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Teoria dos Circuitos Elétricos Pág. 76

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Teoria de Circuitos Ele´tricos
Versa˜o 0.2
ENGENHARIA DE COMPUTAC¸A˜O
DRAFT
Prof. Paulo Se´rgio da Motta Pires
Laborato´rio de Engenharia de Computac¸a˜o e Automac¸a˜o
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Natal-RN, Setembro de 2000
www.multibrasil.net
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 i
Resumo
Apresentamos uma versa˜o preliminar e incompleta das Notas de Aula utilizadas no curso
de ELE431 - Teoria de Circuitos que ministramos na UFRN para os alunos de graduac¸a˜o em
Engenharia de Computac¸a˜o.
A versa˜o mais recente deste documento esta´ dispon´ıvel, no formato pdf, em http:\\www.
leca.ufrn.br\~pmotta. Comenta´rios e sugesto˜es podem ser enviados para pmotta@leca.
ufrn.br
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 ii
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• XEmacs - 20.4 “Emerald” XEmacs Lucid
• Xfig - Xfig 3.2 patchlevel 3c (Protocol 3.2)
• epstopdf - EPSTOPDF 2.5, 1999/05/06
• pdflatex - pdftex Version 3.14159-13d (Web2C 7.3.1)
• Scilab - Versa˜o 2.5
em ambiente Linux Slackware 7.11
Pode ser copiada e distribu´ıda livremente, mantidos os cre´ditos.
Evoluc¸a˜o :
1. Setembro de 2000 - in´ıcio, com a Versa˜o 0.1
1http://www.slackware.com
Suma´rio
1 Conceitos 1
1.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Func¸o˜es Singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.1 Func¸a˜o Degrau Unita´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.2 Func¸a˜o Sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.3 Func¸a˜o Rampa Unita´ria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.4 Func¸a˜o Impulso Unita´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.5 Propriedades da Func¸a˜o δ(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Transformadas de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.1 Propriedades da Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Transformada de Laplace de Func¸o˜es Perio´dicas . . . . . . . . . . . . . 11
1.6 Transformada Inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7 Expansa˜o em Frac¸o˜es Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.7.1 Ra´ızes Reais Distintas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.7.2 Ra´ızes Mu´ltiplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7.3 Ra´ızes Complexas Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.8 Teorema do Valor Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.9 Teorema do Valor Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.10 Diagrama de Polos e Zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Me´todos para Ana´lise de Circuitos 19
2.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Componentes de Circuitos Ele´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Me´todo das Malhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Me´todo dos No´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Ana´lise de Circuitos Transformados 34
3.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Circuitos de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3 Circuitos em Regime Permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4 Circuitos Transformados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5 Elementos de Circuito no Domı´nio da Frequ¨eˆncia . . . . . . . . . . . . 38
iii
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 iv
4 Func¸a˜o de Transfereˆncia 43
4.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 A Func¸a˜o H(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.3 Resposta ao Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.4 Resposta ao Degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.5 Resposta a` Rampa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.6 Integral de Convoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5 Resposta em Frequ¨eˆncia 47
5.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2 Curvas de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.2.1 H(s) com termo constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.2.2 H(s) com termo s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2.3 H(s) com termo 1 + τs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.2.4 H(s) com termo s2 + as+ b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.2.5 Frequ¨eˆncia de Ressonaˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6 Se´rie de Fourier em Ana´lise de Circuitos 57
6.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2 A Se´rie Trigonome´trica de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.3 Translac¸a˜o de Gra´ficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7 Quadripolos 64
7.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.2 Paraˆmetros Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.3 Paraˆmetros Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
A Transformadas de Laplace - Resumo 67
Lista de Figuras
1.1 Representac¸a˜o de um circuito ele´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Caracter´ısticas de sistemas lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 A func¸a˜o degrau unita´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 A func¸a˜o degrau unita´rio deslocada de a > 0 . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 Escalonamento da func¸a˜o degrau e da func¸a˜o degrau deslocada . . . . 4
1.6 A func¸a˜o pulso quadrado constru´ıda a partir da combinac¸a˜o de func¸o˜es
degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.7 Onda quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.8 A func¸a˜o sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.9 A func¸a˜o rampa unita´ria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.10 A func¸a˜o rampa unita´ria deslocada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.11 A func¸a˜o delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.12 Exemplo para deslocamento real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.13 Diagrama de polos e zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.14 Diagrama de polos e zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1 Componentes de circuitos ele´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Polaridades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Um circuito ele´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Correntes de malha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5 Obtenc¸a˜o das equac¸o˜es de malha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6 Obtenc¸a˜o das equac¸o˜es de malha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.7 Obtenc¸a˜o das correntes de malha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.8 Obtenc¸a˜o da corrente sobre o resistor de 10Ω . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.9 Ana´lise pelo me´todo dos no´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.10 Ana´lise pelo me´todo dos no´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.11 Obtenc¸a˜o do valor da corrente i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.12 Obtenc¸a˜o dos valores das tenso˜es v1, v2 e v3 . . . . . . . . . .. . . . . . 30
2.13 Obtenc¸a˜o dos valores das tenso˜es - fonte controlada . . . . . . . . . . 32
3.1 Circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Circuito RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Respostas no domı´nio do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4 Regime permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.5 Capacitor em aberto e indutor em curto . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.6 Circuito apo´s a chave ter sido aberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.7 Ana´lise de circuitos no domı´nio da frequ¨eˆncia . . . . . . . . . . . . . . 38
v
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 vi
3.8 Representac¸a˜o do resistor no domı´nio da frequ¨eˆncia . . . . . . . . . . 39
3.9 Representac¸o˜es do indutor no domı´nio da frequ¨eˆncia . . . . . . . . . . 40
3.10 Representac¸o˜es do capacitor no domı´nio da frequ¨eˆncia . . . . . . . . . 41
3.11 Tensa˜o v(t) sobre o indutor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.12 Corrente i(t) sobre o capacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.1 Func¸a˜o de transfereˆncia H(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 Func¸a˜o de transfereˆncia H(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3 Resposta ao impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.4 Resposta ao degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.1 Sistema linear invariante no tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2 Circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3 Resposta em frequ¨eˆncia para H(jω) = k . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.4 Resposta em frequ¨eˆncia para H(jω) = jω . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.5 Resposta em frequ¨eˆncia para H(jω) = 1jω . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.6 Resposta em frequ¨eˆncia para H(jω) = 1 + jωτ . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.7 Resposta em frequ¨eˆncia para H(jω) = 11+jωτ . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.8 Resposta em frequ¨eˆncia para H(jω) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.9 Resposta em frequ¨eˆncia para H(jω) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.1 Decomposic¸a˜o de um sinal por Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.2 Onda quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.3 Onda quadrada deslocada em relac¸a˜o a` onda do Exemplo anterior . . 61
6.4 Obter a tensa˜o v0(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.1 Quadripolo com grandezas associadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.2 Quadripolo1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.3 Quadripolo2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Cap´ıtulo 1
Conceitos
1.1 Introduc¸a˜o
Apresentamos algumas definic¸o˜es e a fundamentac¸a˜o matema´tica necessa´ria para
analisar circuitos ele´tricos no domı´nio da frequ¨eˆncia.
Neste cap´ıtulo, os circuitos ele´tricos sa˜o tratados pelo termo mais abrangente de
sistemas e sa˜o representados sem a preocupac¸a˜o de caracterizar seus componentes.
Na Figura 1.1, e´ mostrado, enta˜o, um circuito ele´trico.
e(t) r(t) SISTEMA
 (Circuito Elétrico)E(s) R(s)
Figura 1.1: Representac¸a˜o de um circuito ele´trico
A excitac¸a˜o, ou entrada, de um circuito pode ser feita atrave´s de uma fonte de
corrente ou de uma fonte de tensa˜o e a resposta, ou sa´ıda, pode ser apresentada em
termos do comportamento da corrente ou da tensa˜o em um ou mais elementos do
circuito. No domı´nio do tempo, a excitac¸a˜o e a resposta sa˜o representados, respec-
tivamente, por e(t) e r(t). No domı´nio da frequ¨eˆncia, a excitac¸a˜o e´ representada
por E(s) e a resposta por R(s). Como iremos verificar, a passagem de um domı´nio
para outro e´ poss´ıvel atrave´s da utilizac¸a˜o da transformada de Laplace.
Por convenc¸a˜o, iremos adotar letras minu´sculas para denotar grandezas no
domı´nio do tempo e letras maiu´sculas para denotar grandezas no domı´nio da fre-
qu¨eˆncia.
Em ana´lise de circuitos, sa˜o conhecidas a excitac¸a˜o e o circuito. O objetivo
e´ encontrar a resposta. Em s´ıntese de circuitos, sa˜o conhecidas a excitac¸a˜o e a
resposta. O objetivo, neste caso, e´ obter o circuito.
1
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versa˜o 0.2 2
1.2 Sistemas
Algumas definic¸o˜es para sistemas :
• Sistemas Lineares - Sa˜o sistemas para os quais vale o princ´ıpio da superposic¸a˜o.
Segundo este princ´ıpio, se e1(t), r1(t) e e2(t), r2(t) sa˜o dois pares diferentes de
excitac¸a˜o/resposta para um determinado sistema, a excitac¸a˜o deste sistema
por e(t) = e1(t) + e2(t) deve dar como resposta r(t) = r1(t) + r2(t), como mostrado
na Figura 1.2. Para estes sistemas, vale, tambe´m, o princ´ıpio da proporcio-
nalidade. Neste caso, se C1e(t) for a excitac¸a˜o, com C1 constante, a resposta
sera´ C1r(t). Diz-se que o sistema, neste caso, preserva a constante de pro-
porcionalidade. Outra caracter´ıstica dos sistemas lineares : a excitac¸a˜o e a
correspondente resposta esta˜o relacionadas por uma equac¸a˜o diferencial lin-
ear.
 SISTEMA
 SISTEMA
 SISTEMA
C e (t) C r (t)
1 1 1 1
C e (t) C r (t)C e (t) C r (t)C e (t) C r (t)C e (t) C r (t)
C e (t) C r (t)
2 2 2 2 
C e (t) + C e (t) C r (t) + C r (t)
1 1 2 2 1 1 2 2
Figura 1.2: Caracter´ısticas de sistemas lineares
• Sistemas Passivos - Sa˜o sistemas compostos por elementos que na˜o introduzem
energia.
• Sistemas Rec´ıprocos - Sa˜o sistemas para os quais o relacionamento entre a
excitac¸a˜o e a resposta permanece o mesmo quando seus pontos de medida sa˜o
trocados.
• Sistemas Causais - Sa˜o sistemas para os quais a resposta e´ na˜o-antecipato´ria,
isto e´, sa˜o sistemas para os quais se e(t) = 0 para t < T enta˜o r(t) = 0 para t < T .
So´ existira´ resposta se uma excitac¸a˜o for aplicada.
• Sistemas Invariantes no Tempo - Sa˜o sistemas para os quais se a excitac¸a˜o e(t)
da´ como resposta r(t), uma excitac¸a˜o deslocada, e(t ± T ) dara´ uma resposta
deslocada r(t± T ).
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versa˜o 0.2 3
1.3 Func¸o˜es Singulares
Func¸o˜es singulares sa˜o func¸o˜es que apresentam algum tipo de descontinuidade.
Iremos analisar as func¸o˜es singulares de maior interesse para a a´rea de circuitos
ele´tricos.
1.3.1 Func¸a˜o Degrau Unita´rio
A func¸a˜o degrau unita´rio, u(t), e´ definida atrave´s da relac¸a˜o :
u(t) =
{
1, se t ≥ 0
0, se t < 0
O gra´fico e´ mostrado na Figura 1.3
u(t)
t
1
Figura 1.3: A func¸a˜o degrau unita´rio
A func¸a˜o degrau unita´rio deslocada e´ mostrada na Figura 1.4.
u(t − a)
t
a
1
Figura 1.4: A func¸a˜o degrau unita´rio deslocada de a > 0
Observar que :
u(t− a) =
{
1, se t ≥ a
0, se t < 0
A altura da func¸a˜o degrau unita´rio pode ser modificada multiplicando-se a
func¸a˜o por uma constante. Na Figura 1.5 mostramos o resultadoda multiplicac¸a˜o
(escalonamento) dos dois gra´ficos anteriores por uma constante A > 0.
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versa˜o 0.2 4
f(t) = A u(t)
A
t
f(t) = A u(t − a)
A
a t
Figura 1.5: Escalonamento da func¸a˜o degrau e da func¸a˜o degrau deslocada
Utilizando as propriedades de deslocamento e escalonamento mostradas anteri-
ormente, podemos construir outras formas de onda.
Exemplo - a func¸a˜o pulso quadrado pode ser constru´ıda usando uma combi-
nac¸a˜o de func¸o˜es degrau. Assim, considerando a func¸a˜o f(t),
f(t) = 4u(t− 1)− 4u(t− 2)
temos os gra´ficos mostrados na Figura 1.6
4
−4
1
2
t
4 u (t − 1)
−4 u(t − 2)
1 2
4
f(t) = 4 u(t − 1) − 4 u(t − 2)
t
Figura 1.6: A func¸a˜o pulso quadrado constru´ıda a partir da combinac¸a˜o de func¸o˜es degrau
Exemplo - na Figura 1.7, apresentamos a func¸a˜o
f(t) = u(sent)
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versa˜o 0.2 5
f(t) = sen t
t
t
u(sen t)
1
−1
1
...
...
Figura 1.7: Onda quadrada
1.3.2 Func¸a˜o Sinal
Alguns autores definem a func¸a˜o sinal, sgn(t), atrave´s da expressa˜o :
sgn(t) =

1, se t > 0
0, se t = 0
−1, se t < 0
enquanto outros autores representam a func¸a˜o sinal atrave´s da expressa˜o :
sgn(t) =
{
1, se t > 0
−1, se t < 0
Usando a segunda representac¸a˜o, podemos escrever sgn(t) = 2u(t)− 1. O gra´fico
da func¸a˜o sinal e´ mostrado na Figura 1.8
1
−1
t
sgn(t)
Figura 1.8: A func¸a˜o sinal
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versa˜o 0.2 6
1.3.3 Func¸a˜o Rampa Unita´ria
A func¸a˜o rampa unita´ria, ρ(t), e´ definida atrave´s da relac¸a˜o :
ρ(t) = t u(t)
O gra´fico da func¸a˜o rampa unita´ria e´ mostrado na Figura 1.9
t
1
1
ρ (t)
Figura 1.9: A func¸a˜o rampa unita´ria
Na Figura 1.10, mostramos a func¸a˜o rampa unita´ria deslocada.
ta a + 1
1
ρ (t − a)
Figura 1.10: A func¸a˜o rampa unita´ria deslocada
No caso da func¸a˜o rampa, o escalonamento mudara´ a tangente do aˆngulo formado
com o eixo t.
1.3.4 Func¸a˜o Impulso Unita´rio
A func¸a˜o impulso unita´rio, ou func¸a˜o delta, e´ definida atrave´s das expresso˜es :∫∞
−∞ δ(t)dt = 1
δ(t) = 0 se t 6= 0
1.3.5 Propriedades da Func¸a˜o δ(t)
∫ ∞
−∞
δ(t)dt =
∫ 0+
0−
δ(t)dt = 1
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versa˜o 0.2 7
Decorre, da propriedade acima, que :∫ 0−
−∞
δ(t)dt =
∫ ∞
0+
δ(t)dt = 0
Uma outra propriedade importante,∫ ∞
−∞
f(t)δ(t)dt = f(0)
e, por extensa˜o, ∫ ∞
−∞
f(t)δ(t− T )dt = f(T )
E´ conveniente ressaltar que δ(t) = u
′
(t). O gra´fico da func¸a˜o δ(t) e´ mostrado na
Figura 1.11
t
δ
Figura 1.11: A func¸a˜o delta
1.4 Transformadas de Laplace
A transformada de Laplace permite passar do domı´nio do tempo para o domı´nio
da frequ¨eˆncia. Ela e´ definida atrave´s da equac¸a˜o :
L [f(t)] = F (s) =
∫ ∞
0−
f(t)e−stdt
onde s e´ a varia´vel do domı´nio complexo, s = σ + jω, e j =
√−1.
Exemplo - podemos utilizar a definic¸a˜o para obter a transformada de Laplace
da func¸a˜o f(t) = u(t). Temos,
L [u(t)] =
∫ ∞
0−
u(t)e−stdt
=
∫ ∞
0
e−stdt
= −e
−st
s
∣∣∣∣∞
0
=
1
s
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versa˜o 0.2 8
Tambe´m usando a definic¸a˜o, podemos obter a transformada de Laplace de f(t) =
eatu(t). Temos,
L [eatu(t)] =
∫ ∞
0−
eatu(t)e−stdt
=
∫ ∞
0
eate−stdt
= −e
−(s−a)t
s− a
∣∣∣∣∞
0
=
1
s− a
Geralmente, as integrais que precisam ser calculadas para se obter a transforma-
da de Laplace na˜o sa˜o ta˜o simples quanto as apresentadas anteriormente ou podem
levar um tempo muito grande para serem obtidas. Estas complicac¸o˜es sa˜o evitadas,
na maioria dos casos, atrave´s da utilizac¸a˜o de propriedades das transformadas de
Laplace.
1.4.1 Propriedades da Transformada de Laplace
Proporcionalidade
A transformada de Laplace de uma constante (independente do tempo) vezes
uma func¸a˜o, e´ a constante vezes a transformada de Laplace da func¸a˜o. Assim,
considerando k uma constante,independente de t,
L [kf(t)] = kL [f(t)]
Linearidade
A propriedade da linearidade estabelece que a a transformada de Laplace de
uma soma de func¸o˜es e´ a soma das transformadas de Laplace de cada uma das
func¸o˜es. Enta˜o,
L [
∑
i
fi(t)] =
∑
i
L [fi(t)]
Podemos usar esta propriedada para obter a transformada de Laplace da func¸a˜o
f(t) = senωt. Utilizando a identidade de Euler,
ejωt = cosωt+ jsenωt
temos,
f(t) = senωt =
1
2j
[
ejωt − e−jωt]
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versa˜o 0.2 9
Da´ı, como o uso da propriedade da linearidade,
L [f(t)] = L [senωt]
=
1
2j
[
L [ejωt]−L [e−jωt]]
=
1
2j
[
1
s− jω −
1
s+ jω
]
=
ω
s2 + ω2
Diferenciac¸a˜o
Se F (s) e´ a transformada de Laplace da func¸a˜o f(t), L [f(t)] = F (s), enta˜o
L
[
df(t)
dt
]
= sF (s)− f(0−)
onde f(0−) e´ o valor de f(t) em t = 0−. Por extensa˜o,
L
[
dnf(t)
dtn
]
= snF (s)− sn−1f(0−)− sn−2f ′(0−)− ...− fn−1(0−)
onde os superescritos em f(t) indicam derivada em relac¸a˜o a t.
Exemplo - utilizar a propriedade da diferenciac¸a˜o para obter a transformada
de Laplace da func¸a˜o δ(t). Sabendo que δ(t) = u
′
(t), temos :
L [δ(t)] = L
[
du(t)
dt
]
= s
1
s
= 1
ja´ que u(0−) = 0.
Integrac¸a˜o
Se F (s) e´ a transformada de Laplace da func¸a˜o f(t), L [f(t)] = F (s), enta˜o
L
[∫ τ
0−
f(t)dt
]
=
F (s)
s
Exemplo - utilizar a propriedade da integrac¸a˜o para obter a transformada de
Laplace da func¸a˜o ρ(t). Sabendo que ρ(t) = u
′
(t), temos :
L [ρ(t)] = L
[∫ t
0−
u(t)dt
]
=
1
s
1
s
=
1
s2
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versa˜o 0.2 10
Multiplicac¸a˜o por t
A propriedade da diferenciac¸a˜o no domı´nio s e´ definida atrave´s da equac¸a˜o :
L [tf(t)] = −dF (s)
ds
ou, generalizando,
L [tnf(t)] = (−1)nd
nF (s)
dsn
Exemplo - obter a transformada de Laplace da func¸a˜o f(t) = te−at. Temos,
L [te−at] = − d
ds
[
1
s+ a
]
=
1
(s+ a)2
Por extensa˜o, temos :
L [tne−at] =
n!
(s+ a)n+1
e
L [tn] =
n!
sn+1
onde n e´ inteiro positivo.
Deslocamento Complexo
Se F (s) e´ a transformada de Laplace da func¸a˜o f(t), L [f(t)] = F (s), enta˜o
L [eatf(t)] = F (s− a)
Exemplo - obter a transformada de Laplace da func¸a˜o f(t) = e−atsen(ωt). Como
L [sen(ωt)] =
ω
s2 + ω2
temos,
L [e−atsen(ωt)] =
ω
(s+ a)2 + ω2
Considerando f(t) = e−atcos(ωt), temos
L [e−atcos(ωt)] =
s+ a
(s+ a)2 + ω2
ja´ que
L [cos(ωt)] =
s
s2 + ω2
Devemos salientar que, neste caso, a utilizac¸a˜o de uma propriedade eliminou
a necessidade da obtenc¸a˜o da transformada de Laplace atrave´s da resoluc¸a˜o de
integrac¸o˜es complicadas ou trabalhosas.
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versa˜o 0.2 11
Deslocamento Real
Se F (s) e´ a transformada de Laplace da func¸a˜o f(t), L [f(t)] = F (s), enta˜o
L [f(t− a)u(t− a)] = e−asF (s− a)
Exemplo - obter a transformada de Laplace para a func¸a˜o mostrada na Figura
1.12
f(t)
t
2
a
Figura 1.12: Exemplo para deslocamento real
Podemos observar que a func¸a˜o f(t) pode ser escrita como a combinac¸a˜o de duas
func¸o˜es degrau. Temos, portanto,
f(t) = 2u(t)− 2u(t− a)
Da´ı,
L [f(t)] = 2L [u(t)]− 2L [u(t− a)]
Enta˜o,
F (s) =
2
s
− 2e
−as
s
1.5 Transformada de Laplace de Func¸o˜es Perio´dicas
Se f(t) e´ uma func¸a˜o perio´dica de per´ıodo T , isto e´,
f(t) = f(t± T ) T e´ o per´ıodo
a transformada de Laplace de f(t) pode ser obtida utilizando a equac¸a˜o :
L [f(t)] =
1
1− e−sT
∫ T
0−
f(t)e−stdt
1.6 Transformada Inversa de Laplace
Se F (s) e´ a transformada de Laplace da func¸a˜o f(t), define-se a transformada
inversa de Laplace atrave´s da expresa˜o :
L −1[F (s)] = f(t)Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versa˜o 0.2 12
Assim, se
F (s) =
1
s
a transformada inversa sera´
L −1[F (s)] = L −1[
1
s
]
= u(t)
1.7 Expansa˜o em Frac¸o˜es Parciais
Uma func¸a˜o no domı´nio da frequ¨eˆncia, F (s), pode sempre ser escrita na forma :
F (s) =
N(s)
D(s)
onde N(s) representa seu numerador e D(s) representa o seu denominador.
As te´cnicas de expansa˜o em frac¸o˜es parciais auxiliam na obtenc¸a˜o das trans-
formadas inversas de Laplace. Vamos considerar casos em que o denominador da
func¸a˜o F (s) apresente ra´ızes reais distintas, ra´ızes mu´ltiplas e ra´ızes complexas
simples.
1.7.1 Ra´ızes Reais Distintas
Vamos considerar F (s) escrita na forma :
F (s) =
N(s)
(s− s0)(s− s1)(s− s2)
onde s0, s1 e s2 sa˜o ra´ızes reais e distintas e o grau do numerador, N(s), e´ menor
do que 3. Expandindo F (s), temos :
F (s) =
k0
s− s0 +
k1
s− s1 +
k2
s− s2
Para obter a constante k0, fazemos :
(s− s0)F (s) = k0 + k1(s− s0)
s− s1 +
k2(s− s0)
s− s2
Considerando s = s0, temos :
k0 = (s− s0)F (s)
∣∣∣∣
s=s0
Esta notac¸a˜o indica que, para obter o valor de k0, elimina-se do denominador
da func¸a˜o F (s) o termo que depende de s0, (s− s0), substituindo-se o valor de s, nos
termos restantes, pelo valor de s0. De modo semelhante, temos
k1 = (s− s1)F (s)
∣∣∣∣
s=s1
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versa˜o 0.2 13
Generalizado, temos
ki = (s− si)F (s)
∣∣∣∣
s=si
Exemplo - obter a transformada inversa de Laplace para a func¸a˜o
F (s) =
s2 + 2s− 2
s(s+ 2)(s− 3)
Observar que o denominador ja´ encontra-se fatorado. Temos,
F (s) =
s2 + 2s− 2
s(s+ 2)(s− 3) =
k0
s
+
k1
s+ 2
+
k2
s− 3
Da´ı,
k0 = sF (s)
∣∣∣∣
s=0
=
s2 + 2s− 2
(s+ 2)(s− 3)
∣∣∣∣
s=0
=
1
3
k1 = (s+ 2)F (s)
∣∣∣∣
s=−2
=
s2 + 2s− 2
s(s− 3)
∣∣∣∣
s=−2
= −1
5
k2 = (s− 3)F (s)
∣∣∣∣
s=3
=
s2 + 2s− 2
s(s+ 2)
∣∣∣∣
s=3
=
13
15
Temos, enta˜o,
F (s) =
1
3
s
−
1
5
s+ 2
+
13
15
s− 3
Da´ı,
L −1[F (s)] = f(t) = L −1
[
1
3
s
]
−L −1
[
1
5
s+ 2
]
+L −1
[
13
15
s− 3
]
Assim,
f(t) =
1
3
u(t)− 1
5
e−2tu(t) +
13
15
e3tu(t)
1.7.2 Ra´ızes Mu´ltiplas
Vamos considerar F (s) escrita na forma :
F (s) =
N(s)
(s− s0)nD1(s)
Observamos que F (s) possui polos mu´ltiplos em s0. Expandindo F (s), temos :
F (s) =
k0
(s− s0)n +
k1
(s− s1)n−1 +
k2
(s− s2)n−2 + ...+
kn−1
s− s0 +
N1(s)
D1(s)
Seja
F1(s) = (s− s0)nF (s)
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versa˜o 0.2 14
Pela expressa˜o anterior, estamos eliminando da func¸a˜o F (s) o fator (s − s0)n.
Assim,
F1(s) = k0 + k1(s− s0) + k2(s− s2) + ...+ kn−1(s− s0)n−1 +R(s)(s− s0)n
Da´ı,
k0 = F1(s)
∣∣∣∣
s=s0
Derivando F1(s) em relac¸a˜o a s, temos :
dF1(s)
ds
= k1 + 2k2(s− s0) + ..+ kn−1(n− 1)(s− s0)n−2 + ...
enta˜o,
k1 =
dF1(s)
ds
∣∣∣∣
s=s0
Derivando novamente, temos :
k2 =
1
2
dF1(s)
ds
∣∣∣∣
s=s0
Generalizando,
km =
1
m!
dmF1(s)
dsm
∣∣∣∣
s=s0
m = 0, 1, 2, ..., n-1
Exemplo - obter a transformada inversa de Laplace para a func¸a˜o :
F (s) =
s− 2
s(s+ 1)3
Observar que o denominador possui polos reais simples, devido ao fator s, e polos
reais mu´ltiplos, devido ao fator (s + 1)3. Cada fator deve ser tratado de maneira
diferente.
Expandindo F (s), temos
F (s) =
A
s
+
k0
(s+ 1)3
+
k1
(s+ 1)2
+
k2
s+ 1
O coeficiente A e´ obtida pelo me´todo das ra´ızes reais distintas enquanto que os
coeficientes k0, k1 e k2 sa˜o obtidos pelo me´todo das ra´ızes mu´ltiplas. Enta˜o :
A = sF (s)
∣∣∣∣
s=0
=
s− 2
(s+ 1)3
∣∣∣∣
s=0
= −2
Para o caso das ra´ızes mu´ltiplas,
F1(s) = (s+ 1)3F (s) =
s− 2
s
e, enta˜o,
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versa˜o 0.2 15
k0 =
1
0!
d0
ds0
s− 2
s
∣∣∣∣
s=−1
= 3
k1 =
1
1!
d
ds
s− 2
s
∣∣∣∣
s=−1
= 2
k2 =
1
2!
d2
ds2
s− 2
s
∣∣∣∣
s=−1
= 2
Enta˜o,
F (s) = −2
s
+
3
(s+ 1)3
+
2
(s+ 1)2
+
2
s+ 1
A transformada inversa e´ obtida atrave´s de :
L −1[F (s)] = L −1
[
−2
s
]
+L −1
[
3
(s+ 1)3
]
+L −1
[
2
(s+ 1)2
]
+L −1
[
2
s+ 1
]
Assim,
f(t) = L −1[F (s)] =
3
2
t2e−tu(t) + te−tu(t) + 2e−tu(t)
1.7.3 Ra´ızes Complexas Simples
Vamos considerar F (s) escrita na forma :
F (s) =
N(s)
(s− α− jβ)(s− α+ jβ)D1(s)
Pode-se mostrar que a transformada inversa de Laplace, devido a` presenc¸a dos
termos complexos, (s− α− jβ) e (s− α+ jβ) e´ dada por
f1(t) = Meαtsen(βt+ φ)
onde M e φ sa˜o obtidos atrave´s da expressa˜o
Mejφ =
N(s)
βD1(s)
∣∣∣∣
s=α+jβ
Exemplo - obter a transformada inversa de Laplace da func¸a˜o :
F (s) =
s2 + 3
(s+ 2)(s2 + 2s+ 5)
O denominador possui um termo na˜o fatorado. Realizando a fatorac¸a˜o, obtemos
:
s2 + 2s+ 5 = (s+ 1 + j2)(s+ 1− j2)
Assim, F (s) pode ser reescrita na forma :
F (s) =
s2 + 3
(s+ 2)(s+ 1 + j2)(s+ 1− j2)
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versa˜o 0.2 16
Observamos que o demoninador de F (s) possui um polo real simples, representa-
do pelo termo s+2, e polos complexos simples, representados pelos termos s+1+ j2
e s+ 1 + j2. Os dois casos devem ser tratados de maneira diferente.
Para a raiz real simples,
k0 = (s+ 2)F (s)
∣∣∣∣
s=−2
=
s2 + 3
s2 + 2s+ 5
∣∣∣∣
s=−2
=
7
5
A transformada inversa referente a apenas este termo e´
L −1
[
7
5
s+ 2
]
=
7
5
e−2t
Para as ra´ızes complexas, temos α = −1 e β = 2. Os valores de M e φ sa˜o
calculados, enta˜o, usando :
Mejφ =
s2 + 3
2(s+ 2)
∣∣∣∣
s=−1+j2
=
2√
5
e−jtg
−1 1
2
+pi
Logo, M = 2√
5
e φ = tg−1 12 + pi e, enta˜o,
f1(t) =
2√
5
e−tsen(2t+ tg−1
1
2
+ pi)
e, assim,
f(t) =
7
5
e−2t +
2√
5
e−tsen(2t+ tg−1
1
2
+ pi)
1.8 Teorema do Valor Inicial
O teorema do valor inicial estabelece que :
f(0+) = lim
t→0+
= lim
s→∞ sF (s)
1.9 Teorema do Valor Final
O teorema do valor final estabelece que :
f(∞) = lim
t→∞ = lims→0
sF (s)
1.10 Diagrama de Polos e Zeros
Vamos considerar F (s) escrita na forma :
F (s) =
N(s)
D(s)
Define-se os polos de F (s) como sendo as ra´ızes do seu denominador e os zeros
de F (s) como sendo as ra´ızes do seu numerador. O diagrama de polos e zeros e´
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versa˜o 0.2 17
uma maneira de representar graficamente, no plano complexo, os polos e os zeros
de uma func¸a˜o F (s).
Exemplo - obter o diagrama de polos e zeros para a func¸a˜o :
F (s) =
s(s− 1 + j1)(s− 1− j1)
(s+ 1)2(s+ j2)(s− j2)
Temos,
polos =

s = −1 (duplo)
s = −j2
s = j2
e
zeros =

s = 0
s = 1− j1
s = 1 + j1
Seu diagrama de polos e zeros e´ apresentado na Figura 1.13
−1
1
j2
−j2
Plano s
σ
jω
Figura 1.13: Diagrama de polos e zeros
Exemplo - Obter o diagrama de polos e zeros para a func¸a˜o :
F (s) =
2(s− 1)2s2
(s+ 1 + j2)2(s+ 1− j2)2(s+ 1)2
teremos
polos =

s = −1− j2 (duplo)
s = −1 + j2 (duplo)
s = −1 (duplo)
e
zeros =
{
s = 0 (duplo)
s = 1 (duplo)
O diagrama de polos e zeros e´ mostrado na Figura 1.14. Observar que a constante
e´ explicitada no diagrama atrave´s de K = 2.
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versa˜o 0.2 18
−1
σ
jω
j2
−j2
Plano s
1
K = 2
Figura 1.14: Diagrama de polos e zeros
Cap´ıtulo 2
Me´todos para Ana´lise de Circuitos
2.1 Introduc¸a˜o
Em ana´lise de circuitos, a excitac¸a˜o e o circuito sa˜o conhecidos. A resposta e´ a
tensa˜o ou a corrente em um ou em va´rios elementos do circuito. Apresentaremos
algumas te´cnicas que possibilitam a ana´lise de circuitos ele´tricos.
2.2 Componentes de Circuitos Ele´tricos
Neste curso, consideraremos circuitos ele´tricos compostos por resistores,indu-
tores e capacitores, alimentados por fontes de corrente ou de tensa˜o. Estas fontes
podem ser fontes independentes ou fontes controladas. Todos estes elementos esta˜o
mostrados na Figura 2.1.
R
Resistor
Capacitor
C
L
Indutor
v
i
Fonte de Corrente
(constante)
Fonte de Tensão
(constante)
Fonte de Corrente
i(t)
(variável)
Fonte de Tensão
(variável)
v(t)
Fonte de Tensão
Controlada
Fonte de Corrente
Controlada
+ +
v(t)
i(t)
−
+
Figura 2.1: Componentes de circuitos ele´tricos
19
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 20
Adotaremos, ainda, as polaridades apresentadas na Figura 2.2. A corrente ele´tri-
ca entra no dispositivo (R, L, ou C) em seu polo positivo e sai de uma fonte pelo
seu polo positivo.
elemento
i +
+
Fonte
Figura 2.2: Polaridades
2.3 Me´todo das Malhas
Vamos considerar o circuito ele´trico mostrado na Figura 2.3. Este circuito e´
composto por treˆs resistores, R1, R2 e R3 e e´ alimentado por duas fontes de tensa˜o,
v1 e v2. Fazendo um paralelo entre esta representac¸a˜o e a representac¸a˜o utilizada
no cap´ıtulo 1, v1 e v2 sa˜o a excitac¸a˜o, ou a entrada, do circuito, R1, R2 e R3 sa˜o os
elementos dentro da caixa denominada sistema e a resposta, ou sa´ıda, pode ser a
tensa˜o ou a corrente em qualquer parte do circuito. Por exemplo, a resposta pode
ser a tensa˜o1, ou a corrente, sobre o resistor R1 ou sobre o resistor R2 ou sobre o
resistor R3
R R
Rv v3
1 2
1 2−
+
−
+
Figura 2.3: Um circuito ele´trico
Este circuito possui duas malhas. Para cada malha, estabelecemos uma corrente
cujo sentido, arbitrado, e´ o sentido hora´rio, conforme mostrado na Figura 2.4
1Lembrar que a tensa˜o, em Volts (s´ımbolo V), entre os terminais de um resistor de resisteˆncia R, em Ohms
(s´ımbolo Ω), e´ dada pela equac¸a˜o v = Ri onde i e´ a corrente sobre o resistor, em Amperes (s´ımbolo A).
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 21
R R
Rv v3
1 2
1 2
MALHA 1 MALHA 2
i i21−
+
−
+
Figura 2.4: Correntes de malha
Para cada malha, ha´ uma equac¸a˜o de malha correspondente. As equac¸o˜es de
malha sa˜o obtidas usando-se os seguintes procedimentos :
• Com relac¸a˜o a` primeira malha : O coeficiente da primeira corrente, i1, e´ a soma
dos valores das resisteˆncias que pertencem a` sua malha. Enta˜o, a corrente i1
sera´ multiplicada por (R1 +R3) ja´ que sa˜o estes os valores das resisteˆncias que
pertencem a` sua malha. O coeficiente das correntes de qualquer outra malha
e´ o negativo da soma dos valores das resisteˆncias comuns a` primeira e a malha
considerada. Assim, a corrente da outra malha, i2, sera´ multiplicada por −R3
pois R3 e´ o valor da resisteˆncia comum a`s duas malhas. O lado direito da
equac¸a˜o e´ formado pela soma alge´brica das fontes de tensa˜o que pertencem a`
malha. Desta forma, para esta malha, temos a equac¸a˜o :
(R1 +R3)i1 −R3i2 = v1
• Com relac¸a˜o a` segunda malha : O coeficiente da segunda corrente, i2, e´ a soma
dos valores das resisteˆncias que pertencem a` sua malha. Enta˜o, a corrente i2
sera´ multiplicada por (R2 +R3) ja´ que sa˜o estes os valores das resisteˆncias que
pertencem a` sua malha.O coeficiente das correntes de qualquer outra malha e´
o negativo da soma dos valores das resisteˆncias comuns a` segunda e a malha
considerada. Assim, a corrente da outra malha, i1, sera´ multiplicada por −R3
pois R3 e´ o valor da resisteˆncia comum a`s duas malhas. O lado direito da
equac¸a˜o e´ formado pela soma alge´brica das fontes de tensa˜o que pertencem a`
malha. Assim, para esta malha, temos a equac¸a˜o :
−R3i1 + (R2 +R3)i2 = −v2
Caso existam outras malhas e, consequentemente, outras correntes de malha,
repete-se estes procedimentos para cada uma delas.
Para o circuito apresentado, o sistema de equac¸o˜es e´, enta˜o :
(R1 +R3)i1 −R3i2 = v1
−R3i1 + (R2 +R3)i2 = −v2
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 22
ou, na forma matricial, [
R1 +R3 −R3
−R3 R2 +R3
] [
i1
i2
]
=
[
v1
v2
]
Exemplo - Utilizando as equac¸o˜es de malha obtidas para o circuito mostrado
na Figura 2.4, e considerando R1 = 2Ω, R2 = 1Ω, R3 = 4Ω, v1 = 2V e v2 = 6V , calcular
os valores de i1 e i2.
(2 + 4)i1 − 4i2 = 2
−4i1 + (1 + 4)i2 = −6
ou [
6 −4
−4 5
] [
i1
i2
]
=
[
2
−6
]
Da´ı, obtemos : [
i1
i2
]
=
[−1
−2
]
Apesar de ser simples, o sistema acima pode ser resolvido atrave´s da func¸a˜o
linsolve do Scilab. Esta func¸a˜o considera que o sistema linear esta escrito na
forma:
Ax+ b = 0
onde A e´ a matriz dos coeficientes, b e´ o vetor dos termos independentes e x e´ o
vetor das inco´gnitas. O vetor x, no nosso caso, e´ o vetor das correntes.
x =
[
i1
i2
]
Temos, enta˜o, os seguintes procedimentos :
===========
S c i l a b
===========
scilab-2.5
Copyright (C) 1989-99 INRIA
Startup execution:
loading initial environment
-->// Entrada da matriz A :
-->A = [ 6 -4; -4 5]
A =
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 23
! 6. - 4. !
! - 4. 5. !
--> // Entrada do vetor b (observar a troca dos sinais) :
-->b = [ - 2; 6]
b =
! - 2. !
! 6. !
-->// Chamada da funcao linsolve :
-->[x] = linsolve(A, b)
x =
! - 1. !
! - 2. !
-->
Exemplo - Obter as equac¸o˜es de malha para o circuito mostrado na Figura 2.5
R
R
R
R
R
R
1
2
3
4
5
6
i
i
i
1
2
3
v
1 v 2−
+
− +
Figura 2.5: Obtenc¸a˜o das equac¸o˜es de malha
Temos,
(R1 +R2 +R3)i1 −R2i2 −R3i3 = v1
−R2i1 + (R2 +R4 +R5)i2 −R5i3 = −v2
−R3i1 −R5i2 + (R3 +R5 +R6)i3 = v2
ou, na forma matricial,
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 24
R1 +R2 +R3 −R2 −R3−R2 R2 +R4 +R5 −R5
−R3 −R5 R3 +R4 +R6
i1i2
i3
 =
 v1−v2
v2

Exemplo - Obter, usando as equac¸o˜es de malha, as correntes i1 e i2 mostradas
no circuito da Figura 2.6
v
1 v 2
R R
R
1 2
3
i1 i2
−
+
−
+
Figura 2.6: Obtenc¸a˜o das equac¸o˜es de malha
Temos,
(R1 +R2)i1 −R2i2 = v1 − v2
−R2i1 + (R2 +R3)i2 = −v2
[
R1 +R2 −R2
−R2 R2 +R3
] [
i1
i2
]
=
[
v1 − v2
−v2
]
Enta˜o, [
7 −6
−6 8
] [
i1
i2
]
=
[ −5
−10
]
Obtemos, resolvendo a equac¸a˜o anterior,[
i1
i2
]
=
[−5 − 5]
Usando o Scilab, temos :
-->A = [ 7 -6; -6 8]
A =
! 7. - 6. !
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 25
! - 6. 8. !
-->b = [ 5; 10]
b =
! 5. !
! 10. !
-->[x] = linsolve(A, b)
x =
! - 5. !
! - 5. !
-->
Exemplo - Obter, usando as equac¸o˜es de malha, as correntes i1 e i2 mostradas
no circuito da Figura 2.7
R
R
v
v
v1
2
3
R
1
2
3
i
1 i2
−
+
−
+
−
+
Figura 2.7: Obtenc¸a˜o das correntes de malha
Temos as sequintes equac¸o˜es de malha :
(R1 +R2)i1 −R2i2 = −v1 − v2
−R2i1 + (R2 +R3)i2 = v2 − v3
Da´ı, considerando R1 = 2Ω, R2 = 4Ω, R3 = 6Ω, v1 = 6V , v2 = 4V e v3 = 3V , temos :[
R1 +R2 −R2
−R2 R2 +R3
] [
i1
i2
]
=
[−v1 − v2
v2 − v3
]
Enta˜o, [
6 −4
−4 10
] [
i1
i2
]
=
[−10
1
]
Resolvendo pelo Scilab,
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 26
-->A = [6 -4; -4 10]
A =
! 6. - 4. !
! - 4. 10. !
-->b = [10; -1]
b =
! 10. !
! - 1. !
-->[x] = linsolve(A, b)
x =
! - 2.1818182 !
! - 0.7727273 !
-->
Exemplo - Obter, usando as equac¸o˜es de malha, o valor da corrente que passa
no resistor de 10Ω mostrado no circuito da Figura 2.8
10 
8 5
3 2 Ω
Ω
Ω Ω
Ω15 V i1
i
i
2
3
−
+
Figura 2.8: Obtenc¸a˜o da corrente sobre o resistor de 10Ω
Obtemos as sequintes equac¸o˜es de malha :
(8 + 3)i1 − 3i2 − 8i3 = 15
−3i1 + (5 + 2 + 3)i2 − 5i3 = 0
−8i1 − 5i2 + (8 + 10 + 5)i3 = 0
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 27
ou
11i1 − 3i2 − 8i3= 15
−3i1 + 10i2 − 5i3 = 0
−8i1 − 5i2 + 23i3 = 0
Usando o Scilab, obtemos :
-->A = [11 -3 -8; -3 10 -5; -8 -5 23]
A =
! 11. - 3. - 8. !
! - 3. 10. - 5. !
! - 8. - 5. 23. !
-->b = [-15; 0; 0]
b =
! - 15. !
! 0. !
! 0. !
-->[x] = linsolve(A, b)
x =
! 2.6327055 !
! 1.3998288 !
! 1.2200342 !
-->
Portanto, a corrente sobre o resistor de 10Ω e´ i3 = 1.2200342A.
2.4 Me´todo dos No´s
Um no´, por definic¸a˜o, e´ um ponto de interconexa˜o de elementos. Assim, o
circuito mostrado na Figura 2.9 possui treˆs no´s, como indicado.
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 28
Nó de referência
i
1
R 1
R 2
R 3 i2
Nó 2Nó 1
Figura 2.9: Ana´lise pelo me´todo dos no´s
O procedimento para ana´lise de circuitos pelo me´todo dos no´s :
1. Determinar o nu´mero de no´s do circuito. O nu´mero de equac¸o˜es sera´ igual ao
nu´mero de no´s menos um. No caso, temos treˆs no´s e, portanto, duas equac¸o˜es.
2. Eleger um no´ como o no´ de refereˆncia. Geralmente, este no´ e´ o que possui
o maior nu´mero de elementos conectados. No circuito mostrado, o no´ de
refereˆncia esta´ destacado. Ao no´ de refereˆncia e´ atribu´ıdo sinal negativo e aos
outros, sinal positivo.
3. As equac¸o˜es de no´s sa˜o escritas considerando condutaˆncias2. No caso, temos
treˆs condutaˆncias:
G1 = 1/R1, G2 = 1/R2eG3 = 1/R3
4. Cada no´ tem uma tensa˜o em relac¸a˜o ao no´ de refereˆncia. Da´ı, a tensa˜o no no´
1 e´ v1 e a tensa˜o no no´ 2 e´ v2.
A lei dos no´s estabelece o seguinte procedimento : o coeficiente da tensa˜o no
no´ 1, v1, e´ a soma das condutaˆncias conectadas a` ele. Os coeficientes das outras
tenso˜es de no´ sa˜o o negativo das somas das condutaˆncias entre esses no´s e o no´ 1.
O lado direito da equac¸a˜o e´ a soma alge´brica das correntes qure entram no no´ 1
devido a presenc¸a das fontes de corrente. Para os outros no´s, o procedimento e´
semelhante.
Exemplo - Obter, para o circuito da Figura 2.9, as equac¸o˜es dos no´s. Temos,
(1/R1 + 1/R2)v1 − 1/R2v2 = i1
−1/R2v1 + (1/R2 + 1/R3)v2 = −i2
2A unidade de condutaˆncia e´ Siemens, s´ımbolo S
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 29
ou
(G1 +G2)v1 −G2i2 = i1
−G2v1 + (G2 +G3)v2 = −i2
Estas equac¸o˜es podem ser escritas na forma matricial :[
G1 +G2 −G2
−G2 G2 +G3
] [
v1
v2
]
=
[
i1
−i2
]
Exemplo - Utilizando a lei dos no´s, obter os valores de v1, v2 e i para o circuito
mostrado na Figura 2.10.
 4 A
7 A
4
8
12
Ω
ΩΩ
v
2
v 1
Nó de Referência
i
Figura 2.10: Ana´lise pelo me´todo dos no´s
Temos,
(1/4 + 1/8)v1 − 1/8i2 = 4− 7
−1/8v1 + (1/12 + 1/8)v2 = 7
ou : [
3 −1
−3 5
] [
v1
v2
]
=
[−24
168
]
Usando o Scilab, temos :
-->A = [3 -1; -3 5]
A =
! 3. - 1. !
! - 3. 5. !
-->b = [24; -168]
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 30
b =
! 24. !
! - 168. !
-->[x] = linsolve(A, b)
x =
! 4. !
! 36. !
-->
Entao, v1 = 4V e v2 = 36V . Utilizando o diagrama mostrado na Figura 2.11,
obtemos i = 4A
i 7 A
3 A
v 1
Figura 2.11: Obtenc¸a˜o do valor da corrente i
Exemplo - Utilizando a lei dos no´s, obter os valores de v1, v2 e v3 para o circuito
mostrado na Figura 2.12.
5 A
17 A7 A 3 S
1 S 2 S
1 S 4 S4 S
Nó de Referência
v 1 v 2 v 3
Figura 2.12: Obtenc¸a˜o dos valores das tenso˜es v1, v2 e v3
Temos :
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 31
(3 + 1)v1 − v2 + 0v3 = 7− 5
−v1 + (3 + 1 + 2)v2 − 3v3 = 5
−0v1 − 2v2 + (2 + 1 + 4)v3 = 17
ou, na forma matricial,  4 −1 0−1 6 −3
0 −2 7
v1v2
v3
 =
 25
17

Usando o Scilab, temos :
-->A = [4 -1 0; -1 6 -3; 0 -2 7]
A =
! 4. - 1. 0. !
! - 1. 6. - 3. !
! 0. - 2. 7. !
-->b = [-2 ; -5; - 17]
b =
! - 2. !
! - 5. !
! - 17. !
-->[x] = linsolve(A, b)
x =
! 1.1532847 !
! 2.6131387 !
! 3.1751825 !
-->
Enta˜o, v1 = 1.1532847V , v2 = 2.6131387V e v3 = 3.1751825V .
Exemplo - Utilizando a lei dos no´s, obter os valores de v1 e v2 para o circuito
mostrado na Figura 2.13. Observar que este circuito possui uma fonte controlada
de corrente.
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 32
5 A 2 v
5 i
v 1 v 2
1 Ω 1 Ω 2 Ω
1/2 Ω
+ v −
i
Figura 2.13: Obtenc¸a˜o dos valores das tenso˜es - fonte controlada
Neste caso, usamos os seguintes procedimentos :
1. Obter as equac¸o˜es de no´s como se as fontes fossem independentes. Temos :
(1 + 1 + 2)v1 − 2v2 = 5− 5i
−2v1 + (1/2 + 2)v2 = 5i+ 2v
2. Expressar as varia´veis controladoras, i e v, em termos das tenso˜es dos no´s.
Temos :
i = v1
v = v1 − v2
Portanto, [
9 −2
−9 −4.5
] [
v1
v2
]
=
[
5
0
]
e
-->A = [9 -2; -9 4.5]
A =
! 9. - 2. !
! - 9. 4.5 !
-->b = [-5 ; 0]
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 33
b =
! - 5. !
! 0. !
-->[x] = linsolve(A, b)
x =
! 1. !
! 2. !
-->
Assim, v1 = 1V e v2 = 2V .
Cap´ıtulo 3
Ana´lise de Circuitos Transformados
3.1 Introduc¸a˜o
Circuitos ele´tricos podem ser analisados no domı´nio do tempo ou no domı´nio
da frequ¨eˆncia. Como veremos, a ana´lise no domı´nio do tempo resulta em uma
equac¸a˜o diferencial que deve ser resolvida. No domı´nio da frequ¨encia, a equac¸a˜o a
ser resolvida e´ uma equac¸a˜o polinomial.
Utilizaremos a teoria apresentada nos dois cap´ıtulos anteriores para analisar cir-
cuitos ele´tricos. Inicialmente, mostraremos a ana´lise no domı´nio do tempo. Depois,
no domı´nio da frequ¨eˆncia.
3.2 Circuitos de Primeira Ordem
Vamos considerar o circuito RC mostrado na Figura 3.1, formado por um ca-
pacitor e um resitor. A equac¸a˜o para a corrente no capacitor e´ dada por :
v(t) C R
i(t)
+
Figura 3.1: Circuito RC
i(t) = C
dv
dt
onde C e´ a capacitaˆncia do capacitor. A corrente no resitor e´ dada por :
i(t) =
v
R
34
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.3 35
onde R e´ a resisteˆncia do resistor. Em ambas as equac¸o˜es, a tensa˜o v e´ uma func¸a˜o
do tempo,
v = v(t)
Usando a lei dos no´s, podemos escrever :
C
dv
dt
+
v
R
= 0
A equac¸a˜o resultante e´, portanto, uma equac¸a˜o diferencial de primeira ordem.
Da´ı o nome dado a esse tipo de circuito.
Esta equac¸a˜o diferencial pode ser resolvida por separac¸a˜o de varia´veis. Temos,
dv
v
= − 1
RC
dt
Enta˜o, ∫
dv
v
= − 1
RC
∫
dt
Temos,
lnv = − t
RC
+ k
onde k e´ a constante de integrac¸a˜o. Considerando v(0) = V0, temos :
v(t) = V0e−
t
RC
Para fixar conceitos, vamos considerar o circuito LC da Figura 3.2. Este circuito
e´ formado por um indutor e um resistor. A equac¸a˜o para a tensa˜o no indutor e´
dada por :
RL
i(t)
Figura 3.2: Circuito RL
v(t) = L
di
dt
onde L e´ a indutaˆncia do indutor. A tensa˜o no resitor e´ dada por :
v(t) = Ri(t)
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.3 36
onde R e´ a resisteˆncia do resistor. Em ambas as equac¸o˜es, a corrente i e´ uma func¸a˜o
do tempo,
i = i(t)
Utilizando a lei das malhas, obtemos
L
di
dt
+Ri = 0
que, tambe´m, pode ser resolvida por separac¸a˜o de varia´veis. Temos, enta˜o,
i(t) = I0e−
R
L
t
Na Figura 3.7, mostramos os gra´ficos dessas respostas.
v(t)
t
V0
V /e0
τ = RC
i(t)
τ = t
I
0
I /e0
L/R
Figura 3.3: Respostas no domı´nio do tempo
Na Figura 3.7, o paraˆmetro τ e´ a constante de tempo do circuito. E´ o tempo
necessa´rio para que a resposta caia por um fator 1/e1.
3.3 Circuitos em Regime Permanente
Em regime permanente, todas as tenso˜es e correntes stabilizam-se em valores
constantes. Como a corrente no capacitor e´ dada por :
i(t) = C
dv
dt
e, como
v(t) = cte
temos i(t) = 0. Da´ı, em regime permanente o capacitor comporta-se como um
circuito aberto.
No caso do indutor, temos
v(t) = L
di
dt1e = 2.718281... e´ a base do logar´ıtmo neperiano
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.3 37
e, como
i(t) = cte
temos v(t) = 0. Enta˜o, em regime permanente o indutor comporta-se como um
curto circuito.
Exemplo - Para fixar os conceitos, vamos considerar o circuito mostrado na
Figura 3.4. Vamos supor que o circuito esta´ em regime permanente imediatamente
antes da abertura da chave, em t = 0.
t = 0
10 V 1/4 F
2 H
2 Ω
3 Ω
−
+
Figura 3.4: Regime permanente
Imediatamente antes da abertura da chave, e por estar em regime permanente,
o capacitor funciona como um circuito aberto e o indutor funciona como curto
circuito como mostrado na Figura 3.5.
10 V 1/4 F
2 Ω
3 Ω
+
v
i
−
+
Figura 3.5: Capacitor em aberto e indutor em curto
Nestas condic¸o˜es,
i(0−) = 2A
e
v(0−) = 6V
Apo´s a chave ser aberta, o circuito passa a ser o mostrado na Figura 3.6.
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.3 38
10 V 1/4 F
2 H
2 Ω
3 Ω
i(0 − ) = 2A
v(0 − ) = 6V
−
+
Figura 3.6: Circuito apo´s a chave ter sido aberta
3.4 Circuitos Transformados
Nem sempre as equac¸o˜es diferenciais sa˜o ta˜o simples e podem ser resolvidas de
maneira ta˜o fa´cil como as mostradas nos para´grafos precedentes. Na maioria dos
casos, a opc¸a˜o e´ pelo me´todo das transformadas com os procedimentos apresentados
na Figura ??. Inicialmente, o circuito dado no domı´nio do tempo e´ transformado em
um circuito no domı´nio da frequ¨eˆncia.Utilizamos, neste processo, a transformada
de Laplace. Este circuito e´, enta˜o, analisado usando-se as leis das malhas ou dos
no´s apresentados no Cap´ıtulo 2. O resultado obtido pode ser levado para o dominio
do tempo atrave´s da transformada inversa de Laplace.
Circuito no domínio 
 do tempo
Circuito no domínio
 da freqüência
Análise por 
Malhas ou
 Nós
 R(s)r(t)
Laplace
Inversa de Laplace
Figura 3.7: Ana´lise de circuitos no domı´nio da frequ¨eˆncia
Para transformar o circuito do domı´nio do tempo para o domı´nio da frequ¨eˆncia,
precisamos conhecer as transformadas de Laplace das tenso˜es e correntes de seus
elementos.
3.5 Elementos de Circuito no Domı´nio da Frequ¨eˆncia
No domı´nio do tempo, a relac¸a˜o entre a tensa˜o e a corrente em um resistor e´
dada por :
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.3 39
v(t) = Ri(t)
Aplicando a transformada de Laplace na equac¸a˜o anterior, temos :
V (s) = RI(s)
No domı´nio da frequ¨eˆncia o resistor e´, enta˜o, representado pelo diagrama mostra-
do na Figura 3.8.
I(s)
V(s)
+
R
Figura 3.8: Representac¸a˜o do resistor no domı´nio da frequ¨eˆncia
Para o indutor, as relac¸o˜es entre a corrente e a tensa˜o no domı´nio do tempo
podem ser representadas pelas equac¸o˜es
v(t) = L
di
dt
cuja transformada de Laplace e´ :
V (s) = sLI(s)− Li(0−)
ou
i(t) =
1
L
∫ t
0−
v(τ)dτ + i(0−)
com transformada de Laplace dada por :
I(s) =
1
sL
V (s) +
i(0−)
s
onde i(0−) e´ o valor da corrente em t = 0−. A primeira equac¸a˜o transformada
representa a tensa˜o sobre os elementos apresentados na Figura 3.9(a) enquanto que
a segunda equac¸a˜o transformada representa a corrente sobre os elementos apresen-
tados na Figura 3.9(b).
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.3 40
I(s)
sL
L i(0− )
+
+
V(s)
(a)
I(s)
1
sL i(0 − )
s
V(s)
+
(b)
Figura 3.9: Representac¸o˜es do indutor no domı´nio da frequ¨eˆncia
Para o capacitor, as relac¸o˜es entre a corrente e a tensa˜o no domı´nio do tempo
podem ser representadas pelas equac¸o˜es
v(t) =
1
C
∫ t
0−
i(τ)dτ + v(0−)
com transformada de Laplace dada por :
I(s) =
1
sL
V (s) +
i(0−)
s
ou
i(t) = C
dv
dt
cuja transformada de Laplace e´ :
I(s) = sCV (s)− Cv(0−)
onde v(0−) e´ o valor da tensa˜o em t = 0−. A primeira equac¸a˜o transformada
representa a tensa˜o sobre os elementos apresentados na Figura 3.10(a) enquan-
to que a segunda equac¸a˜o transformada representa a corrente sobre os elementos
apresentados na Figura 3.10(b).
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.3 41
I(s)
1
sC
v(0 − )
s
+
V(s)
+
I(s)
sC Cv(0 − )
+
V(s)
(a) (b)
Figura 3.10: Representac¸o˜es do capacitor no domı´nio da frequ¨eˆncia
Exemplo - Utilizando o me´todo das transformadas, obter a tensa˜o v(t) mostrada
no circuito da Figura 3.11.Considerar que, com a chave na posic¸a˜o mostrada, o
circuito esta´ em regime permanente.
t = 0
2 H
1 V3 V
+
v(t)
2 Ω
i
−
Figura 3.11: Tensa˜o v(t) sobre o indutor
Imediatamente antes da chave mudar de posic¸a˜o em t = 0, temos o circuito
mostrado na Figura ??(a). Nesta configurac¸a˜o, obtemos :
i(0−) = −1
3
A
Apo´s a chave mudar de posic¸a˜o, o circuito transformado e´, enta˜o, o mostrado
na Figura ??(b). Para este circuito,
I(s) =
9− 2s
3s(2s+ 3)
e, como
V (s) = sLI(s)− Li(0−)
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.3 42
temos,
V (s) =
4
s+ 32
e, enta˜o,
v(t) = L −1[V (s)] = 4e−
3
2
t
Exemplo - Utilizando o me´todo das transformadas, obter a corrente i(t) mostra-
da no circuito da Figura 3.12.Considerar que, com a chave na posic¸a˜o mostrada, o
circuito esta´ em regime permanente.
t = 0
1 V3 V
+ −
2 F
3 Ω
i(t)
Figura 3.12: Corrente i(t) sobre o capacitor
Imediatamente antes da chave mudar de posic¸a˜o em t = 0, temos o circuito
mostrado na Figura ??(a). Nesta configurac¸a˜o, obtemos :
v(0−) = −1V
Apo´s a chave mudar de posic¸a˜o, o circuito transformado e´, enta˜o, o mostrado
na Figura ??(b). Para este circuito,
I(s) = − 4
3(s+ 16)
e, enta˜o,
i(t) = L −1[I(s)] = −4
3
e−
1
6
t
Cap´ıtulo 4
Func¸a˜o de Transfereˆncia
4.1 Introduc¸a˜o
Em um sistema linear, a excitac¸a˜o, e(t), e a resposta, r(t), esta˜o relacionadas
atrave´s de uma equac¸a˜o diferencial. Aplicando a transformada de Laplace, a relac¸a˜o
entre a excitac¸a˜o E(s) e a resposta R(s) passa a ser alge´brica. Usaremos a func¸a˜o
de transfereˆncia para analisar a resposta em frequ¨eˆncia de circuitos.
4.2 A Func¸a˜o H(s)
Considerando condic¸o˜es iniciais nulas, a relac¸a˜o entre a excitac¸a˜o E(s) e a re-
sposta R(s) no domı´nio da frequ¨eˆncia e´ dada pela equac¸a˜o
R(s) = H(s)E(s)
onde H(s) e´ chamada de func¸a˜o de transfereˆncia ou func¸a˜o de sistema.
Exemplo - Obter H(s) para o circuito mostrado na Figura 4.1
R
sL
I(s)
1
sC
V(s)
+
Figura 4.1: Func¸a˜o de transfereˆncia H(s)
A entrada, ou excitac¸a˜o, do circuito e´ E(s) = I(s). A sa´ıda, ou resposta, e´
R(s) = V (s). Enta˜o, encontrando a relac¸a˜o
V (s)
I(s)
=
R(s)
E(s)
43
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.4 44
encontraremos a func¸a˜o de transfereˆncia H(s). Temos, enta˜o, usando a lei das
malhas,
V (s) =
[
R+
( 1sC )sL
sL+ 1sC
]
I(s)
Enta˜o,
H(s) =
V (s)
I(s)
= R+
( 1sC )sL
sL+ 1sC
Exemplo - Obter H(s) para o circuito mostrado na Figura 4.2
sL
R
1
sC
I
i
I
1 Io
Figura 4.2: Func¸a˜o de transfereˆncia H(s)
Neste caso, a entrada, ou excitac¸a˜o, do circuito e´ E(s) = Ii(s). A sa´ıda, ou
resposta, e´ R(s) = Io(s). Usando a lei dos no´s, temos :
Ii(s) = I1(s) + Io(s)
Da´ı,
Ii(s) =
[
1 +
R+ sL
1
sC
]
e, enta˜o,
H(s) =
Io(s)
Ii(s)
= 1 +
R+ sL
1
sC
Pelo exposto nos exemplos anteriores, podemos verificar que a func¸a˜o de trans-
fereˆncia depende apenas dos elementos de circuito (R, L, C) e e´ obtida pela apli-
cac¸a˜o das leis das malhas ou dos no´s.
4.3 Resposta ao Impulso
Analisando a relac¸a˜o
R(s) = H(s)E(s)
e´ o´bvio que podemos encontrar R(s) sendo conhecidos o circuito,caracterizado por
H(s), e a excitac¸a˜o, E(s). Considerando que a entrada e´ um impulso unita´rio,
E(s) = L [δ(t)] = 1
temosR(s) = H(s)
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.4 45
e. desta relac¸a˜o,
r(t) = h(t)
onde a func¸a˜o h(t) e´ chamada de resposta ao impulso1.
Exemplo - Obter a resposta ao impulso para o circuito mostrado na Figura 4.3
C
Rδ( )t
+
R
sC
1
+
(a) (b)
1
Figura 4.3: Resposta ao impulso
O primeiro passo e´ transformar o circuito para o domı´nio da frequ¨eˆncia, como
mostrado na Figura 4.3(b). Depois, encontramos a func¸a˜o de transfereˆncia,
H(s) =
s
R(s+ 1RC )
=
1
R
[
1−
1
RC
s+ 1RC
]
A resposta ao impulso sera´, enta˜o,
ht = L −1[H(s)] =
1
R
[
δ(t)− 1
RC
e−
t
RC
]
4.4 Resposta ao Degrau
No caso da entrada degrau, temos
E(s) = L [u(t)] =
1
s
A resposta no domı´nio do tempo sera´, enta˜o,
r(t) = α(t) = L −1
[
H(s)
s
]
Exemplo - Obter a resposta ao degrau para o circuito mostrado na Figura 4.4
R
+
R
+
(a) (b)
L sL
u(t) 1
s
Figura 4.4: Resposta ao degrau
1E´ importante observar que, no domı´nio do tempo, NA˜O se define func¸a˜o de transfereˆncia
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.4 46
O primeiro passo e´ transformar o circuito para o domı´nio da frequ¨eˆncia, como
mostrado na Figura 4.4(b). Depois, encontramos a func¸a˜o de transfereˆncia,
H(s) =
I(s)
V (s)
=
1
R+ sL
Enta˜o,
α(t) = L −1
[
1
R
(
1
s
− 1
s+ RL
)]
da´ı,
α(t) =
1
R
[
1− e−tRL
]
u(t)
4.5 Resposta a` Rampa
Para uma entrada rampa unita´ria,
E(s) = L [ρ(t)] =
1
s2
r(t) = γ(t) = L −1
[
H(s)
s2
]
4.6 Integral de Convoluc¸a˜o
Sejam f1(t) e f2(t) duas func¸o˜es que sa˜o iguais a zero para t < 0. Define-se a
convoluc¸a˜o de f1(t) com f2(t) atrave´s da expressa˜o :
f1(t) ∗ f2(t) =
∫ t
0
f1(t− τ)f2(τ)dτ
Se
f1(t)↔ F1(s)
f2(t)↔ F2(s)
enta˜o,
L [f1(t) ∗ f2(t)] = F1(s)F2(s)
Como
R(s) = H(s)E(s)
temos :
r(t) = L −1[R(s)] = L −1[H(s)E(s)]
Cap´ıtulo 5
Resposta em Frequ¨eˆncia
5.1 Introduc¸a˜o
Vamos considerar o sistema linear, invariante no tempo, mostrado na Figura 5.1
e(t) r(t)
E(s) R(s)
H(s)
Figura 5.1: Sistema linear invariante no tempo
Se a excitac¸a˜o deste sistema e´ senoidal,
e(t) = Asenωt
temos,
E(s) =
Aω
s2 + ω2
Como a resposta no domı´nio da frequ¨eˆncia e´ dada por,
R(s) = H(s)E(s)
temos,
R(s) =
AωH(s)
s2 + ω2
Expandindo R(s) em frac¸o˜es parciais, temos :
R(s) =
k1
s− jω +
k2
s+ jω︸ ︷︷ ︸
Fatores devido a E(s)
+ OUTROS TERMOS︸ ︷︷ ︸
Fatores devido a H(s)
Os fatores originados devido a excitac¸a˜o E(s), ou termos com polos associados
a E(s), originam a resposta forc¸ada, tambe´m chamada de soluc¸a˜o particular ou
soluc¸a˜o em regime permanente. Os outros fatores, associados aos polos da func¸a˜o
47
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 48
de transfereˆncia H(s),origiman a resposta livre tambe´m chamada de soluc¸a˜o com-
plementar ou soluc¸a˜o em regime transito´rio.
Iremos nos interessar apenas pela soluc¸a˜o em regime permanente. Neste caso,
R(s) =
k1
s− jω +
k2
s+ jω
Como pode ser observado, R(s) possui termos com ra´ızes complexas simples.
Como vimos no Cap´ıtulo 1, para estes tipos de func¸a˜o a transformada inversa de
Laplace e´ da forma
f(t) = Meαtsen(βt+ φ)
com M e φ sendo obtidos atrave´s da expressa˜o
Mejφ =
N(s)
βD1(s)
|s=α+jβ
No caso, temos
α = 0
β = ω
D1(s) = 1
Assim,
f(t) = r(t) = Msen(βt+ φ)
e
Mejφ = AH(jω)
ou
M = |AH(jω)|
φ = ∠H(jω)
Podemos verificar, enta˜o, que um sistema linear, esta´vel, invariante no tempo,
submetido a` uma entrada senoidal possuira´, em regime permanente, uma sa´ıda
tambe´m senoidal com a mesma frequ¨eˆncia da entrada. A amplitude e a fase da
seno´ide de sa´ıda, em geral, sera˜o diferentes.
Assim, para se obter a resposta em frequ¨eˆncia de um circuito, basta substituir
s por jω na func¸a˜o de transfereˆncia. A resposta em frequ¨eˆncia e´ formada por dois
gra´ficos: o gra´fico da resposta em amplitude, |H(s)| em func¸a˜o de ω e o gra´fico da
resposta em fase, ∠H(s) em func¸a˜o de ω.
Exemplo - Obter a resposta em frequ¨eˆncia para o circuito mostrado na Figura
5.2
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 49
R
sC
1E(s) R(s)
Figura 5.2: Circuito RC
Inicialmente, obtemos a func¸a˜o de transfereˆncia deste circuito. Temos,
H(s) =
1
1 + sRC
Depois, trocamos s por jω,
H(jω) =
1
1 + jωRC
Da´ı, para a resposta em amplitude,
M(ω) = |H(jω)| = 1√
1 + (ωRC)2
e para a resposta em fase,
φ(ω) = ∠H(jω) = −atan(ωRC)
Utilizando o Scilab, obtemos as curvas mostradas na Figura ??.
5.2 Curvas de Bode
Em 1940, H. W. Bode desenvolveu um me´todo baseado em ass´ıntotas para
representar a resposta em frequ¨eˆncia. A resposta em frequ¨eˆncia, como vimos,
depende diretamente da func¸a˜o de transfereˆncia do circuito.Em geral, a func¸a˜o de
transfereˆncia e´ escrita na forma :
H(s) =
N(s)
D(s)
Nesta func¸a˜o, sa˜o poss´ıveis os seguintes termos :
• Termo constante - Neste caso, a func¸a˜o de transfereˆncia e´ escrita na forma :
H(s) = k
• Termo s - O termo s pode estar no numerador ou no denominador de H(s),
H(s) = s±1
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 50
• Termo (1+sτ) - Neste caso, (1+sτ) pode estar no numerador ou no denominador
de H(s),
H(s) = (1 + sτ)±1
• Termo quadra´tico - H(s) pode ser escrito na forma :
H(s) = (as2 + bs+ c)±1
Vamos apresentar as ass´ıntotas de Bode para cada um dos itens apresentados.
5.2.1 H(s) com termo constante
Temos, substituindo s por jω :
H(jω) = k ⇒
{ |H(jω)| = k
∠H(jω) = 0
Enta˜o, em dB, temos :
20log|H(jω)| = 20logk =

> 0; para k > 1
= 0; para k = 1
< 0; para k < 1
Os gra´ficos de resposta em amplitude e resposta em fase sa˜o mostrados na Figura
5.3
20log|H(j )|, db
20logk
ω
ω ,rad/s
φ( ω)
ω ,rad/s
j
Figura 5.3: Resposta em frequ¨eˆncia para H(jω) = k
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 51
5.2.2 H(s) com termo s
Vamos considerar, inicialmente, s no numerador de H(s). Temos, substituindo s
por jω :
H(jω) = jω ⇒
{ |H(jω)| = |jω| = ω
∠H(jω) = 90o
Em dB, temos :
20log|H(jω)| = 20logω
Os gra´ficos de resposta em amplitude e resposta em fase sa˜o mostrados na Figura
5.4
20log|H(j )|, dbω
φ( ω)
ω ,rad/s
j
ω ,rad/s
0.1
10
20
−20
0
90
20db/dec
Figura 5.4: Resposta em frequ¨eˆncia para H(jω) = jω
Podemos observar que a inclinac¸a˜o da reta no gra´fico da resposta em amplitude
e´ de 20dB/dec. Isso significa que, a` cada de´cada, a amplitude aumenta em 20 dB.
O conceito de de´cada e´ explicado a seguir. Vamos considerar que a relac¸a˜o entre
duas frequ¨eˆncias, ω1 e ω2, seja dada por :
ω1
ω2
= 10k
O expoente k e´ o nu´mero de de´cadas entre ω1 e ω2.
Se a relac¸a˜o for dada por :
ω1
ω2
= 2m,
o expoente m e´ o numero de oitavas entre ω1 e ω2.
Considerando s no denominador,
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 52
H(jω) =
1
jω
⇒
{ |H(jω)| = | 1jω | = 1ω
∠H(jω) = −90o
Em dB, temos
20log|H(jω)| = −20logω
Os gra´ficos de resposta em amplitude e resposta em fase sa˜o mostrados na Figura
5.5
20log|H(j )|, dbω
φ( ω)j
ω ,rad/s
20
−20
0
0.1
10
ω ,rad/s
−90
−20dB/dec
Figura 5.5: Resposta em frequ¨eˆncia para H(jω) = 1jω
5.2.3 H(s) com termo 1 + τs
Vamos considerar, inicialmente, 1 + τs no numerador de H(s). Temos, substi-
tuindo s por jω :
H(jω) = 1 + jωτ ⇒
{ |H(jω)| = √1 + ω2τ2
∠H(jω) = atanωτ
Da´ı, em dB, temos
20log
√
1 + ω2τ2 =

0; para ω � 1τ
3; para ω = 1τ
20logω + 20logτ ; para ω � 1τ
e
atanωτ =

0o; para ω � 1τ
45o; para ω = 1τ
90o; para ω � 1τ
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 53
Os gra´ficos de resposta em amplitudee resposta em fase sa˜o mostrados na Figura
5.6
20log|H(j )|, dbω
φ( ω)j
ω,rad/s1/ τ
3 dB
20 dB/dec
ω,rad/s1/ τ
0
45
90
Figura 5.6: Resposta em frequ¨eˆncia para H(jω) = 1 + jωτ
Vamos considerar o termo 1 + τs no denominador de H(s). Temos, substituindo
s por jω :
H(jω) =
1
1 + jωτ
⇒
{
|H(jω)| = 1√
1+ω2τ2
∠H(jω) = −atanωτ
Em dB, temos
20log
1√
1 + ω2τ2
=

0; para ω � 1τ
−3; para ω = 1τ
−20logω − 20logτ ; para ω � 1τ
e
−atanωτ =

0o; para ω � 1τ
−45o; para ω = 1τ
−90o; para ω � 1τ
Os gra´ficos de resposta em amplitude e resposta em fase sa˜o mostrados na Figura
5.7
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 54
20log|H(j )|, dbω
φ( ω)j
,rad/sω
τ1/
1/ τ ,rad/sω
0
−45
−90
Figura 5.7: Resposta em frequ¨eˆncia para H(jω) = 11+jωτ
5.2.4 H(s) com termo s2 + as+ b
Considerando, inicialmente, o termo no numerador, a func¸a˜o H(s) pode ser
escrita na forma :
H(s) =
s2 + 2ξωns+ ω2n
ω2n
= 1 +
2ξ
ωn
s+
1
ω2n
s2
Fazendo s = jω, temos :
H(jω) = 1− ω
2
ω2n
+ j
2ξω
ωn
O mo´dulo de H(jω) e´
|H(jω)| =
[(
1− ω
2
ω2n
)
+
4ξ2ω2
ω2n
] 1
2
Enta˜o,
20log|H(jω)| = 10log
[(
1− ω
2
ω2n
)
+
4ξ2ω2
ω2n
]
dB
e
∠H(jω) = atan
2ξω
ωn
1− ω2
ω2n
As ass´ıntotas sa˜o, enta˜o, dadas por :
20log|H(jω)| =

0; para ω � ωn
20log2ξ; para ω = ωn
40logω − 40logωn; para ω � ωn
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 55
e
∠H(jω) =

0o; para ω � ωn
90o; para ω = ωn
180o; para ω � ωn
Os gra´ficos de resposta em amplitude e resposta em fase sa˜o mostrados na Figura
5.8
Figura 5.8: Resposta em frequ¨eˆncia para H(jω) =
Considerando,agora, o termo no denominador, a func¸a˜o H(s) pode ser escrita na
forma :
H(s) =
ω2n
s2 + 2ξωns+ ω2n
=
1
1 + 2ξωn s+
1
ω2n
s2
Fazendo s = jω, temos :
H(jω) =
1
1− ω2
ω2n
+ j 2ξωωn
O mo´dulo de H(jω) e´
|H(jω)| = 1[(
1− ω2
ω2n
)2
+ 4ξ
2ω2
ω2n
] 1
2
Enta˜o,
20log|H(jω)| = −10log
[(
1− ω
2
ω2n
)
+
4ξ2ω2
ω2n
]
dB
e
∠H(jω) = −atan
2ξω
ωn
1− ω2
ω2n
As ass´ıntotas sa˜o, enta˜o, dadas por :
20log|H(jω)| =

0; para ω � ωn
−20log2ξ; para ω = ωn
−40logω + 40logωn; para ω � ωn
e
∠H(jω) =

0o; para ω � ωn
−90o; para ω = ωn
−180o; para ω � ωn
Os gra´ficos de resposta em amplitude e resposta em fase sa˜o mostrados na Figura
5.9
Figura 5.9: Resposta em frequ¨eˆncia para H(jω) =
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 56
5.2.5 Frequ¨eˆncia de Ressonaˆncia
Pelos gra´ficos apresentados nas Figuras 5.8 e 5.9, observamos que, pro´ximo a`
frequ¨eˆncia ω = ωn ocorre um pico. Este pico, chamado de pico de ressonaˆncia,
depende do valor da constante de amortecimento, ξ. Para obter este valor de pico,
vamos considerar, sem perda de generalidade,
|H(jω)| = 1[(
1− ω2
ω2n
)
+ 4ξ
2ω2
ω2n
] 1
2
O valor ma´ximo de |H(jω) ocorre quando o seu denominador for mı´nimo. Enta˜o,
considerando,
f(ω) =
(
1− ω
2
ω2n
)2
+
4ξ2ω2
ω2n
Para
df(ω)
dω
= 0
obtemos
ω = ωr = ωn
√
1− 2ξ2
com
0 ≤ ξ ≤ 1√
2
A frequ¨eˆncia ωr e´ chamada de frequ¨eˆncia de ressonaˆncia. Fazendo ω = ωr na
equac¸a˜o para |H(jω)|, temos:
Mr = Max|H(jω)| = 1
2ξ
√
1− ξ2
com
0 ≤ ξ ≤ 1√
2
Para o termo quadra´tico no numerador,
Mr = Max|H(jω)| = 2ξ
√
1− ξ2
Cap´ıtulo 6
Se´rie de Fourier em Ana´lise de
Circuitos
6.1 Introduc¸a˜o
A teoria de Fourier e´ aplicada diversas a´reas :
- Ana´lise de Sistemas Lineares
- Teoria de Antenas
- O´ptica - difrac¸a˜o
- Modelagem de Fenoˆmenos Aleato´rios
- Teoria da Probabilidade
- F´ısica Quaˆntica
- Problemas de Valor de Contorno
O objetivo e´ decompor uma func¸a˜o, ou sinal, em seno´ides de frequ¨eˆncias diferen-
tes. Algumas formas de onda na˜o-senoidais sa˜o importantes na ana´lise de circuitos.
Na Figura 6.1
57
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 58
Σ
ENTRADA SAÍDA
H(s)
Decomposição por
Fourier
Figura 6.1: Decomposic¸a˜o de um sinal por Fourier
6.2 A Se´rie Trigonome´trica de Fourier
Um sinal f(t) e´ perio´dico se
f(t) = f(t± T )
para algum valor de T > 0 e para todo t. Na equac¸a˜o anterior,
T e´ o per´ıodo de f(t). Define-se T0, o per´ıodo fundamental de f(t), como o
menor valor positivo real de T para o qual a equac¸a˜o anterior e´ va´lida
f0 = 1T0 e´ a frequ¨eˆncia fundamental em Hz, e
ω0 = 2pif0 = 1T0 e´ a frequ¨eˆncia angular fundamental, em rad/s.
Um sinal perio´dico f(t) pode ser decomposto atrave´s da equac¸a˜o :
f(t) =
a0
2
+
∞∑
n=1
[ancos(nω0t) + bnsen(nωt)]
onde an e bn sa˜o coeficientes a serem determinados. A expressa˜o anterior e´ a
se´rie trigonome´trica de Fourier.
Fazendo :
d0 =
a0
2
dn = (a2n + b
2
n)
1
2
θn = atan(− bn
an
)
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 59
podemos escrever a se´rie trigonome´trica em uma forma mais compacta :
f(t) = d0 +
∞∑
n=1
dncos(nω0t+ θn)
onde :
d0 - e´ o valor me´dio de f(t). Em teoria de circuitos, d0 representa a componente
dc de f(t).
d1cos(ω0t+ θ1) - e´ a componente fundamental ou primeira harmoˆnica de f(t)
d2cos(ω0t+ θ2) - e´ a segunda harmoˆnica de f(t)
e assim por diante. Usando a identidade de Euler, podemos escrever :
cosx =
ejx + e−jx
2
e
senx =
ejx − e−jx
2j
Usando a expressa˜o para a se´rie trigonome´trica,
f(t) =
a0
2
+
∞∑
n=1
[ancos(nω0t) + bnsen(nωt)]
=
a0
2
+
∞∑
n=1
[
an
ejnω0t + e−jnω0t
2
+ bn
ejnω0t − e−jnω0t
2j
]
=
∞∑
n=−∞
cne
jnω0t
com
cn =
1
2
(an − jbn)
c−n =
1
2
(an + jbn) = c∗n
e
an = 2Re[cn]
bn = −2Im[bn]
onde os operadores Re[] e Im[] representam, respectivamente, “parte real de” e
“parte imagina´ria de”e
d0 = c0
dn = 2|cn|; n = 1, 2, 3 . . .
θn = aˆngulo de cn
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 60
A expressa˜o,
f(t) =
∞∑
n=−∞
cne
jnω0t
com
cn =
1
T0
∫ t0+T0
t0
f(t)e−jnω0tdt
define a se´rie exponencial, ou se´rie complexa, de Fourier.
Exemplo - obter a se´rie trigonome´trica de Fourier para a onda quadrada mostra-
da na Figura 6.2
t
f(t)
−T −T/4 T/4 T
A
......
Figura 6.2: Onda quadrada
Usando a expressa˜o
cn =
1
T0
∫ t0+T0
t0
f(t)e−jnω0tdt
temos
c0 =
A
2
e
cn =
1
T
∫ T
4
−T
4
Ae−jnω0tdt; n 6= 0
Enta˜o,
cn =
A
−jnω0T [e
−jnω0t]
T
4
−T
4
Da´ı,
cn =
A
npi
sen(
npi
2
)
Como e´ pedida a se´rie trigonome´trica, temos
an = Re[cn] =
A
npi
sen(
npi
2
); bn = 0
e, enta˜o,
f(t) =
A
2
+
2A
pi
[cos(ωot)− 13cos(3ω0t) +
1
5
cos(5ω0t)− . . .
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 61
6.3 Translac¸a˜o de Gra´ficos
A translac¸a˜o de um gra´fico e´ um movimento horizontal e/ou vertical sem rotac¸a˜o.
A translac¸a˜o vertical causa modificac¸o˜es no n´ıvel dc do sinal. Afeta, portanto,
apenas os coeficientes a0, d0 e c0. A translac¸a˜o horizontal causa um deslocamento
no tempo. Este deslocamento modifica apenas os valores dos aˆngulos θn
Sejam cn os coeficientes da se´rie exponencial de Fourier de uma func¸a˜o perio´dica
f(t) e sejam cˆn os coeficientes da se´rie exponencial de Fourier para uma func¸a˜o
perio´dica g(t). Se g(t) for uma translac¸a˜o de f(t) consitindo de um acre´scimo k do
n´ıvel dc e de um atraso td, podemnos escrever
g(t) = f(t− td) + k
com
cˆ0 = c0 + k
e
cˆn = cnejnω0td para n = ±1,±2,±3, . . .
Exemplo - obter a se´rie trigonome´trica de Fourier para o sinal apresentado na
Figura 6.3
t
f(t)
...
T−T
A/2
−A/2
...
Figura 6.3: Onda quadrada deslocada em relac¸a˜o a` onda do Exemplo anteriorPor comparac¸a˜o, observamos que g(t) e´ originada de uma translac¸a˜o da func¸a˜o
f(t) do Exemplo anterior. Especificamente,
g(t) = f(t− T
4
)− A
2
Enta˜o,
td =
T
4
e
k =
A
2
Desta forma,
cˆ0 = 0
e
cˆn = cne−jn
pi
2
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 62
Portanto,
g(t) =
2pi
A
[
cos(ω0t− pi2 )−
1
3
cos(3ω0t− 3pi2 ) +
1
5
cos(5ω0t− 5pi2 )− . . .
]
ou
g(t) =
2pi
A
[
sen(ω0t) +
1
3
sen(3ω0t) +
1
5
cos(5ω0t) + . . .
]
Exemplo - considere o circuito mostrado na Figura 6.4-a tendo como tensa˜o de
entrada, vi(t), o sinal mostrado na Figura 6.4-b. Obter a tensa˜o de sa´ıda, v0(t) sobre
o capacitor, em regime permanente. Considerar E = 30pi e T = 4s.
+
v (t)i 1 F
1 Ω
v (t)
 o
(a)
t
...
T−T
...
v (t)i
(b)
E
Figura 6.4: Obter a tensa˜o v0(t)
Como temos um sinal perio´dico na˜o-senoidal e desejamos obter a resposta em
regime permanente (que pressupo˜e uma entrada senoidal, como vimos anterior-
mente), devemos representar vi(t) atrave´s da se´rie trigonome´trica de Fourier. Se
considerarmos o sinal representado no primeiro Exemplo deste Cap´ıtulo, vemos que
vi(t) pode ser escrito como :
g(t) = f(t− T
4
) + 0
Enta˜o,
td =
T
4
e
k = 0
Desta forma,
cˆ0 =
A
2
=
E
2
e
cˆn = cne−jn
pi
2
Portanto,
vi(t) =
E
2
+
2pi
A
[
cos(ω0t− pi2 )−
1
3
cos(3ω0t− 3pi2 ) +
1
5
cos(5ω0t− 5pi2 )− . . .
]
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 63
ou
vi(t) =
E
2
+
2pi
A
[
sen(ω0t) +
1
3
sen(3ω0t) +
1
5
cos(5ω0t) + . . .
]
Substituindo os valores de E e T , temos :
vi(t) = 15pi + 60sen(ω0t) + 20sen(3ω0t) + 12sen(5ω0t) + . . .
Como a resposta em regime permanente para cada uma das parcelas senoidais
de vi(t) e´ dada por :
r(t) = Msen(ω0t+ φ)
com
M = A|H(jω)|
e
φ = ∠H(jω)
temos que obter H(s) e, depois, fazer s = jω. Para o circuito dado, temos :
H(s) =
V0(s)
Vi(s)
=
1
s+ 1
e, enta˜o,
|H(jω) = 1√
1 + ω2
e
φ = −atanω
Os ca´lculos sa˜o mostrados na Tabela
Frequ¨eˆncia ω0 Amplitude Entrada Fase Entrada |H(jω)| Amplitude M Fase φ
0 15 pi 0 1 15 pi 0
0.5 pi 60 0 0.5370 32.22 -57.52
1.5 pi 20 0 0.2076 4.150 -78.02
2.5 pi 12 0 0.1263 1.516 -82.74
Assim,
v0(t) = 15pi + 32.22sen(ω0t− 57.52) + 4.150sen(3ω0t− 78.02) + 1.1516sen(5ω0t− 82.74) + . . .
Cap´ıtulo 7
Quadripolos
7.1 Introduc¸a˜o
Os quadripolos sa˜o dispositivos com dois pares de terminais. Cada par de ter-
minais definem uma porta. Na Figura 7.1, mostramos um quadripolo com suas
grandezas associadas.
QUADRIPOLOV V
1 2
I 1 I 2
Figura 7.1: Quadripolo com grandezas associadas
Na Figura 7.1, V1 e I1 sa˜o, respectivamente, a tensa˜o e a corrente na porta de
entrada do quadripolo enquanto V2 e I2 sa˜o, respectivamente, a tensa˜o e a corrente
na porta de sa´ıda do quadripolo.
Na ana´lise de circuitos atrave´s de quadripolos, utilizamos relacionamentos entre
as grandezas I1, V1, I2 e V2. Estes relacionamentos sa˜o chamados de paraˆmetros do
quadripolo.
7.2 Paraˆmetros Z
Neste caso, o relacionamento entre as grandezas do quadripolo e´ escrito na
forma:
V1 = Z11I1 + Z12I2
V2 = Z21I1 + Z22I2
ou, na forma matricial,
Z =
[
Z1,1 Z1,2
Z2,1 Z2,2
]
64
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 65
Os paraˆmetros Zij podem ser obtidos atrave´s das equac¸o˜es :
Z11 =
V1
I1
∣∣∣∣
I2=0
Z21 =
V2
I1
∣∣∣∣
I2=0
Z12 =
V1
I2
∣∣∣∣
I1=0
Z22 =
V2
I2
∣∣∣∣
I1=0
O termo Z11 e´ chamado de impedaˆncia de entrada em circuito aberto, Z22 e´ a
impedaˆncia de sa´ıda em circuito aberto e Z12 e Z21 sa˜o as impedaˆncias de transfer-
eˆncia (trans-impedaˆncias) em circuito aberto. Os paraˆmetros Z sa˜o chamados de
impedaˆncia em circuito aberto.
A obtenc¸a˜o dos paraˆmetros Z pode ser feita utilizando-se as equac¸o˜es anteriores,
com as respectivas modificac¸o˜es no circuito, ou diretamente atrave´s da utilizac¸a˜o
das leis das malhas ou dos no´s.
Exemplo - obter a matriz Z para o circuito mostrado na Figura 7.2.
+ +
V V
1 2
+
4I 2
I1 I2
0.1 F
3 Ω
Figura 7.2: Quadripolo1
Utilizando a lei das malhas, e lembrando que a ana´lise e´ feita no domı´nio da
frequ¨eˆncia, temos
V1 = 4I2 +
10
s
(I1 + I2)
V2 = 3I2 +
10
s
(I1 + I2)
ou
V1 =
10
s
I1 + (4 +
10
s
)I2
V2 =
10
s
I1 + (3 +
10
s
)I2
Enta˜o,
Z =
[
10
s 4 +
10
s
10
s 3 +
10
s
]
Exemplo - obter a matriz Z para o circuito mostrado na Figura 7.3.
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 66
+ +
V V
1 2
I1 I2
R R
R
1
2
3
Figura 7.3: Quadripolo2
Utilizando a lei das malhas, temos :
V1 = R1I1 −R1I3
V2 = R3I2 +R3I3
0 = −R1I1 +R3I2 + (R1 +R2 +R3)I3
Enta˜o,
Z =
1
R1 +R2 +R3
[
R1(R2 +R3) R1R3
R1R3 R3(R1 +R2)
]
7.3 Paraˆmetros Y
O relacionamento entre as grandezas do quadripolo, neste caso, e´ escrito na
forma:
I1 = Y11V1 + Y12V2
I2 = Y21V1 + Y22V2
ou, na forma matricial,
Y =
[
Y1,1 Y1,2
Y2,1 Y2,2
]
Os paraˆmetros Yij podem ser obtidos atrave´s das equac¸o˜es :
Y11 =
I1
V1
∣∣∣∣
V2=0
Y21 =
I2
V1
∣∣∣∣
V2=0
Y12 =
I1
V2
∣∣∣∣
V1=0
Y22 =
I2
V2
∣∣∣∣
V1=0
O termo Y11 e´ chamado de admitaˆncia de entrada em curto-circuito, Y22 e´ a
admitaˆncia de sa´ıda em curto-circuito e Y12 e Y21 sa˜o as admitaˆncias de transfereˆncia
(trans-admitaˆncias) em curto-circuito. Os paraˆmetros Y sa˜o, portanto, chamados
de admitaˆncias em curto-circuito.
Apeˆndice A
Transformadas de Laplace - Resumo
• Definic¸a˜o
L [f(t)] = F (s) =
∫ ∞
0−
f(t)e−stdt
• Propriedades
1. Proporcionalidade
L [kf(t)] = kL [f(t)]
2. Linearidade
L [
∑
i
fi(t)] =
∑
i
L [fi(t)]
3. Diferenciac¸a˜o
L
[
df(t)
dt
]
= sF (s)− f(0−)
L
[
dnf(t)
dtn
]
= snF (s)− sn−1f(0−)− sn−2f ′(0−)− ...− fn−1(0−)
4. Integrac¸a˜o
L
[∫ τ
0−
f(t)dt
]
=
F (s)
s
5. Deslocamentos
– Domı´nio do tempo
L [f(t− a)u(t− a)] = e−asF (s− a)
– Domı´nio da frequ¨eˆncia
L [eatf(t)] = F (s− a)
6. Multiplicac¸a˜o por t
L [tf(t)] = −dF (s)
ds
L [tnf(t)] = (−1)nd
nF (s)
dsn
67
Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versa˜o 0.2 68
• Transformadas
– Func¸o˜es Singulares
1. Func¸a˜o degrau unita´rio
L [u(t)] =
1
s
2. Func¸a˜o rampa unita´ria
L [ρ(t)] =
1
s2
3. Func¸a˜o impulso unita´rio
L [δ(t)] = 1
– Func¸o˜es Ordina´rias
f(t)←→ F (s) f(t)←→ F (s)
eatu(t) = 1s−a senωt =
ω
s2+ω2
te−at = 1
(s+a)2
cos(ωt) = s
s2+ω2
Refereˆncias Bibliogra´ficas
[*] LATEX
[1] Klaus Steding-Jessen, LATEX Demo : Exemplos com LATEX 2ε, 2000, dispon´ıvel
em http://biquinho.furg.br/tex-br
[2] H. Kopka, P.W. Daly, A Guide to LATEX - Document Preparation for Beginners
and Advanced Users, Addison Wesley, 1993.
[3] M. Goossens, F. Mittelbach, A. Samarin, The LATEX Companion, Addison
Wesley, 1994.
[*] Scilab
[4] Scilab Group, Introduction to Scilab - User’s Guide. Esta refereˆncia, e as outras
escritas pelo Scilab Group, podem ser obtidas em http://www-rocq.inria.fr.
[5] Paulo S. Motta Pires, Introduc¸a˜o ao Scilab - Versa`o 0.1, pode ser obtida em
http://www.leca.ufrn.br/~pmotta
[*] Circuitos
[6] F. F. Kuo, Network Analysis and Synthesis, Second Edition, John Wiley, 1966
[7] Prof. Walmir Freire, Notas de Aula do Curso de Circuitos Ele´tricos II, DEE-
UFRN
[8] D. E. Johnson, J. L. Hilburn, J. R. Johnson, P. D. Scott, Basic Electric Circuit
Analysis, 5th Ed., 1995, Prentice Hall
[9] R. A. DeCarlo, P-M. Lin, Linear Circuit Analysis, 1995, Prentice Hall
69

Outros materiais