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Teoria de Circuitos Ele´tricos Versa˜o 0.2 ENGENHARIA DE COMPUTAC¸A˜O DRAFT Prof. Paulo Se´rgio da Motta Pires Laborato´rio de Engenharia de Computac¸a˜o e Automac¸a˜o Universidade Federal do Rio Grande do Norte Natal-RN, Setembro de 2000 www.multibrasil.net Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 i Resumo Apresentamos uma versa˜o preliminar e incompleta das Notas de Aula utilizadas no curso de ELE431 - Teoria de Circuitos que ministramos na UFRN para os alunos de graduac¸a˜o em Engenharia de Computac¸a˜o. A versa˜o mais recente deste documento esta´ dispon´ıvel, no formato pdf, em http:\\www. leca.ufrn.br\~pmotta. Comenta´rios e sugesto˜es podem ser enviados para pmotta@leca. ufrn.br Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 ii Trabalho totalmente desenvolvido usando Open Source Software : • XEmacs - 20.4 “Emerald” XEmacs Lucid • Xfig - Xfig 3.2 patchlevel 3c (Protocol 3.2) • epstopdf - EPSTOPDF 2.5, 1999/05/06 • pdflatex - pdftex Version 3.14159-13d (Web2C 7.3.1) • Scilab - Versa˜o 2.5 em ambiente Linux Slackware 7.11 Pode ser copiada e distribu´ıda livremente, mantidos os cre´ditos. Evoluc¸a˜o : 1. Setembro de 2000 - in´ıcio, com a Versa˜o 0.1 1http://www.slackware.com Suma´rio 1 Conceitos 1 1.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Func¸o˜es Singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3.1 Func¸a˜o Degrau Unita´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3.2 Func¸a˜o Sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.3 Func¸a˜o Rampa Unita´ria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.4 Func¸a˜o Impulso Unita´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.5 Propriedades da Func¸a˜o δ(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Transformadas de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4.1 Propriedades da Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . 8 1.5 Transformada de Laplace de Func¸o˜es Perio´dicas . . . . . . . . . . . . . 11 1.6 Transformada Inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.7 Expansa˜o em Frac¸o˜es Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.7.1 Ra´ızes Reais Distintas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.7.2 Ra´ızes Mu´ltiplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.7.3 Ra´ızes Complexas Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.8 Teorema do Valor Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.9 Teorema do Valor Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.10 Diagrama de Polos e Zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Me´todos para Ana´lise de Circuitos 19 2.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Componentes de Circuitos Ele´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 Me´todo das Malhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4 Me´todo dos No´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 Ana´lise de Circuitos Transformados 34 3.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2 Circuitos de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.3 Circuitos em Regime Permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.4 Circuitos Transformados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.5 Elementos de Circuito no Domı´nio da Frequ¨eˆncia . . . . . . . . . . . . 38 iii Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 iv 4 Func¸a˜o de Transfereˆncia 43 4.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.2 A Func¸a˜o H(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.3 Resposta ao Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.4 Resposta ao Degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.5 Resposta a` Rampa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.6 Integral de Convoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5 Resposta em Frequ¨eˆncia 47 5.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.2 Curvas de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.2.1 H(s) com termo constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.2.2 H(s) com termo s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5.2.3 H(s) com termo 1 + τs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.2.4 H(s) com termo s2 + as+ b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.2.5 Frequ¨eˆncia de Ressonaˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 6 Se´rie de Fourier em Ana´lise de Circuitos 57 6.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 6.2 A Se´rie Trigonome´trica de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 6.3 Translac¸a˜o de Gra´ficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 7 Quadripolos 64 7.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 7.2 Paraˆmetros Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 7.3 Paraˆmetros Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 A Transformadas de Laplace - Resumo 67 Lista de Figuras 1.1 Representac¸a˜o de um circuito ele´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Caracter´ısticas de sistemas lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 A func¸a˜o degrau unita´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 A func¸a˜o degrau unita´rio deslocada de a > 0 . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.5 Escalonamento da func¸a˜o degrau e da func¸a˜o degrau deslocada . . . . 4 1.6 A func¸a˜o pulso quadrado constru´ıda a partir da combinac¸a˜o de func¸o˜es degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.7 Onda quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.8 A func¸a˜o sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.9 A func¸a˜o rampa unita´ria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.10 A func¸a˜o rampa unita´ria deslocada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.11 A func¸a˜o delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.12 Exemplo para deslocamento real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.13 Diagrama de polos e zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.14 Diagrama de polos e zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1 Componentes de circuitos ele´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Polaridades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Um circuito ele´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4 Correntes de malha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5 Obtenc¸a˜o das equac¸o˜es de malha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.6 Obtenc¸a˜o das equac¸o˜es de malha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.7 Obtenc¸a˜o das correntes de malha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.8 Obtenc¸a˜o da corrente sobre o resistor de 10Ω . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.9 Ana´lise pelo me´todo dos no´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.10 Ana´lise pelo me´todo dos no´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.11 Obtenc¸a˜o do valor da corrente i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.12 Obtenc¸a˜o dos valores das tenso˜es v1, v2 e v3 . . . . . . . . . .. . . . . . 30 2.13 Obtenc¸a˜o dos valores das tenso˜es - fonte controlada . . . . . . . . . . 32 3.1 Circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2 Circuito RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3 Respostas no domı´nio do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.4 Regime permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.5 Capacitor em aberto e indutor em curto . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.6 Circuito apo´s a chave ter sido aberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.7 Ana´lise de circuitos no domı´nio da frequ¨eˆncia . . . . . . . . . . . . . . 38 v Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 vi 3.8 Representac¸a˜o do resistor no domı´nio da frequ¨eˆncia . . . . . . . . . . 39 3.9 Representac¸o˜es do indutor no domı´nio da frequ¨eˆncia . . . . . . . . . . 40 3.10 Representac¸o˜es do capacitor no domı´nio da frequ¨eˆncia . . . . . . . . . 41 3.11 Tensa˜o v(t) sobre o indutor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.12 Corrente i(t) sobre o capacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.1 Func¸a˜o de transfereˆncia H(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.2 Func¸a˜o de transfereˆncia H(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.3 Resposta ao impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.4 Resposta ao degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.1 Sistema linear invariante no tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.2 Circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.3 Resposta em frequ¨eˆncia para H(jω) = k . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.4 Resposta em frequ¨eˆncia para H(jω) = jω . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5.5 Resposta em frequ¨eˆncia para H(jω) = 1jω . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.6 Resposta em frequ¨eˆncia para H(jω) = 1 + jωτ . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.7 Resposta em frequ¨eˆncia para H(jω) = 11+jωτ . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.8 Resposta em frequ¨eˆncia para H(jω) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.9 Resposta em frequ¨eˆncia para H(jω) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 6.1 Decomposic¸a˜o de um sinal por Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 6.2 Onda quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 6.3 Onda quadrada deslocada em relac¸a˜o a` onda do Exemplo anterior . . 61 6.4 Obter a tensa˜o v0(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 7.1 Quadripolo com grandezas associadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 7.2 Quadripolo1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 7.3 Quadripolo2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Cap´ıtulo 1 Conceitos 1.1 Introduc¸a˜o Apresentamos algumas definic¸o˜es e a fundamentac¸a˜o matema´tica necessa´ria para analisar circuitos ele´tricos no domı´nio da frequ¨eˆncia. Neste cap´ıtulo, os circuitos ele´tricos sa˜o tratados pelo termo mais abrangente de sistemas e sa˜o representados sem a preocupac¸a˜o de caracterizar seus componentes. Na Figura 1.1, e´ mostrado, enta˜o, um circuito ele´trico. e(t) r(t) SISTEMA (Circuito Elétrico)E(s) R(s) Figura 1.1: Representac¸a˜o de um circuito ele´trico A excitac¸a˜o, ou entrada, de um circuito pode ser feita atrave´s de uma fonte de corrente ou de uma fonte de tensa˜o e a resposta, ou sa´ıda, pode ser apresentada em termos do comportamento da corrente ou da tensa˜o em um ou mais elementos do circuito. No domı´nio do tempo, a excitac¸a˜o e a resposta sa˜o representados, respec- tivamente, por e(t) e r(t). No domı´nio da frequ¨eˆncia, a excitac¸a˜o e´ representada por E(s) e a resposta por R(s). Como iremos verificar, a passagem de um domı´nio para outro e´ poss´ıvel atrave´s da utilizac¸a˜o da transformada de Laplace. Por convenc¸a˜o, iremos adotar letras minu´sculas para denotar grandezas no domı´nio do tempo e letras maiu´sculas para denotar grandezas no domı´nio da fre- qu¨eˆncia. Em ana´lise de circuitos, sa˜o conhecidas a excitac¸a˜o e o circuito. O objetivo e´ encontrar a resposta. Em s´ıntese de circuitos, sa˜o conhecidas a excitac¸a˜o e a resposta. O objetivo, neste caso, e´ obter o circuito. 1 Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versa˜o 0.2 2 1.2 Sistemas Algumas definic¸o˜es para sistemas : • Sistemas Lineares - Sa˜o sistemas para os quais vale o princ´ıpio da superposic¸a˜o. Segundo este princ´ıpio, se e1(t), r1(t) e e2(t), r2(t) sa˜o dois pares diferentes de excitac¸a˜o/resposta para um determinado sistema, a excitac¸a˜o deste sistema por e(t) = e1(t) + e2(t) deve dar como resposta r(t) = r1(t) + r2(t), como mostrado na Figura 1.2. Para estes sistemas, vale, tambe´m, o princ´ıpio da proporcio- nalidade. Neste caso, se C1e(t) for a excitac¸a˜o, com C1 constante, a resposta sera´ C1r(t). Diz-se que o sistema, neste caso, preserva a constante de pro- porcionalidade. Outra caracter´ıstica dos sistemas lineares : a excitac¸a˜o e a correspondente resposta esta˜o relacionadas por uma equac¸a˜o diferencial lin- ear. SISTEMA SISTEMA SISTEMA C e (t) C r (t) 1 1 1 1 C e (t) C r (t)C e (t) C r (t)C e (t) C r (t)C e (t) C r (t) C e (t) C r (t) 2 2 2 2 C e (t) + C e (t) C r (t) + C r (t) 1 1 2 2 1 1 2 2 Figura 1.2: Caracter´ısticas de sistemas lineares • Sistemas Passivos - Sa˜o sistemas compostos por elementos que na˜o introduzem energia. • Sistemas Rec´ıprocos - Sa˜o sistemas para os quais o relacionamento entre a excitac¸a˜o e a resposta permanece o mesmo quando seus pontos de medida sa˜o trocados. • Sistemas Causais - Sa˜o sistemas para os quais a resposta e´ na˜o-antecipato´ria, isto e´, sa˜o sistemas para os quais se e(t) = 0 para t < T enta˜o r(t) = 0 para t < T . So´ existira´ resposta se uma excitac¸a˜o for aplicada. • Sistemas Invariantes no Tempo - Sa˜o sistemas para os quais se a excitac¸a˜o e(t) da´ como resposta r(t), uma excitac¸a˜o deslocada, e(t ± T ) dara´ uma resposta deslocada r(t± T ). Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versa˜o 0.2 3 1.3 Func¸o˜es Singulares Func¸o˜es singulares sa˜o func¸o˜es que apresentam algum tipo de descontinuidade. Iremos analisar as func¸o˜es singulares de maior interesse para a a´rea de circuitos ele´tricos. 1.3.1 Func¸a˜o Degrau Unita´rio A func¸a˜o degrau unita´rio, u(t), e´ definida atrave´s da relac¸a˜o : u(t) = { 1, se t ≥ 0 0, se t < 0 O gra´fico e´ mostrado na Figura 1.3 u(t) t 1 Figura 1.3: A func¸a˜o degrau unita´rio A func¸a˜o degrau unita´rio deslocada e´ mostrada na Figura 1.4. u(t − a) t a 1 Figura 1.4: A func¸a˜o degrau unita´rio deslocada de a > 0 Observar que : u(t− a) = { 1, se t ≥ a 0, se t < 0 A altura da func¸a˜o degrau unita´rio pode ser modificada multiplicando-se a func¸a˜o por uma constante. Na Figura 1.5 mostramos o resultadoda multiplicac¸a˜o (escalonamento) dos dois gra´ficos anteriores por uma constante A > 0. Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versa˜o 0.2 4 f(t) = A u(t) A t f(t) = A u(t − a) A a t Figura 1.5: Escalonamento da func¸a˜o degrau e da func¸a˜o degrau deslocada Utilizando as propriedades de deslocamento e escalonamento mostradas anteri- ormente, podemos construir outras formas de onda. Exemplo - a func¸a˜o pulso quadrado pode ser constru´ıda usando uma combi- nac¸a˜o de func¸o˜es degrau. Assim, considerando a func¸a˜o f(t), f(t) = 4u(t− 1)− 4u(t− 2) temos os gra´ficos mostrados na Figura 1.6 4 −4 1 2 t 4 u (t − 1) −4 u(t − 2) 1 2 4 f(t) = 4 u(t − 1) − 4 u(t − 2) t Figura 1.6: A func¸a˜o pulso quadrado constru´ıda a partir da combinac¸a˜o de func¸o˜es degrau Exemplo - na Figura 1.7, apresentamos a func¸a˜o f(t) = u(sent) Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versa˜o 0.2 5 f(t) = sen t t t u(sen t) 1 −1 1 ... ... Figura 1.7: Onda quadrada 1.3.2 Func¸a˜o Sinal Alguns autores definem a func¸a˜o sinal, sgn(t), atrave´s da expressa˜o : sgn(t) = 1, se t > 0 0, se t = 0 −1, se t < 0 enquanto outros autores representam a func¸a˜o sinal atrave´s da expressa˜o : sgn(t) = { 1, se t > 0 −1, se t < 0 Usando a segunda representac¸a˜o, podemos escrever sgn(t) = 2u(t)− 1. O gra´fico da func¸a˜o sinal e´ mostrado na Figura 1.8 1 −1 t sgn(t) Figura 1.8: A func¸a˜o sinal Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versa˜o 0.2 6 1.3.3 Func¸a˜o Rampa Unita´ria A func¸a˜o rampa unita´ria, ρ(t), e´ definida atrave´s da relac¸a˜o : ρ(t) = t u(t) O gra´fico da func¸a˜o rampa unita´ria e´ mostrado na Figura 1.9 t 1 1 ρ (t) Figura 1.9: A func¸a˜o rampa unita´ria Na Figura 1.10, mostramos a func¸a˜o rampa unita´ria deslocada. ta a + 1 1 ρ (t − a) Figura 1.10: A func¸a˜o rampa unita´ria deslocada No caso da func¸a˜o rampa, o escalonamento mudara´ a tangente do aˆngulo formado com o eixo t. 1.3.4 Func¸a˜o Impulso Unita´rio A func¸a˜o impulso unita´rio, ou func¸a˜o delta, e´ definida atrave´s das expresso˜es :∫∞ −∞ δ(t)dt = 1 δ(t) = 0 se t 6= 0 1.3.5 Propriedades da Func¸a˜o δ(t) ∫ ∞ −∞ δ(t)dt = ∫ 0+ 0− δ(t)dt = 1 Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versa˜o 0.2 7 Decorre, da propriedade acima, que :∫ 0− −∞ δ(t)dt = ∫ ∞ 0+ δ(t)dt = 0 Uma outra propriedade importante,∫ ∞ −∞ f(t)δ(t)dt = f(0) e, por extensa˜o, ∫ ∞ −∞ f(t)δ(t− T )dt = f(T ) E´ conveniente ressaltar que δ(t) = u ′ (t). O gra´fico da func¸a˜o δ(t) e´ mostrado na Figura 1.11 t δ Figura 1.11: A func¸a˜o delta 1.4 Transformadas de Laplace A transformada de Laplace permite passar do domı´nio do tempo para o domı´nio da frequ¨eˆncia. Ela e´ definida atrave´s da equac¸a˜o : L [f(t)] = F (s) = ∫ ∞ 0− f(t)e−stdt onde s e´ a varia´vel do domı´nio complexo, s = σ + jω, e j = √−1. Exemplo - podemos utilizar a definic¸a˜o para obter a transformada de Laplace da func¸a˜o f(t) = u(t). Temos, L [u(t)] = ∫ ∞ 0− u(t)e−stdt = ∫ ∞ 0 e−stdt = −e −st s ∣∣∣∣∞ 0 = 1 s Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versa˜o 0.2 8 Tambe´m usando a definic¸a˜o, podemos obter a transformada de Laplace de f(t) = eatu(t). Temos, L [eatu(t)] = ∫ ∞ 0− eatu(t)e−stdt = ∫ ∞ 0 eate−stdt = −e −(s−a)t s− a ∣∣∣∣∞ 0 = 1 s− a Geralmente, as integrais que precisam ser calculadas para se obter a transforma- da de Laplace na˜o sa˜o ta˜o simples quanto as apresentadas anteriormente ou podem levar um tempo muito grande para serem obtidas. Estas complicac¸o˜es sa˜o evitadas, na maioria dos casos, atrave´s da utilizac¸a˜o de propriedades das transformadas de Laplace. 1.4.1 Propriedades da Transformada de Laplace Proporcionalidade A transformada de Laplace de uma constante (independente do tempo) vezes uma func¸a˜o, e´ a constante vezes a transformada de Laplace da func¸a˜o. Assim, considerando k uma constante,independente de t, L [kf(t)] = kL [f(t)] Linearidade A propriedade da linearidade estabelece que a a transformada de Laplace de uma soma de func¸o˜es e´ a soma das transformadas de Laplace de cada uma das func¸o˜es. Enta˜o, L [ ∑ i fi(t)] = ∑ i L [fi(t)] Podemos usar esta propriedada para obter a transformada de Laplace da func¸a˜o f(t) = senωt. Utilizando a identidade de Euler, ejωt = cosωt+ jsenωt temos, f(t) = senωt = 1 2j [ ejωt − e−jωt] Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versa˜o 0.2 9 Da´ı, como o uso da propriedade da linearidade, L [f(t)] = L [senωt] = 1 2j [ L [ejωt]−L [e−jωt]] = 1 2j [ 1 s− jω − 1 s+ jω ] = ω s2 + ω2 Diferenciac¸a˜o Se F (s) e´ a transformada de Laplace da func¸a˜o f(t), L [f(t)] = F (s), enta˜o L [ df(t) dt ] = sF (s)− f(0−) onde f(0−) e´ o valor de f(t) em t = 0−. Por extensa˜o, L [ dnf(t) dtn ] = snF (s)− sn−1f(0−)− sn−2f ′(0−)− ...− fn−1(0−) onde os superescritos em f(t) indicam derivada em relac¸a˜o a t. Exemplo - utilizar a propriedade da diferenciac¸a˜o para obter a transformada de Laplace da func¸a˜o δ(t). Sabendo que δ(t) = u ′ (t), temos : L [δ(t)] = L [ du(t) dt ] = s 1 s = 1 ja´ que u(0−) = 0. Integrac¸a˜o Se F (s) e´ a transformada de Laplace da func¸a˜o f(t), L [f(t)] = F (s), enta˜o L [∫ τ 0− f(t)dt ] = F (s) s Exemplo - utilizar a propriedade da integrac¸a˜o para obter a transformada de Laplace da func¸a˜o ρ(t). Sabendo que ρ(t) = u ′ (t), temos : L [ρ(t)] = L [∫ t 0− u(t)dt ] = 1 s 1 s = 1 s2 Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versa˜o 0.2 10 Multiplicac¸a˜o por t A propriedade da diferenciac¸a˜o no domı´nio s e´ definida atrave´s da equac¸a˜o : L [tf(t)] = −dF (s) ds ou, generalizando, L [tnf(t)] = (−1)nd nF (s) dsn Exemplo - obter a transformada de Laplace da func¸a˜o f(t) = te−at. Temos, L [te−at] = − d ds [ 1 s+ a ] = 1 (s+ a)2 Por extensa˜o, temos : L [tne−at] = n! (s+ a)n+1 e L [tn] = n! sn+1 onde n e´ inteiro positivo. Deslocamento Complexo Se F (s) e´ a transformada de Laplace da func¸a˜o f(t), L [f(t)] = F (s), enta˜o L [eatf(t)] = F (s− a) Exemplo - obter a transformada de Laplace da func¸a˜o f(t) = e−atsen(ωt). Como L [sen(ωt)] = ω s2 + ω2 temos, L [e−atsen(ωt)] = ω (s+ a)2 + ω2 Considerando f(t) = e−atcos(ωt), temos L [e−atcos(ωt)] = s+ a (s+ a)2 + ω2 ja´ que L [cos(ωt)] = s s2 + ω2 Devemos salientar que, neste caso, a utilizac¸a˜o de uma propriedade eliminou a necessidade da obtenc¸a˜o da transformada de Laplace atrave´s da resoluc¸a˜o de integrac¸o˜es complicadas ou trabalhosas. Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versa˜o 0.2 11 Deslocamento Real Se F (s) e´ a transformada de Laplace da func¸a˜o f(t), L [f(t)] = F (s), enta˜o L [f(t− a)u(t− a)] = e−asF (s− a) Exemplo - obter a transformada de Laplace para a func¸a˜o mostrada na Figura 1.12 f(t) t 2 a Figura 1.12: Exemplo para deslocamento real Podemos observar que a func¸a˜o f(t) pode ser escrita como a combinac¸a˜o de duas func¸o˜es degrau. Temos, portanto, f(t) = 2u(t)− 2u(t− a) Da´ı, L [f(t)] = 2L [u(t)]− 2L [u(t− a)] Enta˜o, F (s) = 2 s − 2e −as s 1.5 Transformada de Laplace de Func¸o˜es Perio´dicas Se f(t) e´ uma func¸a˜o perio´dica de per´ıodo T , isto e´, f(t) = f(t± T ) T e´ o per´ıodo a transformada de Laplace de f(t) pode ser obtida utilizando a equac¸a˜o : L [f(t)] = 1 1− e−sT ∫ T 0− f(t)e−stdt 1.6 Transformada Inversa de Laplace Se F (s) e´ a transformada de Laplace da func¸a˜o f(t), define-se a transformada inversa de Laplace atrave´s da expresa˜o : L −1[F (s)] = f(t)Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versa˜o 0.2 12 Assim, se F (s) = 1 s a transformada inversa sera´ L −1[F (s)] = L −1[ 1 s ] = u(t) 1.7 Expansa˜o em Frac¸o˜es Parciais Uma func¸a˜o no domı´nio da frequ¨eˆncia, F (s), pode sempre ser escrita na forma : F (s) = N(s) D(s) onde N(s) representa seu numerador e D(s) representa o seu denominador. As te´cnicas de expansa˜o em frac¸o˜es parciais auxiliam na obtenc¸a˜o das trans- formadas inversas de Laplace. Vamos considerar casos em que o denominador da func¸a˜o F (s) apresente ra´ızes reais distintas, ra´ızes mu´ltiplas e ra´ızes complexas simples. 1.7.1 Ra´ızes Reais Distintas Vamos considerar F (s) escrita na forma : F (s) = N(s) (s− s0)(s− s1)(s− s2) onde s0, s1 e s2 sa˜o ra´ızes reais e distintas e o grau do numerador, N(s), e´ menor do que 3. Expandindo F (s), temos : F (s) = k0 s− s0 + k1 s− s1 + k2 s− s2 Para obter a constante k0, fazemos : (s− s0)F (s) = k0 + k1(s− s0) s− s1 + k2(s− s0) s− s2 Considerando s = s0, temos : k0 = (s− s0)F (s) ∣∣∣∣ s=s0 Esta notac¸a˜o indica que, para obter o valor de k0, elimina-se do denominador da func¸a˜o F (s) o termo que depende de s0, (s− s0), substituindo-se o valor de s, nos termos restantes, pelo valor de s0. De modo semelhante, temos k1 = (s− s1)F (s) ∣∣∣∣ s=s1 Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versa˜o 0.2 13 Generalizado, temos ki = (s− si)F (s) ∣∣∣∣ s=si Exemplo - obter a transformada inversa de Laplace para a func¸a˜o F (s) = s2 + 2s− 2 s(s+ 2)(s− 3) Observar que o denominador ja´ encontra-se fatorado. Temos, F (s) = s2 + 2s− 2 s(s+ 2)(s− 3) = k0 s + k1 s+ 2 + k2 s− 3 Da´ı, k0 = sF (s) ∣∣∣∣ s=0 = s2 + 2s− 2 (s+ 2)(s− 3) ∣∣∣∣ s=0 = 1 3 k1 = (s+ 2)F (s) ∣∣∣∣ s=−2 = s2 + 2s− 2 s(s− 3) ∣∣∣∣ s=−2 = −1 5 k2 = (s− 3)F (s) ∣∣∣∣ s=3 = s2 + 2s− 2 s(s+ 2) ∣∣∣∣ s=3 = 13 15 Temos, enta˜o, F (s) = 1 3 s − 1 5 s+ 2 + 13 15 s− 3 Da´ı, L −1[F (s)] = f(t) = L −1 [ 1 3 s ] −L −1 [ 1 5 s+ 2 ] +L −1 [ 13 15 s− 3 ] Assim, f(t) = 1 3 u(t)− 1 5 e−2tu(t) + 13 15 e3tu(t) 1.7.2 Ra´ızes Mu´ltiplas Vamos considerar F (s) escrita na forma : F (s) = N(s) (s− s0)nD1(s) Observamos que F (s) possui polos mu´ltiplos em s0. Expandindo F (s), temos : F (s) = k0 (s− s0)n + k1 (s− s1)n−1 + k2 (s− s2)n−2 + ...+ kn−1 s− s0 + N1(s) D1(s) Seja F1(s) = (s− s0)nF (s) Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versa˜o 0.2 14 Pela expressa˜o anterior, estamos eliminando da func¸a˜o F (s) o fator (s − s0)n. Assim, F1(s) = k0 + k1(s− s0) + k2(s− s2) + ...+ kn−1(s− s0)n−1 +R(s)(s− s0)n Da´ı, k0 = F1(s) ∣∣∣∣ s=s0 Derivando F1(s) em relac¸a˜o a s, temos : dF1(s) ds = k1 + 2k2(s− s0) + ..+ kn−1(n− 1)(s− s0)n−2 + ... enta˜o, k1 = dF1(s) ds ∣∣∣∣ s=s0 Derivando novamente, temos : k2 = 1 2 dF1(s) ds ∣∣∣∣ s=s0 Generalizando, km = 1 m! dmF1(s) dsm ∣∣∣∣ s=s0 m = 0, 1, 2, ..., n-1 Exemplo - obter a transformada inversa de Laplace para a func¸a˜o : F (s) = s− 2 s(s+ 1)3 Observar que o denominador possui polos reais simples, devido ao fator s, e polos reais mu´ltiplos, devido ao fator (s + 1)3. Cada fator deve ser tratado de maneira diferente. Expandindo F (s), temos F (s) = A s + k0 (s+ 1)3 + k1 (s+ 1)2 + k2 s+ 1 O coeficiente A e´ obtida pelo me´todo das ra´ızes reais distintas enquanto que os coeficientes k0, k1 e k2 sa˜o obtidos pelo me´todo das ra´ızes mu´ltiplas. Enta˜o : A = sF (s) ∣∣∣∣ s=0 = s− 2 (s+ 1)3 ∣∣∣∣ s=0 = −2 Para o caso das ra´ızes mu´ltiplas, F1(s) = (s+ 1)3F (s) = s− 2 s e, enta˜o, Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versa˜o 0.2 15 k0 = 1 0! d0 ds0 s− 2 s ∣∣∣∣ s=−1 = 3 k1 = 1 1! d ds s− 2 s ∣∣∣∣ s=−1 = 2 k2 = 1 2! d2 ds2 s− 2 s ∣∣∣∣ s=−1 = 2 Enta˜o, F (s) = −2 s + 3 (s+ 1)3 + 2 (s+ 1)2 + 2 s+ 1 A transformada inversa e´ obtida atrave´s de : L −1[F (s)] = L −1 [ −2 s ] +L −1 [ 3 (s+ 1)3 ] +L −1 [ 2 (s+ 1)2 ] +L −1 [ 2 s+ 1 ] Assim, f(t) = L −1[F (s)] = 3 2 t2e−tu(t) + te−tu(t) + 2e−tu(t) 1.7.3 Ra´ızes Complexas Simples Vamos considerar F (s) escrita na forma : F (s) = N(s) (s− α− jβ)(s− α+ jβ)D1(s) Pode-se mostrar que a transformada inversa de Laplace, devido a` presenc¸a dos termos complexos, (s− α− jβ) e (s− α+ jβ) e´ dada por f1(t) = Meαtsen(βt+ φ) onde M e φ sa˜o obtidos atrave´s da expressa˜o Mejφ = N(s) βD1(s) ∣∣∣∣ s=α+jβ Exemplo - obter a transformada inversa de Laplace da func¸a˜o : F (s) = s2 + 3 (s+ 2)(s2 + 2s+ 5) O denominador possui um termo na˜o fatorado. Realizando a fatorac¸a˜o, obtemos : s2 + 2s+ 5 = (s+ 1 + j2)(s+ 1− j2) Assim, F (s) pode ser reescrita na forma : F (s) = s2 + 3 (s+ 2)(s+ 1 + j2)(s+ 1− j2) Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versa˜o 0.2 16 Observamos que o demoninador de F (s) possui um polo real simples, representa- do pelo termo s+2, e polos complexos simples, representados pelos termos s+1+ j2 e s+ 1 + j2. Os dois casos devem ser tratados de maneira diferente. Para a raiz real simples, k0 = (s+ 2)F (s) ∣∣∣∣ s=−2 = s2 + 3 s2 + 2s+ 5 ∣∣∣∣ s=−2 = 7 5 A transformada inversa referente a apenas este termo e´ L −1 [ 7 5 s+ 2 ] = 7 5 e−2t Para as ra´ızes complexas, temos α = −1 e β = 2. Os valores de M e φ sa˜o calculados, enta˜o, usando : Mejφ = s2 + 3 2(s+ 2) ∣∣∣∣ s=−1+j2 = 2√ 5 e−jtg −1 1 2 +pi Logo, M = 2√ 5 e φ = tg−1 12 + pi e, enta˜o, f1(t) = 2√ 5 e−tsen(2t+ tg−1 1 2 + pi) e, assim, f(t) = 7 5 e−2t + 2√ 5 e−tsen(2t+ tg−1 1 2 + pi) 1.8 Teorema do Valor Inicial O teorema do valor inicial estabelece que : f(0+) = lim t→0+ = lim s→∞ sF (s) 1.9 Teorema do Valor Final O teorema do valor final estabelece que : f(∞) = lim t→∞ = lims→0 sF (s) 1.10 Diagrama de Polos e Zeros Vamos considerar F (s) escrita na forma : F (s) = N(s) D(s) Define-se os polos de F (s) como sendo as ra´ızes do seu denominador e os zeros de F (s) como sendo as ra´ızes do seu numerador. O diagrama de polos e zeros e´ Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versa˜o 0.2 17 uma maneira de representar graficamente, no plano complexo, os polos e os zeros de uma func¸a˜o F (s). Exemplo - obter o diagrama de polos e zeros para a func¸a˜o : F (s) = s(s− 1 + j1)(s− 1− j1) (s+ 1)2(s+ j2)(s− j2) Temos, polos = s = −1 (duplo) s = −j2 s = j2 e zeros = s = 0 s = 1− j1 s = 1 + j1 Seu diagrama de polos e zeros e´ apresentado na Figura 1.13 −1 1 j2 −j2 Plano s σ jω Figura 1.13: Diagrama de polos e zeros Exemplo - Obter o diagrama de polos e zeros para a func¸a˜o : F (s) = 2(s− 1)2s2 (s+ 1 + j2)2(s+ 1− j2)2(s+ 1)2 teremos polos = s = −1− j2 (duplo) s = −1 + j2 (duplo) s = −1 (duplo) e zeros = { s = 0 (duplo) s = 1 (duplo) O diagrama de polos e zeros e´ mostrado na Figura 1.14. Observar que a constante e´ explicitada no diagrama atrave´s de K = 2. Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versa˜o 0.2 18 −1 σ jω j2 −j2 Plano s 1 K = 2 Figura 1.14: Diagrama de polos e zeros Cap´ıtulo 2 Me´todos para Ana´lise de Circuitos 2.1 Introduc¸a˜o Em ana´lise de circuitos, a excitac¸a˜o e o circuito sa˜o conhecidos. A resposta e´ a tensa˜o ou a corrente em um ou em va´rios elementos do circuito. Apresentaremos algumas te´cnicas que possibilitam a ana´lise de circuitos ele´tricos. 2.2 Componentes de Circuitos Ele´tricos Neste curso, consideraremos circuitos ele´tricos compostos por resistores,indu- tores e capacitores, alimentados por fontes de corrente ou de tensa˜o. Estas fontes podem ser fontes independentes ou fontes controladas. Todos estes elementos esta˜o mostrados na Figura 2.1. R Resistor Capacitor C L Indutor v i Fonte de Corrente (constante) Fonte de Tensão (constante) Fonte de Corrente i(t) (variável) Fonte de Tensão (variável) v(t) Fonte de Tensão Controlada Fonte de Corrente Controlada + + v(t) i(t) − + Figura 2.1: Componentes de circuitos ele´tricos 19 Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 20 Adotaremos, ainda, as polaridades apresentadas na Figura 2.2. A corrente ele´tri- ca entra no dispositivo (R, L, ou C) em seu polo positivo e sai de uma fonte pelo seu polo positivo. elemento i + + Fonte Figura 2.2: Polaridades 2.3 Me´todo das Malhas Vamos considerar o circuito ele´trico mostrado na Figura 2.3. Este circuito e´ composto por treˆs resistores, R1, R2 e R3 e e´ alimentado por duas fontes de tensa˜o, v1 e v2. Fazendo um paralelo entre esta representac¸a˜o e a representac¸a˜o utilizada no cap´ıtulo 1, v1 e v2 sa˜o a excitac¸a˜o, ou a entrada, do circuito, R1, R2 e R3 sa˜o os elementos dentro da caixa denominada sistema e a resposta, ou sa´ıda, pode ser a tensa˜o ou a corrente em qualquer parte do circuito. Por exemplo, a resposta pode ser a tensa˜o1, ou a corrente, sobre o resistor R1 ou sobre o resistor R2 ou sobre o resistor R3 R R Rv v3 1 2 1 2− + − + Figura 2.3: Um circuito ele´trico Este circuito possui duas malhas. Para cada malha, estabelecemos uma corrente cujo sentido, arbitrado, e´ o sentido hora´rio, conforme mostrado na Figura 2.4 1Lembrar que a tensa˜o, em Volts (s´ımbolo V), entre os terminais de um resistor de resisteˆncia R, em Ohms (s´ımbolo Ω), e´ dada pela equac¸a˜o v = Ri onde i e´ a corrente sobre o resistor, em Amperes (s´ımbolo A). Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 21 R R Rv v3 1 2 1 2 MALHA 1 MALHA 2 i i21− + − + Figura 2.4: Correntes de malha Para cada malha, ha´ uma equac¸a˜o de malha correspondente. As equac¸o˜es de malha sa˜o obtidas usando-se os seguintes procedimentos : • Com relac¸a˜o a` primeira malha : O coeficiente da primeira corrente, i1, e´ a soma dos valores das resisteˆncias que pertencem a` sua malha. Enta˜o, a corrente i1 sera´ multiplicada por (R1 +R3) ja´ que sa˜o estes os valores das resisteˆncias que pertencem a` sua malha. O coeficiente das correntes de qualquer outra malha e´ o negativo da soma dos valores das resisteˆncias comuns a` primeira e a malha considerada. Assim, a corrente da outra malha, i2, sera´ multiplicada por −R3 pois R3 e´ o valor da resisteˆncia comum a`s duas malhas. O lado direito da equac¸a˜o e´ formado pela soma alge´brica das fontes de tensa˜o que pertencem a` malha. Desta forma, para esta malha, temos a equac¸a˜o : (R1 +R3)i1 −R3i2 = v1 • Com relac¸a˜o a` segunda malha : O coeficiente da segunda corrente, i2, e´ a soma dos valores das resisteˆncias que pertencem a` sua malha. Enta˜o, a corrente i2 sera´ multiplicada por (R2 +R3) ja´ que sa˜o estes os valores das resisteˆncias que pertencem a` sua malha.O coeficiente das correntes de qualquer outra malha e´ o negativo da soma dos valores das resisteˆncias comuns a` segunda e a malha considerada. Assim, a corrente da outra malha, i1, sera´ multiplicada por −R3 pois R3 e´ o valor da resisteˆncia comum a`s duas malhas. O lado direito da equac¸a˜o e´ formado pela soma alge´brica das fontes de tensa˜o que pertencem a` malha. Assim, para esta malha, temos a equac¸a˜o : −R3i1 + (R2 +R3)i2 = −v2 Caso existam outras malhas e, consequentemente, outras correntes de malha, repete-se estes procedimentos para cada uma delas. Para o circuito apresentado, o sistema de equac¸o˜es e´, enta˜o : (R1 +R3)i1 −R3i2 = v1 −R3i1 + (R2 +R3)i2 = −v2 Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 22 ou, na forma matricial, [ R1 +R3 −R3 −R3 R2 +R3 ] [ i1 i2 ] = [ v1 v2 ] Exemplo - Utilizando as equac¸o˜es de malha obtidas para o circuito mostrado na Figura 2.4, e considerando R1 = 2Ω, R2 = 1Ω, R3 = 4Ω, v1 = 2V e v2 = 6V , calcular os valores de i1 e i2. (2 + 4)i1 − 4i2 = 2 −4i1 + (1 + 4)i2 = −6 ou [ 6 −4 −4 5 ] [ i1 i2 ] = [ 2 −6 ] Da´ı, obtemos : [ i1 i2 ] = [−1 −2 ] Apesar de ser simples, o sistema acima pode ser resolvido atrave´s da func¸a˜o linsolve do Scilab. Esta func¸a˜o considera que o sistema linear esta escrito na forma: Ax+ b = 0 onde A e´ a matriz dos coeficientes, b e´ o vetor dos termos independentes e x e´ o vetor das inco´gnitas. O vetor x, no nosso caso, e´ o vetor das correntes. x = [ i1 i2 ] Temos, enta˜o, os seguintes procedimentos : =========== S c i l a b =========== scilab-2.5 Copyright (C) 1989-99 INRIA Startup execution: loading initial environment -->// Entrada da matriz A : -->A = [ 6 -4; -4 5] A = Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 23 ! 6. - 4. ! ! - 4. 5. ! --> // Entrada do vetor b (observar a troca dos sinais) : -->b = [ - 2; 6] b = ! - 2. ! ! 6. ! -->// Chamada da funcao linsolve : -->[x] = linsolve(A, b) x = ! - 1. ! ! - 2. ! --> Exemplo - Obter as equac¸o˜es de malha para o circuito mostrado na Figura 2.5 R R R R R R 1 2 3 4 5 6 i i i 1 2 3 v 1 v 2− + − + Figura 2.5: Obtenc¸a˜o das equac¸o˜es de malha Temos, (R1 +R2 +R3)i1 −R2i2 −R3i3 = v1 −R2i1 + (R2 +R4 +R5)i2 −R5i3 = −v2 −R3i1 −R5i2 + (R3 +R5 +R6)i3 = v2 ou, na forma matricial, Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 24 R1 +R2 +R3 −R2 −R3−R2 R2 +R4 +R5 −R5 −R3 −R5 R3 +R4 +R6 i1i2 i3 = v1−v2 v2 Exemplo - Obter, usando as equac¸o˜es de malha, as correntes i1 e i2 mostradas no circuito da Figura 2.6 v 1 v 2 R R R 1 2 3 i1 i2 − + − + Figura 2.6: Obtenc¸a˜o das equac¸o˜es de malha Temos, (R1 +R2)i1 −R2i2 = v1 − v2 −R2i1 + (R2 +R3)i2 = −v2 [ R1 +R2 −R2 −R2 R2 +R3 ] [ i1 i2 ] = [ v1 − v2 −v2 ] Enta˜o, [ 7 −6 −6 8 ] [ i1 i2 ] = [ −5 −10 ] Obtemos, resolvendo a equac¸a˜o anterior,[ i1 i2 ] = [−5 − 5] Usando o Scilab, temos : -->A = [ 7 -6; -6 8] A = ! 7. - 6. ! Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 25 ! - 6. 8. ! -->b = [ 5; 10] b = ! 5. ! ! 10. ! -->[x] = linsolve(A, b) x = ! - 5. ! ! - 5. ! --> Exemplo - Obter, usando as equac¸o˜es de malha, as correntes i1 e i2 mostradas no circuito da Figura 2.7 R R v v v1 2 3 R 1 2 3 i 1 i2 − + − + − + Figura 2.7: Obtenc¸a˜o das correntes de malha Temos as sequintes equac¸o˜es de malha : (R1 +R2)i1 −R2i2 = −v1 − v2 −R2i1 + (R2 +R3)i2 = v2 − v3 Da´ı, considerando R1 = 2Ω, R2 = 4Ω, R3 = 6Ω, v1 = 6V , v2 = 4V e v3 = 3V , temos :[ R1 +R2 −R2 −R2 R2 +R3 ] [ i1 i2 ] = [−v1 − v2 v2 − v3 ] Enta˜o, [ 6 −4 −4 10 ] [ i1 i2 ] = [−10 1 ] Resolvendo pelo Scilab, Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 26 -->A = [6 -4; -4 10] A = ! 6. - 4. ! ! - 4. 10. ! -->b = [10; -1] b = ! 10. ! ! - 1. ! -->[x] = linsolve(A, b) x = ! - 2.1818182 ! ! - 0.7727273 ! --> Exemplo - Obter, usando as equac¸o˜es de malha, o valor da corrente que passa no resistor de 10Ω mostrado no circuito da Figura 2.8 10 8 5 3 2 Ω Ω Ω Ω Ω15 V i1 i i 2 3 − + Figura 2.8: Obtenc¸a˜o da corrente sobre o resistor de 10Ω Obtemos as sequintes equac¸o˜es de malha : (8 + 3)i1 − 3i2 − 8i3 = 15 −3i1 + (5 + 2 + 3)i2 − 5i3 = 0 −8i1 − 5i2 + (8 + 10 + 5)i3 = 0 Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 27 ou 11i1 − 3i2 − 8i3= 15 −3i1 + 10i2 − 5i3 = 0 −8i1 − 5i2 + 23i3 = 0 Usando o Scilab, obtemos : -->A = [11 -3 -8; -3 10 -5; -8 -5 23] A = ! 11. - 3. - 8. ! ! - 3. 10. - 5. ! ! - 8. - 5. 23. ! -->b = [-15; 0; 0] b = ! - 15. ! ! 0. ! ! 0. ! -->[x] = linsolve(A, b) x = ! 2.6327055 ! ! 1.3998288 ! ! 1.2200342 ! --> Portanto, a corrente sobre o resistor de 10Ω e´ i3 = 1.2200342A. 2.4 Me´todo dos No´s Um no´, por definic¸a˜o, e´ um ponto de interconexa˜o de elementos. Assim, o circuito mostrado na Figura 2.9 possui treˆs no´s, como indicado. Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 28 Nó de referência i 1 R 1 R 2 R 3 i2 Nó 2Nó 1 Figura 2.9: Ana´lise pelo me´todo dos no´s O procedimento para ana´lise de circuitos pelo me´todo dos no´s : 1. Determinar o nu´mero de no´s do circuito. O nu´mero de equac¸o˜es sera´ igual ao nu´mero de no´s menos um. No caso, temos treˆs no´s e, portanto, duas equac¸o˜es. 2. Eleger um no´ como o no´ de refereˆncia. Geralmente, este no´ e´ o que possui o maior nu´mero de elementos conectados. No circuito mostrado, o no´ de refereˆncia esta´ destacado. Ao no´ de refereˆncia e´ atribu´ıdo sinal negativo e aos outros, sinal positivo. 3. As equac¸o˜es de no´s sa˜o escritas considerando condutaˆncias2. No caso, temos treˆs condutaˆncias: G1 = 1/R1, G2 = 1/R2eG3 = 1/R3 4. Cada no´ tem uma tensa˜o em relac¸a˜o ao no´ de refereˆncia. Da´ı, a tensa˜o no no´ 1 e´ v1 e a tensa˜o no no´ 2 e´ v2. A lei dos no´s estabelece o seguinte procedimento : o coeficiente da tensa˜o no no´ 1, v1, e´ a soma das condutaˆncias conectadas a` ele. Os coeficientes das outras tenso˜es de no´ sa˜o o negativo das somas das condutaˆncias entre esses no´s e o no´ 1. O lado direito da equac¸a˜o e´ a soma alge´brica das correntes qure entram no no´ 1 devido a presenc¸a das fontes de corrente. Para os outros no´s, o procedimento e´ semelhante. Exemplo - Obter, para o circuito da Figura 2.9, as equac¸o˜es dos no´s. Temos, (1/R1 + 1/R2)v1 − 1/R2v2 = i1 −1/R2v1 + (1/R2 + 1/R3)v2 = −i2 2A unidade de condutaˆncia e´ Siemens, s´ımbolo S Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 29 ou (G1 +G2)v1 −G2i2 = i1 −G2v1 + (G2 +G3)v2 = −i2 Estas equac¸o˜es podem ser escritas na forma matricial :[ G1 +G2 −G2 −G2 G2 +G3 ] [ v1 v2 ] = [ i1 −i2 ] Exemplo - Utilizando a lei dos no´s, obter os valores de v1, v2 e i para o circuito mostrado na Figura 2.10. 4 A 7 A 4 8 12 Ω ΩΩ v 2 v 1 Nó de Referência i Figura 2.10: Ana´lise pelo me´todo dos no´s Temos, (1/4 + 1/8)v1 − 1/8i2 = 4− 7 −1/8v1 + (1/12 + 1/8)v2 = 7 ou : [ 3 −1 −3 5 ] [ v1 v2 ] = [−24 168 ] Usando o Scilab, temos : -->A = [3 -1; -3 5] A = ! 3. - 1. ! ! - 3. 5. ! -->b = [24; -168] Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 30 b = ! 24. ! ! - 168. ! -->[x] = linsolve(A, b) x = ! 4. ! ! 36. ! --> Entao, v1 = 4V e v2 = 36V . Utilizando o diagrama mostrado na Figura 2.11, obtemos i = 4A i 7 A 3 A v 1 Figura 2.11: Obtenc¸a˜o do valor da corrente i Exemplo - Utilizando a lei dos no´s, obter os valores de v1, v2 e v3 para o circuito mostrado na Figura 2.12. 5 A 17 A7 A 3 S 1 S 2 S 1 S 4 S4 S Nó de Referência v 1 v 2 v 3 Figura 2.12: Obtenc¸a˜o dos valores das tenso˜es v1, v2 e v3 Temos : Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 31 (3 + 1)v1 − v2 + 0v3 = 7− 5 −v1 + (3 + 1 + 2)v2 − 3v3 = 5 −0v1 − 2v2 + (2 + 1 + 4)v3 = 17 ou, na forma matricial, 4 −1 0−1 6 −3 0 −2 7 v1v2 v3 = 25 17 Usando o Scilab, temos : -->A = [4 -1 0; -1 6 -3; 0 -2 7] A = ! 4. - 1. 0. ! ! - 1. 6. - 3. ! ! 0. - 2. 7. ! -->b = [-2 ; -5; - 17] b = ! - 2. ! ! - 5. ! ! - 17. ! -->[x] = linsolve(A, b) x = ! 1.1532847 ! ! 2.6131387 ! ! 3.1751825 ! --> Enta˜o, v1 = 1.1532847V , v2 = 2.6131387V e v3 = 3.1751825V . Exemplo - Utilizando a lei dos no´s, obter os valores de v1 e v2 para o circuito mostrado na Figura 2.13. Observar que este circuito possui uma fonte controlada de corrente. Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 32 5 A 2 v 5 i v 1 v 2 1 Ω 1 Ω 2 Ω 1/2 Ω + v − i Figura 2.13: Obtenc¸a˜o dos valores das tenso˜es - fonte controlada Neste caso, usamos os seguintes procedimentos : 1. Obter as equac¸o˜es de no´s como se as fontes fossem independentes. Temos : (1 + 1 + 2)v1 − 2v2 = 5− 5i −2v1 + (1/2 + 2)v2 = 5i+ 2v 2. Expressar as varia´veis controladoras, i e v, em termos das tenso˜es dos no´s. Temos : i = v1 v = v1 − v2 Portanto, [ 9 −2 −9 −4.5 ] [ v1 v2 ] = [ 5 0 ] e -->A = [9 -2; -9 4.5] A = ! 9. - 2. ! ! - 9. 4.5 ! -->b = [-5 ; 0] Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 33 b = ! - 5. ! ! 0. ! -->[x] = linsolve(A, b) x = ! 1. ! ! 2. ! --> Assim, v1 = 1V e v2 = 2V . Cap´ıtulo 3 Ana´lise de Circuitos Transformados 3.1 Introduc¸a˜o Circuitos ele´tricos podem ser analisados no domı´nio do tempo ou no domı´nio da frequ¨eˆncia. Como veremos, a ana´lise no domı´nio do tempo resulta em uma equac¸a˜o diferencial que deve ser resolvida. No domı´nio da frequ¨encia, a equac¸a˜o a ser resolvida e´ uma equac¸a˜o polinomial. Utilizaremos a teoria apresentada nos dois cap´ıtulos anteriores para analisar cir- cuitos ele´tricos. Inicialmente, mostraremos a ana´lise no domı´nio do tempo. Depois, no domı´nio da frequ¨eˆncia. 3.2 Circuitos de Primeira Ordem Vamos considerar o circuito RC mostrado na Figura 3.1, formado por um ca- pacitor e um resitor. A equac¸a˜o para a corrente no capacitor e´ dada por : v(t) C R i(t) + Figura 3.1: Circuito RC i(t) = C dv dt onde C e´ a capacitaˆncia do capacitor. A corrente no resitor e´ dada por : i(t) = v R 34 Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.3 35 onde R e´ a resisteˆncia do resistor. Em ambas as equac¸o˜es, a tensa˜o v e´ uma func¸a˜o do tempo, v = v(t) Usando a lei dos no´s, podemos escrever : C dv dt + v R = 0 A equac¸a˜o resultante e´, portanto, uma equac¸a˜o diferencial de primeira ordem. Da´ı o nome dado a esse tipo de circuito. Esta equac¸a˜o diferencial pode ser resolvida por separac¸a˜o de varia´veis. Temos, dv v = − 1 RC dt Enta˜o, ∫ dv v = − 1 RC ∫ dt Temos, lnv = − t RC + k onde k e´ a constante de integrac¸a˜o. Considerando v(0) = V0, temos : v(t) = V0e− t RC Para fixar conceitos, vamos considerar o circuito LC da Figura 3.2. Este circuito e´ formado por um indutor e um resistor. A equac¸a˜o para a tensa˜o no indutor e´ dada por : RL i(t) Figura 3.2: Circuito RL v(t) = L di dt onde L e´ a indutaˆncia do indutor. A tensa˜o no resitor e´ dada por : v(t) = Ri(t) Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.3 36 onde R e´ a resisteˆncia do resistor. Em ambas as equac¸o˜es, a corrente i e´ uma func¸a˜o do tempo, i = i(t) Utilizando a lei das malhas, obtemos L di dt +Ri = 0 que, tambe´m, pode ser resolvida por separac¸a˜o de varia´veis. Temos, enta˜o, i(t) = I0e− R L t Na Figura 3.7, mostramos os gra´ficos dessas respostas. v(t) t V0 V /e0 τ = RC i(t) τ = t I 0 I /e0 L/R Figura 3.3: Respostas no domı´nio do tempo Na Figura 3.7, o paraˆmetro τ e´ a constante de tempo do circuito. E´ o tempo necessa´rio para que a resposta caia por um fator 1/e1. 3.3 Circuitos em Regime Permanente Em regime permanente, todas as tenso˜es e correntes stabilizam-se em valores constantes. Como a corrente no capacitor e´ dada por : i(t) = C dv dt e, como v(t) = cte temos i(t) = 0. Da´ı, em regime permanente o capacitor comporta-se como um circuito aberto. No caso do indutor, temos v(t) = L di dt1e = 2.718281... e´ a base do logar´ıtmo neperiano Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.3 37 e, como i(t) = cte temos v(t) = 0. Enta˜o, em regime permanente o indutor comporta-se como um curto circuito. Exemplo - Para fixar os conceitos, vamos considerar o circuito mostrado na Figura 3.4. Vamos supor que o circuito esta´ em regime permanente imediatamente antes da abertura da chave, em t = 0. t = 0 10 V 1/4 F 2 H 2 Ω 3 Ω − + Figura 3.4: Regime permanente Imediatamente antes da abertura da chave, e por estar em regime permanente, o capacitor funciona como um circuito aberto e o indutor funciona como curto circuito como mostrado na Figura 3.5. 10 V 1/4 F 2 Ω 3 Ω + v i − + Figura 3.5: Capacitor em aberto e indutor em curto Nestas condic¸o˜es, i(0−) = 2A e v(0−) = 6V Apo´s a chave ser aberta, o circuito passa a ser o mostrado na Figura 3.6. Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.3 38 10 V 1/4 F 2 H 2 Ω 3 Ω i(0 − ) = 2A v(0 − ) = 6V − + Figura 3.6: Circuito apo´s a chave ter sido aberta 3.4 Circuitos Transformados Nem sempre as equac¸o˜es diferenciais sa˜o ta˜o simples e podem ser resolvidas de maneira ta˜o fa´cil como as mostradas nos para´grafos precedentes. Na maioria dos casos, a opc¸a˜o e´ pelo me´todo das transformadas com os procedimentos apresentados na Figura ??. Inicialmente, o circuito dado no domı´nio do tempo e´ transformado em um circuito no domı´nio da frequ¨eˆncia.Utilizamos, neste processo, a transformada de Laplace. Este circuito e´, enta˜o, analisado usando-se as leis das malhas ou dos no´s apresentados no Cap´ıtulo 2. O resultado obtido pode ser levado para o dominio do tempo atrave´s da transformada inversa de Laplace. Circuito no domínio do tempo Circuito no domínio da freqüência Análise por Malhas ou Nós R(s)r(t) Laplace Inversa de Laplace Figura 3.7: Ana´lise de circuitos no domı´nio da frequ¨eˆncia Para transformar o circuito do domı´nio do tempo para o domı´nio da frequ¨eˆncia, precisamos conhecer as transformadas de Laplace das tenso˜es e correntes de seus elementos. 3.5 Elementos de Circuito no Domı´nio da Frequ¨eˆncia No domı´nio do tempo, a relac¸a˜o entre a tensa˜o e a corrente em um resistor e´ dada por : Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.3 39 v(t) = Ri(t) Aplicando a transformada de Laplace na equac¸a˜o anterior, temos : V (s) = RI(s) No domı´nio da frequ¨eˆncia o resistor e´, enta˜o, representado pelo diagrama mostra- do na Figura 3.8. I(s) V(s) + R Figura 3.8: Representac¸a˜o do resistor no domı´nio da frequ¨eˆncia Para o indutor, as relac¸o˜es entre a corrente e a tensa˜o no domı´nio do tempo podem ser representadas pelas equac¸o˜es v(t) = L di dt cuja transformada de Laplace e´ : V (s) = sLI(s)− Li(0−) ou i(t) = 1 L ∫ t 0− v(τ)dτ + i(0−) com transformada de Laplace dada por : I(s) = 1 sL V (s) + i(0−) s onde i(0−) e´ o valor da corrente em t = 0−. A primeira equac¸a˜o transformada representa a tensa˜o sobre os elementos apresentados na Figura 3.9(a) enquanto que a segunda equac¸a˜o transformada representa a corrente sobre os elementos apresen- tados na Figura 3.9(b). Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.3 40 I(s) sL L i(0− ) + + V(s) (a) I(s) 1 sL i(0 − ) s V(s) + (b) Figura 3.9: Representac¸o˜es do indutor no domı´nio da frequ¨eˆncia Para o capacitor, as relac¸o˜es entre a corrente e a tensa˜o no domı´nio do tempo podem ser representadas pelas equac¸o˜es v(t) = 1 C ∫ t 0− i(τ)dτ + v(0−) com transformada de Laplace dada por : I(s) = 1 sL V (s) + i(0−) s ou i(t) = C dv dt cuja transformada de Laplace e´ : I(s) = sCV (s)− Cv(0−) onde v(0−) e´ o valor da tensa˜o em t = 0−. A primeira equac¸a˜o transformada representa a tensa˜o sobre os elementos apresentados na Figura 3.10(a) enquan- to que a segunda equac¸a˜o transformada representa a corrente sobre os elementos apresentados na Figura 3.10(b). Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.3 41 I(s) 1 sC v(0 − ) s + V(s) + I(s) sC Cv(0 − ) + V(s) (a) (b) Figura 3.10: Representac¸o˜es do capacitor no domı´nio da frequ¨eˆncia Exemplo - Utilizando o me´todo das transformadas, obter a tensa˜o v(t) mostrada no circuito da Figura 3.11.Considerar que, com a chave na posic¸a˜o mostrada, o circuito esta´ em regime permanente. t = 0 2 H 1 V3 V + v(t) 2 Ω i − Figura 3.11: Tensa˜o v(t) sobre o indutor Imediatamente antes da chave mudar de posic¸a˜o em t = 0, temos o circuito mostrado na Figura ??(a). Nesta configurac¸a˜o, obtemos : i(0−) = −1 3 A Apo´s a chave mudar de posic¸a˜o, o circuito transformado e´, enta˜o, o mostrado na Figura ??(b). Para este circuito, I(s) = 9− 2s 3s(2s+ 3) e, como V (s) = sLI(s)− Li(0−) Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.3 42 temos, V (s) = 4 s+ 32 e, enta˜o, v(t) = L −1[V (s)] = 4e− 3 2 t Exemplo - Utilizando o me´todo das transformadas, obter a corrente i(t) mostra- da no circuito da Figura 3.12.Considerar que, com a chave na posic¸a˜o mostrada, o circuito esta´ em regime permanente. t = 0 1 V3 V + − 2 F 3 Ω i(t) Figura 3.12: Corrente i(t) sobre o capacitor Imediatamente antes da chave mudar de posic¸a˜o em t = 0, temos o circuito mostrado na Figura ??(a). Nesta configurac¸a˜o, obtemos : v(0−) = −1V Apo´s a chave mudar de posic¸a˜o, o circuito transformado e´, enta˜o, o mostrado na Figura ??(b). Para este circuito, I(s) = − 4 3(s+ 16) e, enta˜o, i(t) = L −1[I(s)] = −4 3 e− 1 6 t Cap´ıtulo 4 Func¸a˜o de Transfereˆncia 4.1 Introduc¸a˜o Em um sistema linear, a excitac¸a˜o, e(t), e a resposta, r(t), esta˜o relacionadas atrave´s de uma equac¸a˜o diferencial. Aplicando a transformada de Laplace, a relac¸a˜o entre a excitac¸a˜o E(s) e a resposta R(s) passa a ser alge´brica. Usaremos a func¸a˜o de transfereˆncia para analisar a resposta em frequ¨eˆncia de circuitos. 4.2 A Func¸a˜o H(s) Considerando condic¸o˜es iniciais nulas, a relac¸a˜o entre a excitac¸a˜o E(s) e a re- sposta R(s) no domı´nio da frequ¨eˆncia e´ dada pela equac¸a˜o R(s) = H(s)E(s) onde H(s) e´ chamada de func¸a˜o de transfereˆncia ou func¸a˜o de sistema. Exemplo - Obter H(s) para o circuito mostrado na Figura 4.1 R sL I(s) 1 sC V(s) + Figura 4.1: Func¸a˜o de transfereˆncia H(s) A entrada, ou excitac¸a˜o, do circuito e´ E(s) = I(s). A sa´ıda, ou resposta, e´ R(s) = V (s). Enta˜o, encontrando a relac¸a˜o V (s) I(s) = R(s) E(s) 43 Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.4 44 encontraremos a func¸a˜o de transfereˆncia H(s). Temos, enta˜o, usando a lei das malhas, V (s) = [ R+ ( 1sC )sL sL+ 1sC ] I(s) Enta˜o, H(s) = V (s) I(s) = R+ ( 1sC )sL sL+ 1sC Exemplo - Obter H(s) para o circuito mostrado na Figura 4.2 sL R 1 sC I i I 1 Io Figura 4.2: Func¸a˜o de transfereˆncia H(s) Neste caso, a entrada, ou excitac¸a˜o, do circuito e´ E(s) = Ii(s). A sa´ıda, ou resposta, e´ R(s) = Io(s). Usando a lei dos no´s, temos : Ii(s) = I1(s) + Io(s) Da´ı, Ii(s) = [ 1 + R+ sL 1 sC ] e, enta˜o, H(s) = Io(s) Ii(s) = 1 + R+ sL 1 sC Pelo exposto nos exemplos anteriores, podemos verificar que a func¸a˜o de trans- fereˆncia depende apenas dos elementos de circuito (R, L, C) e e´ obtida pela apli- cac¸a˜o das leis das malhas ou dos no´s. 4.3 Resposta ao Impulso Analisando a relac¸a˜o R(s) = H(s)E(s) e´ o´bvio que podemos encontrar R(s) sendo conhecidos o circuito,caracterizado por H(s), e a excitac¸a˜o, E(s). Considerando que a entrada e´ um impulso unita´rio, E(s) = L [δ(t)] = 1 temosR(s) = H(s) Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.4 45 e. desta relac¸a˜o, r(t) = h(t) onde a func¸a˜o h(t) e´ chamada de resposta ao impulso1. Exemplo - Obter a resposta ao impulso para o circuito mostrado na Figura 4.3 C Rδ( )t + R sC 1 + (a) (b) 1 Figura 4.3: Resposta ao impulso O primeiro passo e´ transformar o circuito para o domı´nio da frequ¨eˆncia, como mostrado na Figura 4.3(b). Depois, encontramos a func¸a˜o de transfereˆncia, H(s) = s R(s+ 1RC ) = 1 R [ 1− 1 RC s+ 1RC ] A resposta ao impulso sera´, enta˜o, ht = L −1[H(s)] = 1 R [ δ(t)− 1 RC e− t RC ] 4.4 Resposta ao Degrau No caso da entrada degrau, temos E(s) = L [u(t)] = 1 s A resposta no domı´nio do tempo sera´, enta˜o, r(t) = α(t) = L −1 [ H(s) s ] Exemplo - Obter a resposta ao degrau para o circuito mostrado na Figura 4.4 R + R + (a) (b) L sL u(t) 1 s Figura 4.4: Resposta ao degrau 1E´ importante observar que, no domı´nio do tempo, NA˜O se define func¸a˜o de transfereˆncia Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.4 46 O primeiro passo e´ transformar o circuito para o domı´nio da frequ¨eˆncia, como mostrado na Figura 4.4(b). Depois, encontramos a func¸a˜o de transfereˆncia, H(s) = I(s) V (s) = 1 R+ sL Enta˜o, α(t) = L −1 [ 1 R ( 1 s − 1 s+ RL )] da´ı, α(t) = 1 R [ 1− e−tRL ] u(t) 4.5 Resposta a` Rampa Para uma entrada rampa unita´ria, E(s) = L [ρ(t)] = 1 s2 r(t) = γ(t) = L −1 [ H(s) s2 ] 4.6 Integral de Convoluc¸a˜o Sejam f1(t) e f2(t) duas func¸o˜es que sa˜o iguais a zero para t < 0. Define-se a convoluc¸a˜o de f1(t) com f2(t) atrave´s da expressa˜o : f1(t) ∗ f2(t) = ∫ t 0 f1(t− τ)f2(τ)dτ Se f1(t)↔ F1(s) f2(t)↔ F2(s) enta˜o, L [f1(t) ∗ f2(t)] = F1(s)F2(s) Como R(s) = H(s)E(s) temos : r(t) = L −1[R(s)] = L −1[H(s)E(s)] Cap´ıtulo 5 Resposta em Frequ¨eˆncia 5.1 Introduc¸a˜o Vamos considerar o sistema linear, invariante no tempo, mostrado na Figura 5.1 e(t) r(t) E(s) R(s) H(s) Figura 5.1: Sistema linear invariante no tempo Se a excitac¸a˜o deste sistema e´ senoidal, e(t) = Asenωt temos, E(s) = Aω s2 + ω2 Como a resposta no domı´nio da frequ¨eˆncia e´ dada por, R(s) = H(s)E(s) temos, R(s) = AωH(s) s2 + ω2 Expandindo R(s) em frac¸o˜es parciais, temos : R(s) = k1 s− jω + k2 s+ jω︸ ︷︷ ︸ Fatores devido a E(s) + OUTROS TERMOS︸ ︷︷ ︸ Fatores devido a H(s) Os fatores originados devido a excitac¸a˜o E(s), ou termos com polos associados a E(s), originam a resposta forc¸ada, tambe´m chamada de soluc¸a˜o particular ou soluc¸a˜o em regime permanente. Os outros fatores, associados aos polos da func¸a˜o 47 Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 48 de transfereˆncia H(s),origiman a resposta livre tambe´m chamada de soluc¸a˜o com- plementar ou soluc¸a˜o em regime transito´rio. Iremos nos interessar apenas pela soluc¸a˜o em regime permanente. Neste caso, R(s) = k1 s− jω + k2 s+ jω Como pode ser observado, R(s) possui termos com ra´ızes complexas simples. Como vimos no Cap´ıtulo 1, para estes tipos de func¸a˜o a transformada inversa de Laplace e´ da forma f(t) = Meαtsen(βt+ φ) com M e φ sendo obtidos atrave´s da expressa˜o Mejφ = N(s) βD1(s) |s=α+jβ No caso, temos α = 0 β = ω D1(s) = 1 Assim, f(t) = r(t) = Msen(βt+ φ) e Mejφ = AH(jω) ou M = |AH(jω)| φ = ∠H(jω) Podemos verificar, enta˜o, que um sistema linear, esta´vel, invariante no tempo, submetido a` uma entrada senoidal possuira´, em regime permanente, uma sa´ıda tambe´m senoidal com a mesma frequ¨eˆncia da entrada. A amplitude e a fase da seno´ide de sa´ıda, em geral, sera˜o diferentes. Assim, para se obter a resposta em frequ¨eˆncia de um circuito, basta substituir s por jω na func¸a˜o de transfereˆncia. A resposta em frequ¨eˆncia e´ formada por dois gra´ficos: o gra´fico da resposta em amplitude, |H(s)| em func¸a˜o de ω e o gra´fico da resposta em fase, ∠H(s) em func¸a˜o de ω. Exemplo - Obter a resposta em frequ¨eˆncia para o circuito mostrado na Figura 5.2 Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 49 R sC 1E(s) R(s) Figura 5.2: Circuito RC Inicialmente, obtemos a func¸a˜o de transfereˆncia deste circuito. Temos, H(s) = 1 1 + sRC Depois, trocamos s por jω, H(jω) = 1 1 + jωRC Da´ı, para a resposta em amplitude, M(ω) = |H(jω)| = 1√ 1 + (ωRC)2 e para a resposta em fase, φ(ω) = ∠H(jω) = −atan(ωRC) Utilizando o Scilab, obtemos as curvas mostradas na Figura ??. 5.2 Curvas de Bode Em 1940, H. W. Bode desenvolveu um me´todo baseado em ass´ıntotas para representar a resposta em frequ¨eˆncia. A resposta em frequ¨eˆncia, como vimos, depende diretamente da func¸a˜o de transfereˆncia do circuito.Em geral, a func¸a˜o de transfereˆncia e´ escrita na forma : H(s) = N(s) D(s) Nesta func¸a˜o, sa˜o poss´ıveis os seguintes termos : • Termo constante - Neste caso, a func¸a˜o de transfereˆncia e´ escrita na forma : H(s) = k • Termo s - O termo s pode estar no numerador ou no denominador de H(s), H(s) = s±1 Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 50 • Termo (1+sτ) - Neste caso, (1+sτ) pode estar no numerador ou no denominador de H(s), H(s) = (1 + sτ)±1 • Termo quadra´tico - H(s) pode ser escrito na forma : H(s) = (as2 + bs+ c)±1 Vamos apresentar as ass´ıntotas de Bode para cada um dos itens apresentados. 5.2.1 H(s) com termo constante Temos, substituindo s por jω : H(jω) = k ⇒ { |H(jω)| = k ∠H(jω) = 0 Enta˜o, em dB, temos : 20log|H(jω)| = 20logk = > 0; para k > 1 = 0; para k = 1 < 0; para k < 1 Os gra´ficos de resposta em amplitude e resposta em fase sa˜o mostrados na Figura 5.3 20log|H(j )|, db 20logk ω ω ,rad/s φ( ω) ω ,rad/s j Figura 5.3: Resposta em frequ¨eˆncia para H(jω) = k Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 51 5.2.2 H(s) com termo s Vamos considerar, inicialmente, s no numerador de H(s). Temos, substituindo s por jω : H(jω) = jω ⇒ { |H(jω)| = |jω| = ω ∠H(jω) = 90o Em dB, temos : 20log|H(jω)| = 20logω Os gra´ficos de resposta em amplitude e resposta em fase sa˜o mostrados na Figura 5.4 20log|H(j )|, dbω φ( ω) ω ,rad/s j ω ,rad/s 0.1 10 20 −20 0 90 20db/dec Figura 5.4: Resposta em frequ¨eˆncia para H(jω) = jω Podemos observar que a inclinac¸a˜o da reta no gra´fico da resposta em amplitude e´ de 20dB/dec. Isso significa que, a` cada de´cada, a amplitude aumenta em 20 dB. O conceito de de´cada e´ explicado a seguir. Vamos considerar que a relac¸a˜o entre duas frequ¨eˆncias, ω1 e ω2, seja dada por : ω1 ω2 = 10k O expoente k e´ o nu´mero de de´cadas entre ω1 e ω2. Se a relac¸a˜o for dada por : ω1 ω2 = 2m, o expoente m e´ o numero de oitavas entre ω1 e ω2. Considerando s no denominador, Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 52 H(jω) = 1 jω ⇒ { |H(jω)| = | 1jω | = 1ω ∠H(jω) = −90o Em dB, temos 20log|H(jω)| = −20logω Os gra´ficos de resposta em amplitude e resposta em fase sa˜o mostrados na Figura 5.5 20log|H(j )|, dbω φ( ω)j ω ,rad/s 20 −20 0 0.1 10 ω ,rad/s −90 −20dB/dec Figura 5.5: Resposta em frequ¨eˆncia para H(jω) = 1jω 5.2.3 H(s) com termo 1 + τs Vamos considerar, inicialmente, 1 + τs no numerador de H(s). Temos, substi- tuindo s por jω : H(jω) = 1 + jωτ ⇒ { |H(jω)| = √1 + ω2τ2 ∠H(jω) = atanωτ Da´ı, em dB, temos 20log √ 1 + ω2τ2 = 0; para ω � 1τ 3; para ω = 1τ 20logω + 20logτ ; para ω � 1τ e atanωτ = 0o; para ω � 1τ 45o; para ω = 1τ 90o; para ω � 1τ Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 53 Os gra´ficos de resposta em amplitudee resposta em fase sa˜o mostrados na Figura 5.6 20log|H(j )|, dbω φ( ω)j ω,rad/s1/ τ 3 dB 20 dB/dec ω,rad/s1/ τ 0 45 90 Figura 5.6: Resposta em frequ¨eˆncia para H(jω) = 1 + jωτ Vamos considerar o termo 1 + τs no denominador de H(s). Temos, substituindo s por jω : H(jω) = 1 1 + jωτ ⇒ { |H(jω)| = 1√ 1+ω2τ2 ∠H(jω) = −atanωτ Em dB, temos 20log 1√ 1 + ω2τ2 = 0; para ω � 1τ −3; para ω = 1τ −20logω − 20logτ ; para ω � 1τ e −atanωτ = 0o; para ω � 1τ −45o; para ω = 1τ −90o; para ω � 1τ Os gra´ficos de resposta em amplitude e resposta em fase sa˜o mostrados na Figura 5.7 Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 54 20log|H(j )|, dbω φ( ω)j ,rad/sω τ1/ 1/ τ ,rad/sω 0 −45 −90 Figura 5.7: Resposta em frequ¨eˆncia para H(jω) = 11+jωτ 5.2.4 H(s) com termo s2 + as+ b Considerando, inicialmente, o termo no numerador, a func¸a˜o H(s) pode ser escrita na forma : H(s) = s2 + 2ξωns+ ω2n ω2n = 1 + 2ξ ωn s+ 1 ω2n s2 Fazendo s = jω, temos : H(jω) = 1− ω 2 ω2n + j 2ξω ωn O mo´dulo de H(jω) e´ |H(jω)| = [( 1− ω 2 ω2n ) + 4ξ2ω2 ω2n ] 1 2 Enta˜o, 20log|H(jω)| = 10log [( 1− ω 2 ω2n ) + 4ξ2ω2 ω2n ] dB e ∠H(jω) = atan 2ξω ωn 1− ω2 ω2n As ass´ıntotas sa˜o, enta˜o, dadas por : 20log|H(jω)| = 0; para ω � ωn 20log2ξ; para ω = ωn 40logω − 40logωn; para ω � ωn Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 55 e ∠H(jω) = 0o; para ω � ωn 90o; para ω = ωn 180o; para ω � ωn Os gra´ficos de resposta em amplitude e resposta em fase sa˜o mostrados na Figura 5.8 Figura 5.8: Resposta em frequ¨eˆncia para H(jω) = Considerando,agora, o termo no denominador, a func¸a˜o H(s) pode ser escrita na forma : H(s) = ω2n s2 + 2ξωns+ ω2n = 1 1 + 2ξωn s+ 1 ω2n s2 Fazendo s = jω, temos : H(jω) = 1 1− ω2 ω2n + j 2ξωωn O mo´dulo de H(jω) e´ |H(jω)| = 1[( 1− ω2 ω2n )2 + 4ξ 2ω2 ω2n ] 1 2 Enta˜o, 20log|H(jω)| = −10log [( 1− ω 2 ω2n ) + 4ξ2ω2 ω2n ] dB e ∠H(jω) = −atan 2ξω ωn 1− ω2 ω2n As ass´ıntotas sa˜o, enta˜o, dadas por : 20log|H(jω)| = 0; para ω � ωn −20log2ξ; para ω = ωn −40logω + 40logωn; para ω � ωn e ∠H(jω) = 0o; para ω � ωn −90o; para ω = ωn −180o; para ω � ωn Os gra´ficos de resposta em amplitude e resposta em fase sa˜o mostrados na Figura 5.9 Figura 5.9: Resposta em frequ¨eˆncia para H(jω) = Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 56 5.2.5 Frequ¨eˆncia de Ressonaˆncia Pelos gra´ficos apresentados nas Figuras 5.8 e 5.9, observamos que, pro´ximo a` frequ¨eˆncia ω = ωn ocorre um pico. Este pico, chamado de pico de ressonaˆncia, depende do valor da constante de amortecimento, ξ. Para obter este valor de pico, vamos considerar, sem perda de generalidade, |H(jω)| = 1[( 1− ω2 ω2n ) + 4ξ 2ω2 ω2n ] 1 2 O valor ma´ximo de |H(jω) ocorre quando o seu denominador for mı´nimo. Enta˜o, considerando, f(ω) = ( 1− ω 2 ω2n )2 + 4ξ2ω2 ω2n Para df(ω) dω = 0 obtemos ω = ωr = ωn √ 1− 2ξ2 com 0 ≤ ξ ≤ 1√ 2 A frequ¨eˆncia ωr e´ chamada de frequ¨eˆncia de ressonaˆncia. Fazendo ω = ωr na equac¸a˜o para |H(jω)|, temos: Mr = Max|H(jω)| = 1 2ξ √ 1− ξ2 com 0 ≤ ξ ≤ 1√ 2 Para o termo quadra´tico no numerador, Mr = Max|H(jω)| = 2ξ √ 1− ξ2 Cap´ıtulo 6 Se´rie de Fourier em Ana´lise de Circuitos 6.1 Introduc¸a˜o A teoria de Fourier e´ aplicada diversas a´reas : - Ana´lise de Sistemas Lineares - Teoria de Antenas - O´ptica - difrac¸a˜o - Modelagem de Fenoˆmenos Aleato´rios - Teoria da Probabilidade - F´ısica Quaˆntica - Problemas de Valor de Contorno O objetivo e´ decompor uma func¸a˜o, ou sinal, em seno´ides de frequ¨eˆncias diferen- tes. Algumas formas de onda na˜o-senoidais sa˜o importantes na ana´lise de circuitos. Na Figura 6.1 57 Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 58 Σ ENTRADA SAÍDA H(s) Decomposição por Fourier Figura 6.1: Decomposic¸a˜o de um sinal por Fourier 6.2 A Se´rie Trigonome´trica de Fourier Um sinal f(t) e´ perio´dico se f(t) = f(t± T ) para algum valor de T > 0 e para todo t. Na equac¸a˜o anterior, T e´ o per´ıodo de f(t). Define-se T0, o per´ıodo fundamental de f(t), como o menor valor positivo real de T para o qual a equac¸a˜o anterior e´ va´lida f0 = 1T0 e´ a frequ¨eˆncia fundamental em Hz, e ω0 = 2pif0 = 1T0 e´ a frequ¨eˆncia angular fundamental, em rad/s. Um sinal perio´dico f(t) pode ser decomposto atrave´s da equac¸a˜o : f(t) = a0 2 + ∞∑ n=1 [ancos(nω0t) + bnsen(nωt)] onde an e bn sa˜o coeficientes a serem determinados. A expressa˜o anterior e´ a se´rie trigonome´trica de Fourier. Fazendo : d0 = a0 2 dn = (a2n + b 2 n) 1 2 θn = atan(− bn an ) Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 59 podemos escrever a se´rie trigonome´trica em uma forma mais compacta : f(t) = d0 + ∞∑ n=1 dncos(nω0t+ θn) onde : d0 - e´ o valor me´dio de f(t). Em teoria de circuitos, d0 representa a componente dc de f(t). d1cos(ω0t+ θ1) - e´ a componente fundamental ou primeira harmoˆnica de f(t) d2cos(ω0t+ θ2) - e´ a segunda harmoˆnica de f(t) e assim por diante. Usando a identidade de Euler, podemos escrever : cosx = ejx + e−jx 2 e senx = ejx − e−jx 2j Usando a expressa˜o para a se´rie trigonome´trica, f(t) = a0 2 + ∞∑ n=1 [ancos(nω0t) + bnsen(nωt)] = a0 2 + ∞∑ n=1 [ an ejnω0t + e−jnω0t 2 + bn ejnω0t − e−jnω0t 2j ] = ∞∑ n=−∞ cne jnω0t com cn = 1 2 (an − jbn) c−n = 1 2 (an + jbn) = c∗n e an = 2Re[cn] bn = −2Im[bn] onde os operadores Re[] e Im[] representam, respectivamente, “parte real de” e “parte imagina´ria de”e d0 = c0 dn = 2|cn|; n = 1, 2, 3 . . . θn = aˆngulo de cn Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 60 A expressa˜o, f(t) = ∞∑ n=−∞ cne jnω0t com cn = 1 T0 ∫ t0+T0 t0 f(t)e−jnω0tdt define a se´rie exponencial, ou se´rie complexa, de Fourier. Exemplo - obter a se´rie trigonome´trica de Fourier para a onda quadrada mostra- da na Figura 6.2 t f(t) −T −T/4 T/4 T A ...... Figura 6.2: Onda quadrada Usando a expressa˜o cn = 1 T0 ∫ t0+T0 t0 f(t)e−jnω0tdt temos c0 = A 2 e cn = 1 T ∫ T 4 −T 4 Ae−jnω0tdt; n 6= 0 Enta˜o, cn = A −jnω0T [e −jnω0t] T 4 −T 4 Da´ı, cn = A npi sen( npi 2 ) Como e´ pedida a se´rie trigonome´trica, temos an = Re[cn] = A npi sen( npi 2 ); bn = 0 e, enta˜o, f(t) = A 2 + 2A pi [cos(ωot)− 13cos(3ω0t) + 1 5 cos(5ω0t)− . . . Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 61 6.3 Translac¸a˜o de Gra´ficos A translac¸a˜o de um gra´fico e´ um movimento horizontal e/ou vertical sem rotac¸a˜o. A translac¸a˜o vertical causa modificac¸o˜es no n´ıvel dc do sinal. Afeta, portanto, apenas os coeficientes a0, d0 e c0. A translac¸a˜o horizontal causa um deslocamento no tempo. Este deslocamento modifica apenas os valores dos aˆngulos θn Sejam cn os coeficientes da se´rie exponencial de Fourier de uma func¸a˜o perio´dica f(t) e sejam cˆn os coeficientes da se´rie exponencial de Fourier para uma func¸a˜o perio´dica g(t). Se g(t) for uma translac¸a˜o de f(t) consitindo de um acre´scimo k do n´ıvel dc e de um atraso td, podemnos escrever g(t) = f(t− td) + k com cˆ0 = c0 + k e cˆn = cnejnω0td para n = ±1,±2,±3, . . . Exemplo - obter a se´rie trigonome´trica de Fourier para o sinal apresentado na Figura 6.3 t f(t) ... T−T A/2 −A/2 ... Figura 6.3: Onda quadrada deslocada em relac¸a˜o a` onda do Exemplo anteriorPor comparac¸a˜o, observamos que g(t) e´ originada de uma translac¸a˜o da func¸a˜o f(t) do Exemplo anterior. Especificamente, g(t) = f(t− T 4 )− A 2 Enta˜o, td = T 4 e k = A 2 Desta forma, cˆ0 = 0 e cˆn = cne−jn pi 2 Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 62 Portanto, g(t) = 2pi A [ cos(ω0t− pi2 )− 1 3 cos(3ω0t− 3pi2 ) + 1 5 cos(5ω0t− 5pi2 )− . . . ] ou g(t) = 2pi A [ sen(ω0t) + 1 3 sen(3ω0t) + 1 5 cos(5ω0t) + . . . ] Exemplo - considere o circuito mostrado na Figura 6.4-a tendo como tensa˜o de entrada, vi(t), o sinal mostrado na Figura 6.4-b. Obter a tensa˜o de sa´ıda, v0(t) sobre o capacitor, em regime permanente. Considerar E = 30pi e T = 4s. + v (t)i 1 F 1 Ω v (t) o (a) t ... T−T ... v (t)i (b) E Figura 6.4: Obter a tensa˜o v0(t) Como temos um sinal perio´dico na˜o-senoidal e desejamos obter a resposta em regime permanente (que pressupo˜e uma entrada senoidal, como vimos anterior- mente), devemos representar vi(t) atrave´s da se´rie trigonome´trica de Fourier. Se considerarmos o sinal representado no primeiro Exemplo deste Cap´ıtulo, vemos que vi(t) pode ser escrito como : g(t) = f(t− T 4 ) + 0 Enta˜o, td = T 4 e k = 0 Desta forma, cˆ0 = A 2 = E 2 e cˆn = cne−jn pi 2 Portanto, vi(t) = E 2 + 2pi A [ cos(ω0t− pi2 )− 1 3 cos(3ω0t− 3pi2 ) + 1 5 cos(5ω0t− 5pi2 )− . . . ] Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 63 ou vi(t) = E 2 + 2pi A [ sen(ω0t) + 1 3 sen(3ω0t) + 1 5 cos(5ω0t) + . . . ] Substituindo os valores de E e T , temos : vi(t) = 15pi + 60sen(ω0t) + 20sen(3ω0t) + 12sen(5ω0t) + . . . Como a resposta em regime permanente para cada uma das parcelas senoidais de vi(t) e´ dada por : r(t) = Msen(ω0t+ φ) com M = A|H(jω)| e φ = ∠H(jω) temos que obter H(s) e, depois, fazer s = jω. Para o circuito dado, temos : H(s) = V0(s) Vi(s) = 1 s+ 1 e, enta˜o, |H(jω) = 1√ 1 + ω2 e φ = −atanω Os ca´lculos sa˜o mostrados na Tabela Frequ¨eˆncia ω0 Amplitude Entrada Fase Entrada |H(jω)| Amplitude M Fase φ 0 15 pi 0 1 15 pi 0 0.5 pi 60 0 0.5370 32.22 -57.52 1.5 pi 20 0 0.2076 4.150 -78.02 2.5 pi 12 0 0.1263 1.516 -82.74 Assim, v0(t) = 15pi + 32.22sen(ω0t− 57.52) + 4.150sen(3ω0t− 78.02) + 1.1516sen(5ω0t− 82.74) + . . . Cap´ıtulo 7 Quadripolos 7.1 Introduc¸a˜o Os quadripolos sa˜o dispositivos com dois pares de terminais. Cada par de ter- minais definem uma porta. Na Figura 7.1, mostramos um quadripolo com suas grandezas associadas. QUADRIPOLOV V 1 2 I 1 I 2 Figura 7.1: Quadripolo com grandezas associadas Na Figura 7.1, V1 e I1 sa˜o, respectivamente, a tensa˜o e a corrente na porta de entrada do quadripolo enquanto V2 e I2 sa˜o, respectivamente, a tensa˜o e a corrente na porta de sa´ıda do quadripolo. Na ana´lise de circuitos atrave´s de quadripolos, utilizamos relacionamentos entre as grandezas I1, V1, I2 e V2. Estes relacionamentos sa˜o chamados de paraˆmetros do quadripolo. 7.2 Paraˆmetros Z Neste caso, o relacionamento entre as grandezas do quadripolo e´ escrito na forma: V1 = Z11I1 + Z12I2 V2 = Z21I1 + Z22I2 ou, na forma matricial, Z = [ Z1,1 Z1,2 Z2,1 Z2,2 ] 64 Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 65 Os paraˆmetros Zij podem ser obtidos atrave´s das equac¸o˜es : Z11 = V1 I1 ∣∣∣∣ I2=0 Z21 = V2 I1 ∣∣∣∣ I2=0 Z12 = V1 I2 ∣∣∣∣ I1=0 Z22 = V2 I2 ∣∣∣∣ I1=0 O termo Z11 e´ chamado de impedaˆncia de entrada em circuito aberto, Z22 e´ a impedaˆncia de sa´ıda em circuito aberto e Z12 e Z21 sa˜o as impedaˆncias de transfer- eˆncia (trans-impedaˆncias) em circuito aberto. Os paraˆmetros Z sa˜o chamados de impedaˆncia em circuito aberto. A obtenc¸a˜o dos paraˆmetros Z pode ser feita utilizando-se as equac¸o˜es anteriores, com as respectivas modificac¸o˜es no circuito, ou diretamente atrave´s da utilizac¸a˜o das leis das malhas ou dos no´s. Exemplo - obter a matriz Z para o circuito mostrado na Figura 7.2. + + V V 1 2 + 4I 2 I1 I2 0.1 F 3 Ω Figura 7.2: Quadripolo1 Utilizando a lei das malhas, e lembrando que a ana´lise e´ feita no domı´nio da frequ¨eˆncia, temos V1 = 4I2 + 10 s (I1 + I2) V2 = 3I2 + 10 s (I1 + I2) ou V1 = 10 s I1 + (4 + 10 s )I2 V2 = 10 s I1 + (3 + 10 s )I2 Enta˜o, Z = [ 10 s 4 + 10 s 10 s 3 + 10 s ] Exemplo - obter a matriz Z para o circuito mostrado na Figura 7.3. Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versa˜o 0.2 66 + + V V 1 2 I1 I2 R R R 1 2 3 Figura 7.3: Quadripolo2 Utilizando a lei das malhas, temos : V1 = R1I1 −R1I3 V2 = R3I2 +R3I3 0 = −R1I1 +R3I2 + (R1 +R2 +R3)I3 Enta˜o, Z = 1 R1 +R2 +R3 [ R1(R2 +R3) R1R3 R1R3 R3(R1 +R2) ] 7.3 Paraˆmetros Y O relacionamento entre as grandezas do quadripolo, neste caso, e´ escrito na forma: I1 = Y11V1 + Y12V2 I2 = Y21V1 + Y22V2 ou, na forma matricial, Y = [ Y1,1 Y1,2 Y2,1 Y2,2 ] Os paraˆmetros Yij podem ser obtidos atrave´s das equac¸o˜es : Y11 = I1 V1 ∣∣∣∣ V2=0 Y21 = I2 V1 ∣∣∣∣ V2=0 Y12 = I1 V2 ∣∣∣∣ V1=0 Y22 = I2 V2 ∣∣∣∣ V1=0 O termo Y11 e´ chamado de admitaˆncia de entrada em curto-circuito, Y22 e´ a admitaˆncia de sa´ıda em curto-circuito e Y12 e Y21 sa˜o as admitaˆncias de transfereˆncia (trans-admitaˆncias) em curto-circuito. Os paraˆmetros Y sa˜o, portanto, chamados de admitaˆncias em curto-circuito. Apeˆndice A Transformadas de Laplace - Resumo • Definic¸a˜o L [f(t)] = F (s) = ∫ ∞ 0− f(t)e−stdt • Propriedades 1. Proporcionalidade L [kf(t)] = kL [f(t)] 2. Linearidade L [ ∑ i fi(t)] = ∑ i L [fi(t)] 3. Diferenciac¸a˜o L [ df(t) dt ] = sF (s)− f(0−) L [ dnf(t) dtn ] = snF (s)− sn−1f(0−)− sn−2f ′(0−)− ...− fn−1(0−) 4. Integrac¸a˜o L [∫ τ 0− f(t)dt ] = F (s) s 5. Deslocamentos – Domı´nio do tempo L [f(t− a)u(t− a)] = e−asF (s− a) – Domı´nio da frequ¨eˆncia L [eatf(t)] = F (s− a) 6. Multiplicac¸a˜o por t L [tf(t)] = −dF (s) ds L [tnf(t)] = (−1)nd nF (s) dsn 67 Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versa˜o 0.2 68 • Transformadas – Func¸o˜es Singulares 1. Func¸a˜o degrau unita´rio L [u(t)] = 1 s 2. Func¸a˜o rampa unita´ria L [ρ(t)] = 1 s2 3. Func¸a˜o impulso unita´rio L [δ(t)] = 1 – Func¸o˜es Ordina´rias f(t)←→ F (s) f(t)←→ F (s) eatu(t) = 1s−a senωt = ω s2+ω2 te−at = 1 (s+a)2 cos(ωt) = s s2+ω2 Refereˆncias Bibliogra´ficas [*] LATEX [1] Klaus Steding-Jessen, LATEX Demo : Exemplos com LATEX 2ε, 2000, dispon´ıvel em http://biquinho.furg.br/tex-br [2] H. Kopka, P.W. Daly, A Guide to LATEX - Document Preparation for Beginners and Advanced Users, Addison Wesley, 1993. [3] M. Goossens, F. Mittelbach, A. Samarin, The LATEX Companion, Addison Wesley, 1994. [*] Scilab [4] Scilab Group, Introduction to Scilab - User’s Guide. Esta refereˆncia, e as outras escritas pelo Scilab Group, podem ser obtidas em http://www-rocq.inria.fr. [5] Paulo S. Motta Pires, Introduc¸a˜o ao Scilab - Versa`o 0.1, pode ser obtida em http://www.leca.ufrn.br/~pmotta [*] Circuitos [6] F. F. Kuo, Network Analysis and Synthesis, Second Edition, John Wiley, 1966 [7] Prof. Walmir Freire, Notas de Aula do Curso de Circuitos Ele´tricos II, DEE- UFRN [8] D. E. Johnson, J. L. Hilburn, J. R. Johnson, P. D. Scott, Basic Electric Circuit Analysis, 5th Ed., 1995, Prentice Hall [9] R. A. DeCarlo, P-M. Lin, Linear Circuit Analysis, 1995, Prentice Hall 69
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