os valores de x tais que x²-x-6>0
1.10 Determine os valores de x tais que x²-x-6<0
1.11 Determine os valores de x tais que x²-x-6≥2x-2
1.12 Determine os valores de x tais que x²-x-6≤2x-2
1.13 Determine os valores de x tais que x²-x-6>2x-2
1.14 Determine o valores de x tais que x²-x-6<2x-2
1.15 Determine os valores de x tais que x²-x-6=2x-2
2) Dada a função f(x) = x+2, calcule os valores da função nos pontos x = 1, -1, 0, 2.
 3) Determine o domínio da função acima.
4) Dada a função f(x) = 
, determine o domínio. Calcule f(4), f(9), f(1).
5) Dada a função f(x) =
, determine o domínio e complete a tabela abaixo:
	X
	0,0001
	0,001
	0,01
	0,1
	1
	2
	10
	100
	1000
	10000
	1/x
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
6) Dada a função y = x3, determine o domínio e complete a tabela:
	X
	0
	1
	-0,5
	-2
	Y = x3
	
	
	
	
7) Dada a função g(x) =x2. Calcule g(2), g(a) e g(x+1).
8) Seja h(x) = 3x2+5x. Simplifique h(x+3) –h(x).
9) Dada a função f(x) = x2. Simplifique a expressão [f(x+E)-f(x)] /E, com E(0.
10) Simplifique a expressão[f(a+E)-f(a)] / E, com E ( 0, sendo f(x) =3x-5.
11) Seja f(x) = -2+x2, complete a tabela e simplifique [f(2+(x)-f(2)] / (x, com (x(0.
	X
	-2
	-1
	-0,5
	0
	0,5
	1
	2
	f(x)
	
	
	
	
	
	
	
12) Determine o domínio das seguintes funções:
a) f(x) = 
 	e) f(x) = 
 		i) f(x) = 
 	m) f(t) = 
b) f(x)=
		f) f(x)= 
 + x		 j) f(x) = 
c) f(x) = log (2x-4)	g) f(x) = 
		k)f(x) = 
d) f(x)= 
	h) f(x) = 
	l) f(x) = 
 
13) Esboce o gráfico das funções em um mesmo sistema de eixos cartesianos:
13.1) a) y = 3x		b) y =3x+1	c) y = 3x-2
13.2) a) y = x+1		b) y =x		c) y = x+2
13.3) a) y = -x		b) y = -x-1	c) y = -x+1
13.4) a) y = 2x+3	b) y = 2x-2	c) y = 2x
14) Encontre as raízes das funções:
a) y = 3-6x	b) y = x4 –16 c) y = x2 – 5x +6 d) y = 9x+3 e) y = 1-x2 f) y = x
Função Racional
 São funções do tipo y = 
, onde f(x) e g(x) podem ser funções dos tipos anteriores, com g(x) 
 0. Quanto ao domínio, temos a restrição, o denominador da fração, g(x) tem que ser diferente de zero: D={x
|R | g (x)
0}.
Exemplos:
y =
( D = { x(|R | x ( 2}.
y = 
( D ={x(|R | x(-1 e x(1}.
y = 
(D ={ x(|R | x(0}.
 Para obter um melhor traçado dos gráficos acima, devemos fazer uma análise mais completa da função, utilizando recursos ainda não estudados.
Função Potência
São funções do tipo f(x)=K.x
onde K
R* e c
R*-N
Exemplos:
f(x)=
	x
	f(x)=
	0
	0
	1
	1
	2
	
	3
	
	4
	2
	9
	3
	16
	4
g(x)=
	x
	g(x)=
	0
	0
	1
	1
	-1
	-1
	8
	2
	-8
	-2
	27
	3
	27
	-3
Função Exponencial
Observe a seguinte tabela, de um valor (R$ 10,00) aplicado em uma poupança, a uma taxa mensal fixa de 1% ao mês.
Observe que inicialmente temos: R$ 10,00 = 10.(1,01)º
E depois de 1 mês temos: R$ 10,10 = 10.(1,01)¹
Depois de 2 meses:R$ 10,201 = 10,10.(1,01) = 10.(1,01).(1,01) = 10.(1,01)²
	10.(1,01)
E de maneira análoga, depois de n meses teremos que valor é dado por:
Que é uma função exponencial de base 1,01, na variável n.
	Tempo
	R$
	Tempo
	R$
	0
	10,00000
	90
	24,00000
	1
	10,10000
	91
	24,73119
	2
	10,20100
	92
	24,97850
	3
	10,30301
	93
	25,22879
	4
	10,40604
	94
	25,48057
	5
	10,51010
	95
	25,73538
	6
	10,61520
	96
	25,99273
	7
	10,72135
	97
	26,25266
	8
	10,82857
	98
	26,51518
	9
	10,83685
	99
	26,78033
	10
	11,04622
	100
	27,04814
Na função exponencial f(n) = 10.(1,01)
a constante 10 é o valor onde o gráfico desta função intercepta o eixo y. O gráfico desta função é:
 
Observe, agora, este outro exemplo, sobre um saque mensal de 2%, sobre um capital de R$ 200,00.	
	Tempo
	R$
	0
	200,00000
	1
	196,00000
	2
	192,08000
	3
	188,23840
	4
	184,47363
	5
	180,78416
	6
	177,16848
	7
	173,62511
	8
	170,15260
	9
	166,74955
	10
	163,41456
	
	
	100
	26,52391
	
	
	200
	3,51759400
	0,06187
Agora, a expressão desta nova função exponencial é f(n) = 200.0,98
Observe que, 
ou ainda, 0,98 = 1- 0,02=1 - 2%
O gráfico desta função é:
 
Dada uma função exponencial, na forma geral
f(x) = K.a
a constante K é o valor onde o gráfico de f(x) intercepta o eixo f(x) é a base da função.
Observe que devemos exigir a≠0 e a≠1 e além disso a>0. Nestas condições, é fácil concluir que o domínio de f(x) é o conjunto R. Observe que nunca teremos f(x)=0 matematicamente.
De maneira geral vejamos alguns exemplos de funções exponenciais.
 
Se desejarmos saber, por exemplo, no caso da poupança f(n) = 10.(1,01)n (*) quando teremos R$ 15, 00, ou seja, determinar n tal que f(n)=15 ou 10.(1,01)n =15 devemos resolver uma equação exponencial. Para isto, é necessário conhecermos os logaritmos.
Logaritmos
Definição: Sejam a>0, a≠1 e β>0 dois números reais quaisquer. Então existe um único α
R tal que a
= β, chamado logaritmo de β na base a, denotado por log
(.
Assim, α = log
β 
a
=β
O logaritmo na base “e”, onde e=2,718... é indicado por ln ( , ou seja:
α = ln β 
 e
=β e recebe o nome de logaritmo natural.
Algumas propriedades do logaritmo:
(1) log
(x.y)= log
(x)+ log
(y)
(2) log
(x
)=y. log
(x)
(3) log
�� EMBED Equation.3 = log
(x)- log
(y)
(4) log
(x)=
Daí, para resolver (*), fazemos:
log (10.(1,01)
)=log (15)( log 10+log(1,01)
=log(15)( n.log (1,01) = log (15)–log(10)
n =
(n = 41
Obs: O logaritmo decimal é denotado por log ( = log
(.
Como vimos anteriormente, os logaritmos desempenham um importante papel na resolução de equações ou inequações exponenciais. Por outro lado, temos a função logarítmica definida por f:R
�� EMBED Equation.3 R tal que f(x)=log
(x) onde a>0 e a≠1. 
Os gráficos das funções: f(x)= ex (Dom R), g(x)= ln(x) (Dom R+), h(x) = log(x) (Dom R+) são dados abaixo:
Da definição de logaritmo, temos que α = log
β 
a
= β.
Assim, y = α = log
x 
e
= x, isto é, y =ln x 
e
= x, e disto concluímos que:
	e
= x
Observações:
A função exponencial y = ax não tem raízes, pois ax ( 0 para todo x.
A função exponencial é sempre positiva, isto é, y = ax>0, pois a > 0.
Se a > 1 a função exponencial y = ax é uma função crescente;
Se a<1 então y = ax é uma função decrescente.
Exemplos:
y =2x .Como o domínio é D = |R, podemos substituir x por qualquer valor real. Por exemplo:
Para x = 1( y =21 =2
Para x = -1( y = 2-1 = ½ 
Para x = 0( y = 20 = 1.
Para x = 2( y = 22 = 4
Para x = -2( y = 2-2 = ¼ 
 y = 
x = 0 ( y = ( ½ ) 0 = 1
x =1 ( y = ( ½ )1 = ½ 
x = 2 ( y = ( ½ )2 = ¼ 
x = -1 ( y = ( ½ )-1 = 2
x = -2 ( y = ( ½ )-2 = ¼ 
 y = e x (e
).
x = -5 ( y = e-5 = 0,006...
x = -2( y = e-2 =0,13...
x = -1( y = e-1 = 0,36...
x = 0( y = e0 = 1
x = 1( y = e1= 2,71... 
x= 2 ( y = e2 = 7,38...
x = 5( y = e5 = 148, 41...
Observe que à medida que x cresce y = ex cresce muito mais rapidamente. E quando, à medida que x decresce y = ex se aproxima de zero (mas nunca é igual a zero).
Funções Trigonométricas
São as funções f(x)=sen(x), g(x)=cos(x), h(x)=tg(x) e suas descendências.
Os gráficos são dados abaixo:
OPERAÇÕES COM FUNÇÕES
Sejam f e g duas funções reais de variável real. Definimos a soma, a diferença, o produto e o quociente de f e g, respectivamente, pelas seguintes expressões:
f +g = f(x) + g(x)
ii) f-g = f(x) – g(x)
iii) f.g = f(x).g(x)
iv) f /g = f(x) /g(x), g(x) ( 0
Para estas operações, temos que o domínio será dado por Dom(f)∩Dom(g).
Exemplo: Seja f(x)=
 e g(x)=3x. Assim:
f+g=
 + 3x Dom(g)=R
 Dom(f) = 
Dom(f+g)=
 Dom
=
v) Composição de funções: Sejam f e g duas funções reais tais que Im(g)
Dom(f). Assim podemos definir a composição: (f○g).(x)=f(g(x)) e (g
f)(x)= g(f(x))
Exemplos: 
1) Sejam f(x)=
 e g(x)=3x. Calcular f○g e g○f.
f○g(x)=f(g(x))=f(3x) = 
 = 
g○f(x) = g(f(x))=g(
) = 3.
2) Se f(x) = x3 –1 e g(x) = x2 +2x, então:
(gof)(x) = g(f(x)) = g(x3 –1) = (x3 –1)2+2(x3 –1) = x6 –2x3+1+2x3-2 = x6 –1
(fog)(x) = f(g(x)) = f(x2 +2x) = (x2 +2x)3 –1= x6 + 6x5 + 12x4 + 8x3-1.
3) Se f(x) = 
 e g(x) = 3x+4, então:
(gof)(x) = g(f(x)) = g(
 )=3
+4
 (fog)(x) = f(g(x)) = f(3x+4) =
.
4) Se f(x) = 2x-3 e g(x)=2 então:
(fog)(x) = f(g(x)) = f(2) = 2.2-3 =1 
(gof)(x) = g(f(x)) = g(2x-3) = 2.
vi) Deslocamento: Seja f(x) uma função real. A função f(x+C) é obtida da função f(x) pelo deslocamento de C unidades no eixo x.
●C>0→deslocamento para a esquerda 
●C<0→deslocamento para a direita
A função f(x+C)
A função f(x)+C é obtida da função f(x) pelo deslocamento de c unidades no eixo f(x).
●C>0→deslocamento para cima
●C<0→deslocamento para baixo
Exemplo: seja f(x)=x³, obtenha os gráficos de (x-2)³ e x³+2.
Exemplo: Um esboço do gráfico da função f(x)=
 é dado abaixo. A partir dele obtenha um esboço do gráfico da função
g(x)=
Exemplo: O gráfico da abaixo g(x)=x² é dado abaixo. Obtenha o gráfico da função h(x)=(x+3)²+2.
Exemplo:	Se f(x) = 2x3 e g(x) = 4x+1, então:
 (f +g)(x) = 2x3 + 4x+1
(f-g)(x) =2x3 –( 4x+1)= 2x3 - 4x-1
(f.g)(x) = 2x3 .(4x+1)= 8x4+2x3
(f /g)(x) = 2x3 / (4x+1) para x ( ¼.
FUNÇÃO INVERSA
Se y =f(x) é uma função estritamente crescente ou estritamente decrescente no intervalo I, então existe uma função x = f -1 (y), chamada de função inversa, tal que f(f -1(y)) = y e f -1(f(x)) = x. Onde o domínio da função f é a imagem da função f -1 e a imagem de f é o domínio da f -1. Para obter a expressão de f -1(x) devemos isolar a variável x em y = f(x) e depois trocamos as variáveis.
Exemplos:
y = f(x) = x + 4 é estritamente crescente então y = x + 4( x = y – 4 (x = f –1(y) = y – 4 ( y = x-4 é a inversa.
y = f(x) = 2x é estritamente crescente então y =2x ( x= y/2 ( x = f –1 (y) = y/2 ( y = x/2 é a inversa .
3) y = f(x) = ex é estritamente crescente, então existe a inversa de f, que é dada por
f –1(y) = x = ln y, pois f -1(f(x)) = f –1(ex) = ln ex = x; f(f –1(y)) = f(ln y) = eln y = y.
Ou seja, as funções exponencial e logarítmica são inversas uma da outra.
y = f(x) = x2 não é estritamente crescente (ou decrescente) em |R, por isso devemos tomar um intervalo de crescimento ou decrescimento. Por exemplo, considerando a função y = f(x) = x2 definida no intervalo I =(0,+() (estritamente crescente) temos y =x2 ( x = f –1(y) = +
( y = +
 é a função inversa da f. Se tivéssemos tomado o intervalo decrescente I =(-(,0) teríamos y = x2 ( x = f –1(y) = -
 ( y = - 
 como função inversa de f.
Lista de exercícios – Cálculo Diferencial e Integral 1
Calcule:
f(-1) e f(1/2) sendo 
g(0), g(2) e 
 sendo 
 sendo 
 e 
 sendo 
 e 
A tabela abaixo mostra a quantia total (em bilhões de dólares) gasta em produtos de tabaco nos EUA.
Qual é a taxa média de variação na quantia gasta em produtos de tabacos entre 1987 e 1993? Dê unidades e interprete sua resposta em termos de dinheiro gasto em produtos de tabaco.
Durante este período de seis anos, há algum intervalo durante o qual a taxa média de variação foi negativa? Se sim, quando?
	Ano
	1987
	1988
	1989
	1990
	1991
	1992
	1993
	Despesas com tabaco
	35,6
	36,2
	40,5
	43,4
	45,4
	50,9
	50,5
A Intel Corporation é importante produtora de circuitos integrados. A tabela seguinte dá as vendas em milhões de dólares de 1990 a 1997.
Ache a variação de vendas entre 1991 e 1995.
Ache a taxa média de variação de vendas entre 1991 e 1995. Dê unidades e interprete sua resposta.
Se a taxa média de variação fica constante entre 1995 e 1997, em que ano as vendas atingirão 40.000 milhões de dólares?
	Ano
	Vendas ( $ milhões )
	Ano
	Vendas ( $ milhões )
	1990
1991
1992
1993
	3.921,3
4.778,6
5.844,0
8.782,0
	1994
1995
1996
1997
	11.521,0
16,202,0
20.847,0
25.070,0
 
O número de vendas por mês, S, de um item em promoção num restaurante é função da quantia a gasta em propaganda, p, nesse mês, assim S = f(p).
Interprete a declaração f(1000) = 3500.
Qual dos gráficos abaixo mais provavelmente representará essa função?
	 S						Si)							ii)
		 p						 p
			 						
O que significa o intercepto vertical no gráfico dessa função, em termos de vendas e propaganda?
Segue-se quatro funções. Em cada caso ache f(5), de o domínio e o contradomínio:
f(x) = 2x + 3		
	x
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	f(x)
	2,3
	2,8
	3,2
	3,7
	4,1
	4,9
	5,6
	6,2
c)
Seja y =f(x)=x2 +2.
Ache o valor de y quando x = 0.
Quanto é f(3)?
Quais valores de x dão a y o valor 11?
Existem valores de x que dêem a y o valor 1?
Seja f(x) = 3x - 5.
Quanto é f(1)?
Ache o valor de y quando x = 5.
Ache o valor de x quando y = 4.
Ache a taxa média de variação de f entre x = 2 e x = 4.
A posição d = S(t), de um carro é dada na tabela abaixo:
	T (Seg.)
	0
	5
	10
	15
	20
	25
	30
	S(t) (m)
	0
	10
	18
	35
	60
	86
	136
Ache a velocidade média do carro entre t = 0 e t = 15 e entre t = 10 e t = 30.
Ache a distância percorrida pelo carro entre t = 10 e t = 30.
Dê unidades para suas respostas. O que significam cada uma delas matematicamente?
Combine os gráficos abaixo com as equações dadas:
a) y = x – 5			b) y = -3x + 4				c) y = 5
d) y = -4x – 5			e) y = x + 6				f) y = x/2
	 		
									 		
							
 				 						 					 
Quais das seguintes tabelas de valores poderiam corresponder a funções lineares? Para cada uma das tabelas que podem corresponder a uma função linear, ache uma fórmula para essa função.
a)
	x
	0
	1
	2
	3
	y
	27
	25
	23
	21
b)
	t
	15
	20
	25
	30
	s
	62
	72
	82
	92
c)
	u
	1
	2
	3
	4
	w
	5
	10
	18
	28
Cada uma das funções seguintes dá a quantidade de uma substância no tempo t. Em cada caso, dê a quantidade presente inicialmente, diga se a função representa crescimento ou decrescimento exponencial, e dê a taxa percentual de crescimento ou decrescimento:
a) 
	b) 
	c) 
	d) 
As seguintes funções dão as populações de quatro cidades, com o tempo t em anos:
i) 
	ii) 
	iii) 
	iv) 
Qual cidade tem maior taxa percentual de crescimento? Qual a taxa percentual de crescimento?
Qual cidade tem a maior população inicial? Qual é essa população?
Alguma cidade está diminuindo de tamanho? Se sim, qual(is)?
Associe as funções h(s), f(s) e g(s), dadas na tabela abaixo, com as fórmulas:
				
				
Supondo que a, b e c são constantes.
	S
	2
	3
	4
	5
	6
	H(s)
	1.06
	1,09
	1,13
	1,16
	1,19
	S
	1
	2
	3
	4
	5
	F(s)
	2,20
	2,42
	2,66
	2,93
	3,22
	S
	3
	4
	5
	6
	7
	g(s)
	3,47
	3,65
	3,83
	4,02
	4,22
Observação: os valores das funções foram arredondados a duas casas decimais.
Encontre uma possível fórmula para cada uma das seguintes funções dadas pelas tabelas:
a)
	x
	0
	1
	2
	3
	f(x)
	4,30
	6,02
	8,43
	11,80
b)
	t
	0
	1
	2
	3
	G(t)
	5,50
	4,40
	3,52
	2,82
Decida se cada uma das seguintes tabelas de valores poderia corresponder a uma função linear, ou a uma função exponencial, ou nenhuma dessas coisas. Nos dois primeiros casos encontre uma fórmula para a função:
a)
	x
	0
	1
	2
	3
	f(x)
	10,5
	12,7
	18,9
	36,7
b) 
	T
	-1
	0
	1
	2
	s(t)
	50,2
	30,12
	18,072
	10,8432
c) 
	u
	0
	2
	4
	6
	g(u)
	27
	24
	21
	18
Escreva uma equação para o gráfico obtido deslocando verticalmente o gráfico de 
 uma unidade e duas unidades horizontalmente, e esboce o gráfico. Qual e equação se a ordem dos deslocamentos forem invertidas, e esboce o gráfico. Os gráficos são iguais?
Sejam 
e
. Calcule:
a) f(g(x))		b) g(f(x))		c) f(f(x)).
Sejam 
e
. Calcule:
a) f(2) + g(2)		b) f(2)g(2)		c) f(g(2))		d) g(f(2)).
19) Um vendedor de assinaturas de uma revista ganha R$ 500,00 de salário fixo, mais R$ 10,00 por assinatura. Sendo x o número de assinaturas vendidas por mês, estabeleça uma fórmula que expresse o seu salário mensal. Esboce o gráfico.
20) Em um determinado país, o imposto de renda é 10% para rendas de até R$ 1.000,00. A parte da renda que excede R$ 1.000,00 é tributada em 20%.
a) Qual o imposto pago para uma renda de R$600,00? E para R$1.200,00?
b) Chamando de x a renda e de y o imposto de renda, obtenha a expressão de y como função de x.
21) Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos A e B nos seguintes casos:
A = (0,2) e B =(1,3)
A = ( -1,0) e B = (4,2)
A = (2,1) e B = (0,4)
22) Um encanador A cobra por serviço feito um valor fixo de R$ 80,00 mais R$ 20,00 por hora de trabalho. Um encanador B cobra um valor fixo de R$ 50,00 mais R$ 30,00 por hora de trabalho. A partir de quantas horas de trabalho é preferível contratar os serviços do encanador A? Faça o gráfico das duas funções em um mesmo sistema de eixos coordenados.
23) A transportadora Vapt cobra por seus serviços R$ 800,00 fixos mais R$ 20,00 o quilômetro rodado. A transportadora Vupt cobra R$ 700,00 fixos mais R$ 25,00 o quilômetro rodado. A partir de quantos quilômetros rodados é preferível usar a transportadora Vapt? Faça o gráfico das duas funções em um mesmo sistema de eixos coordenados.
24) Dada a função f(x) = 5x+2, calcule:
a) f(2)		c) f(0)		e) f(0,2)		g) f(-1/5)
b) f(-2)		d) f(-1)		f) f(
)	h) f(a+b)
25) Dada a função f(x) = 2x-5, obtenha:
a) o valor de x quando f(x) = 0.
b) o valor de x quando f(x) = 1.
26) Dada a função f(x) = ax+5, determine o valor de a sabendo que f(1) = 1.
27) Determine o domínio das seguintes funções:
f(x) = 
			h) f(x) = 
f(x) =log (3-x)			i )f(x) = 
f(x) = 
			j) f(x) = 
f(x) = 
			k) f(x) = 
f(x) = 
			l) f(x) = 
f(t) = 
			m) f(x) = ln (4x-2)
f(x) =log2 (5-10x)		n) f(x) = 
28) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções:
 
a)
						f
	 -2 0	 2		 5
b) f(x) = x2 –1		c) f(x) = 2x-4		d) f(x) = -x2+4	
e) f(x) = ln(x) 		f) f(x) = log 0,5 (x) 	g) f(x) = (0,2)x
29) Dadas as funções f(x) = 2x+1 e g(x) = x3, realize as seguintes operações:
a) f(x) + 2g(x)	b) f(x) /g(x)	c) fog(x)		d) gof(x)	e) f -1(x)		f) g -1(x)
30) Dada a função f(x) = x2 – 3x+2, determine:
a) as raízes,
b) o valor mínimo da função,
c) o cruzamento com o eixo y,
d) os intervalos de crescimento e decrescimento,
e) o gráfico.
31) Dadas as funções f e g determine as compostas fog e gof:
 a) f(x) = 
e g(x) =
.
b) f(x) = 4x-5 e g(x) = 
.
c) f(x) = x3 – 2 e g(x) =
.
d) f(x) = 3x+4x2 e g(x) = 3.
e) f(x) = -1 e g(x) = 
.
32) Determine a função inversa das funções abaixo:
a) f(x) = x-6		b) f(x) = x2 –1 , x( 0
c) f(x) = x3		d) f(x) = 2x+6		
e) f(x) = 5- 3x
33) Esboce os gráficos das funções acima e de suas respectivas funções inversas.
III. LIMITE
Nosso objetivo é desenvolver uma linguagem que nos permita descrever o comportamento dos valores de uma função f nas proximidades de um ponto b.
Exemplo: Seja f(x) = 1 / x, temos:
	x
	0,0001
	0,001
	0,01
	0,1
	1
	10
	100
	1000
	10000
	100000
	((
	1/x
	10.000
	1.000
	100
	10
	1
	0,1
	0,01
	0,001
	0,0001
	0,00001
	(0
À medida que o valor de x vai aumentando, o valor de 1/x vai cada vez mais se aproximando de zero, indicamos esse fato por:
 
= 0 (limite de 1/x quando x tende a mais infinito é zero).
+ ( (mais infinito) não é um número; é um símbolo usado para indicar que um valor cresce indefinidamente.Seja uma função real definida para todo numero real em algum intervalo aberto contendo, exceto possivelmente no próprio “a”. O limite de f(x) quando x tende a “a” será L, o que denotamos por 
 se dado ξ>0, existe δ>0 tal que se |x-a|<δ então |f(x)-L|<ξ.
Graficamente:
 
Para uma grande parte das funções temos que 
 
Exemplo: 
 
Agora, se f(x) não está definida em x=a, fatoramos f(x) ou observamos os valores desta quando x se aproxima de “a”por valores menores que “a” e por valores maiores que “a”.
Exemplo: Seja 
 Dom(f)=R-
 observando as tabelas 
	x
	0,9 0,99 0,999 0,9999
	 ( x<1)
	f(x)
	4,8 4,98 4,998 4,9998
	
 
	x
	1,1 1,01 1,001 1,0001
	 ( x>1)
	f(x)
	5,2 5,02 5,002 5,0002
	
Concluímos, tanto para x<1 como para x>1 que : 
 
Exemplo: Seja 
 Dom(f)=R-
Fatorando f(x) obtemos:No 1º exemplo calculamos o limite de uma função quando x tende a um certo valor “a” pela esquerda, que denotamos por
e quando x tende a “a” pela direita denotamos por
Estes limites recebem o nome de limites laterais e 
�� EMBED Equation.3 
	
 se e só se 
=
=L
 
Exemplo: Considere a função sgn(x)=
 
	
	
 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
Algumas propriedades de limite:
Sendo 
 e 
 então:
•
 e •
•
 e •
Exemplos:
1) f ( x ) = 
.
 Assim, 
 = 2 e 
=0.
2) f(x) = x2 
 4
 = ? ( 
 = 4 e 
= 4 ( 
 = 4
f(x) = 
.
 1 
 = ? ( 
 = 1 e 
= 0 (
 
 não existe
CONTINUIDADE
Intuitivamente, uma função é contínua em um ponto x = p, com p no domínio da função se o seu gráfico não apresenta “salto” ou “buracos” em x = p.
Exemplos: As funções f(x) = x2 e g(x) =
têm gráficos como abaixo:
							 2
O gráfico de f(x) = x2 não apresenta “saltos” ou “buracos” em nenhum ponto. Isso ocorre, pois f é contínua em todo ponto do seu domínio. Já o gráfico da função g(x) apresenta “salto” em x = 2 (somente). Logo g não é contínua em x = 2, mas, a função g é contínua, nos demais pontos do seu domínio. 
Dizemos que uma função f é contínua no número real “a” se e somente se:
i) f(a) existe;
ii) 
 existe;
iii) 
 existe;
Além disso, se f e g são contínuas em um número “a” então:
i) f
g também são contínuas em “a”.
ii) f.g também é contínua em “a”.
iii) 
 também é contínua em “a”, desde que g(a)
0.
Exemplo: f(x)=2x+3 é contínua para todo número real
Exemplo: f(x)=
, não é contínua para x=1, pois f(1) não existe.
Daí f(x)=
=
Logo o gráfico de f(x) é a reta y=2x+3.
 “os gráficos das funções contínuas não
 apresentam saltos”
Observação:
 As funções lineares, quadráticas, polinomiais, constantes, módulos são contínuas. Logo para calcular o limite de qualquer uma dessas funções em b, basta calcular o valor da função no ponto b. Uma função só pode ser continua num ponto do seu domínio. Se o ponto não pertence ao domínio da função, tal função será descontínua nesse ponto, pois f não está definida neste ponto. 
Exemplos:
 x+2 = 1+2 = 3
 x4 +x-1 = 04 + 0 – 1= -1
 6 = 6			(limite de um número é o número)
-x+2 =-2+2 =0
Propriedades
 k = k		( k constante)			
 x n = p n					
(k. f(x)) = k. 
 f(x) 
(f(x)
g(x)) = 
 f(x) 
 
 g (x )
(f(x).g(x)) = 
 f(x) . 
 g (x )
�� EMBED Equation.3 = 
 (se g(x) e 
 g (x ) diferentes de zero)
7. 
(a . x + b) = a . p + b	
8. 
�� EMBED Equation.3 =
Caso particular: “
”
Exemplos:
1. 
 
 = 
= “
” que é uma INDETERMINAÇÃO.
 Mas, esses limites podem ser resolvidos usando a simplificação de frações.
 
 
= 
 
 =
(x+3) = 3+3 = 6.
2. 
�� EMBED Equation.3 = 
= “
” ( INDETERMINAÇÃO
�� EMBED Equation.3 = 
 
 = 
(x+1) = 1=1 =2.
3. 
 
=
= “
” ( INDETERMINAÇÃO
 
�� EMBED Equation.3 =
�� EMBED Equation.3 = 
5 = 5.
4. 
�� EMBED Equation.3 =
= “
” ( INDETERMINAÇÃO
 
�� EMBED Equation.3 = 
�� EMBED Equation.3 =
2x = 2.(-2) =- 4.
LIMITES INFINITOS
Considere o seguinte limite:
�� EMBED Equation.3 . 
Vamos calcular o valor da função
 para valores que se aproximam de 2 . Como x
2+ então x é maior que 2 e está se aproximando de 2. Assim
 x = 3 ( 
=1
x = 2,5 ( 
=
=2 
x = 2,1(
 = 
 = 10
x = 2,0001 ( 
 = 
 = 10.000
x = 2, 0000001 ( 
 = 
 = 10.000.000
Observe que quanto mais x está próximo de 2, maior fica o número 1 / x-2. Assim, quando x
2+ , isto é, quando x se aproxima de 2 pela direita, f(x) =1 / x-2 cresce muito rapidamente, superando qualquer valor fixado. Descrevemos esse comportamento por:
�� EMBED Equation.3 = +
(+
) = mais infinito	(-
) = menos infinito
Seja f(x)=
, pensando nos valores de f(x) quando x se aproxima de zero é fácil concluir que:
 e 
=
Graficamente:
 
É fácil concluir também, que sendo r>0 um inteiro então 
=
 
= 
, se r é par
 
, se r é ímpar
Assim, podemos enunciar mais algumas propriedades sendo c
R e 
 e 
, com c≠0 então:
•Se c>0 e se f(x) tende a zero pela direita então 
.
•Se c>0 e se f(x) tende a zero pela esquerda então 
.
•Se c<0 e se f(x) tende a zero pela direita então 
.
•Se c<0 e se f(x) tende a zero pela esquerda então 
.
Exemplo: Seja f(x)=
. Temos que
i)
=2.1=2
ii)
 (assumindo valores negativos)
iii)
 (assumindo valores positivos)
De i) e ii) concluímos que 
 
De i) e iii) concluímos que 
. Logo, não existe 
.
Exemplo: Seja f(x)=
Observe que x²-2x-3=(x-(-1)).(x-3)=(x+1).(x-3) 
 não pode ser “calculado por substituição”. Logo devemos estudar os limites laterais.
i)
ii)
�� EMBED Equation.3 (assumindo valores negativos)
iii)
�� EMBED Equation.3 (assumindo valores positivos)
 
. Logo, não existe 
Na prática podemos proceder da seguinte maneira:
1.
�� EMBED Equation.3 = 
= 
= ( ? ) 
x
2+( x>2( x =2,1( 
= 10> 0. Portanto 
�� EMBED Equation.3 = + 
.
2. 
�� EMBED Equation.3 = 
= 
= ( ? ) 
x
2-( x<2( x =1,9( 
= -10< 0. Portanto 
�� EMBED Equation.3 = - 
.
Como
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 temos que 
�� EMBED Equation.3 não existe.
3. 
�� EMBED Equation.3 = 
= 
= ( ? ) 
x
3+( x>3( x = 3,1( 
= -20 < 0. Portanto 
�� EMBED Equation.3 = - 
.
4. 
�� EMBED Equation.3 = 
= 
= ( ? ) 
x
3-( x<3( x =2( 
= 2 0> 0. Portanto 
�� EMBED Equation.3 = + 
.
Como 
�� EMBED Equation.3 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 então 
�� EMBED Equation.3 não existe.
5. 
�� EMBED Equation.3 = 
= 
= ( ? ) 
		
x
0+( x>0( x =0,1( 
= - 200 < 0. Portanto 
�� EMBED Equation.3 = - 
		
		
6. 
�� EMBED Equation.3 = 
= 
= ( ? ) 
x
0-( x<0( x = -0,1(
=- 200< 0. Portanto 
�� EMBED Equation.3 = - 
Como 
�� EMBED Equation.3 = 
�� EMBED Equation.3 , temos que 
�� EMBED Equation.3 =-
.
Outras propriedades dos limites infinitos:
Se 
 e 
 então 
 
Se 
 e 
 então 
 
Se 
 e 
 então 
 
Se 
 e 
 então 
 
Se 
 e 
 então 
 
Se 
 e 
 então 
 
LIMITES NO INFINITO:
Calcule
 
. Se x
+
 então o valor de x cresce arbitrariamente. 
x = 1.000(
=
=0,001; x = 1.000.000( 
= 0,000001; x = 1.000.000.000 ( 
 = 0,000000001( 0
Observe que quanto maior é o valor de x, menor é o valor de 1/x, se aproximando cada vez mais do zero (pela direita). Assim 
 
= 0.
Calcule
 
. Se x
-
então x decresce arbitrariamente.
x=-1.000(
=
=-0,001; x=-1.000.000(
=-0,000001;x=-1.000.000.000(
=- 0,000000001( 0
Observe que quanto menor é o valor de x, menor é o valor de 1/x, se aproximando cada vez mais do zero (pela esquerda). Assim 
 
= 0.
Propriedades: (simbologia)
1. (+ 
) + (+
) = +
			8. (- 
) + (-
) = -
	
2. (+
).(+ 
) = +
			9. (-
).(-
) = +
3. (+
) + k = +
				10. (-
) + k = -
4. (+
) – k = +
				11. (-
) – k = -
5. (+
) .k =
			12. (-
) .k =
	
6. (+
)n = +
				13. (-
)n =
	
7. (+
) . (-
) = -
			14. 
 15.
Indeterminações
1) (+
)- (+
) = ?		2) (-
) - (-
) = ?	3) 0.
 = ? 			4) 00 = ?
1
 = ?			6)
0 = ?		7) 
= ?			8) 
=?
Exemplos
x 3 +3 x –1 = ( +
)3 + 3. (+
)-1 = (+
) + (+
)-1 = +
-2x = -2 (+
) =-
 x 3 +3 x –1 = ( -
)3 +3.(-
)-1 = (-
) + (-
)-1 = -
-2x = -2( -
) = +
.
Caso particular “
”
�� EMBED Equation.3 = 
=
 ( ??? INDETERMINAÇÃO
Mas, essa indeterminação pode ser eliminada através de um artifício:
Dividimos o numerador e o denominador pela maior potência de x, que aparece na função. Assim:
�� EMBED Equation.3 =
�� EMBED Equation.3 =
�� EMBED Equation.3 =
�� EMBED Equation.3 = 
=
= 0.
_____________________________________________________________
6.�� EMBED Equation.3 = 
= 
 ( ???
�� EMBED Equation.3 = 
�� EMBED Equation.3 = 
�� EMBED Equation.3 = 
�� EMBED Equation.3 = 
 = 
= 4.
�� EMBED Equation.3 =
( ???
�� EMBED Equation.3 =
�� EMBED Equation.3 =
�� EMBED Equation.3 = 
=
=
 = +
.
_________________________________________________________________
 8.
. (dividindo o denominador e numerador por x)
___________________________________________________________________
9. 
. (dividindo o denominador e numerador por x³)
__________________________________________________________________
LIMITES INFINITOS NO INFINITO
São os limites do tipo:
 
 
 
 
Exemplo: Calcule 
 
Portanto 
Exemplos: Calcule, se existir, os seguintes limites:
a) 
b) 
c) 
d) 
 
 
não existe 
e) 
f) 
 onde 
(
g) 
 e como acima
h) 
 onde
não existe 
i) 
j) 
l) 
 Lista de exercícios – Cálculo Diferencial e Integral 1
1) Calcular os seguintes limites finitos:
		i) 
			r) 
 
			j) 
		s)
			k) 
		t) 
			l) 
			u) 
			m) 
			v) 
		n) 
		w) 
		 	o) 
		x) 
h) 
 			p)
			y)
2) Calcular os seguintes limites infinitos:
a) 
				h) 
			
b)
				i)
		
c) 
				j) 
	
d) 
				k) 
		
e)
				l) 
		
f) 
				m) 
g)
				n) 
3) Calcular os seguintes limites no infinito:
a) 
			f) 
b)
			g) 
		k)
c)
			h)
 	l)
d)
			i)
e)
			j) 
4) Verifique se as funções abaixo são contínuas:
a)
 		d) 
b) 
 		e) 
c) 
 		f) 
5) Sendo, f(x) = 3x, f(x) = -x, f(x) = -x +1, f(x) = 2x+1, f(x) = -2x+3, f(x) = 3, f(x) = -2, 
, e 
, calcule 
.
6) Sendo
 calcule, se existir, 
.
7) Sendo
calcule, se existir:
a) 
.
b) 
.
8) Sendo
calcule, se existir:
a) 
.
b) 
.
9) Sendo
 calcule se existir 
.
10) Sendo 
 calcule se existir 
.
11) Sendo
 calcule se existir 
.
12) Sendo
 calcule se existir 
.
13) Sendo 
 calcule se existir 
.
14) Sendo
 calcule se existir 
.
15) Seja f(x) = 
, calcule se existir 
�� EMBED Equation.3 (dica: analise os limites laterais).
16) Seja f(x) = 
, calcule se existir 
f(x).
17) Calcule, se existir 
�� EMBED Equation.3 .
18) Calcule, se existir
�� EMBED Equation.3 .
IV. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL
Vimos que dada uma função real f(x), a sua taxa média de variação no intervalo 
 é dada pelo quociente
 (1)
Geometricamente,
 tg(
)=
 (1)
Esta taxa de variação é o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (a,f(a))e (b,f(b)). Esta reta recebe o nome de reta secante ao gráfico de f(x) pelos pontos (a,f(a)) e (b,f(b)). 
Esta taxa média de variação significa a variação sofrida por f(x), para que esta função passe do valor f(a) para o valor f(b), quando x passa de a para b. Para as funções lineares a taxa média de variação é sempre constante, o que não acontece com as demais funções.
Exemplo:
	 
x
y=2x-1
1
1
3
5
5
9
	x
y=x2
1
1
3
9
5
25
Agora, TMV pode nos conduzir a conclusões erradas. Por exemplo vamos estudar a função y = x² no intervalo 
. Para este intervalo temos:
Assim, poderíamos ser levados a pensar erradamente que, por exemplo:
f(-1)²=(-1)²=1
f(0)=f(-1)+TMV=1+1=2
errado
f(1)=f(0)+TMV=2+1=3
errado
f(2)=f(1)+TMV=3+1=4
e assim estamos supondo que o comportamento desta função y=x² é como o de uma reta, o que sabemos não é correto.
Por este motivo, o ideal é trabalharmos com intervalo 
 suficientemente pequeno, ou seja, devemos aproximar os valores de a e b. Quando “a” e “b” estiverem suficientemente próximos temos a Taxa Instantânea de Variação que é matematicamente definida como: 
 ,
e como b
a (b tende para a) temos a taxa instantânea de variação da função f(x) no instante x = a.
Graficamente:
a taxa instantânea de variação da função f(x) no instante x = a, popularmente conhecida derivada da função no ponto x = a, é a inclinação da reta tangente ao gráfico f(x) no ponto (a,f(a)). Esta derivada, no ponto x=a, é usualmente denotada por f `(a), ou seja:
Em um instante qualquer x, a derivada da função f(x) é dada por:
 ou
 
A derivada f ’(x) pode ser denotada também 
.
Observe que quando calculamos f `(x), a derivada da função f(x) em um instante qualquer x, temos uma nova função f(x), ou seja, derivada de uma função é também uma função.
Exercício resolvido: Seja f(x)=x². Calcule f `(1).
Sabemos que
 .
Logo 
Portanto 
=2, significando que quando x =1 a tendência de f(x) é crescer 2 unidades.
Vimos que a derivada 
 representa a inclinação da reta tangente ao gráfico da função f(x) no ponto (a,f(a)).
é o ângulo formado pelo eixo x e a reta tangente e é tal que tg(
)=
.
Assim, podemos calcular a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) no ponto (a,f(a)), desde que 
 seja conhecido.
Exemplo: Seja f(x) = x². Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) para x =1.
Agora o ponto (a,f(a)) é (1,1). Vimos que f`(1)= (.
Logo a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto (1,1) é:
y=f(a)x+b, ou seja,y=f(1)+b=2x+b( y=2x+b
Como a reta é tangente ao gráfico de f(x) no ponto (1,1), temos que este ponto pertence a esta reta. Assim, de y =2x+b obtemos:1=2 +b ou b=-1
Logo, a equação procurada é y =2x-1.
Exemplo: 
a) Seja f(x)=k (constante), calcule f `(2), f `(5), f `(-10).
�� EMBED Equation.3 
�� EMBED Equation.3 
Da mesma forma f `(-10)=0
b) Seja f(x)=ax+b (função linear), calcule f `(2), f `(5), f `(-10)
Da mesma forma f ´(-10)=a
Exercício resolvido
a) Mostre que se f(x)=k então f `(x)=0, para todo.
�� EMBED Equation.3 
 b) Mostre que se f(x)=ax+b então f `(x)=a, para todo x.
�� EMBED Equation.3 
Assim, temos as duas primeiras regras de derivação:
(k)`=0
(ax+b)`=a
Exemplo:
a) Seja f(x)=10. Calcule f `(x)( f `(x)=0, pela 1ªregra.
b) Seja f(x)=-5x+7. Calcule f `(x)( f `(x)=-5, pela 2ªregra.
c) Seja f(x)=x. Calcule f `(x)( f `(x)=1, pela 2ªregra.
Exercícios resolvidos
1) Mostre que se f(x)=x² então f ´(x)=2x para todo x.
2) Mostre que se f(x)=x3 então f ´(x)=3x2 para todo x.
Assim, temos outras duas regras:
(x²)’=2x
(x3)’ = 3x2
Observe que:
(x)’=(x¹)’=1=1.x
(x²)’=2x
(x3)’ = 3x2
e assim podemos deduzir que:
(x
)’=4x³
(x5)’ = 5x4
De maneira geral, temos a regra:
	(x
)’ =n.x
, para todo n
Q
Observe que nesta regra, dependendo do valor de n, podemos ter restrições sobre x. Por exemplo, se n =
 então 
, daí 
 ou seja 
.
Logo (x
)`=
,isto é, (
)`=
 e assim devemos exigir que x>0.
Também, se n=
 então 
Daí 
, isto é, 
.
Uma vez que 
. Observe que neste caso devemos exigir x
0.
Outras três regras são:
Se f(x) e g(x) são funções reais deriváveis e k é uma constante então:
(f(x)+g(x))’=f ’x)+g’(x)
(f(x)-g(x))’=f ’(x)-g’(x)
(k.f(x))’=k.f ’(x)
Uma aplicação da derivada
Sabemos que a velocidade média é dada pelo quociente: vm =
, que é uma taxa média de variação. Se a posição é dada em função do tempo t por y = f(t) temos que a velocidade média entre os instantes t0 e t1 é determinada por vm = 
=
 = 
.
Agora, para calcular a velocidade em cada instante t (velocidade instantânea), devemos observar intervalos cada vez menores de tempos, ou seja, devemos calcular o limite da velocidade média, quando t se aproxima de zero:
v(t) =
= f ’(t)
Exemplo: Um móvel tem a posição (em km) dada em função do tempo (em h) por f(t) = 20t2, então a sua velocidade no instante t é dada por v(t) = f’(t) = 40t. Logo no instante t = 3h a velocidade será v(3) = 40.3 =120km/h.
Demonstrações das regras de derivação
Derivada de uma constante (um n° fixo): f(x) = k ( f ’(x) = 0
Demonstração:
f ‘(x) =
 = 
 =0 para todo x.
Exemplo: f(x) = 4( f ’(x) = 0
Derivada de uma potência de x : f(x) = xn ( f ’(x) = n.xn-1
Demonstração:
Mostraremos essa relação no caso de n ser inteiro e positivo, embora a propriedade seja válida para todo n real . Temos que 
(x+(x)n-xn =xn +
xn-1((x)1+
xn-2((x)2+...+
x2((x)n-2+ 
x1((x)n-1+
x0 ((x)n -xn.
Logo 
 =
xn-1+
xn-2((x)+...+
x2((x)n-3+ 
x1((x)n-2+
x0 ((x)n-1 .
Portanto, 
f ‘(x) =
 = 
=
xn-1 = 
 xn-1 =n. xn-1.
Exemplo: f(x) = x5( f ’(x) = 5. x4
Derivada de um n° vezes uma função: f(x) = k. g(x) ( f ’(x) = k.g’(x)	(k nº fixo)
Demonstração:
f ‘(x) =
 =
 =
= k.
= k.g’(x).
Exemplo: f(x) = 9x4( f ’(x) =9.4.x3= 36x3.
Derivada da soma: f(x) = u(x) + v(x) ( f ’(x) = u’(x) + v’(x)
Demonstração:
Temos que 
f(x+(x) – f(x) = [u(x+(x)+v(x+(x)] –[u(x)+v(x)]=[u(x+(x)-u(x)] +[ v(x+(x) –v(x)]=(u+(v.
Logo 
 =
=
. Passando ao limite para (x tendendo a zero temos f ‘(x) =
 =
 = u’(x)+v’(x).
Exemplo: f(x) = 5x2+3x3+5x+5( f ’(x) = 10x+9x2+5
Derivada da diferença: f(x) = u(x) – v(x) ( f ’(x) = u’(x) – v’(x)
Demonstração:
Análoga a demonstração anterior.
Exemplo: f(x) = x3 - 6( f ’(x) = 3x2
Derivada do produto: f(x) = u(x).v(x)( f ’(x) = u’(x).v(x) + u(x).v’(x)
Demonstração:
Como (u = u(x+(x) – u(x) e (v = v(x+(x) –v(x) temos que 
f(x+(x) – f(x) = [u(x+(x).v(x+(x)] –[u(x).v(x)] = [u(x)+(u].[v(x)+(x]-u(x)v(x) = u(x).v(x) +u(x). (v+v(x).(u+(u.(v – u(x).v(x) = u(x).(v+v(x).(v+(u.(v
Logo f’(x)=
= 
 = u(x).v’(x)+v(x).u’(x).
Pois, quando (x tende a zero (u também tende a zero.
Exemplo: f(x) = (x2+5x).(x3+2)( f ’(x)=(2x+5).(x3+2) + (x2+5x4).3x2 = 15x6+5x4+5x3+4x+10
Derivada do quociente: f(x) =
( f ’(x) = 
Demonstração: 
Análoga a demonstração anterior.
Exemplo: f(x) = 
( f ’(x) = 
=
Derivada da função seno e co-seno
f(x) = sen(x)( f ’(x) = cos(x).
f(x) = cos(x) ( f ’(x) = -sen(x).
f(x) = tg (x) (f ’(x) = sec2(x)
Derivada função logarítmica: f(x) = log a (x)( f’(x)= 
, para x >0, a>0 e a( 1.
Exemplo: f(x) = ln(x) ( f ’(x) = 
=
, (x>0).
Derivada da função exponencial: f(x) = ax( f ’(x) = ax.ln(a), para a >0 e a(1.
Exemplo: f(x) =ex (f’(x)= ex. ln e = ex .
Outra aplicação da derivada
Uma das principais aplicações da função exponencial é o controle do crescimento populacional. Por exemplo, considere a seguinte tabela que fornece a população do México, a partir de 1980 até 1986:
	Ano
	População (milhões)
	Tempo
	1980
	67,38
	0
	1981
	69,13
	1
	1982
	70,93
	2
	1983
	72,77
	3
	1984
	74,66
	4
	1985
	76,60
	5
	1986
	78,59
	6
Observe que
 temos que a função desta tabela é:
y=67,38.(1,026)
 valor da função para t =0
 
Suponha que desejamos saber qual taxa a população estaria crescendo no começo de 1997.
A taxa crescimento instantânea (no começo) é dada pela derivada da função que representa a população do México, avaliada no instante t=17 (17 anos depois de 1980).
Assim, y`=67,38.ln(1,026).
e daí para t=17 temos 67,38.ln(1,026).
=2,676
Isto significa que em 1997 a população mexicana estava crescendo a uma taxa de 2,676 milhões por ano, ou aproximadamente 7.300 por dia.
Exercícios resolvidos
1) Calcule as derivadas das seguintes funções:
a) y=6x b) y=-7x+8 c) y=-3x+x²-1 d) y=-2x
-3
 y’=6 y’=-7 y’=2x-3 y’=-20x
 e) y=x
+x²-3x
y’=
f) y=
y’=
2) Seja f(x)=x²-5x+6, calcule a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto x=2 e interprete geometricamente.
Para x=2 temos f(x)=0. Logo o ponto de tangência no gráfico de f(x) é o ponto (2,0)
 pertence ao gráfico de f(x) e a reta tangente
f(x)=x²-5x+6( f ’(x)=2x-5
f `(2)=2.2-5=-1
inclinação da reta tangente procurada
Portanto a equação desta é: y =-1x+b
Como (2,0) está nesta reta temos: 0=-1.2+b e b=2. 
E a equação é y = -x+2.
3) Calcule a derivada das seguintes funções:
a) y=3x²-5
( y’=6x-ln(5). 5
b) y=
( y’=x²
4) Seja f(x)=
. Calcule f `(x).
 
5) Calcule a derivada da função y =
 
Lista de exercícios – Cálculo Diferencial e Integral 1
1) Calcule:
f(-1) e f(1/2) sendo 
.
g(0), g(2) e 
 sendo 
.
 sendo 
 e 
.
 sendo 
 e 
. 
2) Sendo f(x) = 3, f(x) = 2x+1 e f(x) = -2x+3 e f(x) = x2 calcule se existir, em cada um dos casos, f´(0), utilizando a definição de derivada.
3) Sendo f(x) = x2 + 1, calcule f´(1) utilizando a definição de derivada, encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto (1,2), e interprete geometricamente.
4) Encontre a taxa média de variação de cada função abaixo:
f(x) = 4-2x		com x0+h = 5 e x0 = 1	
 f(x) = -5x+7	com x0+h = 4 e x0 = 3	
f(x) = 3x2+x	com x0+h = 7 e x0 = 4	
f(x)= 3x+5		com x0+h = -1 e x0 = -2	
f(x)= 2x2-3x+1 	com x0+h= 3 e x0 =-2	
f(x) =12- x		com x0+h= 0 e x0 = -1	
 f(x) = 2x2 +4x 	com x0+h = 4 e x0 = 0	
f(x) = 3-6x		com x0+h= 6 e x0 = 5	
5) Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x) = 1			i) f(x) = 3x2+5x4+2x6	
f(x) = x-2			j) f(x) = 2-x10
f(x) = -x +1		k) f(x) = 0,1.x10 +0,2x5
f(x) =3x+12		l) f(x) = x2+5x-9 
f(x) = x3-4x		m) f(x) = (2x+4).ex 
f(x)=
			n) f(x) =
f(x) =
			o) f(x)=
f(x) = 
 		p) f(x) = 
6) Calcule a derivada das funções nos pontos indicados:
f(x) = x2+1, 			no ponto x =3
f(x) = 9x3-x, 			no ponto x = 1
f(x) = -3x4+5x2, 			no ponto x = -2
f(x) = -x7, 				no ponto x = 1	
f(x) =
				no ponto x = 2
f(x) = (x5+2x3+5x).(2-x2-x4) 	 no ponto x = 0
f(x)=
				no ponto x=3
7) Calcule a derivada das seguintes funções simples:
y = -3					l) y = 0
y = -x3					m) y = 3-x6+x8
y = 6x2					n) y = 4x+5x2+6x3+7x4
y = 
					o) y =
y = 5x – 3x2 +4			p) y = 0,2x+0,5x2-0,3
y = 7-x					q) y = -0,6x
y = 
		r) y = 
y = 6x 0,5				s) y = 7.ex + ln(x) - ln 2
y = 
				t) y = 
-3x+5
y = 5. ex+ 6. ln(x) +3. 2x + 6		u) y = 10x + 5. ln(x) + 3x+4
y = 12x + x3				v) y =5.3x
REGRA DA CADEIA
E para derivar funções que “dependem” de outras funções? Como, por exemplo: 
. Nesta função, temos que: 
 e u=x²+1
Para isto veremos a “regra da cadeia”, que é utilizada para casos como este quando:
y = f(u) e u =g(x)
Observe que uma pequena variação em x, que denotaremos por ∆x, provoca uma pequena variação em u, que denotaremos por ∆u. Por sua vez ∆u provocará uma pequena variação em y, que denotaremos por ∆y.
Daí, desde que ∆x e ∆u sejam não nulos, podemos escrever:
Considerando que ∆x é uma pequena variação de x, quando x passa para x+h temos:
∆x = (x+h)-x = h daí ∆u = u(x+h)-u(x) e ∆y =y(u(x+h))-y(u(x))
e como a derivada 
 e o limite do quociente 
, quando ∆x tende a zero, ou seja, quando h tende a zero, podemos enunciar a regra da cadeia
	Se y = f(u) e y = g(x) forem diferenciáveis, então
Exemplo: Suponha que a quantidade de gasolina, G, em litros, consumida por um carro dependa da distância percorrida, S, em quilômetros, e que S por sua vez dependa do tempo t, medida em horas. Se 0,05 litros são consumidos em cada quilômetro e o carro está viajando a 48 km/h, quão depressa a gasolina está sendo consumida?
Temos:
Taxa de variação da gasolina G em função da distância S: 
Taxa de variação da distância S em função do tempo t: 
Desejamos a variação da gasolina G em função do tempo t, ou seja, desejamos 
. Pela regra da cadeia:
Aplicação da regra da cadeia no cálculo de derivadas
Se f(u) e por sua vez u=g(x) então 
Exemplos: Calcule a derivada das seguintes funções:
a) y=(x²+1)
 y`=5.u
.u’
 u=x²+1
 y`=5.(x²+1)
.2x
 y`=10x.(x²+1)
b) y=
 y`=u
.u’( y`=
 y`=
 u=3x²+2x-1 y`=
 ( y`=
c) y =ln(2x+1) y`=lnu ( y`=
( y`= 
 ( y`= 
 
 u=2x+1 
 
d)
 
’(
(
 ( 
 
 u=5x-1 
 
e) y=sen(5(2x+1)
 
 u=(5(2x+1)
 
 
 
 s=2x+1 
 
 	 	 
Para finalizar as regras de derivação temos a seguinte regra:
Se y=
 então 
Exercícios resolvidos
Calcule a derivada das funções:
a) y =sen(5x+1).ln(3x-2)
(sen(5x+1))’.ln(3x-2)+(sen(5x+1)).(ln(3x-2))’
cos5x+1.5ln(3x-2)+(sen5x+1).
5cos5x+1.ln(3x-2)+(sen5x+1).
b) y=
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
Observando as regras de derivação, percebemos, que a derivada de uma função f(x), isto é, f’(x) ou 
, é também uma função. Assim sendo, podemos derivá-la também, obtendo a 2ª derivada de f(x), que denotaremos por f ’’(x) ou 
.
Da mesma maneira 
 também é uma função e assim podemos, derivá-la para obter 
 ou 
.
De maneira geral, à partir de uma função f(x) podemos obter a n-ésima derivada de f(x), denotada por 
 ou 
,onde n
, n
.
A derivada de segunda ordem de f é a derivada da derivada de f, a derivada de terceira ordem de f é a derivada da derivada de segunda ordem, e assim sucessivamente.
y = f(x) ( função
y’ = f ’(x)( 1ª derivada
y’’= f ’’(x) (2ª derivada
y’’’= f ’’’(x) ( 3ª derivada
y(4) = f (4)(x) ( 4ª derivada
y(n) = f(n) (x) ( n-ésima derivada.
Exemplos:
1) f(x) = x4+x3+x2+x+1
f ’(x) = 4x3+3x2+2x+1
f ’’(x) = 12x2+6x+2
f ‘’’(x) = 24 x+6
f (4)(x) = 24
f (5)(x) = 0 (e todas as demais derivadas também)
2) f(x) = ln x 			3)f(x) = e-x			
	f ’(x) = 1/x 			f’(x) = -e-x 
f ’’(x) = -1/x2			f”(x) = e-x			
f ’’’(x) = 1/x3... 			f ”’(x) = -e-x...
	
Exercício resolvido: Construa os gráficos das funções abaixo e das suas respectivas derivadas de 1ª e 2ª ordem, utilizando muitos valores de x.
a) y=x²-6x+8
	X
	y = x²-6x+8
	y’ = 2x-6
	y’’ = 2
	0
	8
	-6
	2
	0,5
	5,25
	-5
	2
	1
	3
	-4
	2
	1,5
	1,25
	-3
	2
	2
	0
	-2
	2
	2,5
	-0,75
	-1
	2
	3
	-1
	0
	2
	3,5
	-0,75
	1
	2
	4
	0
	2
	2
	4,5
	1,25
	3
	2
	5
	3
	4
	2
	5,5
	5,25
	5
	2
	6
	8
	6
	2
	
b) y=-x²+6x-8 
	x
	y = -x²+6x-8
	y’= -2x+6
	y’’= -2
	0
	-8
	6
	-2
	0,5
	-5,25
	5
	-2
	1
	-3
	4
	-2
	1,5
	-1,25
	3
	-2
	2
	0
	2
	-2
	2,5
	0,75
	1
	-2
	3
	1
	0
	-2
	3,5
	0,75
	-1
	-2
	4
	0
	-2
	-2
	4,5
	-1,25
	-3
	-2
	5
	-3
	-4
	-2
	5,5
	-5,25
	-5
	-2
	6
	-8
	-6
	-2
De a) e b): Para x =3 temos y’=0 e x=3 é o menor ou o maior valor de y 
Em a) temos y’’>0 e para x=3 y assume o menor valor
Em b) temos y’’<0 e para x=3 y assume o maior valor
c) y=(x-2)³
	x
	y = (x-2)³
	y’ = 3(x-2)²
	y’’ = 6(x-2)
	0
	-8
	12
	-12
	0,5
	-3,375
	6,75
	-9
	1
	-1
	3
	-6
	1,5
	-0,125
	0,75
	-3
	2
	0
	0
	0
	2,5
	0,125
	0,75
	3
	3
	1
	3
	6
	3,5
	3,375
	6,75
	9
	4
	8
	12
	12
	4,5
	15,625
	18,75
	15
	5
	27
	27
	18
	5,5
	42,875
	36,75
	21
	6
	64
	48
	24
Resumindo estes exercícios:
Quando y’>0 então y é crescente
Quando y’<0 então y é decrescente
Quando y’=0 temos 3 casos distintos:
	•Se y’’>0 então o ponto onde isto ocorreu é o ponto onde a função assume o seu menor valor.
	•Se y’’<0 então o ponto onde isto ocorreu é o ponto onde a função assume o seu maior valor.
	•Se y’’=0 então o ponto onde isto ocorreu não é o ponto onde y assume o seu maior nem o menor valor.
Localmente, as conclusões do exercício anterior podem ser generalizadas para qualquer função y=f(x), isto é:
Se 
>0 então f é crescente para todo x próximo a 
.
Se 
<0 então f é decrescente para todo x próximo a 
.
Se 
=0 então:
	•Se 
>0 então 
 é um ponto de mínimo local, isto é, 
<
 para todo x próximo a 
.
	•Se 
<0 então 
 é um ponto de máximo local, isto é, 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 para todo x próximo a 
.
	•Se 
=0 então 
 é um ponto de inflexão, não é máximo local e nem mínimo local
No 3º caso, 
 recebe o nome de ponto crítico da função f(x).
Um ponto de mínimo local 
, é o ponto de mínimo global de f(x) se 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 para todo x
Dom(f). Um ponto de máximo local 
, é o ponto de máximo global de f(x) se 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 para todo x
Dom(f).
Exercícios resolvidos
1) Seja f(x)=x³-9x²-48x+52. Ache os pontos de mínimo e máximo globais de f(x), se existirem, e os intervalos de crescimento e decrescimento de f(x):
f(x)=x³-9x²-48x+52
f `(x)=3x²-18x-48 				
f `(x)=0
3x²-18x-48=0	
=-2 e 
=8 são os pontos críticos da função f(x)
 é o ponto de máximo de f(x)
 é o ponto de mínimo de f(x)
 é o ponto de máximo global de f(x)
 
=8 é o ponto de mínimo global de f(x)
Intervalos de crescimento ou decrescimento de f(x):
 
Logo f(x) é crescente nos intervalos: (-∞,-2) e (8,∞)
 f(x) é decrescente no intervalo: (-2,8)
2) Uma companhia de software sabe que ao preço de $80 por um determinado software eles vendem 300 unidades por mês. Sabem também que para cada redução de $5 no preço eles venderão mais 30 unidades. Qual preço a companhia deve cobrar para maximizar a receita:
	Preço
	Qtde vendida
	80
	300
	75
	330
	70
	360
	65
	390
	 
	 
 
 
 Função linear y=ax+b onde, a=
a equação é y=-6x+b, onde x é o preço e y a quantidade vendida 300=-6.80+b
 b=300+480
 b=780
Logo equação desta tabela, que representa a quantidade vendida em função do preço é
y=-6x+780
Como a receita é dada pela quantidade vendida multiplicada pelo preço, temos que a equação da receita é:
R=y.x=(-6x+780).x = -6x2+780 x que é a função que deve ser maximizada.
Temos que R’=-12x+780
Igualando a derivada da receita a zero, obtemos -12x+780=0 ( x=65
x =65 é o ponto crítico de R.
Agora, R’’=-12 e assim
R’’(65)=-12<0
x=65 é o ponto de máximo
Logo x = 65 maximiza a receita que será de:
R=-6.65²+780.65 =25350
3) A função y=f(x) é positiva e contínua com um máximo global em (3,3). Esboce um possível gráfico de f(x) se f `(x) e f ``(x) tem o mesmo sinal para x<3 e sinais opostos para x>3:
 
 lista de exercícios – Cálculo Diferencial e Integral 1
1) a) Esboce um gráfico de uma função cuja primeira e segunda derivadas são positivas em toda parte.
b) Esboce um gráfico de uma função cuja segunda derivada é negativa em toda parte, mas cuja derivada primeira é sempre positiva.
c) Esboce um gráfico de uma função cuja segunda derivada é positiva em toda parte, mas cuja derivada primeira é sempre negativa.
d) Esboce um gráfico de uma função cuja primeira e segunda derivadas são negativas em toda parte.
2) a) Esboce uma curva suave cuja inclinação é, a princípio, positiva e crescente, mas adiante é positiva e decrescente.
b) Esboce o gráfico da primeira derivada, da função cujo gráfico é a curva do item a).
c) Esboce o gráfico da segunda derivada, da função cujo gráfico é a curva do item a).
3)	Observe o gráfico:
			 -5				 5	
Avalie os intervalos em que a derivada é positiva e os intervalos em que a derivada é negativa.
Aproximadamente, para quais valores de x temos f’(x) = 0. Para estes valores f”(x) é positiva, negativa ou nula?
4)	Considere a tabela:
	X
	0
	1
	2
	3
	4
	5
	F(x)
	12
	14
	17
	20
	31
	55
a derivada da função parece ser positiva ou negativa? 
a derivada segunda da função parece ser positiva ou negativa?
5)	Considere a tabela:
	x
	100
	110
	120
	130
	140
	F(x)
	10,7
	6,3
	4,2
	3,5
	3,3
a derivada da função parece ser positiva ou negativa? 
a derivada segunda da função parece ser positiva ou negativa?
6)	Esboce um gráfico de uma função contínua f com as seguintes propriedades:
i) f’(x) > 0 para todo x 	ii) f”(x) < 0 para x < 2 e f”(x) > 0 para x > 2.
7)	Sendo a, b, c e C constantes, ache as derivadas das seguintes funções: (constante, linear, constante vezes uma função, soma e diferença, potência e polinômios)
�
�
8)	Seja 
. Calcule as derivadas f’(0), f’(1), f’(2) e f’(-1). Verifique suas respostas graficamente.
9)	Ache a oitava derivada de 
. Pense antes!
10)	Ache a equação da reta tangente ao gráfico de f em (1,1), onde f é dada por 
.
11)	Ache a equação da reta tangente ao gráfico de 
 em t = 4. Esboce o gráfico de f(t) e da reta tangente nos mesmos eixos.
12)	Sendo A, B e C constantes, ache as derivadas das seguintes funções: (+ exponencial e logarítmica)
�
�
13)	Ache as derivadas das seguintes funções: (+ regra da cadeia)
�
�
14)	Se 
, ache f’(x) de dois