Eletromag_UFU_teoria

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Universidade Federal de Uberlândia - UFU 
Faculdade de Engenharia Elétrica - FEELT 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila de Conceitos TeóricosApostila de Conceitos TeóricosApostila de Conceitos TeóricosApostila de Conceitos Teóricos 
e Exercícios Propostose Exercícios Propostose Exercícios Propostose Exercícios Propostos 
 
 
 
 
Curso de Graduação 
 
 
 
 
 
Prof. Dr. Geraldo Caixeta GuimarãesProf. Dr. Geraldo Caixeta GuimarãesProf. Dr. Geraldo Caixeta GuimarãesProf. Dr. Geraldo Caixeta Guimarães 
 
 
 
Versão 2012 
ANOTAÇÕESANOTAÇÕESANOTAÇÕESANOTAÇÕES 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
SSUUMMÁÁRRIIOO i 
 
SUMÁRIO 
 
INTRODUÇÃO GERAL iii 
 
FORMULÁRIO GERAL v 
 
Capítulo I – ANÁLISE VETORIAL 01 
 
1.1 – CONCEITOS GERAIS 01 
1.2 – O PRODUTO ESCALAR (OU PRODUTO INTERNO) 01 
1.3 – O PRODUTO VETORIAL (OU PRODUTO EXTERNO) 02 
1.4 – SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS, CILÍNDRICAS E ESFÉRICAS 03 
1.4.1 – Representação de um ponto nos 3 sistemas de coordenadas 03 
1.4.2 – Transformações entre os 3 sistemas de coordenadas 04 
1.4.3 – Vetores unitários nos 3 sistemas de coordenadas 04 
1.4.4 – Produtos escalares entre vetores unitários nos 3 sistemas de coordenadas 04 
1.4.5 – Elementos diferenciais de linha, área e volume nos 3 sistemas de coordenadas 05 
1.5 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 06 
 
Capítulo II – LEI DE COULOMB E INTENSIDADE DE CAMPO ELÉTRICO 09 
 
2.1 – LEI DE COULOMB 09 
2.2 – INTENSIDADE DE CAMPO ELÉTRICO 09 
2.3 – CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO VOLUMÉTRICA CONTÍNUA DE CARGAS 10 
2.4 – CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO LINEAR CONTÍNUA DE CARGAS 10 
2.5 – CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO SUPERFICIAL CONTÍNUA DE CARGAS 11 
2.6 – LINHA DE FORÇA E ESBOÇO DE CAMPO 12 
2.7 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 13 
 
Capítulo III – DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO, LEI DE GAUSS E DIVERGÊNCIA 15 
 
3.1 – DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO ( D ) 15 
3.2 – A LEI DE GAUSS 15 
3.3 – APLICAÇÃO DA LEI DE GAUSS – GAUSSIANA 15 
3.4 – DIVERGÊNCIA 17 
3.5 – TEOREMA DA DIVERGÊNCIA 18 
3.6 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 19 
 
Capítulo IV – ENERGIA E POTENCIAL 21 
 
4.1 – ENERGIA (TRABALHO) PARA MOVER UMA CARGA PONTUAL EM UM CAMPO ELÉTRICO 21 
4.2 – DEFINIÇÃO DE DIFERENÇA DE POTENCIAL (VAB) E POTENCIAL (V) 21 
4.3 – O POTENCIAL DE UMA CARGA PONTUAL 21 
4.4 – O POTENCIAL DE UM SISTEMA DE CARGAS DISTRIBUÍDAS 22 
4.4.1 – VAB de uma reta ∞ com ρL constante 22 
4.4.2 – VAB de um plano ∞ com ρs constante 22 
4.5 – GRADIENTE DO POTENCIAL ( V∇ ) 23 
4.6 – O DIPOLO ELÉTRICO 24 
4.7 – ENERGIA NO CAMPO ELETROSTÁTICO 25 
4.7.1 – Energia (trabalho) para uma distribuição discreta de cargas 25 
4.7.2 – Energia (trabalho) para uma distribuição contínua de carga 25 
4.8 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 26 
 
Capítulo V – CONDUTORES, DIELÉTRICOS E CAPACITÂNCIA 29 
 
5.1 – CORRENTE (I) E DENSIDADE DE CORRENTE ( J ) 29 
5.2 – CONTINUIDADE DA CORRENTE 30 
5.3 – CONDUTORES METÁLICOS – RESISTÊNCIA (R) 30 
5.4 – O MÉTODO DAS IMAGENS 31 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
SSUUMMÁÁRRIIOO ii 
5.5 – A NATUREZA DOS MATERIAIS DIELÉTRICOS – POLARIZAÇÃO (P) 32 
5.6 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA MATERIAIS DIELÉTRICOS PERFEITOS 33 
5.7 – CAPACITÂNCIA 34 
5.8 – EXEMPLOS DE CÁLCULO DE CAPACITÂNCIA 34 
5.9 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 39 
 
Capítulo VI – EQUAÇÕES DE POISSON E DE LAPLACE 45 
 
6.1 – IMPORTÂNCIA DAS EQUAÇÕES DE POISSON E LAPLACE 45 
6.1.1 – Equação de Poisson 45 
6.1.2 – Equação de Laplace 45 
6.2 – TEOREMA DA UNICIDADE 46 
6.3 – EXEMPLOS DE SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE LAPLACE 46 
6.4 – EXEMPLO DE SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE POISSON 50 
6.5 – SOLUÇÃO PRODUTO DA EQUAÇÃO DE LAPLACE 51 
6.6 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 54 
 
Capítulo VII – CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO 59 
 
7.1 – LEI DE BIOT-SAVART 59 
7.2 – LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE (CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO) 59 
7.3 – ROTACIONAL 62 
7.4 – TEOREMA DE STOKES 64 
7.5 – FLUXO MAGNÉTICO (Φ) E DENSIDADE DE FLUXO MAGNÉTICO ( B
�
) 64 
7.6 – POTENCIAIS ESCALAR E VETOR MAGNÉTICOS 65 
7.7 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 67 
 
Capítulo VIII – FORÇAS E CIRCUITOS MAGNÉTICOS, MATERIAIS E 
INDUTÂNCIA 71 
 
8.1 – FORÇA SOBRE UMA CARGA EM MOVIMENTO 71 
8.2 – FORÇA SOBRE UM ELEMENTO DIFERENCIAL DE CORRENTE 71 
8.3 – FORÇA ENTRE ELEMENTOS DIFERENCIAIS DE CORRENTE 72 
8.4 – TORQUE EM UMA ESPIRA INFINITESIMAL PLANA 72 
8.5 – A NATUREZA DOS MATERIAIS MAGNÉTICOS 73 
8.6 – MAGNETIZAÇÃO E PERMEABILIDADE MAGNÉTICA 73 
8.7 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA O CAMPO MAGNÉTICO 74 
8.8 – CIRCUITO MAGNÉTICO 75 
8.9 – ENERGIA DE UM CAMPO MAGNETOSTÁTICO 77 
8.10 – AUTO-INDUTÂNCIA E INDUTÂNCIA MÚTUA 77 
8.11 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 80 
 
Capítulo IX – CAMPOS VARIÁVEIS NO TEMPO E AS EQUAÇÕES DE MAXWELL 85 
 
9.1 – A LEI DE FARADAY 85 
9.1.1 – Fem devido a um campo que varia dentro de um caminho fechado estacionário 86 
9.1.2 – Fem devido a um campo estacionário e um caminho móvel 87 
9.1.3 – Fem total devido a um campo variável e um caminho móvel 88 
9.2 – CORRENTE DE DESLOCAMENTO 88 
9.3 – EQUAÇÕES DE MAXWELL EM FORMA PONTUAL OU DIFERENCIAL 90 
9.4 – EQUAÇÕES DE MAXWELL EM FORMA INTEGRAL 90 
9.5 – EXEMPLOS DE CÁLCULO DA INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA 91 
9.6 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 94 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 99 
 
Anexo I – SOLUÇÃO DE EQUAÇÃO DIFERENCIAL POR SÉRIE INFINITA DE 
POTÊNCIAS 100 
Anexo II – CURVAS B-H DE VÁRIOS MATERIAIS FERROMAGNÉTICOS 102 
Anexo III – ASPECTOS GERAIS SOBRE ONDAS ELETROMAGNÉTICAS 105 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
IINNTTRROODDUUÇÇÃÃOO GGEERRAALL iii 
 
 
INTRODUÇÃO GERAL 
 
Importância do Curso de Eletromagnetismo 
Este curso deve ser encarado com bastante seriedade devido sua indiscutível importância 
no currículo de Engenharia. Para facilitar a aprendizagem, ele é iniciado apresentando os 
fundamentos matemáticos necessários para então considerar os aspectos físicos da disciplina. A 
teoria básica dos campos elétricos, da densidade de fluxo elétrico, a Lei de Gauss, os potenciais e 
correntes elétricas, todos da Eletrostática e Eletrodinâmica, são apresentados em seqüência até 
se chegar nas formulações da Equações de Poisson e Laplace. Já dentro do Magnetismo, 
considera-se primeiramente a teoria básica dos campos magnéticos, abordando importantes 
princípios como a Lei de Biot-Savart e a Lei Circuital de Ampère. Vários conceitos do 
Eletromagnetismo são então introduzidos, culminando com o estudo dos campos baseados nas 
equações de Maxwell, o qual justifica as aproximações que conduzem a teoria de circuitos 
elétricos. Todos os conceitos aqui apresentados devem formar a base para a construção de novos 
alicerces de conhecimento, como aqueles relacionados às disciplinas que tratam de máquinas 
elétricas, aterramentos elétricos, linhas de transmissão, propagação de ondas, antenas, etc. 
 
Metodologia Adotada 
• O curso foi esquematizado da forma mais simples possível para ser ministrado através de 
aulas expositivas, com diálogos, discussões, demonstrações, incluindo soluções de exercícios, 
e, sempre que possível, com interpretação e aplicação prática de cada resultado. 
• O conteúdo programático do curso é disposto de tal maneira que os assuntos mais difíceis são 
abordados no seu final, sendo os capítulos colocados numa forma seqüencial e lógica para 
auxiliar a aprendizagem. 
• Além dos livros indicados abaixo foi preparada esta apostila, intitulada Conceitos Teóricos e 
Exercícios Propostos de Eletromagnetismo, a qual tem o objetivo de servir de roteiro de 
aulas teóricas e fonte suplementar de exercícios, reduzindo o tempo utilizado na exposição de 
assuntos e transcrição de enunciados de exercícios no quadro, permitindoassim que mais 
tempo seja dedicado a explicação e aplicação prática de conceitos da disciplina. 
• Outra apostila de Exercícios Resolvidos de Eletromagnetismo também foi preparada, 
contendo numerosos exemplos numéricos e literais de cada capítulo do programa, visando 
com isto facilitar o entendimento e a auto-aprendizagem do aluno. 
• Vários recursos didáticos poderão ser empregados no curso como: quadro e giz, 
equipamentos audio-visuais, microcomputador e datashow. 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
IINNTTRROODDUUÇÇÃÃOO GGEERRAALL iv 
 
• São também selecionados estudantes monitores com objetivo de: 
� Prestar atendimento aos alunos, auxiliando-os na solução de listas de exercícios, 
� Corrigir as listas de exercícios que forem entregues pelos alunos, 
� Auxiliar o professor na correção de testes aplicados durante o curso, 
� Auxiliar o professor na supervisão da aplicação de provas e/ou testes. 
 
Formas de Avaliação 
• São realizadas 3 provas do tipo sem consulta, com questões abertas ou dissertativas, isto é, 
não são incluídas questões do tipo teste de múltipla escolha. 
• São também aplicados 3 testes rápidos (30 minutos no máximo), distribuídos ao longo do 
período, podendo estes ocorrem de surpresa, a critério do professor. 
• É preparado um total de 9 listas de exercícios, relativas aos 9 capítulos, com 4 exercícios 
cada uma, indicados previamente para cada aluno de acordo com a matéria lecionada nestes 
capítulos, tomando como base o livro texto (referência [1]) e o livro de exercícios adotado 
(referência [2]). Os exercícios são definidos pelo professor de tal maneira que nenhum aluno 
tenha os mesmos quatro exercícios de seu colega. Cada lista deverá ser entregue até no 
máximo uma semana após o encerramento das aulas correspondentes ao capítulo da lista. 
• Para ser aprovado na disciplina, cada aluno deverá cumprir os seguintes requisitos: 
� Freqüência mínima de 75% nas aulas ministradas, a qual é verificada através de 
chamada oral e/ou assinatura de lista de presença em sala de aula; 
� Soma total das notas obtidas nas diversas avaliações igual ou superior a 60 pontos de 
um total de 100 pontos, os quais são distribuídos segundo o quadro abaixo. 
 
TIPO DE AVALIAÇÃO VALOR DATA 
Primeira Prova (Capítulos I a IV) 20 
Segunda Prova (Capítulos V e VI) 20 
Terceira Prova (Capítulos VII a IX) 30 
3 Testes Rápidos (4 pontos cada um) 12 
9 Listas de Exercícios (2 pontos cada uma) 18 
Total = 100 
 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
FORMULÁRIO GERAL v 
 
FORMULÁRIO GERAL 
 
1. DIVERGÊNCIA 
 
 
� CARTESIANAS: 
z
zD
y
yD
x
xD
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=•∇ D
��
 
� CILÍNDRICAS: 
z
zDD1)D(1
∂
∂
+
∂φ
φ∂
ρ
+
∂ρ
ρρ∂
ρ
=•∇ D
��
 
� ESFÉRICAS: 
∂φ
φ∂
θ
+
∂θ
θθ∂
θ
+
∂
∂
=•∇
D
senr
1)D(sen
senr
1
r
)rDr(
r
1 2
2D
��
 
 
 
2. GRADIENTE 
 
 
� CARTESIANAS: zyx
z
V
y
V
x
VV aaa ���
�
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇ 
� CILÍNDRICAS: z
z
VV1VV aaa ���
�
∂
∂
+
∂φ
∂
ρ
+
∂ρ
∂
=∇ φρ 
� ESFÉRICAS: φθ ∂φ
∂
θ
+
∂θ
∂
+
∂
∂
=∇ aaa ���
� V
senr
1V
r
1
r
VV r 
 
 
3. LAPLACIANO 
 
 
� CARTESIANAS: 
�
∇ = + +2
2
2
2
2
2
2V
V
x
V
y
V
z
∂
∂
∂
∂
∂
∂
 
� CILÍNDRICAS: 
�
∇ =





 + +2 2
2
2
2
2
1 1
V
V V V
zρ
∂
∂ρ
ρ∂
∂ρ ρ
∂
∂φ
∂
∂
 
� ESFÉRICAS: 
�
∇ = 




 +





 +2 2
2
2 2 2
2
2
1 1 1
V
r r
r
V
r r
V
r
V∂
∂
∂
∂ θ
∂
∂θ θ
∂
∂θ θ
∂
∂φsen sen sen 
 
 
4. ROTACIONAL 
 
 
� CARTESIANAS: z
xy
y
zx
x
yz
 
y
H
x
H
 
x
H
z
H
 
z
H
y
H
aaaH ���
��








∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
+







∂
∂
−
∂
∂
=×∇ 
� CILÍNDRICAS: 
( )
z
zz
 
HH1
 
H
z
H
 
z
HH1
aaaH ���
��








∂φ
∂
−
∂ρ
ρ∂
ρ
+






∂ρ
∂
−
∂
∂
+






∂
∂
−
∂φ
∂
ρ
=×∇ ρφφ
ρ
ρ
φ
 
� ESFÉRICAS: ( ) ( ) ( )
φθθ
φθφ 





∂θ
∂
−
∂
∂
+







∂
∂
−
∂φ
∂
θ
+







∂φ
∂
−
∂θ
θ∂
θ
=×∇ aaaH ���
��
 
H
r
rH
r
1
 
r
rHH
senr
1
r
1
 
HsenH
senr
1 rr
r 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
FORMULÁRIO GERAL vi 
5. EQUAÇÕES DE MAXWELL 
 
Forma Pontual Forma Integral 
t∂
∂
−=×∇ BE
�
��
 ∫ ∫ •∂
∂
−=• SBLE d
t
d S
�
�
 
dt
JJDJH
��
�
���
+=
∂
∂
+=×∇ ∫ ∫ •∂
∂
+=• SDLH d
t
Id S
�
�
 
vρ=•∇ D
��
 
dvd
vol vS ∫∫ ρ=• SD
�
 
0=•∇ B
��
 
0dS =•∫ SB
�
 
 
 
6. CONDIÇÕES DE CONTORNO ENTRE 2 MEIOS 
 
Componentes tangenciais: Et1 = Et2 Ht1 – Ht2 = k 
Componentes normais: Dn1 – Dn2 = ρS Bn1 = Bn2 
 
 
7. PERMISSIVIDADE DO ESPAÇO LIVRE 
 
Permissividade elétrica do vácuo: 
pi
≅×=ε
−
−
36
1010854,8
9
12
o [F/m] 
Permeabilidade magnética do vácuo: µ pio = × −4 10 7 [H/m] 
 
 
8. FÓRMULAS IMPORTANTES DO ELETROMAGNETISMO 
 
Lei de Gauss: internaQ=•∫S dSD
�
 
 
Teorema da Divergência: ( )dv d
volS ∫∫ •∇=• DSD
���
 
Equação de Poisson: 
�
∇ = −2V vρ
ε
 
 
Equação de Laplace: 
�
∇ =2 0V 
 
Lei de Biot-Savart: ∫
pi
×
= 2R4
dI RaLH
�
�
 onde dvdSdI JKL
���
== 
 
Lei Circuital de Ampère: 
enlacadaId∫ =• LH
�
 
Teorema de Stokes: ( )∫ ∫ •×∇=• SHLH dd S ��� 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
FORMULÁRIO GERAL vii 
9. OUTRAS FÓRMULAS DO ELETROMAGNETISMO 
 
 
PED
���
+ε= o 
EP
��
oeεχ= 
ED
��
ε= 
ε ε ε= r o 
∫ •= volE dv2
1W ED
��
 
t
N
∂
Φ∂
−=fem 
∫ •= LE d
�fem 
( ) SBLBv d
t
d S •∂
∂
−•×= ∫∫
�
�
�fem 
∫ •=Φ S dSB
�
 
I
NL Φ= 
2= I
W2L H 
1
122
12 I
NM Φ= 
( )MHB ��� +µ= o 
HM
��
mχ= 
HB
��
µ= 
µ µ µ= r o 
∫ •= volH dv2
1W HB
��
 
EF
�� QE = 
( )BvF ��� ×= QM 
( )BvEFFF ������ ×+=+= QME 
BLF
�
×= dId 
BSFrT
�
�
×=×= dIdd 
Sm d Id = 
BmT
�
×= dd 
AB
���
×∇= 
( )0=∇−= JH ��� mV 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
FORMULÁRIO GERAL viii 
10. FÓRMULAS DE DERIVADAS # 
 
 
#
 u e v são funções de x; c, a e n são constantes arbitrárias. 
1. [ ] 0a
dx
d
= 
2. [ ] cxc
dx
d
= 
3. [ ] 1nn xncxc
dx
d
−
= 
4. [ ]
x2
1
x
dx
d
= 
5. [ ]
dx
du
un
1
u
dx
d
n 1n
n
−
= 
6. [ ]
dx
dv
dx
du
vu
dx
d
+=+ 
7. [ ]
dx
du
cuc
dx
d
= 
8. [ ]
dx
du
v
dx
dv
uvu
dx
d
+= 
9. 2v
u
dx
dv
v
dx
du
v
u
dx
d −
=



 
10. [ ]
dx
du
unu
dx
d 1nn −
= 
11. [ ]
dx
du
aaa
dx
d uu ln= 
12. [ ]
dx
dv
uu
dx
du
uvu
dx
d v1vv ln+= − 
13. ( )[ ]
dx
du
du
df
uf
dx
d
= 
14. [ ] ( )1a,0a
dx
du
u
elog
ulog
dx
d a
a ≠≠= 
15. [ ]
dx
du
u
1
u
dx
d
=ln 
16. [ ]
dx
du
ucosusen
dx
d
= 
17. [ ]
dx
du
usenucos
dx
d
−= 
18. [ ]
dx
du
usectgu
dx
d 2
= 
19. []
dx
du
ucosecucotg
dx
d 2
−= 
20. [ ]
dx
du
tguusecusec
dx
d
= 
21. [ ]
dx
du
ucotgucosecucosec
dx
d
−= 
22. [ ]
dx
du
u1
1
uarcsen
dx
d
2
−
= 
23. [ ]
dx
du
u1
1
uarccos
dx
d
2
−
−= 
24. [ ]
dx
du
u1
1
uarctg
dx
d
2+
= 
25. [ ]
dx
du
u1
1
uarccotg
dx
d
2+
−= 
26. [ ]
dx
du
1uu
1
uarcsec
dx
d
2
−
= 
27. [ ]
dx
du
1uu
1
uarccosec
dx
d
2
−
−= 
28. 
dx
du
du
dy
dx
dy
= (Regra de Chain) 
29. dz
z
Fdy
y
Fdx
x
FdF
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= 
(Diferencial total de )z,y,x(F ) 
30. 
yF
xF
dx
dy0)y,x(F
∂∂
∂∂
−=⇒= 
 
 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
FORMULÁRIO GERAL ix 
11. FÓRMULAS DE INTEGRAIS # 
 
 
#
 u e v são funções de x; C, a e n são constantes arbitrárias. 
1. ( )[ ] )x(fdxxf
dx
d
=∫ 
2. ( ) Cdxvdxudxvu ++=+ ∫ ∫∫ 
3. Cdxuadxua += ∫∫ 
4. ( )1nC
1n
uduu
1n
n
−≠+
+
=
+
∫ 
5. ∫ += Cu
u
du ln 
6. ∫ += Cedue
uu
 
7. ( )1a,0aC
a
adua
u
u ≠>+=∫ ln
 
8. ∫ +−= Cucosduusen 
9. ∫ += Cusenduucos 
10. CusecCucosduutg +=+−=∫ lnln 
11. CucosecCusenduucotg +−=+=∫ lnln 
12. ∫ ++= Cutgusecduusec ln 
C
42
u
tg +




 pi
+= ln 
13. ∫ ++−= Cucotgucosecduucosec ln 
= C
2
u
tg +




ln 
14. ∫ +−= C4
u2sen
2
uduusen 2 
15. ∫ ++= C4
u2sen
2
uduucos2 
16. ∫ += Cutgduusec
2
 
17. ∫ +−= Cucotgduucosec
2
 
18. ∫ +−= Cuutgduutg
2
 
19. ∫ +−−= Cuucotgduucotg
2
 
20. ∫ += Cusecduutgusec 
21. ∫ +−= Cucosecduucotgucosec 
22. C
a
u
arctg
a
1
au
du
22 +=+
∫ 
23. C
au
au
a2
1
au
du
22 ++
−
=
−
∫ ln 
24. C
ua
ua
a2
1
ua
du
22 ++
+
=
−
∫ ln 
25. C
a
u
arcsen
ua
du
22
+=
−
∫ 
26. C
a
auu
au
du 22
22
+
++
=∫
+
ln 
27. Cauu
au
du 22
22
+−+=
−
∫ ln 
28. C
a
u
arcsec
a
1
auu
du
22
+=
−
∫ 
29. C
u
aua
a
1
auu
du 22
22
+
++
−=
+
∫ ln 
30. C
u
uaa
a
1
uau
du 22
22
+
−+
−=
−
∫ ln 
31. ( ) Cau
u
a
1
au
du
2222/322
+
+
=
+
∫ 
32. 2222 ua
2
uduua −=−∫ 
C
a
u
arcsen
2
a 2
++ 
33. 2222 au
2
uduau ±=±∫ 
Cauu 22 +±+± ln 
34. ∫ ∫−= duvvudvu (Integração por partes) 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
FORMULÁRIO GERAL x 
12. IDENTIDADES VETORIAIS # 
 
1. ( ) ( ) ( )A B C B C A C A B× • = × • = × •� � � � � �� � � 
2. ( ) ( ) ( )A B C A C B A B C× × = • − •� � � � � �� � � 
3. ( )A B A B∇ • + = ∇ • + ∇ •� �� � � � � 
4. ( )V W V W∇ + = ∇ + ∇� � � 
5. ( )A B A B∇ × + = ∇ × + ∇ ×� �� � � � � 
6. ( ) ( ) ( )VA A V V A∇ • = ∇ • + ∇ •� � �� � � 
7. ( )VW V W W V∇ = ∇ + ∇� � � 
8. ( )VA V A V A∇ × = ∇ × + ∇ ×� � �� � � 
9. ( )A B B A A B∇ • × = • ∇ × − • ∇ ×� � �� � � � � � 
10. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A B A B B A A B B A∇ • = • ∇ + • ∇ + × ∇ × + × ∇ ×� � � � �� � � � � � � � � � 
11. ( ) ( ) ( )A B A B B A B A A B∇ × × = ∇ • − ∇ • + • ∇ − • ∇� � � � �� � � � � � � � � � 
12. 2V V∇ • ∇ = ∇
� �
 
13. A 0∇ • ∇ × =
�� �
 
14. V 0∇ × ∇ =
� �
 
15. ( ) 2A A A∇ × ∇ × = ∇ ∇ • − ∇� � �� � � � 
 
#
 A, B e C
� ��
 são funções vetoriais; V e W são funções escalares. 
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1.4.2 – Transformações entre os 3 sistemas de coordenadas 
 
Quadro das transformações entre os três sistemas de coordenadas 
SISTEMA Cartesiano Cilíndrico Esférico 
Cartesiano 
zz
yy
xx
=
=
=
 
zz
seny
cosx
=
φρ=
φρ=
 
θ=
φθ=
φθ=
rcosz
sen rseny
cos senrx
 
Cilíndrico 
zz
20 )x/y(tan
0 yx
1-
22
=
pi≤φ≤=φ
≥ρ+=ρ
 
zz =
φ=φ
ρ=ρ
 
θ=
φ=φ
θ=ρ
rcosz
senr
 
Esférico 
( )
( ) pi≤φ≤=φ
pi≤θ≤+=θ
≥++=
20 x/ytan
0 zyxtan
0r zyxr
1-
221-
222
 
( )
pi≤φ≤φ=φ
pi≤θ≤ρ=θ
≥+ρ=
20 
0 ztan
0r zr
1-
22
 
 
φ=φ
θ=θ
= rr
 
 
1.4.3 – Vetores unitários nos 3 sistemas de coordenadas 
 
 
 
 
1.4.4 – Produtos escalares entre vetores unitários nos 3 sistemas de coordenadas 
 
Coordenadas cartesianas e cilíndricas Coordenadas cartesianas e esféricas 
 
Nota: O produto escalar entre o vetor unitário xa
�
 (ou ya
� ) e o vetor unitário ra
�
 (ou θa
� ) do sistema 
de coordenadas esféricas, é dado pelo coseno do ângulo formado entre o vetor unitário 
esférico ra
�
 (ou θa
� ) e sua projeção no plano xy, multiplicado pelo coseno do ângulo formado 
por esta projeção e o vetor unitário xa
�
 (ou ya
� ). 
 
�
a r 
�
aθ 
�
aφ 
�
ax •••• senθθθθ cosφφφφ cosθθθθ cosφφφφ - senφφφφ 
�
ay •••• senθθθθ senφφφφ cosθθθθ senφφφφ cosφφφφ 
�
az •••• cosθθθθ - senθθθθ 0 
 
�
aρ 
�
aφ 
�
az 
�
ax •••• cosφφφφ - senφφφφ 0 
�
ay •••• senφφφφ cosφφφφ 0 
�
az •••• 0 0 1 
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CCaappííttuulloo II:: ÁÁNNÁÁLLIISSEE VVEETTOORRIIAALL 5 
Exercício: Completar o quadro abaixo relativo ao produto escalar entre vetores unitários dos 
sistemas de coordenadas cilíndricas e esféricas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4.5 – Elementos diferenciais de linha, área e volume nos 3 sistemas de coordenadas 
 
 
 
 
Quadro dos elementos diferenciais nos 3 sistemas de coordenadas 
Sistema Linha (d L ) Área (d S ) Volume (dv) 
Cartesiano 
zyx adzadyadxLd ++= 
zz
yy
xx
adxdySd
adxdzSd
adydzSd
=
=
=
 
dzdydxdv = 
Cilíndrico 
zdL d a d a dz aρ φ= ρ + ρ φ + 
zz addSd
adzdSd
adzdSd
φρρ=
ρ=
φρ=
φφ
ρρ
 
dzdddv φρρ= 
Esférico φθ φθ+θ+= adsenrardadrLd r 
φφ
θθ
θ=
φθ=
φθθ=
ardrdSd
adrdsenrSd
addsenrSd r
2
r
 
φθθ= ddrdsenrdv 2 
 
 
�
a r 
�
aθ 
�
aφ 
�
aρ •••• 
�
aφ •••• 
�
az •••• 
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CCaappííttuulloo II:: ÁÁNNÁÁLLIISSEE VVEETTOORRIIAALL 6 
1.5 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1.1) As superfícies que delimitam um volume são definidas por: ρ = 5 e ρ = 10, φ = 2pi/9 e φ = 
7pi/9, z = 2 e z = 20. Determinar: 
a) O volume determinado pelas superfícies em questão, utilizando integração; 
b) O comprimento de um segmento linear que une dois vértices opostos do volume. 
 
 Respostas: a) Volume = 375pi; b) PQ = 21,59 . 
 
1.2) Um vetor zaaaE
���
�
++= φρ está aplicado no ponto P(x = 0, y = 1, z = 1) da superfície 
plana x y z+ + = 2 . Determinar: 
a) o vetor E
�
 no sistema de coordenadas cartesianas; 
b) o ângulo θ que o vetor E
�
 faz com o vetor normal à superfície plana; 
c) as duas componentes vetoriais de E
�
 normal e tangencial à superfície plana. 
 
Respostas: a) zyx aaaE���
�
++−= ; b) θ =70,53o; 
c) ( )zyxN 31 aaaE ���
�
++=
 e ( )zyxT 22431 aaaE ���
�
++−= . 
 
1.3) Um vetor A
�
, com módulo igual a 10, está orientado do ponto P(r = 5; θ = pi/4; φ = pi/4) à 
origem de um sistema de coordenadas cartesianas. Expressar este vetor em: 
a) coordenadas esféricas no ponto P. 
b) coordenadas cartesianas no ponto P. 
 
Respostas: a) r 10 aA −=
�
; b) zyx 25 5 5 aaaA −−−=
�
. 
 
1.4) Dado o vetor zyx aaaA
���
�
++= aplicado ao ponto P(x = – 3 , y = 1, z = 2), determinar: 
a) As coordenadas esféricas r, θ e φ do ponto P; 
b) O ângulo α que A
�
 faz com a superfície esférica, centrada na origem, que passa por P; 
c) O ângulo β que A� faz com a superfície cônica, coaxial com o eixo z, que passa por P; 
d) O ângulo γ que A
�
 faz com o semi-plano radial, partindo do eixo z, que passa por P. 
 
Respostas: a) );;;( °=°== 1504522rP φθ b) α = 75o; c) β = 123,9o; d) γ = 142,06o. 
 
1.5) Um vetor A
�
, de módulo igual 8, está situado sobre a linha reta que passa pelos pontos 
 P(r = 10, θ = 30o, φ = 0o) e Q(r = 20, θ = 60o, φ = 90o) , e orientado no sentido de P a Q. 
Determinar: 
a) O vetor A
�
 expresso em coordenadas cartesianas; 
b) O ângulo que o vetor A
�
 faz com o vetor normal à superfície plana z = 0; 
c) O módulo da projeção do vetor A� sobre a superfície plana z = 0. 
 
Respostas: a) zyx 590 677 212 aaaA ,,, ++−= ; b) α = 85,75o; c) 987 Proj ,=A . 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
CCaappííttuulloo II:: ÁÁNNÁÁLLIISSEE VVEETTOORRIIAALL 7 
1.6) Transformar o vetor x x5 aE
�
= para coordenadas esféricas nos seguintes pontos: 
a) A(r = 4, θ = 30o, φ = 120o); 
b) B(x = – 2 , y = 2 , z = –2). 
 
Respostas: a) φθ aaaE 2
35
 
4
35
 
4
5
r ++= ; b) φθ aaaE 5 2
25
 
2
25
r +−= . 
 
1.7) Sejam dados os pontos A(r = 1, θ = pi/3, φ = pi/6) e B(r = 3, θ = pi/2, φ = pi/4), os quais 
representam 2 vértices extremos da porção de um volume esférico formado com estes pontos. 
Determinar, usando integração quando possível, o seguinte: 
a) O volume total (vol) da porção de volume esférico formado; 
b) Os vetores normais de área, rS
�
, θS
�
 φS
�
, que saem da superfície da porção de volume 
esférico nas direções dos vetores unitários ra
�
, θa
�
 e φa
�
, respectivamente ; 
c) O comprimento do segmento AB (“diagonal principal” da porção de volume esférico); 
d) O vetor 
→
AB , localizado em A e dirigido de A para B, expresso em coordenadas esféricas. 
 
Respostas: a) vol. = 
36
13pi
; b) rr 8
3
aS �
� pi
= , θθ
pi
= aS �
�
3
, φφ
pi
= aS �
�
3
2
; c) AB = 2,2318 
d) φθ ++=−+= aaaaaaAB 7786,0 4487,1 5093,1 5,0 6883,1 3713,1 rzyx . 
 
1.8) Sejam dados os dois pontos A(r = 10, θ = 45o, φ = 0o) e B(r = 10, θ = 60o, φ = 90o). 
Determinar: 
a) A distância d entre os dois pontos medida em linha reta; 
b) A distância d’ entre os dois pontos medida ao longo da superfície esférica r = 10. 
 
Respostas: a) d = 11,37 unidades de comprimento. 
b) d’ = 12,09 unidades de comprimento. 
 
1.9) a) Se os vetores zyx a3a3axA ++= , zyx a2aya2B ++= , e zyx azaaC ++= , 
representam os lados de um paralelepípedo retângulo, quais os valores de x, y e z? 
b) Determinar o volume do paralelepípedo retângulo formado acima. 
 
Respostas: a) x = –1,5, y = –1,0, z = –0,5 unidades de comprimento; 
b) vol. = 20,25 unidades de volume 
 
1.10) Sejam 2 pontos em coordenadas esféricas ( )oo 30,60,5r =φ=θ= e ( )oo 120,30,5r =φ=θ= . 
Determinar: 
a) A distância entre os 2 pontos medida em linha reta; 
b) A distância entre os 2 pontos medida ao longo da superfície esférica r = 5; 
c) O ângulo entre as 2 linhas que se estendem da origem até os 2 pontos; 
d) A área compreendida entre estas 2 linhas e o círculo de raio r = 5. 
 
Respostas: a) AB = 5,32 unidades de comprimento; b) AB = 5,61 unidades de comprimento; 
c) 64,34o = 1,123 rad, d) área = 14,04 unidades de área. 
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CCaappííttuulloo II:: ÁÁNNÁÁLLIISSEE VVEETTOORRIIAALL 8 
1.11) Um círculo, centrado na origem, com raio de 2 unidades, situa-se sobre o plano xy. 
Determinar o vetor unitário, situado sobre o plano xy, que é tangente ao círculo no ponto P( )0,1,3 e está apontado no sentido de crescimento do eixo y: 
(a) Em coordenadas cartesianas; (b) Em coordenadas esféricas. 
 
Respostas: a) yx a2
3
a
2
1
a +−= ; b) φ= aa 
 
1.12) Determinar uma expressão para calcular a distância entre dois pontos )z,,(P 111 φρ e 
)z,,(Q 222 φρ em função das coordenadas cilíndricas dos pontos. 
 
Resposta: ( ) ( )21212212221 zzcos2d −+φ−φρρ−ρ+ρ= 
 
1.13) Demonstrar que φθ=α cossencos , usando produtos escalares, sendo: 
α = ângulo entre o versor ra
�
 (coord. esférica) e o versor xa
�
 (coord. cartesiana) 
θ = ângulo entre o versor za
�
 (coord. cartesiana) e o versor ra
�
 (coord. esférica) 
φ = ângulo entre o versor xa
�
 (coord. cartesiana) e o versor ρa
�
 (coord. cilíndrica). 
 
Resposta: Sugestão: Observar que θ+θ= ρ cosasenaa zr
���
 e que α=• cosaa xr
��
, 
φ=•ρ cosaa x
��
 e 0aa xz =•
��
 
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Capítulo II 
 
LEI DE COULOMB E INTENSIDADE DE CAMPO ELÉTRICO 
 
 
2.1 – LEI DE COULOMB 
 
Força de uma carga Q1 sobre uma carga Q2: 
 
122
12o
21
2 a
R4
QQF
piε
=
 [N] 
 
onde: 
R 12 = vetor orientado de Q1 a Q2 
a 12 = versor orientado de Q1 a Q2 
 
Notas: O módulo de 2F depende dos valores das cargas pontuais, da distância entre elas e do meio. 
Adota-se vácuo como o meio neste caso, e em todas as análises posteriores até o capítulo 5. 
A orientação de 2F (ou sentido de 2F ) depende apenas dos sinais das 2 cargas pontuais. 
 
 
2.2 – INTENSIDADE DE CAMPO ELÉTRICO 
 
Força de uma carga pontual Q1 sobre uma carga de prova positiva QP situada num ponto P: 
P12
P1o
P1
P a
R4
QQF
piε
= 
 
Campo elétrico gerado pela carga pontual Q1 no ponto P (definição): 
 
P12
P1o
1
P
P a
R4
Q
Q
F
E
piε
==
 (Unidade: N/C ou V/m) 
 
Nota: A orientação do campo elétrico E depende apenas do sinal da carga que o produz (Q1). 
Assim, as linhas de força do campo elétrico saem (ou divergem) das cargas positivas e 
entram (ou convergem) para as cargas negativas. 
 
Campo elétrico gerado por n cargas pontuais: 
 
( ) mn
1m 2mo
m a
rr4
Q
rE ∑
−piε
=
=
 [V/m] 
 
onde: Qm = m-ésima carga pontual 
mr = posição da m-ésima carga pontual 
r = posição do ponto onde se quer o campo 
m
m
m
rr
rr
a
−
−
= = versor da m-ésima carga pontual 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
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2.3 – CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO VOLUMÉTRICA CONTÍNUA DE 
CARGAS 
 
Definindo 
dv
dQ
v =ρ = densidade volumétrica de carga (em C/m3), temos que dQ = ρvdv. 
Assim a fórmula para calcular o campo elétrico num ponto P, no vácuo, de um volume de cargas é: 
 
∫
piε
= R2
o
a
R4
dQE
 [V/m] (FÓRMULA GERAL) 
 
sendo: 
 Ra = versor orientado de dQ ao ponto P (saindo) 
R = distância de dQ ao ponto P 
εo = permissividade elétrica do vácuo [F/m] 
 
Nota: Genericamente: ρv dv = ρS ds = ρL dL = dQ, para volume → superfície → linha → ponto. 
 
 
2.4 – CAMPOELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO LINEAR CONTÍNUA DE CARGAS 
 
Definindo 
dL
dQ
L =ρ = densidade linear de carga (em C/m), temos que dQ = ρLdL. 
 
Demonstrar que a fórmula que fornece o campo elétrico num ponto P, no vácuo, devido a uma 
filamento retilíneo ∞∞∞∞ com carga uniformemente distribuída (ver figura), é expressa por: 
 
ρρpiε
ρ
= a
2
E
o
L
 
 
sendo: 
ρL = densidade linear de carga [C/m] (valor constante) 
ρ = menor distância (direção normal) da linha ao ponto P [m] 
ρa = versor normal à linha orientado para o ponto P 
 
Solução: Posicionando o eixo z sobre o filamento e o plano xy sobre 
o ponto P para facilitar a solução (ver figura), temos: 
dzdQ Lρ= 
ρρ+−= aazR z e 22zR ρ+= ⇒ 
22
z
R
z
aaz
R
R
a
ρ+
ρ+−
==
ρ
 
Substituindo na fórmula geral acima obtemos: 
( )
( )
( ) ρ
ρρ
+=
ρ+piε
ρ+−ρ∞+
−∞=
=
ρ+
ρ+−
ρ+piε
ρ∞+
−∞=
= ∫∫ EE
z4
aazdz
z
z
aaz
z4
dz
z
E z2/322
o
zL
22
z
22
o
L
 
Por simetria 0Ez = . 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
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Fazendo a substituição trigonométrica (ver triângulo ao lado): 
αρ= tgz 
ααρ= ddz 2sec 
 
e levando na expressão acima e desenvolvendo, 
 
( ) ρ
ρ
ρ ααρpiε
ρ
=
ρ+αρ
ααρ
piε
ρρ
== ∫∫
pi
pi−=α
pi+
pi−=α ados4
ad
4
EE 2/ 2/
2/
2/
o
L
2/322o
L c
tg
sec
2
2
 
[ ] [ ] ρpi pi−=αρpi pi−=αρ +piε
ρ
=α
piε
ρ
== a11
4
a
4
EE 2/ 2/
o
L2/
2/
o
L sen 
 
Daí chegamos finalmente a: ρρ ρpiε
ρ
== a
2
EE
o
L
 
 
Logo, para uma linha ∞ com carga uniformemente distribuída, a magnitude de E é 
inversamente proporcional à distância (ρ), e a direção de E é radial (normal) à linha. 
 
 
2.5 – CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO SUPERFICIAL CONTÍNUA DE 
CARGAS 
 
Definindo 
dS
dQ
S=ρ = densidade superficial de carga (em C/m2 ), temos que dQ = ρS dS. 
 
Demonstrar que a fórmula que fornece o campo elétrico num ponto P, no vácuo, devido a uma 
superfície plana ∞∞∞∞ com carga uniformemente distribuída (ver figura), é expressa por: 
 
n
o
s a
2
E
ε
ρ
=
 
 
sendo: 
ρS = densidade superficial de 
carga [C/m2] (constante) 
na = versor normal ao plano 
orientado para o ponto P 
 
Solução: 
Observando a figura temos: 
φρρρ=ρ= dddSdQ ss 
zazaR +ρ−= ρ e 22 zR +ρ= ⇒ 22
z
R
z
aza
R
R
a
+ρ
+ρ−
==
ρ
 
Substituindo na fórmula geral acima obtemos: 
( ) 22 z22os z
aza
z4
dd
0
2
0E
+ρ
+ρ−
+ρpiε
φρρρ∞+
=ρ
pi
=φ=
ρ
∫∫ 
( )
( ) z2/322o
zs
2
s EE
z4
ddaza
0
2
0E +=
+ρpiε
φρρρ+ρρ−∞+
=ρ
pi
=φ= ρ
ρ
∫∫ 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
CCaappííttuulloo IIII:: LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 12 
Por simetria 0E =ρ . 
( ) ( ) 2/322o zs2/322ozsz z
d
02
az
z
d
0d
2
04
az
EE
+ρ
ρρ∞+
=ρε
ρ
=
+ρ
ρρ∞+
=ρφ
pi
=φpiε
ρ
== ∫∫∫ 
Fazendo a substituição trigonométrica (ver triângulo ao lado): 
α=ρ tgz 
αα=ρ dzd 2sec , 
 
e levando na expressão acima e desenvolvendo, 
 
( ) αα
pi
=αε
ρ
=
α
ααpi
=αε
ρ
=
+α
αααpi
=αε
ρ
== ∫∫∫ d
2/
02
ad2/
02
a
zz
dzz2/
02
azEE
o
zs
o
zs
2/322
2
o
zs
z sen
sec
tg
tg
sectg
2
 
[ ] [ ] z
o
s2/
0
o
zs
z a1022
a
EE +
ε
ρ
=α−
ε
ρ
==
pi
=αcos ⇒ z
o
s
z a2
EE
ε
ρ
== 
 
De uma forma mais geral, fazendo nz aa = ⇒ n
o
s
n a2
EE
ε
ρ
==
 
Logo, para o plano ∞ com carga uniformemente distribuída, a magnitude de E é 
independente da distância (z) do plano a P, e a direção de E é normal ao plano. 
 
 
2.6 – LINHA DE FORÇA E ESBOÇO DE CAMPO 
 
Obtenção da equação da linha de força de E no plano xy: 
 
Para um ponto na linha de força no plano xy, temos: 
yyxx aEaEE += 
yx ayaxL ∆+∆=∆ 
 
onde L//E ∆ (2 vetores em paralelo) 
 
Fazendo LdL →∆ , obtemos: 
yx adyadxLd += 
 
Como, LdE ∝ , obtemos: 
 
dy
E
dx
E yx
=
 
Logo, basta resolver esta equação diferencial para obter a equação da linha de força no plano xy. 
 
Nota: Para uma linha de força de E no espaço tridimensional, obtém-se a expressão: 
 
dz
E
dy
E
dx
E zyx
==
 (Atenção: Resolve-se duas a duas, segundo as projeções em xy, yz e zx) 
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2.7 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
2.1) Uma linha infinita possui uma distribuição de carga com densidade ρL = -100 [ηC/m] e está 
situada no vácuo sobre a reta y = –5 [m] e z=0. Uma superfície plana infinita possui uma 
distribuição de carga com densidade ρS = α/pi [ηC/m2] e está situada no vácuo sobre o plano 
z = 5 [m]. Determinar o valor da constante α para que o campo elétrico resultante no ponto 
P(5,5,-5) não possua componente no eixo z. 
 
Resposta: α = 4. 
 
2.2) Dado um campo ( ) ( ) ( ) φφρρ φρ+φρ=φρ aaE ��� ,E,E, em coordenadas cilíndricas, as equações 
das linhas de força em um plano z = constante são obtidas resolvendo a equação diferencial: 
 
φρρ=φρ d dEE 
a) Determinar a equação da linha de força que passa pelo ponto P(ρ = 2, φ = 30o, z = 0) para o 
campo φρ φρ−φρ= aaE
��
�
22 cossen . 
b) Determinar um vetor unitário passando pelo ponto P(ρ = 2, φ = 30o, z = 0), que seja 
paralelo ao plano z = 0 e normal a linha de força obtida no item anterior. 
Respostas: a) φ=ρ 2cos82 ; b) 






+±= φρ aaa
���
2
3
2
1
. 
 
2.3) Duas linhas infinitas de carga com mesmas densidades lineares uniformes ρL = k [ηC/m] 
estão colocadas sobre o plano z = 0. As duas linhas se cruzam no ponto (-2, 1, 0), sendo que 
uma é paralela ao eixo x e a outra paralela ao eixo y. Determinar exatamente em que posição 
no plano z = 0 deverá ser colocada uma carga pontual Q = k [ηC] para que o campo elétrico 
resultante na origem se anule. 
 
Resposta: 








− 0
5
52
5
5P
44
;; . 
 
2.4) Determinar a força que atua sobre uma carga pontual Q1 em P(0,0,a) devido à presença de 
uma outra carga Q2, a qual está uniformemente distribuída sobre um disco circular de raio a 
situado sobre o plano z=0. 
 
Resposta: ( ) z2
o
21
 22
4
QQ
aF −⋅=
apiε
 
 
2.5) Seja um campo elétrico dado por ( ) [ ]mV y2cos y2sene5 yxx2 aaE −= − . Determinar: 
a) A equação da linha de força que passa pelo ponto P(x=0,5; y=pi/10; z=0); 
b) Um vetor unitário tangente a linha de força no ponto P. 
 
Respostas: a) 212,1x2ey2cos −= ou ( )606,0y2cosln5,0x += ; b) yxT 8090,05878,0 aaa −= . 
 
2.6) O segmento reto semi-infinito, z ≥ 0, x = y = 0, está carregado com ρL = 15 nC/m, no vácuo. 
Determine E nos pontos: 
a) PA (0, 0, –1); b) PB (1, 2, 3) 
Respostas: a) zA a8,134E −= [V/m]; b) zyxB a0,36a2,97a6,48E −+= [V/m]. 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
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2.7) Duas bolas dielétricas iguais de diâmetro bem pequeno, pesando 10 g cada uma, podem 
deslizar livremente numa linha plástica vertical. Cada bola é carregada com uma carga 
negativa de 1 µC. Qual é a distância entre elas, se a bola inferior for impedida de semover? 
 
Resposta: d = 300 [mm] 
 
2.8) Duas cargas pontuais de +2 C cada uma estão situadas em (1, 0, 0) m e (-1, 0, 0) m. Onde 
deveria ser colocada uma carga de –1 C de modo que o campo elétrico se anule no ponto (0, 
1, 0)? 
 
Resposta: Em (x = 0, y = 0,16 m, z = 0) 
 
2.9) a) Uma carga com densidade uniforme ρL = K C/m 
está distribuída sobre um pedaço de condutor 
circular de raio r = 2 m, posicionado sobre o 
plano y = 1 m, conforme mostra a figura abaixo. 
Determinar o campo elétrico E resultante na 
origem. 
b) Repetir o item (a), supondo, porém, que toda a 
carga seja concentrada no ponto (0,2,0). 
Respostas: a) y
o
a
8
3KE
piε
−
= [V/m]; b) y
o
a
12
KE
ε
−
= [V/m] 
 
2.10) Uma carga é distribuída uniformemente, com densidade ( )pi=ρ − 1810 9s C/m2, sobre uma 
lâmina retangular finita de 1 mm × 1 m, estando centrada na origem, sobre o plano z = 0, e 
com os lados paralelos aos eixos x e y. Usando aproximações de senso comum, estimar o 
valor do campo elétrico E
�
 nos seguintes pontos do eixo z: 
(a) z = 0,001 mm; (b) z = 1 cm; (c) z = 100 m 
Respostas: a) za1E = [V/m]; b) za
1,0E
pi
= [V/m]; c) z
7
a
2
10E
pi
=
−
 [V/m] 
 
2.11) Quatro cargas pontuais, iguais a 3 µC localizam-se, no vácuo, nos quatro vértices de um 
quadrado de 5 cm de lado. Determine o módulo da força que age em cada carga. 
 
Resposta: 61,9 N 
 
2.12) Uma carga pontual de 1 nC localiza-se na origem, no vácuo. Determine a equação da curva no 
plano z = 0, para o qual Ex = 1 V/m. 
 
Resposta: ( )3222 yxx8,80 += ou φ=ρ cos998,2 
 
2.13) Três cargas pontuais Q, 2Q e 3Q ocupam respectivamente os vértices A, B e C de um 
triângulo equilátero de lado l. Uma das cargas tem a máxima força exercida sobre ela e uma 
outra tem a mínima força. Determinar a razão entre as magnitudes destas 2 forças. 
 
Resposta: Razão = 1,82, sendo as magnitudes das forças máxima e mínima iguais, 
respectivamente, a 7,94k e 4,36k, onde k = Q2/(4pi εo l2) 
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Capítulo III 
 
DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO, LEI DE GAUSS E DIVERGÊNCIA 
 
3.1 – DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO ( D ) 
 
É o fluxo por área produzido por cargas livres e é independente do meio onde estas estão situadas. 
 
Fórmula geral: ∫
pi
=ε= R2o aR4
dQED
 (Unidade: C/m2) 
 
onde dQ = ρL dL= ρsds = ρvdv, dependendo da configuração de cargas. 
 
3.2 – A LEI DE GAUSS 
 
“O fluxo elétrico (líquido) que atravessa qualquer superfície fechada é igual a carga total interna 
envolvida por esta superfície”. 
 
A expressão matemática é dada por: 
∫ ==Ψ
S
internatotal QSd.D (Unidade: C) 
onde, 
∫ρ=
.vol
vinterna dvQ (Nota: No SI: inttotal Q=Ψ ) 
 
3.3 – APLICAÇÃO DA LEI DE GAUSS – GAUSSIANA 
 
Gaussiana (def.): É uma superfície especial com as seguintes propriedades: 
(i) É uma superfície fechada; 
(ii) Em cada um de seus pontos D é tangencial ou D é normal. Assim, 
se 0SdDSdD =⇒⊥ • ; (Neste caso D é tangencial à gaussiana) 
se dSDSdDSd//D =⇒ • (Neste caso D é normal à gaussiana) 
(iii) Em todos os pontos onde Sd//D , a magnitude de D é constante. 
 
Cálculo de D , aplicando a lei de Gauss (e gaussiana), para os seguintes casos especiais: 
 
a) Carga pontual Q 
 
Para uma gaussiana esférica de raio R 
 
∫ =•gaussianaS int
QSdD (Lei de Gauss) 
Como Sd//D e .cteD = em todos pontos da gaussiana 
D (área da esfera) = Q 
D 4piR2 = Q 
Logo: 
2R4
QD
pi
=
 
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Em forma vetorial: 
R2 aR4
QD
pi
=
 ( D é inversamente proporcional ao quadrado da distância) 
 
b) Filamento retilíneo ∞∞∞∞ com dLdQL =ρ = constante 
 
Para uma gaussiana cilíndrica de raio ρ 
 
∫ =•gaussianaS int
QSdD (Lei de Gauss) 
D (área lateral do cilindro) = ρL L 
D 2piρL = ρL L 
 
Logo: 
piρ
ρ
=
2
D L
 
 
Em forma vetorial: 
ρ
piρ
ρ
= a
2
D L
 ( D é inversamente proporcional à distância) 
 
c) Cabo coaxial ∞∞∞∞ com os condutores central (+Q) e externo (–Q) com ρρρρs constante 
 
Aplicando a lei de Gauss para uma gaussiana cilíndrica de raio ρ (ver figura), 
∫ =•
gaussianaS int
QSdD 
temos as seguintes situações: 
i) Se ρ < a ⇒ D = 0, pois a carga interna é nula 
ii) Se ρ > b ⇒ D = 0, pois a carga interna líquida é nula (blindagem eletrostática) 
iii) Se a < ρ < b (gaussiana tracejada) ⇒ D 2pi ρ L = +Q 
Daí obtemos: 
L2
QD
piρ
=
 
 
Sendo a carga uniformemente distribuída, com densidade superficial de carga ρS no 
condutor central, podemos re-aplicar a lei de Gauss, obtendo-se: 
D 2pi ρ L = ρS 2pi a L 
 
piρ
ρ
=
ρ
ρ
=
2
D Ls
a
 onde 
aa pi
ρ
=
pi
===ρ
2L2
Q
S
Q
dS
dQ L
s 
 
sendo ρL a densidade linear de carga no condutor central. 
 
 
Em forma vetorial: 
 
ρρ
piρ
ρ
=
ρ
ρ
= a
2
aD Ls
a
 ( D é inversamente proporcional à distância) 
 
Nota: Observar a semelhança com a fórmula de D para a linha ∞, obtida acima. 
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3.4 – DIVERGÊNCIA 
 
 
 
Seja A um vetor qualquer expresso por: 
zzyyxx aAaAaAA ++= 
 
aplicado ao vértice A(x,y,z) do pequeno volume retangular da figura acima dado por: 
zyxv ∆∆∆=∆ 
 
Definindo divergência de um vetor A , ou div A , com notação matemática A•∇ , como: 
 
v
SdA
limA S
0v ∆
=∇
•
•
∫
→∆
 (Nota: O resultado desta operação é um escalar.) 
 
onde ∇ representa o operador vetorial “nabla” ou “del”. 
 
Para a superfície que envolve o pequeno volume retangular da figura acima temos: 
SdASdA 
DCGHABFEBCGFADHEEFGHABCD SSSSSSS
•• ∫∫∫∫∫∫∫ +++++= 
 
Cálculo da 1a e da 2a integral do 2o membro (fluxo de A na direção x): 
zy)x(Adzdy)x(A)a(dSa)x(ASdA xx
yy
yy
zz
zz
xABCDxx
SABCD
∆∆−≅−=−= ∫ ∫∫∫
∆+
=
∆+
=
•• 
zyx
x
A)x(Azy)xx(Adzdy)xx(ASdA Xxxx
yy
yy
zz
zzSEFGH
∆∆




 ∆
∂
∂
+≅∆∆∆+≅∆+= ∫ ∫∫
∆+
=
∆+
=
• 
 
Somando estas duas integrais, obtemos o fluxo líquido de A na direção x como: 
zyx
x
ASdA x
SS EFGHABCD
∆∆∆
∂
∂
≅+ •∫∫ 
 
Similarmente a estas duas integrais, obtemos os fluxos líquidos de A nas direções y e z como: 
zyx
y
A
SdA y
SS BCGFADHE
∆∆∆
∂
∂
≅+ •∫∫ 
zyx
z
ASdA z
SS DCGHABFE
∆∆∆
∂
∂
≅+ •∫∫ 
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Somando as 3 expressões anteriores, obtemos o fluxo total líquido que sai do pequeno volume: 
zyx
z
A
y
A
x
ASdA zyx
S
∆∆∆






∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
≅•∫ 
 
Substituindo esta última expressão na equação que define a divergência e simplificando, obtemos: 
z
A
y
A
x
AA zyx
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇ •
 
 
Se A é substituído pelo vetor densidade de fluxo elétrico D e aplicado a definição de divergência: 
 v
0v
S
0v dv
dQ
v
Qlim
v
SdD
limD ρ==
∆
∆
=
∆
=∇
→∆→∆•
•
∫
 
 
Assim obtemos uma importante equação da eletrostática: 
vD ρ=∇ • (1a equação de Maxwell da eletrostática) 
 
onde ρv representa a fonte de fluxo (divergência) de D . 
 
Notas: 
0D >∇ • ⇒ A região é fonte de fluxo ou a carga líquida da região é positiva. 
0D <∇ • ⇒ A região é sorvedoura de fluxo ou a carga líquida da região é negativa. 
0D =∇ • ⇒ A região não é fonte nem sorvedoura de fluxo ou a carga líquida é nula. 
 
 
3.5 – TEOREMA DA DIVERGÊNCIA 
 
Da lei de Gauss, temos que: intS QSdD =•∫ 
Mas, sabemos que: dvQ v
vol
int ρρρρ∫= 
E também: Dv •∇=ρ 
 
Logo, juntando todas as expressões, obtemos: 
 
∫ ∫∇= ••
S vol
dv DSdD
 (Teorema da divergência de Gauss) 
 
sendo S a área que envolve o volume vol, ou vol o volume envolvido pela área S. 
 
Notas: 
1. O teorema da divergência pode ser aplicado a qualquer campo vetorial. 
2. O operador vetorial ∇ é somente definido em coordenadas cartesianas pela expressão: 
zyx a
z
a
y
a
x ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇ 
Logo, não existe uma expressão para ∇ em coordenadas cilíndricas, nem em esféricas. 
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3.6 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
3.1) Seja ρV = α r/ [C/m3] de r = 0 a r = R em coordenadas esféricas. Determinar D em todo o 
espaço. 
 
Resposta: r5
r2
aD α= [C/m2] para 0 < r < R e r2
2
r5
RR 2
aD α= [C/m2] para Rr ≥ . 
 
3.2) Uma carga com densidade linear uniforme ρL = k [ηC/m] está distribuída sobre o semi-eixo 
positivo de z. No plano z = 0, uma outra carga com densidade superficial ρS = k/(2piρ) 
[ηC/m2] é distribuída. Determinar o fluxo elétrico total que atravessa o cilindro ρ = a [m], 
cujas bases estão situadas sobre os planos z = a e z = – a (a > 0). 
 
Resposta: ak2T =Ψ [ηC ]. 
 
3.3) O plano z=0 contém uma distribuição superficial uniforme de carga com ρS = 10 [ηC/m2]. 
Determinar a quantidade de linhas de fluxo que atravessa o triângulo formado pelos pontos A 
(0,2,0), B (2,0,2) e C (–2,0,2). 
 
Resposta: 20=Ψ [ηC ]. 
 
3.4) Determinar o fluxo elétrico líquido total que sai da porção de um cilindro definido por: 
 0 ≤ ρ ≤ 2, 0 ≤ φ ≤ pi/2, 0 ≤ z ≤ 3, devido as seguintes condições: 
a) uma carga distribuída no interior da porção do cilindro com densidade volumétrica de 
carga dada por ρv = 4xyz2 [C/m3], sendo que ρv = 0 no exterior da porção de cilindro. 
b) a mesma quantidade de carga do item anterior, porém sendo toda ela concentrada na 
origem. 
 
Respostas: a) 72 [C]; b) 9 [C]. 
 
3.5) Seja 2v x6=ρ [µC/m3] na região – 1≤ x ≤ 1 [m] e ρv = 0 fora desta região. Determinar: 
a) A densidade de fluxo elétrico D na região 0 ≤ x ≤ 1 [m]; 
b) A densidade de fluxo elétrico D na região x > 1 [m]; 
c) A densidade de fluxo elétrico D na região –1 ≤ x ≤ 0 [m]; 
d) A densidade de fluxo elétrico D na região x < -1 [m]. 
 
Respostas: a) x3x2 aD = [µC/m2]; b) x 2 aD = [µC/m2]; c) x3x2 aD = [µC/m2]; 
d) x 2 aD −= [µC/m2]. 
 
3.6) Determinar o fluxo total que atravessa um cubo de lado a = 1 [m], centrado na origem e 
arestas paralelas aos eixos coordenados para cada uma das seguintes situações: 
a) Uma carga pontual Q = 20 [ηC] situada na origem; 
b) Uma linha infinita de cargas com densidade ρL = 20 [ηC/m] situada sobre o eixo x. 
Repetir a questão e calcular o fluxo que atravessa a face superior do cubo nas duas situações. 
Respostas: a) 20T =Ψ [ηC ]; b) 20T =Ψ [ηC ] e a) 3
10
T =Ψ [ηC ]; b) 5T =Ψ [ηC ]. 
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3.7) Seja ( )z1z8v −=ρ [C/m3] para 0 < z < 1, ( )z1z8v +=ρ [C/m3] para – 1 < z < 0 e 
0v =ρ para o restante do espaço. Determinar D em todo o espaço usando a Lei de Gauss. 
Respostas: 0=D para z ≤ –1, ( ) z23 1z3z234 aD −+⋅= [C/m3] para –1 < z < 0, 
 ( ) z23 1z3z234 aD −+−⋅= [C/m3] para 0 < z < 1, 0=D para z ≥ 1. 
 
3.8) Determinar o quantidade de fluxo elétrico devido a uma carga pontual Q na origem que passa 
através das superfícies esféricas definidas por: 
a) raio = r, estendendo de θ = 30o a θ = 60o, e de φ = 0o a φ = 360o; 
b) raio = 2r, estendendo de θ = 0o a θ = 90o, e de φ = 0o a φ = 90o. 
 
Respostas: a) ( )[ ] Q183,0Q4/13 =−=ψ ; b) ψ = Q/8 
 
3.9) Seja uma distribuição de carga no espaço onde ρV = K/r C/m3 para r < 2R e ρV = 0 para 
r > 2R, sendo K uma constante positiva. 
a) Determinar a carga total contida dentro da esfera de raio r = R; 
b) Determinar a densidade de fluxo elétrico que sai da superfície esférica r = R. 
 
Respostas: a) 2
.int KR2Q pi= ; b) ra2
KD = 
 
3.10) Uma carga pontual Q =24pi µC está localizada na origem, uma carga de densidade 241s −=ρ 
µC/m2 está distribuída na superfície esférica r = a = 0,5 m, e uma carga de densidade 
242s =ρ µC/m2 está distribuída na superfície esférica r = b = 1 m. 
Determinar D em todas as regiões. 
 
Resposta: r2 ar
6D = µC/m2 para r < 0,5 m; 0D = para 0,5 ≤ r < 1 m; 
r2 ar
24D = µC/m2 para r ≥ 1 m 
 
3.11) Uma linha infinita de carga uniformemente distribuída com densidade m/C1L =ρ está 
colocada sobre o eixo y. Determinar o fluxo elétrico total que atravessa as seguintes 
superfícies: 
(a) a porção do plano z = 1 m, limitada por –1 < x < 1 m e –1 < y < 1 m; 
(b) a esfera de raio r = 1 m, centrada na origem. 
 
Respostas: a) ψ = 0,5 C; b) ψ = 2 C. 
 
3.12) a) Calcular a carga total em todo o espaço se a densidade volumétrica de carga é expressa em 
coordenadas esféricas como 233v )r/(1 a+=ρ , sendo a uma constante. 
b) Qual é o raio da esfera, centrada na origem, com densidade volumétrica de carga constante, 
ρv = 8 , que contém a mesma carga total do item anterior. 
 
Respostas: a) 
3T 3
4Q
a
pi
= ; b) 
a2
1
r = . 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
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Capítulo IV 
 
ENERGIA E POTENCIAL 
 
4.1 – ENERGIA (TRABALHO) PARA MOVER UMA CARGA PONTUAL EM UM 
CAMPO ELÉTRICO 
 
Observando a figura, e adotando La como um vetor unitário na direção de Ld , tem-se: ( ) ( ) LdFdLaFLdaaFLdFLdFdW ...... ELELLEEaplicada L −=−=−=−== 
 
Substituindo EQFE = , chega-se a: 
LdEQdW .−= 
 
Integrando, obtém-se o trabalho (energia) necessário para mover uma carga Q desde o início (ponto 
B) até o final (ponto A) de uma trajetória, sob a ação do campo elétrico E , dado por: 
 
LdEQW .
)A(Final
)B(Início
∫−= 
 
onde ∫ = 0LdE. , pois o trabalho do campo eletrostático 
depende apenas das posições inicial e final da trajetória. 
 
Nota: Na eletrostática, o campo elétrico é conservativo. 
 
4.2 – DEFINIÇÃO DE DIFERENÇA DE POTENCIAL (VAB) E POTENCIAL (V) 
 
A diferença de potencial VAB entre 2 pontos A e B é definida como sendo o trabalho necessário 
para movimentar uma carga pontual unitária positiva desde B (tomado como referência) até A. 
 
Q
WVAB = ⇒ ∫−=
A
BAB LdEV . (FÓRMULA GERAL) 
 
Como o campo elétrico E é conservativo (na eletrostática), tem-se, para 3 
pontos A, B e C: 
VAB = VAC – VBC 
 
Os potenciais “absolutos” VA e VB são obtidos adotando-se uma mesma 
referência zero de potencial. Se, por exemplo, VC = 0, pode-se escrever VAB = VA – VB 
 
4.3 – O POTENCIAL DE UMA CARGA PONTUAL 
 
Supondo-se a carga na origem, tem-se, aplicando a fórmula geral: 
A
B
A r
AB r r2B r
0
QV E dL adr a
4 r
. .= − = −
piε
∫ ∫ 
 
AB A B
0 A B
Q 1 1V V V
4 r r
 
= − = − 
piε  
 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
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Se B → ∞ ⇒ VB → 0 ⇒ A
0 A
QV
4 r
=
piε
 (potencial absoluto) 
 
Escrevendo de forma genérica, o potencial absoluto devido a uma carga 
pontual Q fora da origem é: 
 
0
QV
4 R
=
piε
 
 
sendo R a distância da carga pontual Q ao ponto desejado. 
 
 
4.4 – O POTENCIAL DE UM SISTEMA DE CARGAS DISTRIBUÍDAS 
 
Para uma carga distribuída, com referência zero no infinito: 
 
0
dQ
4 RV piε= ∫ 
 
onde: dQ = ρL dL= ρsds = ρvdv, dependendo da configuração 
de cargas, 
rrRR ′−== = distância (escalar) de dQ ao ponto 
fixo P onde se quer obter V 
 
 
4.4.1 – VAB de uma reta ∞∞∞∞ com ρρρρL constante 
 
Partindo de ∫−= ABAB LdEV . , obtemos: 
A
B
L
AB
0
V a d a
2
.
ρ
ρ ρρ
ρ
= − ρ
piε ρ∫
 
 
L B
AB
0 A
V ln
2
ρ ρ
=
piε ρ
 
 
 
 
4.4.2 – VAB de um plano ∞∞∞∞ com ρρρρs constante 
 
Partindo de ∫−= ABAB LdEV . , obtemos: 
A
B
z s
AB z zz 0
V a dz a
2
.
ρ
= −
ε∫
 
 
( )sAB B A
0
V z z
2
ρ
= −
ε
 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
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4.5 – GRADIENTE DO POTENCIAL ( V∇ ) 
 
O gradiente de uma função escalar (ex. V) é 
definido matematicamente por: 
 
 NadN
dVV =∇
 (resultado = vetor) 
 
onde dV, dN e Na
�
 são mostrados na figura. 
GaGa
cosdL
dV
a
dN
dVV NNN
�
==
θ
==∇ 
 
Daí, dVcosGdL =θ ⇒ dVLdG =•
��
 
onde: 
Nzzyyxx aGaGaGaGG =++=
���
�
 
Lzyx adLadzadyadxLd =++= 
dz
z
Vdy
y
Vdx
x
VdV
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= 
sendo: 
Ld
�
 = vetor comprimento diferencial medido numa direção qualquer, 
dN = dLcosθ = menor distância entre as 2 superfícies equipotenciais V1 e V2. 
 
Assim, obtemos a expressão do gradiente em coordenadas cartesianas: 
zyx a
z
V
a
y
V
a
x
VVG ���
��
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇=
 
 
Propriedades do gradiente de uma função escalar V: 
 
a) V∇ é normal a V 
b) V∇ aponta no sentido do crescimento de V 
 
Logo V∇ é um vetor que dá a máxima variação no espaço de uma quantidade escalar (módulo do 
vetor) e a direção em que este máximo ocorre (sentido do vetor). 
 
Se V = função potencial elétrico, então: 
 
VE ∇−=
 ( E está apontado no sentido decrescente de V). 
 
 
Exemplo: Utilizando gradiente, determinar a expressão de E para uma carga pontual na origem. 
 
Solução: O potencial de uma carga pontual na origem (no vácuo) é: 
0
Q
4 r
=
piε
V 
 Tomando o gradiente de V, em coordenadas esféricas, sabendo-se que V = f(r): 
e fazendo VE ∇−= ⇒ r r2
0
V Q 1E a a
r 4 r
∂ − 
= − = −  ∂ piε  
�
� �
 ⇒ r2
0
QE a
4 r
=
piε
�
�
 
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4.6 – O DIPOLO ELÉTRICO 
 
É um sistema com 2 cargas pontuais iguais e simétricas (figura c) bem próximas tal que d < < r, 
sendo d a distância (separação) entre as cargas e r a distância do centro do dipolo a um ponto P 
desejado. 
 
 
Cálculo do potencial no ponto P devido ao dipolo na origem: 
 
P
0 1 0 2
Q QV
4 r 4 r
+ −
= +
piε piε
 
P
0 1 2
Q 1 1V
4 r r
 
= − 
piε  
 
2 1
P
0 1 2
r rQV
4 r r
 
−
=  
piε  
 
 
Sendo d << r, fazemos θ≅− cosdrr 12 e 221 rrr ≅ . Daí, 
p 2
0
Qd cosV 
4 r
θ
=
piε
 
 
Campo elétrico no ponto P devido ao dipolo elétrico na origem: 
 
( )r3
0
QdE 2cos a sen a
4 r θ
= θ + θ
piε
 (obtido de VE ∇−= ) 
 
Definindo momento de dipolo elétrico como dQp = , onde d é o vetor cuja magnitude é a 
distância entre as cargas do dipolo e cuja direção (e sentido) é de –Q para +Q: 
 
r
p 2
0
p a
V
4 r
.
=
piε
 
 
Notas: 
a) Com o aumento da distância, o potencial e o campo elétrico 
caem mais rápidos para o dipolo elétrico do que para a carga 
pontual. 
b) Para o dipolo elétrico fora da origem, o potencial é dado por: 
R
p 2
0
p a
V
4 R
.
=
piε
 
 
onde: 
Ra = versor orientado do centro do dipolo ao ponto desejado; 
R = distância do centro do dipolo ao ponto desejado. 
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4.7 – ENERGIA NO CAMPO ELETROSTÁTICO 
 
4.7.1 – Energia (trabalho) para uma distribuição discreta de cargas 
 
 
 
WE = trabalho total para trazer 3 cargas Q1, Q2, Q3 do ∞ e fixá-las nos pontos 1, 2, 3, nesta ordem: 
 
WE =W1 + W2 + W3 
WE = 0 + Q2 V2,1 + Q3 V3,1 + Q3 V3,2 (i) 
 
Nota: V2,1 = potencial no ponto 2 devido à carga Q1 no ponto 1 (V2,1 ≠ V21) 
 
Se as 3 cargas forem fixadas na ordem inversa, isto é, fixando Q3, Q2, Q1, nos pontos 3, 2, 1, temos: 
WE = W3’ + W2’ + W1’ 
WE = 0 + Q2 V2,3 + Q1 V1,2 + Q1 V1,3 (ii) 
 
(i) + (ii): 2WE = Q1 V1 + Q2 V2 + Q3 V3 
( )332211E VQVQVQ2
1W ++= 
 
Para N cargas: ∑
=
=
N
1i
iiE VQ2
1W
 [J] 
 
 
4.7.2 – Energia (trabalho) para uma distribuição contínua de carga 
 
Para uma região com distribuição contínua de carga, substituímos Qi da fórmula acima pela carga 
diferencial dQ = ρvdv e a somatória se transforma numa integral em todo o volume de cargas. 
∫ρ=
vol
vE Vdv2
1W
 [J] 
 
Pode-se demonstrar que o trabalho pode ser também expresso em função de D e/ou E como: 
 
dvED
2
1W
vol
E ∫= • ou 
2
E 0
vol
1W E dv
2
= ε∫ ou 
2
E
0vol
1 DW dv
2
=
ε∫ 
 
 
Nota: A densidade de energia do campo elétrico no vácuo pode ser obtida pelas expressões: 
2
2E
0
0
dW 1 1 1 DD E E
dv 2 2 2
•= = ε =
ε
 [J/m3] 
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Ex. 1 Calcular a energia WE armazenada num pedaço de cabo coaxial de comprimento L e 
condutores interno e externo de raios a e b, respectivamente, supondo que a densidade 
superficial de carga uniforme no condutor interno é igual a ρρρρs. 
 
Supondo uma gaussiana cilíndrica no interior do dielétrico (vácuo) de raio a < ρ < b, e 
aplicando a lei de Gauss ( int
S
QSdD =∫ • ), obtemos: 
ρ
ρ
=⇒piρ=piρ aa ss DL2L2D 
Substituindo na equação de energia obtida acima: 
( )2L 22 s
E
0 0vol z 0 0
/1 D 1W dv d d dz
2 2
pi
= φ= ρ=
ρ ρ
= = ρ ρ φ
ε ε∫ ∫ ∫ ∫
b
a
a
 
[ ]
2 2
s
E
0
1W 2 L
2
ρ
= ρ pi
ε
b
a
a ln 
 
Daí, obtemos finalmente: 
2 2
s
E
0
LW pi ρ=
ε
a bln
a
 
 
Ex. 2 Calcular a energia WE armazenada num capacitor de placas paralelas no vácuo, sendo V a 
diferença de potencial entre as placas iguais de área S e separadas por uma distância d. 
Supor o campo elétrico entre as placas uniforme desprezando os efeitos de bordas. 
 
Da equação de energia obtida acima, e sabendo que V = E d, obtemos: 
2
2 0
E 0
1 VW E dv dv
2 2 d
ε  
= ε =  
 
∫ ∫ ⇒ 
20
E
S1W V
2 d
ε
=
 
 
Tomando a expressão da capacitância do capacitor de placas 
paralelas ideal (cap. 5), teremos: 
2
E CV2
1W =
 onde 0SC
d
ε
= 
 
4.8 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
4.1) Três cargas pontuais idênticas de carga Q são colocadas, umaa uma, nos vértices de um 
quadrado de lado a. Determinar a energia armazenada no sistema após todas as cargas serem 
posicionadas. 
Resposta: ( )24
8
QW
o
2
E +⋅
piε
=
a
 [J]. 
 
4.2) Seja uma carga distribuída ao longo da porção |z| < 1 m do eixo z, com densidade linear de 
carga ρL = kz [ηC/m]. Determinar: 
a) O potencial em um ponto qualquer sobre o plano z = 0; 
b) O potencial em um ponto do eixo z situado a uma altura h = 2 m do plano z = 0. 
 
Respostas: a) VA = 0; b) VB = 1,775 [kV]. 
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4.3) Um quadrado de vértices A(0,0,0), B(0,1,0), C(1,1,0) e D(1,0,0), possui uma distribuição 
linear uniforme de carga com densidade ρL = 10 [pC/m] ao longo do lado AB, uma carga 
pontual Q1 = 1 [pC] no vértice C, uma carga pontual Q2 = -10 [pC] no vértice D. Determinar, 
no centro P do quadrado: 
a) O potencial elétrico devido a cada uma das três cargas; 
b) O potencial elétrico total devido às três cargas. 
 
Respostas: a) VP1 = 0,0127 [V], VP2 = – 0,127 [V], VL = 0,1584 [V]; b) VPT = 0,044 [V]. 
 
4.4) Um campo elétrico é dado em coordenadas cilíndricas por: � �E a V
m
=




100
2ρ ρ
 
Conhecidos os pontos A(3,0,4), B(5,13,0) e C(15,6,8), expressos em coordenadas cartesianas, 
determinar: 
 a) A diferença de potencial VAB; 
 b) O potencial VA se a referência zero de potencial está no ponto B; 
 c) O potencial VA se a referência zero de potencial está no ponto C; 
 d) O potencial VA se a referência zero de potencial está no infinito. 
 
Respostas: a) VAB = 26,15 [V]; b) VA = 26,15 [V]; c) VA = 27,14 [V]; d) VA = 33,33 [V]. 
 
4.5) Uma superfície esférica no espaço livre, definida por r = 4 cm, contém uma densidade 
superficial de carga de 20 [µC/m2]. Determinar o valor do raio rA,, em centímetros, se a região 
compreendida entre as esferas de raios r = 6 cm e r = rA contém exatamente 1 mJ de energia. 
 
Resposta: rA = 6,54 [cm]. 
 
4.6) O campo potencial no vácuo é expresso por V = k/ρ. 
a) Determinar a quantidade de carga na região cilíndrica a < ρ < b e 0 < z < 1. 
b) Determinar a energia armazenada na região cilíndrica a < ρ < b e 0 < z < 1. 
 
Respostas: a) 





−⋅=
ab
11k2Q opiε ; b) 






−⋅=
22
2
oE
11k
2
1W
ba
piε . 
4.7) Uma linha de cargas uniforme de 2 m de comprimento com carga total de 3 nC está situada 
sobre o eixo z com o ponto central da linha localizado a +2 m da origem. Num ponto P sobre 
o eixo x, distante +2 m da origem, pede-se: 
a) Determinar o potencial elétrico devido a linha de cargas; 
b) Determinar o potencial elétrico se a carga total for agora concentrada no ponto central da 
linha; 
c) Calcular e comentar sobre a diferença percentual entre os dois valores de potencial obtidos. 
 
Respostas: a) VPL = 9,63 V; 
b) VPQ = 9,55 V; 
c) (VPQ – VPL)x100%/VPQ = -0,83 % 
Uma carga concentrada produz um potencial menor do que esta mesma carga 
distribuída, caso sejam iguais as distâncias dos centros destas cargas ao ponto 
desejado. 
 
4.8) Uma carga Q0 = +10 µC está colocada no centro de um quadrado de lado 1 m e vértices A, B, 
C, D. Supondo o meio o vácuo, determinar o trabalho necessário para: 
a) Mover a carga QA = +10 µC do infinito até fixá-la no vértice A do quadrado; 
b) Mover também a carga QB = –20 µC do infinito até fixá-la no vértice B do quadrado; 
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c) Finalmente mover também a carga QC = +30 µC do infinito até fixá-la no vértice C do 
quadrado. 
 
Respostas: a) WA = 1,271 J; b) WB = –4,340 J; c) WC = 0,327 J. 
 
4.9) a) Determinar o potencial VP no ponto P(2, 0, 0) devido a uma carga total Q = 2 nC 
distribuída uniformemente ao longo do eixo y, de y = 0 até y = 2 m. 
b) Supondo que a mesma carga total Q = 2 nC seja agora concentrada num ponto, determinar 
em que posição esta deverá ser colocada ao longo do eixo y para produzir o mesmo 
potencial VP no ponto P(2, 0, 0) obtido no item (a). 
 
Respostas: a) VP = 7,9324 V; 
b) y = ± 1,072 m. 
 
4.10) a) Determinar a fórmula para o cálculo da diferença de potencial entre 2 pontos quaisquer A 
e B devido a uma carga pontual Q, no vácuo. (Supor a carga na origem.) 
 b) Determinar a fórmula para o cálculo da diferença de potencial entre 2 pontos quaisquer A 
e B devido a uma carga distribuída uniformemente numa linha infinita com densidade ρL, 
no vácuo. 
 c) Uma carga com densidade linear constante ρL está distribuída sobre todo o eixo z e uma 
carga pontual Q está localizada no ponto (1, 0, 0). Sejam os pontos A(4, 0, 0), B(5, 0, 0) 
e C(8, 0, 0). Se VAB = VBC = 1 volt, determinar os valores numérico de ρL e de Q. O 
meio é o vácuo. 
 
Respostas: a) 





−
piε
=
BAo r
1
r
1
4
Q
ABV ; 
b) 
A
B
o
L ln
2 ρ
ρ
piε
ρ
=ABV ; 
c) 81,86L −=ρ pC/m; Q = 1800,04 pC 
 
4.11) Sabendo-se que ( )222 yxln4z20yx2 +−+=V V, no vácuo, determine o valor das seguintes 
grandezas no ponto P(6; -2,5; 3): 
a) V; b) E ; c) D ; d) ρv. 
 
Respostas: a) 135P −=V [V]; b) zyxP a20a5,72a1,61E −−= [V/m]; 
c) zyxP a177a642a541D −−= [pC/m2]; d) 5,88v =ρ [pC/m3]. 
 
4.12) Um dipolo z1 a20p = nC.m, localiza-se na origem, no vácuo, e um segundo dipolo 
z2 a50p −= nC.m localiza-se em (0, 0, 10). 
Determine V e E no ponto médio entre os dipolos. 
 
Resposta: 2,25M =V [V]; zM a32,4E −= [V/m]. 
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 32 
5.5 – A NATUREZA DOS MATERIAIS DIELÉTRICOS – POLARIZAÇÃO (P) 
 
Polarização P é definido como sendo o momento elétrico total por unidade de volume, isto é: 
 
v
plimp
v
1limP total
0v
vn
1i
i
0v ∆
=∑
∆
=
→∆
∆
=→∆
 (Unidade: C/m2 – mesma unidade de D ) 
 
onde n é o número de dipolos elétricos por unidade de volume ∆v 
A lei de Gauss relaciona a densidade de fluxo elétrico D com a carga elétrica livre, Q, isto é: 
 
∫ •= SdDQ (Nota: D sai ou diverge da carga livre positiva) 
 
Por analogia, pode-se também relacionar o campo P com uma carga, QP, que produz este campo, 
sendo esta carga chamada de carga de polarização. 
 
∫ •−= SdPQ P (Nota: P sai ou diverge da carga de polarização negativa) 
 
A lei Gauss em termos da carga total, QT, (lei de Gauss generalizada) é expressa por: 
 
∫ •ε= SdEQ oT 
 
onde: 
QT = Q + QP = soma da carga livre com a carga de polarização 
εo = 8,854×10-12 = permissividade elétrica do vácuo (unidade: F/m) 
 
Substituindo as cargas pelas suas expressões com integrais, obtemos a seguinte expressão geral que 
relaciona os 3 campos D , E e P , para qualquer tipo de meio: 
 
PED o +ε= (Nota: No vácuo 0P = ) 
 
 
Para um material linear, homogêneo e isotrópico (mesma propriedade em todas as direções) tem-se: 
 
EP oeεχ= [C/m2]sendo χe é a suscetibilidade elétrica do material (constante adimensional, χ lê-se “csi”). Esta 
constante é relacionada com a permissividade elétrica relativa (ou constante dielétrica) do material, 
εR, (grandeza também adimensional) através da expressão: 
1Re −ε=χ 
 
Combinando estas 3 últimas equações obtém-se: 
 
ED ε=
 
 
onde: 
oRεε=ε 
 
sendo ε a permissividade elétrica absoluta do material, dada em F/m. 
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 33 
Relações usando as densidades volumétricas de carga livre, ρv (ou simplesmente ρ), de carga de 
polarização, ρP, e de carga total, ρT: 
 
dvQ vv ρ∫= ρ=∇ • D v 
dvQ PvP ρ∫= PP ρ−=∇ • 
dvQ TvT ρ∫= ToE ρ=ε∇ • 
 
 
5.6 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA MATERIAIS DIELÉTRICOS PERFEITOS 
 
 
Condição de contorno para as componentes tangenciais: 
Para o pequeno percurso fechado retangular da figura, pode-se aplicar: 
0LdE
retângulo
=•∫ (válida para o campo E conservativo) 
 
Fazendo 0h →∆ (tendendo a fronteira), obtemos: 
0LELE 2t1t =∆−∆ ⇒ 2t1t EE = ⇒ 2t1t EE = (Et é contínuo) 
 
Condição de contorno para as componentes normais: 
Para o pequeno cilindro da figura, pode-se aplicar: 
interna
cilindro
QSdD =•∫ (Lei de Gauss) 
 
Fazendo 0h →∆ (tendendo a fronteira), obtemos: 
(i) Para a fronteira com carga (ρS ≠ 0): 
SSDSD S2n1n ∆ρ=∆−∆ ⇒ S2n1n DD ρ=− (Neste caso Dn é descontínuo) 
 
(ii) Para a fronteira sem carga (ρS = 0): 
2n1n DD = (Neste caso Dn é contínuo) 
 
 
Relação de contorno se o meio 2 for um condutor perfeito (σ2 → ∞ ⇒ E2 = D2 = 0): 
 
Componentes tangenciais: 0E 1t = ⇒ 0D 1t = (as comp. tangenciais se anulam) 
Componentes normais: s1nD ρ= ⇒ 1s1n /E ερ= (existem somente comp. normais) 
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 36 
b
1
a
1
4
V
QC
o
−
piε
==
 (Se b → ∞ ⇒ a4C piε= = capacitância do capacitor esférico isolado) 
 
Ex. 4: Determinar C de uma linha de transmissão com dois fios infinitos paralelos 
 
Seja uma configuração condutora constituída por 2 fios (infinitos) paralelos, situados em um meio 
de permissividade ε, conforme mostrado na figura abaixo. 
 
 
Foi visto no capítulo 4 que a diferença de potencial entre 2 pontos A e B devido a um fio infinito 
com carga uniformemente distribuída é dada por: 
A
BL
AB ln2
V
ρ
ρ
piε
ρ
= (ρA e ρB são as menores distâncias do fio aos pontos A e B) (01) 
 
Para os 2 fios infinitos paralelos da figura, com cargas simétricas com densidade linear uniforme, o 
potencial do ponto P(x, y, 0) em relação a um ponto qualquer O (referência) no plano x = 0, é: 
1
2L
2
0L
1
0L
PO ln2
ln
2
ln
2
V
ρ
ρ
piε
ρ
=
ρ
ρ
piε
ρ
−
ρ
ρ
piε
ρ
=
 (02) 
 
onde: ρ1 e ρ10 = ρ0 são as menores distâncias do fio 1 (carga +) aos pontos P e O, respectivamente; 
ρ2 e ρ20 = ρ0 são as menores distâncias do fio 2 (carga –) aos pontos P e O, respectivamente. 
 
Da figura tem-se: 
 
( ) 221 yax +−=ρ (03) 
 
( ) 222 yax ++=ρ (04) 
 
Substituindo (03) e (04) em (02) e fazendo VPO = V (com a referência V0 = 0 implícita), obtém-se: 
 
( )
( )
( )
( ) 22
22
L
22
22
L
yax
yaxln
4yax
yaxln
2
V
+−
++
piε
ρ
=
+−
++
piε
ρ
= (05) 
 
Seja V = V1 = constante, uma superfície equipotencial. Então, o lugar geométrico dos pontos no 
espaço em que V = V1 é obtido fazendo: 
 
( )
( ) 1
/V4
22
22
ke
yax
yax L1
==
+−
++ ρpiε
 (06) 
onde k1 é uma constante arbitrária dependente de V1 e expressa por: 
 1
L
1 kln4
V
piε
ρ
= (07) 
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Desenvolvendo a expressão (06) temos: 
 
( ) 2222221 yaax2xyaax2xk +++=++− 
 
( ) ( ) ( )( ) 01kya1kax21kx 122112 =−+++−− 
 ( ) 0ya
1k
1k
ax2x 22
1
12
=++
−
+
− 
 
2
1
12
2
1
1
1k
ka2
y
1k
1k
ax








−
=+





−
+
− (08) 
 
A equação (08) representa uma circunferência centrada em: 
 
1k
1k
ahx
1
1
−
+
==
 e 0y = (09) 
e raio: 
 
1k
ka2
br
1
1
−
==
 (10) 
 
De (09), pode-se isolar k1, do seguinte modo: 
 akahhk 11 +=− 
 
( ) ahahk1 +=− 
 
ah
ahk1
−
+
= (11) 
 
Substituindo (11) em (10): 
 
ah
ah
a21
ah
ahb
−
+
=





−
−
+
 
 
ah
ah
a2
ah
a2b
−
+
=
−
 
 ( ) ah
ah
ah
b
2
2
−
+
=
−
 
 ah
ah
b2
+=
−
 
 
222 ahb −= 
 
22 bha −= (12) 
 
Substituindo agora (12) em (11) e racionalizando o denominador: 
( ) 2
2
22
222
2
22
22
22
22
22
22
22
1
b
bhh
bhh
bhh
bhh
bhh
bhh
bhh
bhh
bhhk





−+
=
−−





−+
=
−+
−+
×
−−
−+
=
−−
−+
= 
 
ou 
 
2
22
1 b
bhhk








−+
= (13) 
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Substituindo (13) em (07): 
 
b
bhhln
2b
bhhln
4
V
22
L
2
22
L
1
−+
piε
ρ
=








−+
piε
ρ
= (14) 
 
De (14) podemos obter a capacitância de um capacitor formado por um condutor cilíndrico no 
potencial V = V1 e um plano condutor no potencial V = 0, separados por uma distância h (ver 
figura abaixo). Esta pode ser obtida pela definição de capacitância por: 
 
 
0V
L
V
QC
1
L
o −
ρ
== ⇒ 









−+
piε
=
bbhhln
L2C
22
 (15) 
 
Para b << h, obtém se a capacitância de um capacitor formado por um fio condutor (de raio muito 
pequeno e igual a b) e um plano condutor, separados por uma distância h: 
 ( )bh2ln
L2C piε=
 (16) 
 
A expressão (15) também permite obter a capacitância do capacitor formado por 2 condutores 
cilíndricos nos potenciais V1 e –V1 (cargas simétricas), separados um do outro por uma distância 
2h (ver figura abaixo). 
 
Esta capacitância, obtida pela definição e da aplicação do método das imagens, corresponde a 
metade do valor encontrado em (15), isto é: 
 
 
2
C
V2
L
)V(V
L
V
Q
'C
1
L
11
L
o
=
ρ
=
−−
ρ
== ⇒ 









−+
piε
=
bbhhln
L
'C
22
 (17) 
 
Para b << h, obtém se a capacitância de um capacitor formado por 2 fios condutores (de raios 
muito pequenos e iguais a b), separados por uma distância 2h – configuração de uma linha de 
transmissão: 
 ( )bh2ln
L
'C piε=
 (18) 
 
 
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