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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
FACULDADE DE MATEMÁTICA
ÁLGEBRA LINEAR A
Prof. Francisco Leal Moreira
2003/1
SUMÁRIO
11. MATRIZES	
1.1. INTRODUÇÃO	1
1.2. PROPRIEDADES	2
1.3. RESPOSTAS	4
2. INVERSÃO DE MATRIZES	5
2.1. INTRODUÇÃO	5
2.2. MATRIZ INVERSA	5
2.3. PROPRIEDADES	6
2.4. OPERAÇÕES ELEMENTARES DE UMA MATRIZ	6
2.5. INVERSÃO DE MATRIZ POR OPERAÇÕES ELEMENTARES	6
2.6. RESPOSTAS	7
3. SISTEMAS LINEARES	8
3.1. INTRODUÇÃO	8
3.2. EQUAÇÃO LINEAR	8
3.3. SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES	8
3.4. SISTEMAS EQUIVALENTES.	9
3.5. SISTEMA LINEAR ESCALONADO.	9
3.6. RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR POR TRIANGULAÇÃO OU ESCALONAMENTO.	10
3.7. MÉTODO DE CASTILHOS.	11
3.8. RESPOSTAS	13
4. ESPAÇOS VETORIAIS	14
4.1. INTRODUÇÃO	14
4.2. ESPAÇO VETORIAL REAL	15
4.3. RESPOSTAS	16
5. SUBESPAÇO VETORIAL	17
5.1. INTRODUÇÃO	17
5.2. SUBESPAÇO VETORIAL	17
5.3. RESPOSTAS	19
6. COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES	20
6.1. INTRODUÇÃO	20
6.2. RESPOSTAS	21
7. SUBESPAÇO VETORIAL GERADO	22
7.1. INTRODUÇÃO	22
7.2. RESPOSTAS	23
8.DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR	24
8.1. INTRODUÇÃO	24
8.2. PROPRIEDADES	24
8.3. RESPOSTAS	26
9. BASE E DIMENSÃO	27
9.1. INTRODUÇÃO	27
9.2. BASE	28
9.3. PROPRIEDADES	28
9.4. DIMENSÃO DE UM ESPAÇO VETORIAL	29
9.5. RESPOSTAS	30
10. COMPONENTES DE UM VETOR E MUDANÇA DE BASE	31
10.1. INTRODUÇÃO	31
10.2. COMPONENTES DE UM VETOR	31
10.3. MUDANÇA DE BASE	31
10.4. RESPOSTAS	33
11. PRODUTO INTERNO	34
11.2. INTRODUÇÃO	34
11.2. RESPOSTAS	35
12. ORTOGONALIDADE	36
12.1. VETORES ORTOGONAIS	36
12.2. BASE ORTOGONAL E BASE ORTONORMAL	36
12.3. PROCESSO DE ORTOGONALIZAÇÃO DE GRAM-SCHMIDT	37
12.4. RESPOSTAS	37
13. TRANSFORMAÇÕES LINEARES	38
13.1. INTRODUÇÃO	38
13.2. TRANSFORMAÇÃO LINEAR	38
13.3. MATRIZ NATURAL OU MATRIZ CANÔNICA	39
13.4. T L DEFINIDA PELAS IMAGENS DOS VETORES DE UMA BASE	40
13.5. COMPOSTA DE DUAS TL	41
13.6. RESPOSTAS	42
14. TRANSFORMAÇÕES LINEARES PLANAS	43
14.1. INTRODUÇÃO	43
14.2. REFLEXÕES	43
14.3. DILATAÇÕES E CONTRAÇÕES	45
14.4. CISALHAMENTOS	46
14.5. ROTAÇÕES	47
14.6. RESPOSTAS	49
15. MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR EM BASES QUAISQUER	52
15.1. INTRODUÇÃO	52
15.2. PROCEDIMENTO PARA ENCONTRAR A MATRIZ 
	53
15.3. RESPOSTAS	53
16. OPERADORES LINEARES	54
16.1. INTRODUÇÃO	54
16.2. MATRIZES SEMELHANTES	54
16.3. RELAÇÃO ENTRE MATRIZES SEMELHANTES .	54
16.4. OPERADORES INVERSÍVEIS	55
16.5. MATRIZ ORTOGONAL	55
16.7. OPERADOR LINEAR ORTOGONAL	55
16.8. PROPRIEDADES	56
16.9. OPERADOR LINEAR SIMÉTRICO	56
16.10. PROPRIEDADE	57
16.11. RESPOSTAS	57
17. VETORES PRÓPRIOS E VALORES PRÓPRIOS	58
17.1. INTRODUÇÃO	58
17.2. DETERMINAÇÃO DOS VALORES E VETORES PRÓPRIOS	59
17.3. PROPRIEDADES	60
17.4. RESPOSTAS	61
18. DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES	62
18.1. INTRODUÇÃO	62
18.2. DIAGONALIZAÇÃO DE MATRIZES SIMÉTRICAS	63
18.3. RESPOSTAS	64
19. CÔNICAS	65
19.2. CÔNICAS NÃO-DEGENERADAS EM POSIÇÕES PADRÕES	65
19.3. PROCEDIMENTO PARA ELIMINAR O TERMO EM xy DA EQUAÇÃO	67
19.4. CLASSIFICAÇÃO DAS CÔNICAS QUANTO AOS VALORES PRÓPRIOS	69
19.5. RESPOSTAS	69
20. BIBLIOGRAFIA	70
�
�
1. MATRIZES
1.1. INTRODUÇÃO
Esta secção, apresenta um conjunto de exercícios que possibilitam ao aluno, revisar conceitos básicos sobre matrizes. É muito importante que o aluno se detenha nas propriedades apresentadas, pois são de grande importância dentro da Álgebra Linear. Algumas aplicações do estudo das matrizes são resolução de sistemas de equações lineares, mudança de bases de um espaço vetorial, representação e composição de transformações lineares. 
E1) Construa uma matriz:
a) Retangular b) Linha c) Coluna d) Nula e) Quadrada
E2) Identifique a ordem de cada matriz do exercício E1.
E3) Escreva a forma genérica de uma matriz de ordem m x n com elementos a
.
E4) Escreva a matriz oposta (-A é a oposta de A) de cada matriz do exercício E1.
E5) Construa a matriz A= [aij]mxn tal que:
 
 a) m = n = 4 e a
= 
 b) m = 2, n = 3 e a
= 
�� EMBED Equation.2 
 E6) No exercício E5 a , identifique a diagonal principal e a secundária.
 E7) Escreva uma matriz diagonal ( A=[aij]
, a
=0 se i
j) de ordem 3.
 E8) Escreva a matriz identidade ( I
=[aij]
, a
=
 ) para n = 4.
 E9) Escreva uma matriz triangular superior ( A=[aij]
, a
=0 se i>j) de ordem 3.
 E10)Escreva uma matriz triangular inferior ( A=[aij]
, a
=0 se i<j) de ordem 4.
 E11) Encontre x, y, z e w de forma que A=B, sendo:
 a) A = 
 , B = 
 
 b) A = 
 , B = 
 E12) Dadas as matrizes A = 
, B = 
 e C = 
 determine a matriz:
 a) A + 2B + (-A) + (-B)
 b) A – B + 
 c) 3( C – 2I
)
1.2. PROPRIEDADES
 1. Propriedades da Adição
 a) A + B = B + A
 b) (A + B) + C = A + (B + C)
 c) A + O = A
 d) A + (-A) = O
 
 sendo A, B, C e O matrizes de mesma ordem
 2. Propriedades do Produto de uma Matriz por um Real
a) ()A = (A)
b(A + B) = A + B
 c) ( + )A = A + A
 d) 1A = A
 sendo A e B matrizes de mesma ordem e ,
E13) Sejam as matrizes A = 
, B = 
 e C = 
, determine:
 a) AB b) AC c) CA d) (A-I
) (B+I
)
 3. Propriedades da Multiplicação de Matrizes
 a) ABC = (AB)C = A(BC)
 b) A(B+C) = AB + AC
 c) (A+B)C = AC + BC
d(AB) = (A)B = A(B) ,  
�� EMBED Equation.2 
 e) AO = O
 f) AI = IA = A
E14) Use V ou F :
 a) Se existem AB e BA então AB = BA ( )
 b) Se AB = O então necessariamente A = O ou B = O ( )
E15) Encontre a matriz transposta de:
 a) A = 
 b) B = 
 4. Propriedades da Transposta
 a) (A
)
 = A
 b) (A + B)
 = A
+ B
 c) (AB)
 = B
A
 
 d) (A)
 = A
 ,  
E16) Sejam as matrizes A = 
, B = 
 e C = 
, determine:
 a) ( A - B)
(B - C)
 b) [(2A - I
) + (C + I
)]
 c) (AB
C)
E17) Construa uma matriz simétrica (A
= A) de ordem 3.
E18) Construa uma matriz anti-simétrica (A
 = -A) de ordem 4.
1.3. RESPOSTAS
E3) 
E5) a)A= 
 b)A=
E6) a)Dp = { 1, 1, 1, 1 } e Ds= { 2, 2, 0, 0 }
E8) a)I4=
 
E11) a) x=-4, y=1, z=2 e w=
 b) x=2, y=1, z=1 e w=2 
E12) a) B b) 
 c) 3
E13) a)
 b) NE c)
 d) 
E14) a) F b) F 
E15) a)At=
 b)Bt=
E16) a) 
 b) 
 c) 
 
�
2. INVERSÃO DE MATRIZES 
2.1. INTRODUÇÃO
 No início desta secção, o aluno encontrará alguns exercícios que possibilitam revisar o cálculo de determinantes, importante para a identificação de uma matriz inversível. O estudo de matriz inversa tem várias aplicações na Álgebra Linear, como por exemplo, na mudança de base de um espaço vetorial e resolução de equações matriciais.
E1) Calcule os determinantes:
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
 
E2) Resolva as equações:
 a) 
 = 0 b) 
 = 
 c) 
 = 
2.2. MATRIZ INVERSA
 
 Uma matriz quadrada A é inversível se existir uma matriz quadrada B tal que AB = BA= I. 
 A matriz B é chamada matriz inversa de A e é representada por A
. 
E3) Use a definição acima para calcular a inversa da matriz A = 
 Sugestão: Resolva os sistemas pela regra de Cramer.
Dispositivo prático
Se A = 
 e det A 
0 , então A
= 
�� EMBED Equation.2 
E4) Calcule as inversas das matrizes A = 
 e B = 
 .
 2.3. PROPRIEDADES 
a) (A
)
 = A
b) I
 = I
c) (A)
= A
, 
d) (AB)
= B
A
 2.4. OPERAÇÕES ELEMENTARES DE UMA MATRIZ 
L
 - Permutação das linhas de ordem i e j.
kL
 - Multiplicação da linha de ordem i por k
0.
L
+ kL
 - Substituição da linha de ordem i pela sua soma com a linha de ordem j multiplicada por k
0. 
E5) Complete corretamente as matrizes:
 A=
 L
 
 L
- 2L
 
 - L
 
 L
- 3L
 
 Toda matriz inversível pode ser transformada, mediante um número finito de operações elementares, na
 matriz I
E6) Aplique a seqüência L
, L
- 2L
, - L
, L
- 3L
 na matriz 
.
 
 L
 
 L
- 2L
 
 - L
 
 L
- 3L
 
=B
E7) Calcule AB e BA considerando A e B matrizes dos exercícios E5 e E6. O que se pode concluir ?
2.5. INVERSÃO DE MATRIZ POR OPERAÇÕES ELEMENTARES
A mesma seqüência de operações elementares que transforma uma matriz A em I
, transforma I
em A
.
 [ A I
] seqüência de operações elementares [ I
 A
]
E8) Determine a matriz inversa, caso exista, de cada uma das matrizes dadas:
 A = 
 , B = 
 , C = 
 e D = 
E9) Mostre que 
.
E10) Resolva as equações matriciais na variável X, sabendo-se que A, B, C e X são matrizes inversíveis:
 a) AX = B b) AXB = C c) X
AB
= C d) (AX
)
 = B e) AXB = BA f) A
X
 = B
2.6. RESPOSTAS
E1) a) –2 b) 7 c) –16 d) 12 e) –120 
E2) a) x = 1/4 ou x = 1 b) x = 0 ou x = 3 c) x = -1/6
E3) A-1=
E4) A-1=
 B-1=
E8) A-1=
 B-1=
 C-1=
 D-1=
E10) a) X=A-1B b) X=A-1CB-1 c) X= AB-1C-1 d) X=(Bt)-1A e) X=A-1BAB-1 f) X=BtA-1
�
3. SISTEMAS LINEARES
3.1. INTRODUÇÃO
 O estudo de sistemas de equações lineares é de fundamental importância na Álgebra Linear. Resolvendo sistemas de equações lineares podemos determinar: a dependência ou independência linear de vetores, o subespaço vetorial gerado por um conjunto de vetores, a matriz que representa uma transformação linear em bases dadas e vetores próprios de um operador linear. No final dessa secção, apresentaremos o método de Castilhos que pode ser utilizado na resolução de sistemas de equações lineares.
3.2. EQUAÇÃO LINEAR 
 
, com 
 Exemplos
 a) No 
, x = 3 
1x + 0y = 3 
 b) No 
, x = 3 
1x + 0y + 0z = 3 
 c) As seguintes equações não são lineares: x2 – 2x = 4 , 
, cos x = 1, ey-3x = 0 e ln x + 4y = 3.
 Solução de uma equação linear é uma seqüência de números que satisfaz a equação. 
 Conjunto-solução de uma equação é o conjunto de todas as soluções da equção.
 
 
 Exemplos
 a) No 
, o conjunto-solução da equação x = 3 é {(3,y) / y
} e (3,5) é uma solução particular.
 b) No 
, o conjunto-solução da equação x = 3 é {(3,y,z) / y,z
} e (3,7,9) é uma solução particular.
3.3. SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
 Sistema linear de m equações com n incógnitas
 
 Solução de um sistema linear é uma seqüência de números que é solução de toda equação do sistema. 
E1) Resolva, se possível, os sistemas escrevendo os conjuntos soluções em U.
 a) 
 , U =
 b)
, U =
 c)
 , U =
 
 d) 
 , U =
 e)
, U =
 f)
 , U =
Classificação de um sistema linear quanto às soluções:
 determinado (solução única)
 compatível 
Sistema Linear (possui solução) indeterminado (várias soluções)
 
 incompatível (não possui solução)
Representação matricial de um sistema linear.
 A equação AX=B é a representação matricial de qualquer sistema de equações lineares. Se a matriz B é 
nula, o sistema é chamado de homogêneo.
 Um sistema homogêneo é sempre compatível:
 - Determinado se tiver apenas a solução trivial ou imprópria que apresenta todas as variáveis
 assumindo valor zero.
 - Indeterminado se tiver a solução trivial e outras denominadas soluções próprias.
E2) Mostre que se A é uma matriz inversível então o sistema AX = B admite apenas uma solução. Qual é esta 
 solução se B = 0 ? 
E3) Escreva um sistema linear homogêneo de duas equações com duas variáveis que seja:
 a) compatível e determinado b) compatível e indeterminado c) incompatível
3.4. SISTEMAS EQUIVALENTES.
 
 Dois sistemas que apresentam o mesmo conjunto solução são chamados sistemas equivalentes.
E4) Resolva, se possível, o sistema:
 
3.5. SISTEMA LINEAR ESCALONADO. 
 
 Um sistema linear está na forma escalonada se o número de zeros que precede o primeiro coeficiente não
nulo aumenta de equação para equação. Todo sistema escalonado pode ser facilmente resolvido como no 
 exercício E4.
Exemplo:
 O sistema 
 do exercício E4, cuja matriz ampliada é 
E5) Resolva o sistema:
 
3.6. RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR POR TRIANGULAÇÃO OU ESCALONAMENTO.
 Um sistema linear pode ser transformado em outro, equivalente e escalonado, com as seguintes operações:
 a) Permutação de duas equações;
 b) Multiplicação de uma equação por um número real diferente de zero;
 c) Substituição de uma equação por sua soma com outra equação previamente multiplicada por um número 
 real diferente de zero.
Exemplo:
Resolva o sistema por triangulação:
 
 
 
 
 
 
 O sistema resultante está na forma escalonada e é equivalente ao sistema dado. Logo, o sistema dado é 
determinado e seu conjunto solução é S = 
.
A seguir, resolva o mesmo sistema, a partir da matriz ampliada.
 L
 
 L
+(-2)L
 
 L
+(-1)L
 
E6) Resolva, se possível, os sistemas por escalonamento:
 a) 
 b) 
Classificação de sistemas lineares por triangulação ou escalonamento.
 Se ao escalonar o sistema é zerada uma linha da matriz dos coeficientes sem zerar o correspondente termo independente, o sistema é incompatível . Caso contrário o sistema é compatível:
determinado , quando após escalonar obtém-se tantas linhas significativas (não totalmente nulas) quantas 
 são as colunas da matriz dos coeficientes.
Indeterminado , quanto após escalonar obtém-se menos linhas significativas do que o número de colunas da matriz dos coeficientes.
 Todo sistema homogêneo que apresentar mais incógnitas que equações é indeterminado.
E7) Determine o valor de “m” para que o sistemaseja:
 a) Determinado; b) Indeterminado; c) incompatível.
E8) Resolva, se possível, o sistema 
 
3.7. MÉTODO DE CASTILHOS.
 
 O método de Castilhos é uma simplificação do método do escalonamento, onde as operações aplicadas sobre as equações são representadas por determinantes de 2º ordem.
 A seguir, a aplicação do método de Castilhos na resolução do exercício E8.
 
 
1º. Quadro 1 1 3 4 do 3º. quadro: ................ 
 
 2 3 1 1
 3 1 -2 5 do 2º. quadro com ............... em qualquer equação: ...............
 2º. Quadro 
 .... .... ....
 
 .... .... .... do 1º. quadro com .......... e........... em qualquer equação:......... 
 
 3º. Quadro 
 .... .... S = 
 
E9) Resolva, se possível, os sistemas:
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e)
�� EMBED Equation.2 =
 f) 
�� EMBED Equation.2 =
 E10) Resolva o sistema para k = -1, k = -2 e k = 3.
 
�� EMBED Equation.2 =
E11) Se A = 
 e X = 
, resolva:
 a) A.X = X b) A.X = 4.X c) ( A – 2.I
).X = 0
E12) Determine para que valores de a, b e c o sistema é determinado, indeterminado ou impossível:
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
�� EMBED Equation.2 =
 e) 
�� EMBED Equation.2 =
�
3.8. RESPOSTAS
E1) a) S={(1,-1)} b) S={
} c) S={ } d) S={
} 
 e) S={
} f) S={
}
E4) S={(1,-1,2)}
E5) S={
}
E6) a) S={
} b) S={ }
E7) a) m 
0 e m 
1 b) m = 1 c) m = 0
E8) S={(3,-2,1)} 
E9) a) S={ } b) S={
} c) S={ } 
 d) S={
} e) S={(0,0,0)} f) S={ }
E10) k=-1, SCI, S={
} ; k=-2, SCI, S={
} ; k=3 , S={(0,0,0)}
E11) a) S={(0,0,0)} b) S={
} c) S={
}
E12) a) SI se c
2b e SCI se c=2b b) SCI, 
 c) SCD, 
 d) SI, se a-b-c
0 e SCD se a-b-c=0 e)SCD, 
�
4. ESPAÇOS VETORIAIS
4.1. INTRODUÇÃO
 Nesta secção, generaliza-se o conceito de vetor enunciando uma série de axiomas que, caso sejam todos satisfeitos por uma classe de objetos, serão chamados vetores. O conceito de espaço vetorial ocorre em muitas aplicações tanto na Matemática quanto nas Ciências e na Engenharia.
 P (ponto)
= 
 = 
 (x
,y
)
 v (vetor)
 
 y 
 y
 P 
 v 
 
 0 x
 x
 P (ponto)
= 
 = 
 (x
,y
,z
)
 v (vetor)
 z 
 
 z
 P
 v y
 o y
 
 x
 x
Esta idéia pode ser estendida para 
,
,com a perda
da visão geométrica.
 E1) Dê um exemplo de ponto ou vetor no:
 a) 
 b) 
 c)
Se u = (x
,x
,..., x
) e v = (y
,y
,..., y
) são vetores de 
, tem-se:
a) u = v 
 x
= y
, x
= y
,..., x
= y
 (igualdade)
u + v =( x
+ y
, x
+ y
,..., x
+ y
) 
u = (x
,x
,..., x
) ,  
 (operações)
u.v = x
. y
+ x
. y
+... + x
. y
 
 = 
 (módulo de u)
 
Para o conjunto 
, no qual estão definidas as operações adição e multiplicação por escalar, isto é
u,v 
, u+v
 e 

,
u 
, u
 é fácil verificar-se as seguintes propriedades:
A1 : u + v = v + u , 
u,v 
 
A2 : (u + v) + w = u + (v + w) ,
u,v,w 
 
A3 : 
 0
 , 
u 
 , u + 0 = u 
A4 : 
u
, 
(-u) 
 , u + (-u) = 0 
M1 : ( + )u = u + u , 

e 
u 
(u + v) = u + v , 

e 
u,v 
M3 : ()u = (u) , 

e 
u 
M4 : 1u = u , 
u 
Este conjunto 
, no qual estão definidas as operações adição e multiplicação por escalar e em relação as quais valem as dez propriedades citadas, é chamado espaço vetorial real.
4.2. ESPAÇO VETORIAL REAL
 Da mesma forma que o 
, qualquer conjunto V
 no qual estão definidas duas operações: adição e multiplicação por escalar em relação as quais valem as dez propriedades citadas acima chama-se espaço
 vetorial real.
Os elementos de um espaço vetorial são chamados vetores independente de sua natureza.
Outros exemplos importantes de espaços vetoriais:
O conjunto 
das matrizes mxn com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar.
 Observação: O conjunto 
 é a notação matricial do 
.
 Se u = (x
,x
,..., x
)
 então u = 
 
 
(as operações de adição e multiplicação por
 escalar produzem o mesmo resultado).
O conjunto 
a
x
+ a
x
+ ... + a
 ; ai
 dos polinômios de grau menor ou igual a “n”, incluindo o polinômio identicamente nulo, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar.
O conjunto das funções definidas no intervalo [a ; b] em relação às operações definidas por(f + g)(x) = f(x) + g(x) e (f)(x) = f(x) , 

 .
E2) Identifique o vetor nulo, um vetor e o respectivo vetor oposto dos seguintes espaços vetoriais:
a) 
 b) 
 c) P2 d) P3 
E3) Analise cada conjunto abaixo e diga porque não é um espaço vetorial com as operações usuais., 
a) V = 
 b) V = 
 
 c) V = 
 d) V = 
 e) V = 
 f) V = 
4.3. RESPOSTAS
E3) a) Não b) Não c)Não d) Não e) Não f) Não
�
5. SUBESPAÇO VETORIAL
5.1. INTRODUÇÃO
 Às vezes, é importante identificar, dentro de um espaço vetorial, subconjuntos que sejam também, espaços vetoriais. 
 SUBESPAÇO VETORIAL
 Seja S um subconjunto não vazio de um espaço vetorial V. S é um subespaço vetorial de V se S é também espaço vetorial com as mesmas operações definidas em V.
 Como S
, os axiomas A1 , A2 , M1 , M2 , M3 e M4 , da definição, são verificados pois todos os vetores de S são também de V. Portanto, para que S seja um subespaço vetorial de V, basta que os axiomas A3 e A4 também se verifiquem. Todas estas condições estão reunidas na definição abaixo.
5.2. SUBESPAÇO VETORIAL
 Seja S um subconjunto não-vazio de um espaço vetorial V. S é um subespaço vetorial de V sse:
 i) 
 , 
 ii)



E1)Verifique se S com as operações usuais é um subespaço vetorial de V. 
 a) S=
 e V=
.
 b) S =
 V = 
 c) S= 
e V=
d) S = 
 V = 
e) S = 
 V = 
Importante: 
 a) O conjunto formado apenas pelo vetor nulo de um espaço vetorial V é um subespaço vetorial de V.
O subespaço {0} é chamado de subespaço nulo.
 b) Qualquer reta do 
 que passa pela origem é um subespaço vetorial do
.
 c) Qualquer reta do 
 que passa pela origem é um subespaço vetorial do
.
 d) Qualquer plano do 
que passa pela origem é um subespaço vetorial do
.
SUBESPAÇOS VETORIAIS DO 
 
a) Triviais: 
 e {(0,0)} 
b) Não triviais: S =
 (retas que passam pela origem) 
SUBESPAÇOS VETORIAIS DO 
a) Triviais: 
e {(0,0,0)}
b) Não triviais: S = 
 ou S = 
( retas e planos 
 que passam pela origem)
SUBESPAÇOS VETORIAIS DE UM ESPAÇO VETORIAL V
a) Triviais: V e {0}
b) Não triviais: outros
E2)Verifique se S com as operações usuais é um subespaço vetorial de V.
 
a) S = 
e V=
b) S é o conjunto solução do sistema 
 e V = 
c) S =
 V = 
d) S = 
 V = 
e) S é o conjunto solução de um sistema homogêneo AX = 0, onde A é uma matriz de ordem mxn e uma
 solução X é um vetor de 
.
f) S o conjunto de todas as matrizes triangulares superiores, V = 
g) S = 
 V = 
h) S = 
, V = 
i) S = 
, V = P
j) S = 
, V = P
k) S é o conjunto solução do sistema 
 e V = 
l) S = 
, V = 
5.3. RESPOSTAS
 E1) a) Sim b) Sim c) Não d) Sim e) Não 
 E2) a) Não b) Não c) Sim d)Não e) Sim f)Sim g) Não h) Sim i) Sim 
 j) Não k) Sim l) Não 
�
6. COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES
6.1. INTRODUÇÃO
 Uma das características mais importantes de um espaço vetorial é a determinação de novos vetores a partir de vetores dados. 
 Sejam os vetores 
 de um espaço vetorial V. Um vetor 
V é combinação linear (CL) dos vetores 
 se existem os reais 
, tais que 
.
 
E1) Verifique se o vetor 
 é combinação linear dos vetores 
 e 
. Em 
 caso afirmativo, escreva o vetor 
 como combinação linear de 
 e 
.
 A combinação linear 
 pode ser representada matricialmente por MA=V, onde: M é a matriz cujas colunas são os vetores 
, A é a matriz coluna formada pelos coeficientes
e V é a representação matricial do vetor v.
E2) Sejam os vetores 
 , 
 e 
.
 a) Escreva, se possível, o vetor 
 como CL dos vetores 
 e 
.
 b) Escreva, se possível, o vetor 
 como CL dos vetores 
 e 
.
 c) Determine o valor de “m” para que o vetor 
 seja CL dos vetores 
 e 
 . 
 d) Determine os vetores do 
 que podem ser escritos como CL dos vetores 
, 
 e 
.
 e) Determine os vetores do 
 que podem ser escritos como CL dos vetores 
.
E3) Sejam os vetores 
, 
 e 
 de V = 
.
a)Escreva, se possível, o vetor 
 como CL dos vetores 
, 
 e 
.
b)Escreva, se possível, o vetor 
 como combinação linear dos vetores 
 e 
.
E4) Sejam os vetores 
 de V = 
.
 a)Escreva, se possível, o vetor 
 como CL dos vetores 
,
 e 
.
 Nota: As operações de adição e multiplicação por escalar aplicadas sobre p =
 e sobre
 p = (a,b,c) produzem o mesmo resultado. Por que ?
 Sugestão: represente o vetor 
 pela terna (a,b,c).
 b)Escreva, se possível, o vetor 
 como CL dos vetores 
 e 
.
6.2. RESPOSTAS
E1) v = 3v1 - 2v2
 
E2) a) v=v1+2v2 b) Impossível c) m=4 d) 
 e) v=(2y,y,0) , y
E3) a) v=4v1+3v2-2v3 b) Impossível
E4) a) p=3p1+2p2+p3 b) Impossível
�
7. SUBESPAÇO VETORIAL GERADO
7.1. INTRODUÇÃO
 Nesta secção, veremos como determinar todos os vetores do espaço vetorial que 
 podem ser obtidos a partir de vetores dados.
E1) Mostre que se V é um espaço vetorial e
�� EMBED Equation.3 , então o conjunto 
 S =
 é um subespaço vetorial de V.
 Sejam A = 
 um conjunto de vetores de um espaço vetorial V , e
S =
. O conjunto S também representado por G(A)
ou [
] é denominado subespaço vetorial gerado por A ou pelos vetores 
.
Exemplos os exercícios E2d e E2e página 20.
E2) Se V = 
, determine o subespaço gerado por:
 (Quais são os subespaços do 
? Veja página 18 )
 a) 
 b) 
 e 
 c) 
 e 
 d) 
 , 
 e 
 e) 
 e 
E3) Se V =
, determine o subespaço gerado por:
 (Quais são os subespaços do 
? Veja página 18)
 a) 
 b) 
 e 
 c) 
 e 
 d) 
 , 
 e 
 e) 
 , 
 e 
 f) 
 , 
, 
 e 
E4) Se V = 
, determine o subespaço gerado por:
a) 
, 
 , 
 e 
b) 
, 
 e 
c) 
 e 
d) 
E5) Se V = P
, determine o subespaço gerado por:
a) 
 , 
 e 
b) 
 e 
c) 
 e 
E6) Determine um conjunto gerador do conjunto solução do sistema: 
Sugestão: Procure escrever o vetor genérico do conjunto solução como combinação linear de vetores do 
.
7.2. RESPOSTAS
E2) a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
E3) a) 
 b) 
 
 c) 
 d) 
 e) 
 f) 
E4) 4) a) M2x2 b)
 c) 
 d) 
E5) a) 
 b) 
 c) 
E6) S=
 
�
8.DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR
8.1. INTRODUÇÃO
 Em nosso estudo, temos grande interesse na determinação do menor conjunto de vetores que gera um espaço vetorial, para isto, precisamos das noção de dependência e independência linear.
 Sejam os vetores 
 de um espaço vetorial V e a equação 
 (1).
 Os vetores 
 são linearmente independentes (LI) casoa equação (1) admita apenas a 
 solução trivial 
.
 Se a equação (1) admitir soluções distintas da trivial, isto é, algum 
, então os vetores 
 
 são linearmente dependentes (LD).
E1) Verifique se os vetores são LI ou LD.
 a)
 e 
 b)
, 
 e 
 
 c)
 , 
 e 
 
 8.2. PROPRIEDADES
 a) Um conjunto com dois ou mais vetores é LD sse pelo menos um dos vetores é CL dos demais.
 b) Se um dos vetores de um conjunto é o vetor nulo então este conjunto é LD.
 c) Se um conjunto é LD então qualquer conjunto que contém este também é LD.
 d) Se um conjunto é LI então qualquer subconjunto deste também é LI.
E2) Observe a figura abaixo e justifique cada afirmação
 y 
 
 
 
 
 0 x 
 
 a) 0 é LD b) 
 é LI c) 
 e 
 são LD d) 
e 
 são LI e) 
, 
 e 
 são LD 
 
 f) 
, 
, 
 e 
 são LD
E3) Observe a figura abaixo e justifique cada afirmação. 
 z
 
 
 0 
 
 
 y
 
 
 x xoy
 
 a) 0 é LD b) 
 é LI c) 
 e 
 são LD d) 
e
 são LI e) 
, 
 e 
 são LD 
 f) 
, 
 e v3 são LI g) 
, 
, 
 e 
 são LD h) 
, 
, 
 , 
 e 
 são LD.
 E4) Complete a tabela abaixo:
 número de vetores LD LI
 1
 
 
 2 
 3 ou mais
 1
 
 2
 3
 4 ou mais 
 
E5) Verifique se os vetores são LI ou LD.
 a)
, 
 e 
 b)
, 
, 
 e 
 c)
, 
 e 
 d)
, 
 e 
8.3. RESPOSTAS
E1) a) LD b)LD c) LI
E5) a)LI b)LD c)LD d)LI
�
9. BASE E DIMENSÃO
9.1. INTRODUÇÃO
 Nesta secção, estamos interessados em encontrar, dentro de um espaço vetorial V, os menores conjuntos finitos de vetores, tais que qualquer vetor de V seja combinação linear de um deles, isto é, queremos determinar os conjuntos com um número mínimo de vetores que gere V. Um conjunto com estas propriedades será denominado base do espaço vetorial V e o número de vetores desses conjuntos de dimensão de V.
Exemplo: Com base na figura abaixo, determine um conjunto com o menor número de vetores que gere o
.
Solução: Queremos determinar um conjunto de vetores que gere o 
e que tenha o menor número de 
 vetores escolhidos dentre 
,
,
,
e
 .
 a) Seja A o conjunto {
,
,
,
,
}. A é LI ou LD ? ......
 
 
 
 
 Qual é o subespaço vetorial do 
, gerado por A? ................ 
 
 
 b) Construa um conjunto B, retirando um vetor do conjunto A 
 
 
 B = {..... , ..... , ..... , ..... }. O conjunto B é LI ou LD ?..............
 Qual é o subespaço vetorial do 
, gerado pelo conjunto B? ..............
 c) Construa um conjunto C, retirando um vetor do conjunto B. C = {..... , ..... , ..... }. 
 O conjunto C é LI ou LD ? .............
 Qual é o subespaço vetorial do 
, gerado pelo conjunto C? ....................
d) Construa um conjunto D, retirando um vetor do conjunto C, de modo que o gerado continue sendo 
o 
. D = {..... , ..... },
 Este conjunto é LI ou LD ? ............
 Se for retirado um vetor do conjunto D, o gerado será o 
? ............
 Portanto, D é um conjunto com o menor número de vetores que gera o
. Note que dos conjuntos
 considerados D é o único LI.
 
 Um conjunto com estas propriedades, LI e que gera um espaço vetorial V, é denominado de base 
 de V. Portanto D é uma base do 
.
 Apresente, a partir da figura acima, outra base do 
: E = {..... , ..... }
 Quantas bases podemos construir com vetores do 
?.........
 Quantos vetores tem uma base qualquer do 
?..........
9.2. BASE
 Seja B = 
um subconjunto de um espaço vetorial V. B é uma base de V, se:
 a) B é LI;
 b) B gera V.
E1) Sejam os vetores v1 = (1,0), v2 = (-2,0) e v3 = (1,2). Verifique se B é uma base do 
. 
 a) B = {
} b) B = {
,
} c) B = {
,
,
} d) B = {
,
}
E2) Sejam os vetores 
,
,
e
.Verifique se B é uma base do 
.
 a) B = {
} b) B = {
,
} c) B = {
,
,
} d) B = {
,
,
}
 e) B = {
,
,
,
}
E3) Seja o conjunto B = {(1,-3,-2),(2,-1,1)}.
 B é LI ou LD ?...........
 B é uma base do 
?
 Qual é o subespaço S do 
gerado por B ? S = ...................................................
 Logo, B é uma base de ..........
9.3. PROPRIEDADES
1. Todo conjunto LI de vetores de um espaço vetorial é uma base do subespaço por ele gerado.
E4) Seja o conjunto B do exercício E3 anterior. Se for acrescentado ao mesmo, um ou mais vetores de S , o
 o conjunto resultante será LI ou LD?
2. Se B = {
,
,...,
} é uma base de um espaço vetorial V, então todo subconjunto de V com mais de 
 “n” vetores é LD.
3. Se B = {
,
,...,
} é uma base de um espaço vetorial V, qualquer vetor de V se escreve de modo
único como combinação linear dos vetores de B, isto é, existe uma única n-upla (
), tal que 
. 
4. Todas as bases de um espaço vetorial V, têm o mesmo número de vetores.
Exemplo: Qualquer base do 
 tem ........ vetores e qualquer base do 
 tem ........ vetores.
 
9.4. DIMENSÃO DE UM ESPAÇO VETORIAL
 A dimensão de um espaço vetorial V é o número de vetores de qualquer base de V.
Exemplo: 
 e 
 
E5) Qual a dimensão do espaço vetorial S = 
?
Solução: Podemos escrever o vetor genérico de S em função de duas variáveis: v = ( x , y ,x + y ).
 
S 
( x , y , x + y.) 
�� EMBED Equation.2 
 
(1)
 Logo, qualquer vetor (x,y,z) de S é CL dos vetores v1=(1,0,1) e v2 =(0,1,1), isto é, o gerado pelos vetores 
v1 e v2 é o conjunto S . Além disso, como B = {v1,v2}é LI ,B é uma base de S. Portanto, dim S = 2 ( B tem 
dois vetores). Na igualdade (1), pode-se observar que o número de vetores é igual ao número de variáveis. 
Então, podemos dizer que:
 
A dimensão de um espaço vetorial V é igual ao número de variáveis livres do vetor genérico de V.
Se a dimensão de um espaço vetorial V é n, então qualquer conjunto LI de “n” vetores de V é uma base de V.
E6) Determine a dimensão e apresentar uma base para cada um dos subespaços:
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
 f) 
E7)Determine a dimensão de cada um dos subespaços:
 a) S1 = 
 b)S2 =
 c) S3 =
E8)Determine a dimensão e apresentar uma base para cada um dos subespaços:
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
 f) 
E9) Sejam os vetores 
�� EMBED Equation.2 , 
�� EMBED Equation.2 , 
�� EMBED Equation.2 , 
�� EMBED Equation.2 e 
 
 verifique se B é uma base de 
.
 a) B = {
} b) B = {
,
} c) B = {
,
,
} d) B = {
,
,
,
} 
 e)B = {
,
,
,
,
}
E10) Sejam os vetores 
=
, 
=
, 
=
, 
=
 verifique se B é uma base de 
.
 a) B = {
} b) B = {
,
} c) B = {
,
,
} d) B = {
,
,
,
}
E11) Um certo espaço vetorial V é gerado por cinco vetores LD. O que pode ser dito sobre a dimensão de V?
E12) Determine um vetor “u”, tal que B= {u,(1,0,2),(0,1,1)} seja uma base do 
.
E13) Mostre que o conjunto solução de cada sistema abaixo é um subespaço vetorial e ache uma base para
 cada um deles:
 a) 
 b) 
E14)Dê um exemplo de um subespaço de 
 de dimensão 3.
E15)Encontre uma base para o 
 que inclua:
 a) (-1,2,0) b) (-1,2,0) e (1,0,3)
9.5. RESPOSTAS
E1) a) Não b) Não c) Não d) Sim
E2) a) Não b) Não c) Sim d) Não e) Não
E6) a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 2 f) 2 
E7) a) n b) mxn c) n + 1
E8) a) 5 b) 4 c) 4 d) 1 e) 2 f) 2 
E9) a) Não b) Não c) Não d) Sim e) Não
E10) a) Não b) Não c) Sim d) Não
E11) dim V < 5 E12) Qualquer vetor do conjunto 
�
10. COMPONENTES DE UM VETOR E MUDANÇA DE BASE
10.1. INTRODUÇÃO
 Existe uma estreita ligação entre a noção de base e a de um sistema de coordenadas. Por exemplo, no 
, cada base representa um sistema de coordenadas, onde os vetores determinam a direção, sentido e unidade dos eixos OX e OY, respectivamente. Portanto, cada vetor do espaço pode ser escrito de forma única como combinação linear dos vetores da base.
10.2. COMPONENTES DE UM VETOR
 Seja B = {
} uma base de um espaço vetorial V.
 V,
. Os reais 
 são chamados de componentes ou coordenadas de 
 na base B e se representa por 
.
Notação matricial:
.
E1) Sejam as bases A = {
} e B = {
} do 
 e o vetor 
. 
 Determine 
 e 
. 
E2) Considere o exercício E1 e apresente, nos gráficos abaixo, as representações do vetor 
nas bases 
 A={v1,v2} e B={u1,u2}.
 y y y’ 
 
 v v
 
 
 
 
 
 
 0 
 x 0 
 x’ x 
 v = ......v1 + .....v2 
 vA= (..... , ..... ) v = ......u1 + .....u2 
 vB= (..... , ..... )
 
10.3. MUDANÇA DE BASE
Como a cada base, corresponde um sistema de coordenadas, realizar uma mudança de base, é substituir o sistema de coordenadas por outro, isto é, é substituir as componentes de um vetor do espaço em relação ao primeiro sistema pelas componentes do mesmo vetor do espaço em relação ao outro.
E2) Sejam A = {v1= (-1,2),v2= (3,-1)} e B = {u1= (1,-1),u2= (2,0)} bases do 
. Calcule
, sabendo que 
 
.
Se vA = (a1,a2) 
 
 
�� EMBED Equation.3 v =
 v = AvA (1)
Se vB = (b1,b2) 
 
�� EMBED Equation.2 v =
�� EMBED Equation.3 v = BvB (2)
De (1) e (2) , AvA. = BvB que é a relação entre vetores nas bases A e B. 
 Da relação acima, 
vA e 
vB , onde:
 -
 é denominada matriz mudança de base de A para B e é representada por 
.
 -
 é denominada matriz mudança de base de B para A e é representada por 
.
Retornando o exercício E2: 
�� EMBED Equation.2 logo
=
.vA
 vB= (-5,5)
Interpretação gráfica:
 
 
 
 
E3) Sabendo que A = {(1,2),(-3,-5)} e B = {(1,1),(1,0)} são base do 
, determine:
 a)
, sabendo que 
 b) 
, sabendo que 
E4) Mostre que as matrizes 
e 
são inversas.
E5) Se 
 e B = {(1,-2),(-2,3)}, determine a base A.
E6) Se 
 e 
, determine 
.
E7) Se A é uma base de um espaço vetorial de dimensão n, qual é a matriz mudança de 
 base de A para A.
E8) Considere as bases 
 e 
 do 
 espaço 
.
 a)Determine a 
. b) Se 
 calcular 
.
E9) Considere as bases 
 e 
a) Determinar a matriz 
.
b) Calcular 
, onde 
c) Use a matriz mudança de base para encontrar 
d) Calcular a matriz 
e) Com o resultado de “c” e de “d”, calcule 
.
E10) Os sistemas xOy e x’Oy’ da figura ao lado são definidos pelas bases y x’
 a 
S={(1,0),(0,1)} e P = {u1= 
 }, y’ 2 vS
respectivamente. Utilizando a matriz u2 u1
 4 x
mudança de base, determine: 
 b
a) vP = (a,b), sendo vS = (4,2)
b) vS, sendo vP = (4,2 )
10.4.RESPOSTAS
 E1) vA= (8,6) e vB= (3,2)
 E2) vB= (-5,5)
E3) a) vB=(-7,3) b) vA=(1,0) 
E5) A={(2,-3),(1,3)} 
E6) vA=(1,1,-4) 
E7) In
E8) a) 
 b) WB=
 
 E9) a) 
 b) pA= 5x - 8 c) pB= -11x + 6 d)
 E10) a) Vp= (2 +
 , -2
+1) b) Vs= (2 -
 , 2
+1)
�
11. PRODUTO INTERNO
11.2. INTRODUÇÃO
 Nesta secção estamos interessados em formalizar o conceito de comprimento de um vetor . Com isso, teremos um processo para medir num espaço vetorial, da mesma forma que se mede no plano e no espaço. O produto interno apresenta aplicações na Estatística e no Cálculo Diferencial e Integral. Poderíamos definir também,com o produto interno, ângulo e distância entre vetores . 
Seja V um espaço vetorial real . Um produto interno sobre V é uma função que a cada par de vetores u,v
V, 
 associa um número real, denotado por <u,v> ou por u.v, satisfazendo as propriedades :
 i) u.u
0, e u.u = 0 sse u = 0
 ii) u.v = v.u
 iii) (
u).v = u.(
v) = 
(u.v) , 
 iv) u.(v+w) = u.v + u.w
 O espaço vetorial V, neste caso, é chamado espaço vetorial euclidiano.
Exemplos :
V =
, u = (x1 ,y1)
, v = (x2,y2)
com u.v = 2x1x2 + 3y1y2.
O produto escalar usual do
.
V=P2 , p = a2x2 +a1x +a0 , q = b2x2 + b1x +b0 com p.q = a2b2 + a1b1 + a0b0.
O espaço V das funções reais continuas no intervalo [a,b] com f,g
V e f.g =
 
V=M2x2 e 
E1) Seja o exemplo c . Se p=5x²+3x-2 e q=4x²-6 , calcule p.q e q.q .
E2) Seja o exemplo d , com a=0 e b=1 . Se f(x) = x e g(x) = x² . Calcule f.g , f.f e g.g .
E3) Seja o exemplo e . Se u = 
 calcule u.v e u.u .
Norma, módulo ou comprimento de um vetor v de um espaço euclidiano é o número real não-negativo, 
 indicado por ||v|| ou por | v | e definido por | v | =
.
E4) Nos exercícios E1 , E2 e E3 , calcule | p | , | q | , | f | , | g | , | u | , e | v | .
Se | v |=1 , isto é, v.v=1, v é chamado vetor unitário. Neste caso , dizemos que v está normalizado. 
 Todo vetor não-nulo v pode ser normalizado, fazendo-se 
.
 
E5) Nos exercícios E1, E2 e E3 , normalize os vetores p , q , f , g , u e v.
11.2. RESPOSTAS
E1) p.q = 32 q.q = 52 
E2) f.g = 
 f.f =
 g.g =
 
E3) u.v =11 u.u =16
E4) | p | =
 | q | =2
 | f | =
 | g | =
 | u | = 4 | v | = 6
E5) 
 
 
 
 
 
12. ORTOGONALIDADE
12.1. VETORES ORTOGONAIS 
 Dois vetores u e v de V são ortogonais se e somente se u.v=0 .
 u
v 
u.v = 0
E1) Verifique se os vetores do espaço vetorial V são ortogonais
a) u = (-1,2) , v = (2,1) , V =
b) u = ( -1,3,-4), v = (2,-2,1), V =
c) u = (0,-2,3, -5), v = (7,-2, 2,-2), V =
d) p = x2 , q = x, V = P2 , com p.q = 
e) A=
 , V = M2x2 , com 
f) A=
 , B=
, V = M2x2 , com o produto interno de 1e.
12.2. BASE ORTOGONAL E BASE ORTONORMAL
 Uma base B de um espaço vetorial V é ortogonal se os seus vetores são dois a dois ortogonais. 
 Uma base B de um espaço vetorial é ortonormal se B é ortogonal e todos os seus vetores são unitários.
 B é ortogonal : vi.vj = 0 para i
j.
 B é ortonormal : vi.vj =0 para i
j e vi.vj = 1 para i=j.
E2)Construa uma base ortogonal do
.
E3)Construa uma base ortonormal a partir da base considerada no exercício E2.
E4)Repita os exercícios E2 e E3 para o 
.
Nos exercícios E5 a E8, considere V=
.
E5) Determine o vetor v3 de modo que B={v1=(2,-2,1), v2=(1,2,2),v3} seja uma base ortogonal.
E6) Construa uma base ortonormal a partir da base B do exercício E5.
E7) Determine os vetores v2 e v3 de modo que B={v1=(1,2,-1),v2,v3} seja uma base ortogonal.
E8) Construa uma base ortonormal a partir da base B do exercício E7.
E9) Determine uma base ortogonal para cada um dos seguintes subespaços:
 a) S={(x,y,z)
�� EMBED Equation.3 / x-y+z = 0} b) S={(x,y,z)
/ z=2x } c) S={(x,y,z,w)
/ w-y=0}
E10)Construa bases ortonormais para os subespaços do exercício E9.
E11)Encontre as componentes do vetor v=(-4,0,5) na base A={(1,1,0),(-1,1,1),(1,-1,2)}
E12) Encontre as componentes de v na base ortonormal construída a partir de A.
E13) Mostre que as componentes de um vetor v de um espaço vetorial V em relação a uma base ortogonal
 B={v1,v2,...vn} de V são ai = v.vi / vi.vi , com i = 1,...,n. Estas componentes são chamadas coeficientes
 de Fourier.
 Sugestão: Suponha que B={v1,v2,...,vi,...,vn} seja ortogonal e multiplique escalarmente os dois membros 
 da equação a1v1+a2v2+...+aivi+...+anvn = v por vi.
 
E14) Como ficam os coeficientes de Fourier se a base B for ortonormal?
E15) Resolva os exercícios E11 e E12 com os resultados dos exercícios E13 e E14.
12.3. PROCESSO DE ORTOGONALIZAÇÃO DE GRAM-SCHMIDT
 O processo de Gram-Schmidt que nos possibilita construir uma base ortogonal B={u1,u2,...,un} de um espaço vetorial V a partir de uma base qualquer A={v1,v2,...,vn} de V, consiste no seguinte:
 Considera-se u1 = v1 e ui = vi - 
, para i=2,...,n.
E16)Use o processo de Gram-Schmidt para transformar B em uma base ortogonal:
a) B={(1,-2),(0,3)} b) B={(1,1,1),(1,0,1),(1,2,-2)}
c) B={(0,1,-1),(0,1,1),(1,1,1)} d) B={(1,0,0,1),(0,1,1,0),(1,0,0,-1),(1,1,1,1)}
 e)B={(-1,1,0),(2,0,1)} f) B={(0,0,1,0),(1,0,0,2),(1,-1,0,1)} 
E17)Use as bases ortogonais obtidas no exercício E16 para construir bases ortonormais.
12.4. RESPOSTAS
E1) a) SIM b) NÃO c) NÃO d) SIM e) SIM f) NÃO
E5) 
 E6) 
E11) vA=(-2,3,1) E12) vA=
 E14) ai = v.vi com i = 1,...,n.
�
13. TRANSFORMAÇÕES LINEARES
13.1. INTRODUÇÃO
 As transformações lineares são funções onde o domínio e o contradomínio são espaços vetoriais, isto é, tanto a variável independente como a variável dependentes são vetores. Este tipo de função possui uma propriedade importante: preserva a soma e a
 multiplicação por escalar. As transformações lineares apresentam aplicações na Física, Engenharia, Ciências Sociais e em vários ramos da Matemática. 
13.2. TRANSFORMAÇÃO LINEAR
 Sejam V e W espaços vetoriais. Uma função f de V em W é chamada transformação linear (TL) , se
 i) f(u+v) = f(u) + f(v) , 
 ii) f(
u) = 
f(u), 
e 
 No caso de V = W, f é chamada operador linear sobre V.
E1) Mostre que as transformações abaixo são lineares. .
 a) f:
, dada por f(x) = 2x b) f:
, dada por f(x,y) = (x , x+y , y).
E2) Quais das seguintes transformações são lineares ?
a) f(x)= 2x + 1 b)f(x,y) = xy c)f(x,y,z) = ( 0 , 0 , z ) d)f(x,y) = | x+y | 
E3) Numa TL. f: V
W, f (u) =2u e f(v)=3v , calcule :
 a) f(u+v) b) f(3u) c) f(u-v) d) f(2u+5v)
Importante:
 a) Se f: V
W é uma TL então f(0V) = 0W.
b) Em qualquer TL, a imagem de uma combinação linear de vetores é igual a combinação linear das 
 imagens com os mesmos coeficientes, isto é, f(a1v1 + a2v2 + ... + anvn ) = a1f(v1) + a2f(v2) + ...+ anf(vn).
E4) Mostre que a transformação identidade: f: V
V , f(v) = v é linear.
E5) Seja f:
 w a projeção ortogonal do 
sobre o plano xy, indicado por w .
 a)Encontre a f(x,y,z) b)Determine f (2,-1,3)
E6) Se f:
 é linear e u=(1,2), v=(-1,3), f(u)= (2,-1,-2) e f(v)=(-2,-4,-3) calcule:
 a) f(u+v) b) f(3u) c) f(2,4) d) f(2u-3v) 
E7) Seja V o espaço vetorial das funções diferenciáveis. Mostre que f: V
W, com f(v) = v’ é linear.
E8) Seja V o espaço vetorial das funções definidas em [0,1]. Mostre que f:V
W, com f(v)=
é 
 linear
E9) Quais das seguintes transformações são lineares ?
 a) f
 b) f
 c) f(ax + b) = ax2 + bx
E10) Seja f:P2
P3 a TL tal que f(1)=1, f(t)=t2 , e f(t2)= t3+ t. Encontre f(2t2-5t+3)
13.3. MATRIZ NATURAL OU MATRIZ CANÔNICA
 Seja a matriz A=
. Se pensarmos na matriz A como um objeto que atua sobre um vetor v =
, 
por multiplicação, o resultado será o vetor u = Av =
. Logo, a matriz A define uma
transformação f:
, onde f(v) = A.v ou f(x,y) = .........................................................
Importante:
 A transformação f:
definida por f(v)= A.v é linear. 
 Toda matriz Amxn define uma TL f:
, com f(v)= A.v. Neste caso, A é chamada matriz natural 
 ou matriz canônica de f e A pode ser representada também por [f].
 Se a matriz A define a TL f, então as linhas de A são, respectivamente, os coeficientes das componentes
da imagem de f.
 
E11) Seja a matriz A=
, determine :
 a) a lei da TL definida por A. b) a imagem de v=(1,-1,1), usando a matriz A.
 c) a imagem de v=(1,-1,1), usando a lei. d) o vetor u , tal que f(u)=0
E12) Escreva a matriz natural associada a transformação linear f (x,y)=(x+2y,x-y,3x-5y)
E13) Escreva a matriz natural associada a transformação linear :
 a) f(x,y,z)=(x+y-z,0) b) f(x)=(2x,0,-x) c) f(x,y)=x+y d) f(x)=3x
E14)Um operador linear no 
 é definida pela matriz 
. Determine u e v , tal que :
 a) f(u)=u b) f(v)=-v
E15)Um operador linear no 
é definido pela matriz 
. Determine v e w tal que:
 a) f(v) = 0 b) f(w) = (2,-1,-3)
E16)Um operador linear é definido pela matriz A=
 . Determine v
0 e u
0 tal que:
 a) Av = 5v b) Au = -2u
13.4. T L DEFINIDA PELAS IMAGENS DOS VETORES DE UMA BASE 
 Se B = {v1,v2, ... ,vn} é uma base do espaço vetorial V então 
, v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn(1), isto é, 
 podemos encontrar ai com i = 1,2,...,n. 
 Se f: V
W é uma TL, f(v) = a1f(v1) + a2f(v2) + ...+ anf(vn), isto é, f(v) é CL das imagens com os mesmos
coeficientes ai , calculados em (1). Portanto, é possível calcular f(v), quando são conhecidas as imagens 
dos vetores de uma base do domínio de f.
 Uma TL f: V
W está perfeitamente definida quando são conhecidas as imagens dos vetores de uma 
base do domínio de f. 
E17) Seja f:
a TL definida por f(1,-1) = (3,2,1) e f(0,1) = (-2,4,-3). Determine:
 a) f(5,4) b) f(x,y) c) f(5,4) pela lei
E18) Seja f: 
a TL definida por f(1,0,0) = (2,3), f (0,1,0) = (-4,1) e f(0,0,1) = (-2,-1) . Encontre 
 f(x,y,z) e [f].
E19) Seja f a TL definida por f(1,0) = (3,-2,1) e f(0,1) = (4,0,2). Encontre f(x,y) e [f].
E20) Seja f a TL definida por f(1,1,1) = (1,0), f (1,1,0) = (2,-1) e f(1,0,0) = (4,3). Encontre f(x,y,z) e [f].
13.5. COMPOSTA DE DUAS TL
Sejam f1: V
W e f2: W
U transformações lineares. A composta de f2 com f1 é a TL f2of1: V
U
definida por (f2of1)(v) = f2(f1(v)). 
 W
 w=f1(v)= [f1].v
 f1 f2
 [f1] [f2]
 V U
 f2of1
 v u= f2(w)= [f2].[f1].v
 [f2of1] = [f2]. [f1]
 Importante:
 A matriz que representa uma seqüência de TL é o produto das matrizes das TL na ordem inversa.
E21) Sejam os operadores lineares definidos por f1(x,y) = (3x+y , y-x) e f2(x,y) = (2x-y , 3x). Determine:
 a) as matrizes das compostas f1of2 e f2of1.
 b) as leis das compostas f1of2 e f2of1.
E22) Sejam as TL dadas por f1(x,y) = (2x +3y , x+y , 2x) e f2(x,y,z) = ( x-y , y-z). Determine:
 a) as matrizes das compostas f1of2 e f2of1.
 b) as leis das compostas f1of2 e f2of1.
�
13.6. RESPOSTAS
E2) a) Não b) Não c) Sim d) Não 
E3) a) 2u + 3v b) 6u c) 2u – 3v d) 4u + 15v
E5) a) (x,y,0) b) (2,-1,0)
E6) a) (0,-5,-5) b) (6,-3,-6) c) (4,-2,-4) d) (10,10,5)
E9) a) Não b) Não c) Sim
E10) f(2t2- 5t + 3) = 2t3+ 2t – 5t2+ 3
E11) a) f(x,y,z) = (x + 2y – 3z, 4x + 5y + 3z) b) (-4,2) c) (-4,2) d) (-7z,5z,z) , z
 
E12) A =
 
E13) a) A =
 b) A =
 c) A =
 d) A =[3]
E14) a) (y , y) , y
 b) (x , 0) , x
E15) a) (3z , z , z) , z
 b) (3z – 3 , z – 1 , z) , z
 
E16) a) (x , 3x) x
 b) NE
E17) a) (-3 , 46 , -22) b) f(x,y) = (x – 2y , 6x + 4y , -2x – 3y) c) (-3 , 46 , -22)
E18) f(x,y,z) = (2x –4y –2z , 3x + y – z ) [ f ] =
E19) f(x,y) = (3x + 4y , -2x , x + 2y) [ f ] =
E20) f(x,y,z) = (4x – 2y – z , 3x - 4y + z ) [ f ] =
E21) a) 
 e 
 b) b) f(x,y) = (9x - 3y , x + y ) e f(x,y) = (7x + y , 9x + 3y)
E22) a)
 e 
 b) f(x,y,z) = (2x + y - 3z , x – z , 2x – 2y ) e f(x,y) = (x + 2y , -x + y)
�
14. TRANSFORMAÇÕES LINEARES PLANAS
14.1. INTRODUÇÃO
 Nesta secção, apresentaremos alguns operadores lineares 
 utilizados na computação gráfica bidimensional. A computação gráfica tem importante papel nas áreas de videogames e de efeitos especiais para a indústria cinematográfica. 
E1) Seja o operador linear f definido por f(1,0) = (-2,5) e f(0,1) = (3,4). Encontre f(x,y) e [f].
14.2. REFLEXÕES
1. Reflexão em relação ao eixo das abscissas.
 y 
 e2 
 
 
 f(e1)=e1o x
 
 f(e2)=-e2 
 
 f(e1) = (........,........) f(e2) = (........,........) 
 [f] =
 , f(x,y) = ( .......... , ...........) 
2. Reflexão em relação ao eixo das ordenadas.
 y 
 
 f(e2)=e2 
 
 
 f(e1)=-e1 o e1 x
 
 f(e1) = (........,........) f(e2) = (........,........) 
 [f] =
 , f(x,y) = ( ........... , ...........) 
 
E2) Esboce a imagem do ponto P(-2,3), através de:
 a) reflexão em torno do eixo x; 
 b) reflexão em torno do eixo y;
E3) Esboçar a imagem do vetor v = (2,1), através de:
 a) reflexão em torno do eixo x; 
 b) reflexão em torno do eixo y;
3. Reflexão em relação à origem
 y 
 
 e2 
 
 
 f(e1)=-e1 o e1 x
 f(e2)=-e2
f(e1) = (........,........) f(e2) = (........,........) 
 [f] =
 , f(x,y) = ( ........... , ...........)
4. Reflexão em relação à reta y = x.
 
 y
 
 
 f(e1)=e2 
 
 
 o f(e2)=e1 x
 f(e1) = (........,........) f(e2) = (........,........) 
 [f] =
 , f(x,y) = ( ........... , ...........)
5. Reflexão em relação à reta y = -x.
 
 y 
 e2 
 
 
 f(e2)=-e1 o e1 x
 f(e1)=-e2 
 
 f(e1) = (........,........) f(e2) = (........,........) 
 [f] =
 , f(x,y) = ( ........... , ...........) 
E4) Esboce a imagem do vetor v = (2,1), através de:
a) reflexão em torno da origem;
b) reflexão em torno da reta y=x;
c) reflexão em torno da reta y=-x.
E5) Determine a matriz da TL plana que representa uma reflexão em relação ao eixo x, seguida de uma
reflexão em relação à reta y=-x.
E6) Esboçar a imagem da reta y=2x, através de:
 
 a) relexão em torno do eixo das abscissas b) reflexão em torno da origem;
 c) reflexão em torno da reta y=x; d) reflexão em torno da reta y=-x.
14.3. DILATAÇÕES E CONTRAÇÕES
1. Dilatação e Contração de fator 
Contração:
 
 y 
 e2 
 
 f(e2)
 
 o f(e1) e1 x
 
 f(e1) =
e1 f(e2) =
e2 
 Dilatação: 
>1
 
 y 
 f(e2) 
 
 e2 
 
 o e1 f(e1) x
 
 f(e1) =
e1 f(e2) =
e2 
 f(e1) = (........,........) f(e2) = (........,........) 
 [f] =
 , f(x,y) = ( ........... , ............) 
 
 
2. Dilatação e Contração na direção do eixo das abscissas.
 
 y y 
 f(e2)=e2 f(e2)=e2o e1 f(e1) x o f(e1) e1 x 
 
 f(e1) =
e1 
 
 
 
 
 
 f(e1) = (........,........) f(e2) = (........,........) 
 [f] =
 , f(x,y) = ( ........... , ...........)
3. Dilatação e Contração na direção do eixo das ordenadas.
 y y 
 
 f(e2) 
 
 e2 e2
 
 f(e2) 
 o f(e1)=e1 x o f(e1)=e1 x f(e2) =
e2
 
 
 
 f(e1) = (........,........) f(e2) = (........,........) 
 [f] =
 , f(x,y) = ( ........... , ............)
 E7) Esboce a imagem do vetor v = (2,1), através de:
contração de fator 1/2 na direção x; b) dilatação de fator 2 na direção x;
 c) contração de fator 1/3 na direção y; d) dilatação de fator 3 na direção y.
 
E8) Esboçar a imagem do retângulo de vértices A(0,0) , B(2,0) , C(2,1) e D(0,1) , através de:
a) contração de fator 1/3 na direção x; b) dilatação de fator 2 na direção x;
c) contração de fator 1/2 na direção y; d) dilatação de fator 3 na direção y.
E9) Determine a matriz da TL plana que representa uma reflexão em relação ao eixo y, seguida de uma
 reflexão em relação à reta y=x e, finalmente uma dilatação de fator 3 na direção x.
14.4. CISALHAMENTOS 
1. Cisalhamento na direção do eixo das abscissas 
 
 y 
 e2 f(e2) 
 
 
 
 o 
 f(e1)=e1 x
 
 f(e1) = (........,........) f(e2) = (........,........) 
 [f] =
 , f(x,y) = ( ........... , ...........) 
2. Cisalhamento na direção do eixo das ordenadas.
 
 y 
 
 f(e2)=e2
 
 f(e1) 
 o e1 x
 f(e1) = (........,........) f(e2) = (........,........) 
 [f] =
 , f(x,y) = ( ........... , ............)
E10) Esboce a imagem do retângulo de vértices A(0,0) , B(2,0) , C(2,1) e D(0,1) , através de:
cisalhamento por um fator 3 na direção x;
cisalhamento por um fator 1/2 na direção x;
cisalhamento por um fator 2 na direção y;
cisalhamento por um fator 1/3 na direção y.
E11) Seja o triângulo de vértices A(0,0), B(2,0) e C(0,2). Esboçar a imagem do triângulo através de uma
 contração de fator 1/2 na direção y, seguida de uma reflexão em relação ao eixo x e, finalmente
 um cisalhamento de fator 1/2 na direção x.
E12) Achar a matriz de cisalhamento na direção x que transforma o triângulo de vértices (0,0),(2,1) e (3,0)
 num triângulo retângulo cujo ângulo reto está na origem. 
E13) Determine a matriz da TL plana que representa uma reflexão em relação ao eixo x, seguida de uma
dilatação de fator 2 na direção y e, finalmente um cisalhamento de fator 3 na direção y.
14.5. ROTAÇÕES
1. Rotação no sentido anti-horário.
 y 
 e2 
 f(e2) f(e1)
 
 
 
 o e1 x
 f(e1) = (..........,..........) f(e2) = (..........,..........) 
 
2. Se 
< 0(sentido horário) considera-se o ângulo -
.
 y 
 e2 
 f(e2)
 
 
 o 
 e1 x
 
 f(e1) 
 f(e1) = (............,.............) f(e2) = (.............,..............) 
 
E14) Ache a matriz que gira um ponto do plano em torno da origem um ângulo de:
a) 450 b) -600
 E15)Esboce a imagem do vetor:
 a)v=(2,4) através de uma rotação de 900;
 b)v=(3,
) através de uma rotação de –300.
E16) Determine, em cada item, a matriz que representa a seqüência de operações indicada:
 a)efetuar uma rotação de 300, depois