Eletromag_UFU_exercícios_resolvidos

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0011
 
 –– AANNÁÁLLIISSEE
 
 VVEETTOORRIIAALL 
CAPÍTULO 01 
 
ANÁLISE VETORIAL 
 
1.1) Um vetor B� é dado por: zyx 32 aaaB
����
++= . Determine um vetor A
�
 de módulo igual 
a 3 e componente x unitária de modo que A
�
 e B
�
 sejam perpendiculares entre si. 
 
 Resolução: 
 
 Dados:





==⊥
++=
++=
1 x 3 
zyx
32
zyx
zyx
AB A
aaaA
aaaB
���
����
����
 (01) 
 
 3=A
�
 ⇒ 12 + y2 + z2 = 3 (02) 
 B A
��
⊥ ⇒ 0=• BA
��
 ⇒ 1 + 2y + 3z = 0 (03) 
 
 De (03): 
2
1z3y −−= (04) 
 
 Substituindo (04) em (02), temos: 
 07z6z13 3z
4
1z6z91 3z
2
1z31 22
2
2
2
=−+⇒=+
++
+⇒=+




 −−
+ 
 
 1a raiz 
13
7
z1 = (05) 
 2a raiz: 1z 2 −= (06) 
 
 Substituindo (05) em (04), temos: 
 
 
13
17y 
2
1
26
21
2
1
13
73
y 11 −=⇒−−=
−⋅−
= (07) 
 
 Substituindo (06) em (04), temos: 
 1y 
2
13
2
113y 22 =⇒
−
=
−−⋅−
=
)(
 (08) 
 
 Substituindo (05) e (07) em (01), temos: 
 
 zyx1 13
7
13
17
aaaA ���
�
+−= 
 
 Substituindo (06) e (08) em (01), temos: 
 
 zyx2 aaaA
���
−+= 
 
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0011
 
 –– AANNÁÁLLIISSEE
 
 VVEETTOORRIIAALL 
1.2) Transforme cada um dos seguintes vetores para coordenadas cilíndricas no ponto dado: 
a) � �A ax= 5 em P (ρ = 4, φ = 120o , z = 2); 
b) � �B ay= 6 em Q (x = 4, y = 3, z = -1); 
c) zyx a4a2a4C
����
−−= em R (x = 2, y = 3, z = 5). 
 
Resolução: 
 
a) zaaaA
����
zAAA ++= φφρρ onde: 
 






=⇒•=•=
−=⇒−=−=•=•=
−=⇒==•=•=
05
334120555
52120555
zz AA
,AsensenA
,AcoscosA
zxz
x
x
aaaA
aaaA
aaaA
����
����
����
�
�
φφφφ
ρρρρ
φ
φ
 
 φρ aaA
��� 33452 ,, −−=∴ 
 
b) Transformando o ponto Q (x = 4, y = 3, z = -1) de coordenadas cartesianas para cilíndricas, 
temos: 
( ) ( )1z87365Q
 
5
4
5
3
8736
x
y
arctg 
5yx
zQ
22
−=°==⇒














=
=
⇒°=⇒=
=+=
= ;,;
cos
sen
,
;; φρ
φ
φ
φφ
ρ
φρ 
 
 mas: 
 zz aaaB
����
BBB ++= φφρρ onde: 








=⇒•=•=
=⇒⋅==•=•=
=⇒⋅==•=•=
06
84
5
4666
63
5
3666
zzyzz
y
y
BB
,BcosB
,BsenB
aaaB
aaaB
aaaB
����
����
����
φφφφ
ρρρρ
φ
φ
 
 φρ aaB
��� 8463 ,, +=∴ 
 
c) Transformando o ponto R (x = 2, y = 3, z = 5) de coordenadas cartesianas para cilíndricas, 
temos: 
 
( ) ( )5z315613R
 
13
2
13
3
3156
x
y
arctg 
13yx
zR
22
=°==⇒















=
=
⇒°=⇒=
=+=
= ;,;
cos
sen
,
;; φρ
φ
φ
φφ
ρ
φρ 
 
 mas: 
 
 zaaaC
����
zCCC ++= φφρρ onde: 
 
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








−=⇒⋅−−=⋅=
−=⇒⋅−⋅−=−−=⋅−−=⋅=
=⇒⋅−⋅=−=⋅−−=⋅=
4424
4384
13
22
13
3424424
5550
13
32
13
2424424
zz C)(C
,Ccossen)(C
,Csencos)(C
zzyxz
zyx
zyx
aaaaaC
aaaaaC
aaaaaC
������
������
������
φφφφ
ρρρρ
φφ
φφ
 
 
 zaaaC
���� 443845550 −−=∴ φρ ,, 
 
 
1.3) Um campo vetorial é definido no ponto P (ρ = 20, φ = 120o , z = 10) como 
sendo: z534 aaaV
����
++= φρ . Determinar: 
a) a componente vetorial de V� normal à superfície ρ = 20; 
b) a componente vetorial de V� tangente à superfície φ = 120o; 
c) a componente vetorial de V� na direção do vetor � � �R a a= +6 8ρ φ ; 
d) um vetor unitário perpendicular a V� e tangente ao plano φ = 120o; 
e) o vetor V� no sistema de coordenadas cartesianas; 
 
Resolução: 
 
a) 
 Dados: 
z534 aaaV
����
++= φρ em P (ρ = 20, φ = 120o , z = 10). 
 
Sabe-se que TN VVV
���
+= e que ρρ aaVVN
����
)( •= . 
 
 Portanto: ρρρφρ aVaaaaaV NN
�������� 4 534 z =⇒•++= ])[( 
 
 
 
b) 
Dados: 
z534 aaaV
����
++= φρ em P (ρ = 20, φ = 120o , z = 10). 
 
Sabe-se que TN VVV
���
+= e que φφ aaVVN
����
)( •= . 
 
� Cálculo de NV
�
: 
 
 
φφφφρ
φφ
aVaaaaaV
aaVV
NN
N
��������
����
3 534 z =⇒•++=
•=
])[(
)(
 
� 
 
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� Cálculo de TV
�
: 
 
 zz 54 3534 aaVaaaaVVV TNT
����������
+=⇒−++=−= ρφφρ )( 
 
c) Dados: φρ aaR
��� 86 += . 
 RR aaVVR
����
)( •= , onde φρ
φρ
aaa
aa
R
R
a
���
��
�
�
� 8060
6436
86
RR ,, +=⇒
+
+
== 
φρφρφρφρ aaVaaaaaaaV RR
����������� 843882 80608060534 z ,,),,)](,,()[( +=⇒++•++=∴
 
d) Seja zz aaaA ���
�
AAA ++= φφρρ o vetor procurado. 
 Pelas condições apresentadas, temos:






=
⊥=•
°==
 versor um é pois ,1
 pois ,0
120 plano ao tangenteé pois ,0
AA
VAVA
A
��
����
� φφA
 
 
De (01), conclui-se que zz aaA
���
AA += ρρ (04) 
 
De (02), conclui-se que: 
 054534 zzzz =+⇒++•+=• AA)()A(A ρφρρρ aaaaaVA
�������
 (05) 
 
De (03), conclui-se que 12z2 =+ AAρ (06) 
De (05): 
4
5
zAA −=ρ (07) 
Substituindo (07) em (06), temos: 
 6250
41
161
16
25
z
2
z
2
z ,AAA ±=±=⇒=+ (08) 
 
Substituindo (08) em (07), temos: 
 
 7810 ,A ∓=ρ (09) 
 
 Substituindo (08) e (09) em (01), temos: 
 
 ( )z62507810 aaA ��� ,, +−±= ρ 
 
e) Cálculo das componentes, em coordenadas cartesianas, do vetor V
�
: 
 





=⇒•++=•=
=⇒°+=+=•++=•=
−=⇒°−=−=•++=•=
5534
96411203120434534
59841203120434534
zzz
yyzyy
xxzxx
V)(V
,Vcossencossen)(V
,Vsencossencos)(V
zz aaaaaV
aaaaaV
aaaaaV
������
������
������
�
�
φρ
φρ
φρ
φφ
φφ
 
 
 zyx 596415984 aaaV
����
++−=∴ ,, 
(01) 
(02) 
(03) 
 
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 VVEETTOORRIIAALL 
1.4) Se 1a
�
 é um vetor unitário dirigido da origem ao ponto (-2,1,2), determinar: 
a) um vetor unitário 2a
�
 paralelo ao plano x = 0 e perpendicular a 1a
� ; 
b) um vetor unitário 3a
�
 perpendicular a 1a
�
 e 2a
�
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
� Cálculo de 1a
�
: 
 
 zyx1222
zyx
1
1
1 3
2
3
1
3
2
212
22
aaaa
aaa
A
A
a
����
���
�
�
�
++−=⇒
++−
++−
==
)(
 
 
a) Seja z
z
2yy2xx22
aaaa
����
aaa ++= o vetor procurado. 
 
 Pelas condições apresentadas, temos:





=
⊥=•
==
 versorum é pois ,1
 pois ,0
 0 xplano ao paralelo é pois ,0
22
1212
2x2
aa
aaaa
a
��
����
�
a
 
 
 De (01), conclui-se que: 
 
 zz2yy22 aaa
���
aa += (04) 
 
 De (02), conclui-se que: 
 
 
)()a(a zyxzz2yy212 3
2
3
1
3
2
aaaaaaa
�������
++−•+=•
 
 0
3
2
3
1
z2y212 =+=•∴ aaaa
��
 (05) 
 
 De (03), conclui-se que 12
z2
2
y2
=+ aa (06) 
 
 De (05), 
z2y2 2 aa −= (07) 
 
 Substituindo (07) em (06), temos: 
 
 
5
514
z2
2
z2
2
z2
±=⇒=+ aaa (08) 
(01) 
(02) 
(03) 
 
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 Substituindo (08) em (07), temos: 
 
 
5
52
y2 ∓=a (09) 
 
 Substituindo (08) e (09) em (04), temos: 
 
 ( )zy2 255 aaa ��� +−±= 
 
b) Seja z
z
3yy3xx33
aaaa
����
aaa ++= o vetor procurado. 
 Pelas condições apresentadas, temos: 
 
 



=
⊥×=
 versor um é pois ,1
 e por formado plano ao pois ,
33
213213
aa
aaaaaa
��
������
 
 
 De (01), conclui-se que 
 
 zyx3
zyx
3 15
54
15
52
15
54
15
5
5
5
 5
52
 0 
3
2
 3
1
 3
2
 
aaaa
aaa
a
����
���
�
±±





±±=⇒
±±
−= 
 
 Logo: ( )zyx3 425155 aaaa ���� ++±= 
 
1.5) Determinar: 
a) qual é a componente escalar do vetor yx xy aaE
���
−−= no ponto P (3, -2, 6 ) que está 
apontada para o ponto Q (4, 0, 1 ); 
b) qual é a equação (escalar) da linha no plano z = 0 que é perpendicular ao vetor 
yx 43 aaA
���
−= e passa através do ponto P (1, 5, 0 )? 
 
Resolução: 
 
a) 
 
 
 
 
 Definições: 
 PE
�
 é o vetor dado E
�
 no ponto P yxPyxP 32xy aaEaaE
������
−=⇒−−=⇒ 
 PQ é um vetor dirigido do ponto P para o ponto Q. 
 
QP
E é a componente escalar de PE
�
 na direção de PQE
�
. 
 .PQa
�
 é o vetor unitário de PQ 
(01) 
(02) 
 
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� Cálculo de PQa
�
: 
30
52
2541
52 zyx
PQ
zyx
PQ
aaa
a
aaa
PQ
PQ
a
���
�
���
� −+
=⇒
++
−+
== 
 
� Cálculo de 
QP
E : 
 
30
4E 
30
52
32EE
QP
zyx
yxQPPQPQP
−=⇒







 −+
•−=⇒•=
aaa
aaaE
���
����
)( 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Seja yx 5y1x aav
���
)()( −+−= o vetor dirigido de P para Q (vetor na direção da linha). 
 Mas Av
��
 ⊥ ⇒ 0=• vA �
�
 
 
 0174y-3x 05y41x305y1x43 yxyx =+⇒=−−−⇒=−+−•−∴ )()(])()[()( aaaa
����
 
 
 Assim, 3x-4y+17=0 é a equação da linha no plano z = 0 que é perpendicular ao vetor A
�
 e 
passa pelo ponto P 
 
1.6) Encontrar o vetor em coordenadas: 
a) cartesianas que se estende de P (ρ = 4, φ = 10o , z = 1) a Q (ρ = 7, φ = 75o , z = 4). 
b) cilíndricas no ponto M (x = 5, y = 1, z = 2) que se estende até N (x = 2, y = 4, z = 6). 
 
Resolução: 
 
a) Dados: ( )( )

=°==
=°==
4z757 Q
1z104 P
;;
;;
φρ
φρ
 
 
Definindo PQ como o vetor, em coordenadas cartesianas, que 
estende-se do ponto P ao ponto Q, temos: 
zzyyxx aaaOPOQPQ
���
PQPQPQ ++=−= , onde OQ é 
o vetor dirigido da origem ao ponto Q e OP é o vetor dirigido 
da origem ao ponto P. 
� Cálculo do vetor OP : 
 zyx aaaOP
���
zyx OPOPOP ++= , onde: 




=⇒=
=⇒°==
=⇒°==
1z
695,0104
939,3104
zz
yy
xx
OPOP
OPsensenOP
OPcoscosOP
φρ
φρ
 
 zyx aaaOP
���
++=∴ 695,0939,3 
 
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� Cálculo do vetor OQ : 
 zyx aaaOQ
���
zyx OQOQOQ ++= ,onde: 




=⇒=
=⇒°==
=⇒°==
4z
761,6757
812,1757
zz
yy
xx
OQOQ
OQsensenOQ
OQcoscosOQ
φρ
φρ
 
 zyx aaaOQ
��� 476168121 ++=∴ ,, 
 
 mas: zzyyxx aaaOPOQPQ
���
PQPQPQ ++=−= , onde: 
 zyx aaaPQ
��� 3076132 
3
07,6
13,2
zzzz
yyyy
xxxx
++−=⇒




=⇒−=
=⇒−=
−=⇒−=
,,
OQOPOQPQ
PQOPOQPQ
PQOPOQPQ
 
b) Dados: ( )( )

=°==
===
4z757 Q
2z1y5x M
;;
;;
φρ 
 
Podemos escrever o vetor MN em coordenadas cartesianas 
da seguinte forma: 
zzyyxx aaaOMONMN
���
MNMNMN ++=−= , onde 
zyx aaaON
��� 642 ++= e zyx aaaOM
��� 25 ++= .Portanto, 
4 3 3 zyx ==−= MN;MN;MN e 
zyx aaaMN
��� 433 ++−= . 
 
� Cálculo do vetor MN em coordenadas cilíndricas: 
 
 zaaaMN
���
zMNMNMN ++= φφρρ onde: 
 
 







=⋅++−=⋅=
+=⋅++−=⋅=
+−=⋅++−=⋅=
4433
33433
33433
zzz aaaaaMN
aaaaaMN
aaaaaMN
zyx
zyx
zyx
�����
�����
�����
)(MN
cossen)(MN
sencos)(MN
φφ
φφ
φφφ
ρρρ
 
 No ponto M, temos: 
 
26
5x
26
1y
 
26yx 22









==
==
=+=
ρ
φ
ρ
φ
ρ
cos
sen 
 Portanto:








=
=⇒+=
−=⇒+−=
4
26
18
26
53
26
13
26
12
26
13
26
53
zMN
MNMN
MNMN
φφ
ρρ
 
 Logo: zz 4
26
18
26
12
 aaaMNaaaMN z
������
++−=⇒++= φρφφρρ MNMNMN 
 
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 VVEETTOORRIIAALL 
1.7) Sejam os pontos P ( 3, -4, 5 ) e Q ( 1, 2, 3 ) e W� um vetor localizado no ponto P cuja 
magnitude seja igual à distância entre P e Q. Determine o vetor W� apontado para Q: 
a) no sistema de coordenadas cartesianas; 
b) no sistema de coordenadas cilíndricas; 
c) no sistema de coordenadas esféricas. 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 No ponto P, temos: 
 











−=
++
=−=
++
+
=°==
==−==°−==
=+=
70710
zyx
z
 ; 70710
zyx
yx
 ; 135
z
 arctg 
 60x ; 80y ; 1353
x
y
arctg
 5yx
222222
22
22
,cos,sen
,cos,sen,
θθρθ
ρ
φ
ρ
φφ
ρ
(01) 
 
a) zzyyxx aaaW
����
WWW ++= 
 zyxzyx 862 534231 aaaWaaaW
��������
++−=⇒−−+−−+−=∴ ))(())(()( 
 
b) zz aaaW
����
WWW ++= φφρρ 
 
� Cálculo das componentes, em coordenadas cilíndricas, do vetor W
�
: 
 





=⇒•++−=•=
=⇒+−=+=•++−=•=
−=⇒−+−=+−=•++−=•=
8862
260680262862
680660262862
zzzyxzz
zyx
zyx
W)(W
W),(),(cossen)(W
W),(),(sencos)(W
aaaaaW
aaaaaW
aaaaaW
������
������
������
φφφφ
ρρρρ
φφ
φφ
 
 
 z826 aaaW
����
++−=∴ φρ 
 
c) φφθθ aaaW
����
WWW ++= rr (01) 
 
� Cálculo das componentes, em coordenadas esféricas, do vetor W
�
: 
 






+=⇒•++−=•=
−+−=⇒•++−=•=
++−=⇒•++−=•=
φφ
θφθφθ
θφθφθ
φφφφ
θθθθ
cossenW)(W
sensencoscoscosW)(W
cossensencossenW)(W
62862
862862
 862862
zyx
zyx
rrzyxrr
aaaaaW
aaaaaW
aaaaaW
������
������
������
 
(02) 
(03) 
(04) 
 
– Página 1.10 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0011
 
 –– AANNÁÁLLIISSEE
 
 VVEETTOORRIIAALL 
 Substituindo (01) em (02), temos: 
 
 90,97071088070710660707102 rr −=⇒−+−+−= W),(),)(,(),)(,(W (05) 
 
 Substituindo (01) em (03), temos: 
 
 4117071088070710660707102 ,W),(),)(,(),)(,(W −=⇒−−−+−−= θθ (06) 
 
 Substituindo (01) em (04), temos: 
 
 2606802 −=⇒+= φφ W),(),(W (07) 
 
 Substituindo (05), (06) e (07) em (01), temos: 
 
 φθ aaaW
���� 2411909 r +−−= ,, 
 
 
1.8) Um campo vetorial é definido no ponto P ( r = 10, θ = 150o, φ = 60o ) como sendo: 
φθ aaaG
���� 543 r ++= . Determinar: 
a) a componente vetorial de G
�
 normal a superfície r = 10; 
b) a componente vetorial de G
�
 tangente ao cone θ = 150o; 
c) a componente vetorial de G
�
 na direção do vetor φaaR
��� 86 r += ; 
d) um vetor unitário perpendicular a G
�
 e tangente ao plano φ = 60o; 
 
Resolução: 
 
a) Dados: 
 φθ aaaG
���� 543 r ++= em P ( r = 10, θ = 150o, φ = 60o ). 
 
Sabe-se que TN GGG
���
+= e que rr aaGG N
����
)( •= . 
Portanto: 
rrrr 3 543 aGaaaaaGNN
��������
=⇒•++= ])[( φθ 
 
 
 
b) 
 
 Dados: 
 φθ aaaG
���� 543 r ++= em P ( r = 10, θ = 150o, φ = 60o ). 
 
Sabe-se que TN GGG
���
+= e que θθ aaGG N
����
)( ⋅= . 
 
 
 
� Cálculo de NG
�
: 
 
 θθθφθθθ aGaaaaaaaGG NN
����������� 4 543 r =⇒•++=•= ])[()( 
 
– Página 1.11 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0011
 
 –– AANNÁÁLLIISSEE
 
 VVEETTOORRIIAALL 
� Cálculo de TG
�
: 
 
 φθφθ aaGaaaaGGG TNT
���������� 53 4543 rr +=⇒−++=−= )( 
 
c) Dados: φaaR
��� 86 r += 
 RR aaGG R
����
)( •= , onde φ
φ
aaa
aa
R
R
a
���
��
�
�
� 8060
6436
86
rR
r
R ,, +=⇒
+
+
== 
 
φφφφθ aaGaaaaaaaG RR
����������� 644483 80608060543 rrrr ,,),,)](,,()[( +=⇒++•++=∴ 
 
d) 
 
Dados: 
φθ aaaG
���� 543 r ++= em P ( r = 10, θ = 150o, φ = 60o ). 
 
 
 Seja φφθθ aaaS
����
SSS ++= rr o vetor procurado. 
 
 Pelas condições apresentadas, temos:






=
⊥=⋅
°==
 versor um é pois ,1
 pois ,0
 60 plano ao tangenteé pois ,0
SS
GSGS
S
��
����
� φφS
 
De (01), conclui-se que θθ aaS
���
SS += rr (04) 
 
De (02), conclui-se que : 
 
 043543 rrrr =+⇒++•+=• θφθθθ SS)()S(S aaaaaGS
�������
 (05) 
 
De (03), conclui-se que 122r =+ θSS (06) 
 
De (05): 
3
4
r θSS −= (07) 
 
Substituindo (07) em (06), temos: 
 
 
5
31
9
16 22 ±=⇒=+ θθθ SSS (08) 
 
Substituindo (08) em (07), temos: 
 
 
5
4
r ∓=S (09) 
 Substituindo (08) e (09) em (04), temos: 
 
 





−±= θaaS
���
5
3
5
4
r 
(01) 
(02) 
(03) 
 
– Página 2.1 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022
 
 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 
CAPÍTULO 02 
 
LEI DE COULOMB E INTENSIDADE DE CAMPO ELÉTRICO 
 
 
2.1) Um fio de 2 m está carregado uniformemente com 2 µC. A uma distância de 2 m de sua 
extremidade, no seu prolongamento, está uma carga pontual de 2 µC. Obter o ponto no 
espaço onde o campo elétrico seja nulo. 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
� Definições: 
 P (2+d; 0; 0) é o ponto onde o campo elétrico resultante é nulo. 
 1E
�
 é o campo elétrico gerado em P pela carga Q. 
 2E
�
 é o campo elétrico gerado em P pelo fio. 
 
� Cálculo do campo elétrico gerado em P pela carga Q: 
 
 )(
)(
x2
o
1
d24
Q
aE �
�
−
−
=
piε
, onde Q = 2µC. (01) 
 
� Cálculo do campo elétrico gerado em P pelo fio: 
 
 ∫
+−
= x2
o
L
2
dx24
dL
aE �
�
)(piε
ρ
,onde: [ ]




=
=⇒=
∆
∆
=
dxdL
m
C1
m2
C2
L
Q
LL ρ
µρ
 (02) 
 
 De (01), conclui-se que ∫
=
+−
=
2
0x
x2
o
L
2
dx24
dx
 aE �
�
)(piε
ρ
 (03) 
 
 Substituição de variáveis na integral:



−=
+−=
dxdu
dx2u
 (04) 
 
 Substituindo (04) em (03), temos: 
 
 




+
−−=∴




+−
−=⇒
−
=⇒=
=
=
−
∫
d2
1
d
1
4
dx2
1
41
u
4u
du
 
4
o
L
2
x
2
0xo
L
2x
2
0x
1
o
L
2x2
o
L
2
piε
ρ
piε
ρ
piε
ρ
piε
ρ
E
aEaEaE
�
������
 
(05) 
 
– Página 2.2 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022
 
 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 
 Para o campo elétrico ser nulo em P, é necessário que 021 =+ EE
��
. (06) 
 
 Substituindo (01) e (05) em (06), temos: 
 
 
][
)())(()(
)()(
m 
3
2d0dd4d4dd4d4d2d88d2d4
0d2dd2d2d2d2
0
d2
1
d
1
d2
20
d2
1
d
1
4
101
d24
102
323222
22
2
o
6
2
o
6
=⇒=+−+−+−−+−+
=−+−+−+
=
+
+−
−
⇒=





+
−
⋅
−
−
⋅
−−
piεpiε
 
 
 Logo, as coordenadas do ponto P são: ( 2,67; 0; 0 ) [m] 
 
 
2.2) Uma linha de carga com ρL = 50 ηC/m está localizada ao longo da reta x = 2, y = 5, no 
vácuo. 
a) Determinar E� em P (1, 3, -4 ); 
b) Se a superfície x = 4 contém uma distribuição superficial de carga uniforme com 
ρS = 18 ηC/m2, determinar em que ponto do plano z = 0 o campo elétrico é nulo. 
 
Resolução: 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
� Campo elétrico para uma linha de cargas: 
 
 ρρpiε
ρ
aE �
�
o
L
L 2
= , onde: 





=
ρ
ρρ
ρ
ρ
��
�
�
 de unitário o é 
 P ponto o para linha da dirigido vetor o é 
a
 (01) 
 
� Cálculo de ρ� e de ρ: 
 
 yxzyx 205321 aaaaa
�������
−−=⇒+−+−= ρρ )()( 
 (02) 
 521 22 =⇒+= ρρ 
 
� Cálculo de ρa
�
: 
 
5
2
 
yx aa
a
��
�
�
� −−
==
ρ
ρ
ρ (03) 
 
– Página 2.3 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022
 
 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 
 Substituindo (02) e (03) em (01), temos: 
 
 
][
)(
mV 360180
2180
5
2
52
1050
yx
yx
yx
o
9
aaE
aaE
aa
E
���
���
��
�
−−=
−−=⇒
−−
⋅
⋅
=
−
piε
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para TE
�
 ser nulo no ponto Q (x, y, 0 ), este deve estar localizado entre o plano e a linha. 
 
 
� Campo elétrico para uma linha de cargas: 
 
 ρρpiε
ρ
aE �
�
o
L
L 2
= , onde: 





=
ρ
ρρ
ρ
ρ
��
�
�
 de unitário o é 
 P ponto o para linha da dirigido vetor o é 
a
 (01) 
 
� Campo elétrico para uma distribuição superficial de cargas: 
 
 N
o
S
P 2
aE �
�
ε
ρ
= , onde: 0). y, (x, de direcão na superfície à normal unitário o é Na
�
 (02) 
 
� Cálculo do campo elétrico no ponto Q devido à linha: 
 
 









−+−
−+−
=
−+−=−+−=
22
yx
22
yx
5y2x
5y2x
5y2x ; 5y2x
)()(
)()(
)()()()(
aa
a
aa
��
�
���
ρ
ρρ
 (03) 
 
 
– Página 2.4 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022
 
 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 
 Substituindo (03) em (01), temos: 
 
 
22
yx
22
o
L
L
o
L
L
5y2x
 5y 2x
5y2x22 )()(
)()(
)()( −+−
−+−
−+−
=⇒=
aa
EaE
��
���
piε
ρ
ρpiε
ρ
ρ 
 ])()[(
])()[(
yx22
o
L
L 5y 2x
5y2x2
aaE ��
�
−+−
−+−
=∴
piε
ρ
 (04) 
 
� Cálculo do campo elétrico no ponto Q devido à superfície: 
 
 xN aa
��
−= (05) 
 
 Substituindo (05) em (02), temos: 
 
 x
o
S
P 2
aE �
�
ε
ρ
−= 
 
 Mas 0PLT =+= EEE
���
 (07) 
 
 Substituindo (04) e (06) em (07): 
 
 







=⇒=
−
⇒=−
−+−
−
=⇒=
−+−
−
∴
=








−+−
−
+








−
−+−
−
=
⋅
⋅
−
−+−
−+−
⋅
−+−⋅
⋅
=−
−+−
−+−
⋅
−+−
=
−
−
−
−
88,2x 324
2x
9000324
5y2x
2x900
5y 0
5y2x
5y900
0 
5y2x
5y900
 324
5y2x
2x900
0
36
102
1018
5y2x
 5y 2x
5y2x
36
102
1050
0
25y2x
5y 2x
5y2x2
22
22
y22x22
x9
9
22
yx
22
9
9
x
o
S
22
yx
22
o
L
T
pipi
pi
pipi
pi
ε
ρ
piε
ρ
)()(
)(
)()(
)(
)()(
)(
)()(
)(
)()(
)()(
)()(
)()(
)()()()(
aa
a
aa
a
aa
E
��
�
��
�
��
�
 
 
 
 Logo, as coordenadas do ponto Q são: (x = 2,88; y = 50;z = 0). 
 
 
2.3) Oito cargas pontuais de 1 µC cada uma estão localizadas nos vértices de um cubo de 1 m 
de lado, no espaço livre. Encontrar E
�
 no centro: 
a) do cubo; 
b) de uma face do cubo; 
c) de uma aresta do cubo; 
 
(06) 
 
– Página 2.5 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022
 
 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
P ( 0,5; 0,5; 0,5 )é o centro do cubo; 
K ( 0,5; 1; 0,5 )é o centro de uma face; 
M ( 1; 0,5; 0 )é o centro de uma aresta. 
 
 
 
 
 
 
 
a) Como as cargas são todas iguais e simétricas, elas produzem campos iguais e em oposição. 
Logo, o campo elétrico em P é nulo. 
 
b) KKKKKKKKK EEEEEEEEE DHEAFBCG
���������
+++++++= , onde: 
 
 
D; em carga pela em gerado campo o é 
H; em carga pela em gerado campo o é 
E; em carga pela em gerado campo o é 
A; em carga pela em gerado campo o é 
F; em carga pela em gerado campo o é 
B; em carga pela em gerado campo o é 
C; em carga pela em gerado campo o é 
G; em carga pela em gerado campo o é 
D; e H E, A, F, B, C, G, em carga pelas em gerado campo o é 
D
H
E
A
F
B
C
G
KE
KE
KE
KE
KE
KE
KE
KE
KE
K
K
K
K
K
K
K
K
K
�
�
�
�
�
�
�
�
�
 
 
 Por simetria: 
 
 0FBCG =+++ KKKK EEEE
����
, o que torna KKKKK EEEEE DHEA
�����
+++= . (01) 
 
� Cálculo de KEA
�
: 
 
K
K
k aE AR2
Ao
A
R4
Q ��
piε
= , onde: 







=
.
;
;
KK
KK
K
Ra
R
KAR
AAR
AA
A
 de versor um é
R
 ponto ao em carga da dirigido vetor o é 
��
�
�
 
 
 
– Página 2.6 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022
 
 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 
 
K
K
KKK
R
aaaaR
A
A
ARAzyxA R 
 ; 51R ; 5050
�
�����
==++= ,,,
 
 
 K
K
k RE A23
Ao
A
R4
Q ��
piε
=∴ (02) 
 
� Cálculo de KEE
�
: 
 
K
K
k aE ER2
Eo
E
R4
Q ��
piε
= , onde: 







===
.
;
;
KK
KKKK
K
Ra
RR
KER
EER
AEAE
E
 de versor um é
RR
 ponto ao em carga da dirigido vetor o é 
��
��
�
 
 
 
K
K
KKKK
R
aaaaR
A
E
ERAEzyxE R 
 ; 51RR ; 5050
�
�����
===++−= ,,,
 
 
 K
K
k RE E23
Ao
E
R4
Q ��
piε
=∴ (03) 
 
� Cálculo de KEH
�
: 
 
K
K
k aE HR2
Ho
H
R4
Q ��
piε
= , onde: 







===
.
;
;
KK
KKKK
K
Ra
RR
KHR
HHR
AHAH
H
 de versor um é
RR
 ponto ao em carga da dirigido vetor o é 
��
��
�
 
 
 
K
K
KKKK
R
aaaaR
A
H
HRAHzyxH R 
 ; 51RR ; 5050
�
�����
===−+−= ,,,
 
 
 K
K
k RE H23
Ao
H
R4
Q ��
piε
=∴ (04) 
 
� Cálculo de KED
�
: 
 
K
K
k aE DR2
Do
D
R4
Q ��
piε
= , onde: 







===
.
;
;
KK
KKKK
K
Ra
RR
KDR
DDR
ADAD
D
 de versor um é
RR
 ponto ao em carga da dirigido vetor o é 
��
��
�
 
 
K
K
KKKK
R
aaaaR
A
D
DRADzyxD R 
 ; 51RR ; 5050
�
�����
===−+= ,,,
 
 
 K
K
k RE D23
Ao
D
R4
Q ��
piε
=∴ (05) 
 
 
– Página 2.7 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022
 
 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 
 Substituindo (02), (03), (04) e (05) em (01): 
 
 )( KKKK
K
k RRRRE DHEA23
AoR4
Q �����
+++=
piε
 (06) 
 
 Mas: 
yDHEA
zyxzyxzyxzyxDHEA
4
5050505050505050
aRRRR
aaaaaaaaaaaaRRRR
KKKK
KKKK
�����
����������������
=+++∴
−++−+−+++−+++=+++ ),,(),,(),,(),,(
 
 Substituindo (07) em (06) ,temos: 
 
 [ ]
m
V
 57,19 57,19
51 4
104
R4
Q4
y
y23
o
9
y23
Ao
=⇒=
⋅
=⇒=
−
kk
k
K
k
EaE
aEaE
���
����
,piεpiε
 
 
 
c) MMMMMMMMM EEEEEEEEE DCGHBAFE
���������
+++++++= , onde: 
 
 
D; em carga pela em gerado campo o é 
C; em carga pela em gerado campo o é 
G; em carga pela em gerado campo o é 
H; em carga pela em gerado campo o é 
B; em carga pela em gerado campo o é 
A; em carga pela em gerado campo o é 
F; em carga pela em gerado campo o é 
E; em carga pela em gerado campo o é 
D; e C G, H, B, A, F, E, em cargas pelas em gerado campo o é 
D
C
G
H
B
A
F
E
ME
ME
ME
ME
ME
ME
ME
ME
ME
M
M
M
M
M
M
M
M
M
�
�
�
�
�
�
�
�
�
 
 
 Por simetria: 
 
 0FE =+ MM EE
��
 
 
 Portanto: MMMMMMM EEEEEEE DCGHBA
�������
+++++= (01) 
 
� Cálculo de MEA
�
: 
 
M
M
M aE AR2
Ao
A
R4
Q ��
piε
= , onde: 







=
.
;
;
MM
MM
M
Ra
R
MAR
AAR
AA
A
 de versor um é
R
 ponto ao em carga da dirigido vetor o é 
��
�
�
 
 (07) 
 
– Página 2.8 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022
 
 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 
 
 
M
M
MMM
R
aaaaR
A
A
ARAzyxA R 
 ; 251R ; 050
�
�����
==++= ,,
 
 
 M
M
M RE A23
Ao
A
R4
Q ��
piε
=∴ (02) 
 
� Cálculo de MEB
�
: 
 
M
M
M aE BR2
Bo
B
R4
Q ��
piε
= , onde: 







===
.
;
;
MM
MMMM
M
Ra
RR
MBR
BBR
ABAB
B
 de versor um é
RR
 ponto ao em carga da dirigido vetor o é 
��
��
�
 
 
 
M
M
MMMM
R
aaaaR
A
B
BRABzyxB R 
 ; 251RR ; 050
�
�����
===+−= ,,
 
 
 M
M
M RE B23
Ao
B
R4
Q ��
piε
=∴ (03) 
 
� Cálculo de MEH
�
: 
 
M
M
M aE HR2
Ho
H
R4
Q ��
piε
= , onde: 







===
.
;
;
MM
MMMM
M
Ra
RR
MHR
HHR
AHAH
H
 de versor um é
RR
 ponto ao em carga da dirigido vetor o é 
��
��
�
 
 
 
M
M
MMMM
R
aaaaR
A
H
HRAHzyxH R 
 ; 251RR ; 500
�
�����
===−+= ,,
 
 
 M
M
M RE H23
Ao
H
R4
Q ��
piε
=∴ (04) 
 
� Cálculo de MEG
�
: 
 
M
M
M aE GR2
Go
G
R4
Q ��
piε
= , onde: 







===
.
;
;
MM
MMMM
M
Ra
RR
MGR
GGR
AGAG
G
 de versor um é
RR
 ponto ao em carga da dirigido vetor o é 
��
��
�
 
 
M
M
MMMM
R
aaaaR
A
G
GRAGzyxG R 
 ; 251RR ; 500
�
�����
===−−= ,,
 
 
 M
M
M RE G23
Ao
G
R4
Q ��
piε
=∴ (05) 
 
 
– Página 2.9 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022
 
 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 
� Cálculo de MED
�
: 
 
M
M
M aE DR2
Do
D
R4
Q ��
piε
= , onde: 







=
.
;
;
MM
MM
M
Ra
R
MDRDDR
DD
D
 de versor um é
R
 ponto ao em carga da dirigido vetor o é 
��
�
�
 
 
M
M
MMM
R
aaaaR
D
D
DRDzyxD R 
 ; 252R ; 50
�
�����
==−+= ,,
 
 
 M
M
M RE D23
Do
D
R4
Q ��
piε
=∴ (06) 
 
� Cálculo de MEC
�
: 
 
M
M
M aE CR2
Co
C
R4
Q ��
piε
= , onde: 







===
.
;
;
MM
MMMM
M
Ra
RR
MCR
CCR
DCDC
C
 de versor um é
RR
 ponto ao em carga da dirigido vetor o é 
��
��
�
 
 
M
M
MMMM
R
aaaaR
D
C
CRDCzyxC R 
 ; 252RR ; 50
�
�����
===−−= ,,
 
 
 M
M
M RE C23
Do
CG
R4
Q ��
piε
=∴ (07) 
 
 Substituindo (02), (03), (04), (05), (06) e (07) em (01), temos: 
 
 







 +
+
+++
= 23
D
CD
23
A
GHBA
o RR4
Q
M
MM
M
MMMM
M
RRRRRR
E
������
�
piε
 (08) 
 
 Mas: 
zxGHBA
zyzyyxyxGHBA
22
50505050
aaRRRR
aaaaaaaaRRRR
MMMM
MMMM
������
������������
−=+++∴
−+−+−++=+++ ),(),(),(),(
 
e 
 
zxCD
zyxzyxCD
22
5050
aaRR
aaaaaaRR
MM
MM
����
��������
−=+∴
−−+−+=+ ),(),(
 
 
 Substituindo (09) e (10) em (08), temos: 
 
 [ ]
m
V
 7625 21182118
252
22
251
22
4
101
zx
23
zx
23
zx
o
9
,,,
,,
=⇒−=








−
+
−⋅
=
−
MM
M
EaaE
aaaa
E
����
����
�
piε
 
 (09) 
(10) 
 
– Página 2.10 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022
 
 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 
2.4) Uma distribuição linear uniforme de cargas no eixo z é definida como sendo ρL = 10pi 
ηC/m para z ≥ 0 e ρL = 0 para z < 0. Determinar qual deverá ser a densidade superficial 
de cargas no plano infinito z = 0 de modo que o campo elétrico resultante no ponto P ( 0, 
3, 0 ) tenha direção normal ao eixo z. Determinar também o campo elétrico resultante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
� Cálculo do campo elétrico no ponto P devido ao plano: 
 z
o
S
PzNN
o
S
P 2
 :onde 
2
aEaaaE �
�����
ε
ρ
ε
ρ
=⇒== , (01) 
 
� Cálculo do campo elétrico no ponto P devido à linha: 
 
 
z9
z3
z9R
z3
 onde 
R4
dz
2
zy
R
2
zy
R2
o
L
L









+
−
=
+==
−=
= ∫
aa
a
R
aaR
aE
��
�
�
���
��
,
piε
ρ
 
 
z232
o
L
y232
o
L
L
zy232
zy
o
L
L
z9
zdz
4z9
dz3
4
dz
z9
z3
4
aaE
EE
aa
E
���
��
��
�
∫∫
∫
+
−
+
=
+=
+
−
=
)()(
)(
)(
piε
ρ
piε
ρ
piε
ρ
 
 
 
z9
zdz
4
z9
dz3
4
z232
o
L
z
y232
o
L
y







+
−=
+
=
∴
∫
∫
aE
aE
��
��
)(
)(
piε
ρ
piε
ρ
 
(02) 
(03) 
(04) 
 
– Página 2.11 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022
 
 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 
 Para que o campo elétrico resultante no ponto P ( 0, 3, 0 ) tenha direção normal ao eixo z, a 
condição de zP EE
��
= deve ser satisfeita. 
 Fazendo (01) = (04), temos: 
 
 ∫
+
= 2322
o
L
o
S
z3
zdz
42 )(piε
ρ
ε
ρ
 (05) 
 
 Substituição de variáveis na integral:




=
=
θθ
θ
d3dz
3tg z
2sec
 (06) 
 
 Substituindo (06) em (05), temos: 
 
 
[ ]
 
m
C
 
3
5
 
3
105
d
3
105
27
d3tg3
2
1010
2S
90
0
9
S
9
S3
29
S




=⇒−
⋅
=
⋅
=⇒⋅
⋅
=
°
=
−
−−
∫∫
ηρθρ
θ
θ
θθρ
θ
θθθ
pi
piρ
θcos
cos
cos.sen
sec
sec.
 
 
 
� Cálculo do campo elétrico resultante ( TOTALE
�
): 
 Como o campo elétrico resultante no ponto P ( 0, 3, 0 ) apresenta somente uma componente 
na direção de ya
�
, conclui-se que yTOTAL EE
��
= (07) 
 
 Substituindo (03) em (07), temos: 
 
 y2322
o
L
TOTAL
z3
dz3
4
aE �
�
∫
+
=
)(piε
ρ
 (08) 
 
 Substituição de variáveis na integral:




=
=
θθ
θ
d3dz
3tg z
2sec
 (09) 
 
 Substituindo (09) em (08), temos: 
 
 
[ ] [ ] 
m
V
 1294 
6
105
d
6
105
 
27
d33
4
1010
TOTALy
90
0
o
9
TOTAL
y
o
9
y3
2
o
9
TOTAL
,sen
cos
sec
sec.
=⇒
⋅
=
⋅
⋅
=⋅
⋅
=
°
=
−
−−
∫∫
EaE
aaE
���
���
θθε
θθ
εθ
θθ
piε
pi
 
 
– Página 2.12 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022
 
 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 
2.5) Dado o campo vetorial ( ) zyx2 xyzyx aaaD ���
�
+++= [C/m2]. Determinar o fluxo de D
�
 
através da superfície triangular no plano xz, delimitada pelo eixo x, pelo eixo z, e pela 
reta x z+ = 1 . 
 
 
 
 
 Dados: ( )




=
+++=
y
zyx
2
dxdz
xyzyx
adS
aaaD
�
����
; 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 
( )
[ ]C 
6
1
 
3
111
2
1
3
x
xx
2
1
dx
2
xx21dx
2
x1
dx
2
z
zdzdxdzdxzy
 dxdz xy zyx
1
0x
3
2
1
0x
21
0x
2
1
0x
1
0x
x1
0z
2x1
0z
1
0x
x1
0z 0y
S
yzyx
2
S
=Φ⇒





+−=Φ⇒








+−=Φ
+−
=Φ⇒−=Φ








=Φ⇒=Φ⇒+=Φ
•+++=Φ⇒•=Φ
=
==
= =
−
=
−
==
−
=
=
∫∫
∫ ∫∫∫ ∫
∫∫
)(
)(
)(
)(
aaaadSD ����
�
 
 
 
2.6) Dado o campo y3x2 y5 yx15 aaE
���
+= , encontrar, no plano xy: 
a) a equação da linha de força que passa através do ponto P ( 2, 3, -4 ); 
b) um vetor unitário Ea
�
 especificando a direção de E
�
 no ponto P; 
c) um vetor unitário Na
�
 que é perpendicular a E
�
 no ponto P. 
 
Resolução: 
 




=
=
⇒+=+= 3
y
2
x
y
3
x
2
yyxx
y5
yx15
 y5 yx15
E
E
EE aaaaE ����
�
 
a) Dados: P ( 2, 3, -4 ) 
 
 c
x
1
y
1
 3 
x
dx
y
dy3 
 
x
dx
y
dy3 
x3
y
dx
dy
 
yx15
y5
dx
dy
 
dx
dy
22
222
2
2
3
y
x
+−=





−⇒=
=⇒=⇒=⇒=
∫ ∫
E
E
 
(01) 
 
– Página 2.13 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022
 
 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 
 Substituindo em (01) as coordenadas do ponto P, temos: 
 
 
2
1
-c c
2
1
3
1
 3 =⇒+−=





− (02) 
 
 Substituindo (02) em (01), temos: 
 
 
2
1
x
1
y
3
- −−= 
 
 Portanto, a Equação da linha de Força é: 
 
 0xyy2x-6 ou 0xyy2x6 - =−=++ 
 
b) ). 4- 3, 2, ( P ponto no definido vetor o é P EE
��
 
 
 yxPy
3
x
2
P 135 180 3 . 5 3 .2 15 aaEaaE
������
+=⇒+=∴ )().( 
 
yxE
yx
E
22
yx
E
P
P
E
 60 80 
225
 135 180
 
135180
 135 180
 
aaa
aa
a
aa
a
E
E
a
���
��
�
��
�
�
�
�
,, +=⇒
+
=
+
+
=⇒=
 
 
c) 




=
⊥=•
+=
 versor.um é pois 1 
 pois 0 
 :que modo de n m Seja
NN
ENEN
yxN
aa
aaaa
aaa
��
����
���,
;,
 
 
 De (01), conclui-se que: 
 
 
 n75,0-m n 
0,8
0,6
-m n6,0 m8,0
 0 n6,0 m8,0 0 60 80 n m yxyx
=⇒=⇒−=
=+⇒=+•+ aaaa ),,()(
����
 
 
 De (02), conclui-se que: 1n m 22 =+ (04) 
 
 Substituindo (04) em (03) ,temos: 
 
 8,0 n 640n 
7501
1
n 1nn) (-0,75 2
2
222 ±=⇒=⇒
+
=⇒=+ ,,
),(
 (05) 
 
 Substituindo (05) em (03), temos: 
 
 6,0 m 0,8)( . -0,75m ∓=⇒±= (06) 
 
 Substituindo (05) e (06) em (01), temos: 
 
 yxN 80 6,0 aaa
��
∓
�
,±= 
(01) 
(02) 
 
– Página 2.14 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022
 
 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 
1 
2.7) Um cilindro de raio a e altura 2a possui as bases com cargas simétricas de densidade 
ρS constante. Calcular o campo elétrico no seu eixo, a meia distância entre as bases. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 Sabe-se que zRzRR21R aaaEEE
������
EEE ++=+= φφρρ onde, RE
�
 é o campo resultante, 
1E
�
é o campo gerado no ponto em questão devido à distribuição da base do cilindro (1) e 2E
�
 é o 
campo gerado no ponto em questão devido à distribuição do topo do cilindro (2). 
 Devido à simetria das distribuições, RE
�
 não apresenta componentes nas direções de 
φρ aa
��
 de e ( 0RR == φρ EE ). Deste modo, as componentes de 1E
�
 e de 2E
�
 na direção de za
�
 
definem a direção e a magnitude de RE
�
.Assim, 
z2z1R 22 EEE
���
== . (01) 
 
� Cálculo de 1E
�
: 
 









+
+−
=
+=+−=
∴








=
=
=
22
z
R
22
z
R
R2
o
S
1
a
 a
aR ; a
 de unitário um é 
R
); a 0, 0, ( ponto o para
 área de ldiferencia elemento do dirigido vetor o é 
d d dS
 onde ,
R4
dSd
ρ
ρ
ρρ
φρρ
piε
ρ
ρ
ρ
aa
a
aaR
Ra
R
R
aE
��
�
���
��
�
�
��
.
;
;
 
 
 Substituindo (02) em (01), temos: 
 
 
z111z2322
o
 S
1 )a 
a4
dd
d EEEaaE
������
+=⇒+−
+
= ρρρρpiε
φρρρ
(
)(
 
(03) 
(02) 
 
– Página 2.15 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022
 
 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 
 
 
 
a4
dd a
) SimetriaPor ( 0
)a 
a4
dd
2
0
a
0
z2322
o
 S
z1
1
2
0
a
0
z2322
o
 S
1









+
=
=
∴
+−
+
=
∫ ∫
∫ ∫
= =
= =
pi
φ ρ
ρ
pi
φ ρ
ρ
ρpiε
φρρρ
ρ
ρpiε
φρρρ
aE
E
aaE
��
�
���
)(
(
)(
 
 
 
� Cálculo de RE
�
: 
 
 Substituindo (05) em (01), temos: 
 
 
∫∫
∫ ∫
==
= =
+
=
+
=
a
0
z2322
2
0o
 S
R
2
0
a
0
z2322
o
 S
R
 d
a
d
4
 a2
 
a4
d d a
2
ρ
pi
φ
pi
φ ρ
ρ
ρ
ρφ
piε
ρ
ρpiε
φρρρ
aE
aE
��
��
)(
)(
 
 
 
 Substituição de variáveis na integral: 



=
=
θθρ
θρ
d ad
tg a
 2sec
 
 
 
 
 
 Substituindo (07) em (06), temos: 
 
 
 
[ ] [ ]
[ ]mV 
2
1
-1
 
 )(-cos0-)(-cos45 cos- 
 d 
 
 
sec a
d sec tga 
 
sec a
d sec a tga2
4
 a2
z
o
 S
R
z
o
 S
Rz
4
0
o
 S
R
z
4
0o
 S
Rz
4
0
33
23
o
 S
R
z
4
0
33
2
o
 S
R
aE
aEaE
aEaE
aE
��
����
����
��






=∴
°°=⇒=
=⇒=
⋅=
=
==
=
∫∫
∫
ε
ρ
ε
ρθ
ε
ρ
θθ
ε
ρ
θ
θθθ
ε
ρ
θ
θθθ
pi
piε
ρ
pi
θ
pi
θ
pi
θ
pi
θ
sen
 
 
 
 
(04) 
(05) 
(06) 



=⇒=
°=⇒=
4a
00
piθρ
θρ
 (07) 
 
– Página 2.16 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022
 
 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 
2.8) Uma carga Q (Q > 0) está localizada na origem do sistema de coordenadas. Determinar 
em que ponto na linha definida por x = 1 e z = 3 está yE no seu máximo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
� Cálculo do campo elétrico para a carga pontual: 
 
 









+
++
=
+=++=
∴





==
2
zyx
R
2
zyx
R
R2
o
y10
 3y 
y10R ; 3y
 de unitário um é 
R
) 3 y, (1, ponto o para origem da dirigido vetor o é 
 onde ,
R4
Q
aaa
a
aaaR
Ra
R
R
aE
���
�
����
��
�
�
��
piε
 
 
 Substituindo (02) em (01), temos: 
 
 











⋅
+
=
⋅
+
=
⋅
+
=
∴
+
++
⋅=⇒
+
++
⋅
+
=
 
y104
Q3
 
y104
Q y
 
 
y104
Q
y10
 3y 
4
Q
y10
 3y 
y104
Q
z232
o
z
y232
o
y
x232
o
x
232
zyx
o2
zyx
22
o
aE
aE
aE
aaa
E
aaa
E
��
��
��
���
�
���
�
)(
)(
)(
)()(
piε
piε
piε
piεpiε
 
 
 
 De (03), conclui-se que 232
o
yy
y10
y
4
Q E
)( +
⋅==
piε
E
�
 
 
(01) 
(02) 
(03) 
 
– Página 2.17 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0022
 
 –– LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 
� Cálculo de 
máxy
E : 
 0
y10
.y y2 . y102
3y10
4
Q 0
y
E
32
212232
o
y
=
+
+−+
⋅⇒=
∂
∂
)(
)()(
piε
 
 
 
5y y3y10
y3
y10
y10yy103y10
22
2
212
232
2212232
±=⇒=+
=
+
+
⇒+=+
)(
)(
.).()(
 
 
 
 Logo, 
maxy
E ocorre nos pontos ( ) ( )3, 5, -1 e 3, 5, 1 . 
 
 
 
– Página 3.1 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033
 
 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA 
CAPÍTULO 03 
 
DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO, LEI DE GAUSS E DIVERGÊNCIA 
 
 
3.1) Dentro da região cilíndrica ρ ≤ 4 m, a densidade de fluxo elétrico é dada como sendo 
ρρ aD
�
� 35= C/m2. 
a) Qual a densidade volumétrica de carga em ρ = 3 m? 
b) Qual a densidade de fluxo elétrico em ρ = 3 m? 
c) Quanto de fluxo elétrico deixa o cilindro, ρ = 3 m, z ≤ 2 5, m? 
d) Quanto de carga existe dentro do cilindro, ρ = 3 m, z ≤ 2 5, m? 
 
Resolução: 
 
a) Dados: 




=
=⇒=
m3
55 33
ρ
ρρ ρρ DaD
�
�
 
 
 




=⇒=
=⇒⋅=⇒⋅=
⋅=⇒+⋅+⋅=•∇=
3v
2
v
3
v
4
v
vv
m
C
 180 3m araP
20 201 51 
1
 
z
z11
ρρ
ρρρ
ρ
ρ∂ρ
ρ∂
ρ
ρ
∂ρ
ρρ∂
ρ
ρ∂
∂
∂φ
φ∂
ρ∂ρ
ρρ∂
ρ
ρ
)(
)D(DD)D(
D
��
 
 
b) 



=== 2
3
m
C
 135 3m, me Logo, 5 que se-Sabe ρρ ρρ aDaD
�
�
�
�
. 
 
c) Pela Lei de Gauss: ∫∫ ==•=Ψ
vol
vinterna
S
dvQ ρdSD
�
 
 
[ ]C 4050 .5 2 .3 . 52,5
52z
2
0
dz d 45
m3
 dz d 5
 dz d 
5
 onde ,
4
3
2,5
52z
2
0
3
S
 
aa
adS
aDdSD
pipi
pi
φ
φρ
ρ
φρρ
φρ
ρ
ρρ
pi
φ
ρ
ρ
=Ψ⇒=Ψ⇒∫
−=
∫
=
=
=Ψ
•=Ψ∴




=
=
•=Ψ
∫ ∫
∫
−= =
,
)(
)()(
,
��
�
�
�
�
 
 
d) Pela Lei de Gauss, ∫∫ ==•=Ψ
vol
vinterna
SdvQ ρdSD
�
. 
 
Logo, [ ]C 4050Qinterna pi= 
 
– Página 3.2 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033
 
 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA 
3.2) Dado o campo ( )



+−= 2
2
2 m
C
 220 φρ φφρ
aaD ��
�
sensen , encontrar a carga total que se 
encontra dentro da região, 1 2 0 2 0 1< < < < < <ρ φ pi, / , .z 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
Dados: 
( )
 
220
 e 
20
 220
22
2
2
2








=−=∴
+=+−=
ρ
φ
ρ
φ
φφ
ρ
φρ
φφρρφρ
sen
D
sen
D
DDsensen aaaaD ����
�
 
 
 De acordo com a Lei de Gauss e com o Teorema da Divergência: 
 
 ∫∫ •∇=•=
volS
interna dvQ DdSD
��
 (01) 
� Cálculo de D
��
•∇ : 
 
 
( )φ
ρρ
φ
ρ
φφ
ρ
ρ
φ
ρ
φ
φ
ρρρρ
φ
ρ
φ
∂φ
∂
ρρ
φ
∂ρ
∂
ρ
∂
∂
∂φ
φ∂
ρ∂ρ
ρρ∂
ρ
2311023010 
22
2
2
2
120
 
24020
 
22201120
2201201
z
z11
333
3
33
2
22
2
2
2
cos
cos
cos
cos
cossen
cos
sen
sensen
DD)D(
+=•∇⇒+=•∇



 +−=•∇
+=•∇
⋅⋅+








−⋅−=•∇








⋅⋅+








−⋅⋅=•∇
+⋅+⋅=•∇
DD
D
D
D
D
D
����
��
��
��
��
��
 
(02) 
 
– Página 3.3 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033
 
 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA 
 Substituindo (02) em (01), temos: 
 
 
( )
[ ]
[ ]C 
2
5Q 1
2
10
2
10Q
1
0zz2
2310Q
dz d d 23110Q
internainterna
2
0
2
1
interna
1
0z
2
0
2
1
3interna
pipi
φφ
ρ
φρρφ
ρ
pi
φρ
pi
φ ρ
=⇒+





⋅





+−=
=
⋅





+⋅





−=








+=
==
= = =
∫ ∫ ∫
sen
cos
 
 
3.3) Dado o campo 










= 2m
C
 
4r
20
θ
φθ aD �� sensen , na região, 3 4< <r , 0 4< <θ pi / , 
0 2< <φ pi , determinar a carga total contida no interior desta região, por dois modos 
diferentes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 Dados: 





=⇒=





=
4r
20
 
4r
20 φθφθ θθθθ sensenDDsensen aaD ��
�
 
 
 De acordo com a Lei de Gauss e com o Teorema da Divergência: 
 
 ∫∫ •∇=•=
volS
interna dvQ DdSD
��
 
 
 1o modo: ∫ •∇=
vol
interna dvQ D
�
 
� Cálculo de D
��
•∇ : 
 
 ∂φ
φ∂
θ∂θ
θθ∂
θ∂
∂ D
r
1D
r
1
r
rDr
r
1 2
2 sen
)sen(
sen
)(
++=•∇ D
��
 
 
– Página 3.4 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033
 
 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA 
 ( )






⋅⋅=•∇
⋅





⋅⋅=•∇












⋅⋅=•∇
4r
40
 
2
4r
20
r
1
4r
20
r
1
2
2
φθ
θθφ
θ
φθ∂θ
∂
θ
sencos
cossensen
sen
sensen
sen
D
D
D
��
��
��
 
 
� Cálculo de internaQ : 
 ∫ ∫ ∫
= = =












⋅⋅=
4
3r
4
0
2
1
2
2interna d drd r4r
40Q
pi
θ
pi
φ
φθθφθ sensencos 
 
[ ]
[ ]
( )
[ ]C 40Q
0
2
40
2
10Q
4
42
2
120Q
d
4
d 220Q
d
4
d 2r20Q
d
4
d dr40Q
interna
interna
2
0
4
0interna
4
0
2
0
interna
4
0
2
0
4
3rinterna
4
0
2
0
4
3r
interna
=






°−





−⋅





°−





⋅−=












−⋅⋅





−⋅=






⋅⋅=






⋅⋅⋅=






⋅⋅=
=
=
= =
= =
=
= ==
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫∫
coscoscoscos
coscos
sensen
sencossen
sencossen
pipi
φθ
φφθθ
φφθθθ
φφθθθ
pi
φ
pi
θ
pi
θ
pi
φ
pi
θ
pi
φ
pi
θ
pi
φ
 
 
 
 2o modo: ∫ •=
S
internaQ dSD
�
 
 
 ∫∫∫∫ •+•+•=•=
BaseTopoLateralS
internaQ dSDdSDdSDdSD
����
 (01) 
 
 Para a Lateral ) 4 ( 
drd 
4
20
 drd r
2
piθ
φφθ
φθ θ
=













⋅=•∴
=
sensen
sen
dSD
adS
�
�
 (02) 
 
– Página 3.5 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033
 
 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA 
 Para o Topo ) 4r ( 
0
 d d r r
2
=




=•
=
dSD
adS
�
�φθθsen
 (03) 
 Para a Base ) 3r 
0
 d d r r
2
=




=•
=
(
sen
dSD
adS
�
�φθθ
 (04) 
 
 Substituindo (02), (03) e (04) em (01), temos: 
 
 
( )
φφ
φφθ
pi
φ
pi
φ
piθ
d
4
dr10Q
drd 
4
20Q
2
1
4
3r
interna
2
0
4
3r
2
4
interna
∫∫
∫ ∫
==
= =
=






⋅=












⋅=
sen
sensen
 
 
[ ]
[ ]C 40Q 04
2
410Q
4
4r10Q
internainterna
2
0
4
3rinterna
 =⇒





°+





−⋅=












−⋅⋅=
=
=
coscos
cos
pi
φ pi
φ
 
 
3.4) Uma casca esférica não condutora, de raio interno a e raio externo b, uniformemente 
carregada com uma densidade volumétrica ρv . Determine o campo elétrico em função 
do raio r. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 Pela Lei de Gauss: ∫∫ ==•
vol
vinterna
S
dvQ ρdSD
�
 
 
� Seja a superfície Gaussiana esférica de raio r < a: 
 
 0 0Q pois ,0 1interna1 =⇒== ED
��
 
 
 
– Página 3.6 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033
 
 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA 
� Seja a superfície Gaussiana esférica de raio a < r < b: 
 
 ∫∫ ==•
vol
vinterna
S
dvQ ρdSD
�
, onde 





==
=
r
2
r
rr
 d d r aadS
aD
φθθsendS
D
 
 
 
 
 
r2
33
v22
33
v
r
33
v
2
r
2
0
2
0
r
r
2
v
2
0
2
0
2
r
r
r
3r
r
3
r
3
4
r 4
 d d dr r d d r
aD )()(D)(D
sensenD
aa
a
a
−
⋅=⇒
−
⋅=⇒−⋅⋅=⋅
=⋅∴ ∫ ∫ ∫∫ ∫
= = == =
ρρpiρpi
φθθρφθθ
pi
φ
pi
θ
pi
φ
pi
θ
 
 
 Mas ED ε= e oεε = . 
 
 
 Portanto: r2
33
o
v2
r
r
3
aE )( a−⋅=
ε
ρ
 
 
 
 
� Seja a superfície Gaussiana esférica de raio r ≥ b: 
 
 ∫∫ ==•
vol
vinterna
S
dvQ ρdSD
�
, onde 





==
=
r
2
r
rr
 d d r aadS
aD
φθθsendS
D
 
 
 
 
 
r2
33
v32
33
v
r
33
v
2
r
2
0
2
0 r
2
v
2
0
2
0
2
r
r3r33
4
r 4
 d d dr r d d r
aD )()(D)(D
sensenD
abab
ab
b
a
−
⋅=⇒
−
⋅=⇒−⋅⋅=⋅
=⋅∴ ∫ ∫ ∫∫ ∫
= = == =
ρρpiρpi
φθθρφθθ
pi
φ
pi
θ
pi
φ
pi
θ
 
 
 Mas ED ε= e oεε = . 
 
 
 Portanto: r2
33
o
v3
r3aE )( ab −⋅=
ε
ρ
 
 
 
 
 Área da esfera Volume da casca esférica 
 Área da esfera Volume da casca esférica 
 
– Página 3.7 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033
 
 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA 
3.5) Ao longo do eixo z existe uma distribuição linear uniforme de carga com [ ]
m
C
 4L piρ = , 
e no plano z = 1 m existe uma distribuição superficial uniforme de carga com 




= 2S m
C
 20ρ . Determinar o fluxo total saindo da superfície esférica de raio 2 m, 
centrada na origem 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 Lei de Gauss: internaQ=Ψ , onde PlanoLinhainterna QQQ += (01) 
 
� Cálculo de LinhaQ : 
 
 
[ ] [ ]C 16Qz4Q
dz 4QdLQ
Linha
2
2zLinha
2
2z
Linha
L
LLinha
pipi
piρ
=⇒⋅=
=⇒=
−=
−=
∫∫
 
 
� Cálculo de PlanoQ : 
 
 
[ ] [ ]C 60Q
2
20Q
 d d 20QdSQ
Plano
3
0
2
2
0Plano
2
0
3
0
Plano
S
SPlano
pi
ρφ
φρρρ
ρ
pi
φ
pi
φ ρ
=⇒








⋅⋅=
=⇒=
=
=
= =
∫ ∫∫
 
 
 Substituindo (02) e (03) em (01), temos: 
 
 [ ]C 76 6016Q interna pipipi =Ψ⇒+==Ψ 
 
 2 
-2 
(03) 
(02) 
 
– Página 3.8 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033
 
 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA 
3.6) Se uma carga Q está na origem de um sistema de coordenadas esféricas, calcule o fluxo 
elétrico ψ que cruza parte de uma superfície esférica, centrada na origem e descrita por 
βφα << . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 1o modo: Lei de Gauss: ∫∫ ==⋅•=Ψ
vol
vinterna
S
dvQ ρdSD
�
 
 







=
=
•=Ψ ∫
r
2
r2
S d d r
r4
Q
 onde ,
adS
aD
dSD
�
�
�
�
φθθ
pi
sen
 
 
( )
∫ ∫
∫ ∫
= =
= =
⋅=Ψ
⋅





=Ψ
β
αφ
pi
θ
β
αφ
pi
θ
θθφ
pi
φθθ
pi
0
0
2
2
d d
4
Q
d d r
r4
Q
sen
sen
 
 
[ ] [ ]
[ ] [ ] ( ) [ ]C 
2
Q
 0
4
Q
4
Q
0
 αβ
pi
piαβ
pi
θφ
pi
pi
θ
β
αφ
−⋅=Ψ⇒°+−⋅−⋅=Ψ
−⋅⋅=Ψ
==
coscos
cos
 
 
 2o modo: 
 Considerando a esfera de raio r na sua totalidade:




==
=Ψ
2
esf
esf
r4Sesfera da Área
Q
pi
 (01) 
 
 Considerando somente a casca esférica α φ β< < : ⇒ cascaΨ = ? 
 
 
[ ] [ ]
( )αβ
θφθθφ
φθθ
pi
θ
β
αφ
β
αφ
pi
θ
β
αφ
pi
θ
−=∴
−⋅=⇒⋅=
===
==
= =
= =
∫ ∫
∫ ∫∫
2
casca
0
2
casca
0
2
casca
0
2
cascaS
cascacasca
r2S
rS d rdS
d d rdSScasca da Área
cossen
sen
 
(02) 
 
– Página 3.9 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033
 
 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA 
 Através de uma regra de três, encontramos: 
esf
casca
esfcasca S
S
⋅Ψ=Ψ . (03) 
 
 Substituindo (02) e (03) em (01),temos: 
 
 
( ) ( )αβ
pipi
αβ
−⋅=Ψ⇒−⋅=Ψ
2
Q
 
r4
r2Q casca2
2
casca 
 
3.7) Dado o campo 
m
C
 
2
20 2 















= φρ
φ
aD �
�
cos , na região, 21 << ρ , 20 /piφ << , 
3z0 << , determinar a carga total contida no interior da região. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 Dados: 








=






=⇒=











=
dzdddv
2
20
 
2
20
φρρ
ρ
φ
ρφ φφφφ
cos
DDcos aaD ��
�
 
 De acordo com a Lei de Gauss e com o Teorema da Divergência: 
 
 ∫∫ •∇=•=
volS
interna dvQ DdSD
��
 
 
 1o modo: ∫ •∇=
vol
interna dvQ D
�
 
� Cálculo de D
��
•∇ : 
 
 
z
z11
∂
∂
∂φ
φ∂
ρ∂ρ
ρρ∂
ρ
DD)D(
+⋅+⋅=•∇ D
��
 
 


















⋅⋅=•∇
ρ
φ
∂φ
∂
ρ
2
20
1
cos
D
��
 
 2
2
10
 
2
1
2
201
ρ
φ
φ
ρρ






−=•∇⇒





⋅





−⋅−=•∇
sen
sen DD
����
 
 
– Página 3.10 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033
 
 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA 
� Cálculo de internaQ : 
 ∫ ∫ ∫
= = =














⋅−=
3
0z
2
0
2
1
2interna dz d d 2
10Q
pi
φ ρ
φρρφ
ρ
sen 
 
[ ] [ ]
( ) ( ) [ ]C 183,12Q302
4
21210Q
z
2
210Q
dz
2
d10Q
internainterna
3
0z
2
0
2
1interna
2
0
3
0z
2
1
interna
−=⇒⋅





°+





−⋅−−=












−−=
⋅





⋅−=
=
=
=
= ==
∫ ∫∫
coscoslnln
.cos.ln.
sen
pi
φρ
φ
ρ
ρ
pi
φ
ρ
pi
φρ
 
 
 2o modo: ∫ •=
S
internaQ dSD
�
 
 
∫∫∫∫∫∫∫ •+•+•+•+•+•=•=
BaseTopoFundoFrenteDireita Lat.daLat.EsquerS
internaQ dSDdSDdSDdSDdSDdSDdSD
�������
 (01) 
 Para a Lateral Esquerda 













⋅−=•
−=
dzd 
2
20
dz d
ρφ
ρ
ρ φ
cosdSD
adS
�
�
 (02) 
 Para a Lateral Direita 













⋅=•
=
dzd 
2
20
dz d
ρφ
ρ
ρ φ
cosdSD
adS
�
�
 (03) 
 Para a Frente 





=•
=
0
 dzd
dSD
adS
�
�
ρφρ
 (04) 
 
 Para o Fundo 





=•
−=
0
 dzd
dSD
adS
�
�
ρφρ
 (05) 
 
 Para o Topo 




=•
=
0
 dd z
dSD
adS
�
�φρρ
 (06) 
 Para a Base 




=•
−=
0
 dd z
dSD
adS
�
�φρρ
 (07) 
 
– Página 3.11 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033
 
 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA 
 Substituindo (02), (03), (04), (05), (06) e (07) em (01), temos: 
 
 
( )
( )
( )
( )
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]C 181,12Q 122301260Q
z210z20Q
dzd
2
220dzd20Q
dzd 
2
120dzd 
2
120Q
internainterna
3
0z
2
1
3
0z
2
1interna
2
1
2
1
3
0z
3
0z
interna
3
0z
2
1
2
3
0z
2
1
0
interna
 −=⇒−+−−=
+−=
⋅⋅+⋅−=






⋅+





⋅−=
====
= = ==
= =
=
= =
=
∫ ∫ ∫∫
∫ ∫∫ ∫
lnlnlnln
.ln.ln
.
coscos
ρρ
ρ ρ
ρ
piφ
ρ
φ
ρρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρφ
ρ
ρφ
ρ
 
 
 
3.8) Uma carga pontual de 6µ [C] está localizada na origem do sistema de coordenadas, uma 
densidade linear uniforme de carga de 180η [ ]
m
C
 está distribuída ao longo do eixo x, e 
uma densidade superficial uniforme de carga de 25η [ ]2mC está distribuída sobre o 
plano z = 0. 
a) Determinar D� em A (0,0,4); 
b) Determinar D� em B (1,2,4); 
c) Determinar o fluxo elétrico total deixando a superfície da esfera de 4 m de raio, 
centralizada na origem. 
 
Resolução: 
 
a) 
 Dados:
[ ]
[ ]
( )










=




=
=
=
400A
m
C
 25
m
C
 180
C6Q
2S
L
,,
ηρ
ηρ
µ
 
 
 
 A densidade de fluxo total D
�
 produzida no ponto A será a soma das densidades de fluxo 
produzidas pela carga Q, pela distribuição linear ρL e pela distribuição superficial ρS. 
 
 
 PLQPlanoLinhaCarga DDDDDDDD
��������
++=⇒++=∴ (01) 
 
 
� Cálculo de QD
�
: 
 





=
pi
=
Ra
R
R
aD
�
�
�
�
�
�
 de unitário um é 
R
A ponto o para Q carga da dirigido vetor o é 
 onde,
R4
Q
R
R2Q 
 
– Página 3.12 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033
 
 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA 
 



µ
pi
=⇒
⋅pi
×
=∴




=
==
∴
−
2zQz2
6
Q
zR
z
m
C
 
32
3
44
106
 
4R ; 4
aDaD
aa
aR
�
�
�
�
��
�
�
 
 
� Cálculo de LD
�
: 
 




=
==
∴




==
z
z
L
L
4 ; 4
 de unitário um é 
A ponto o para cargas de linha da dirigido vetor o é 
 onde
2
aa
a
a
aD
��
��
��
�
�
�
�
ρ
ρ
ρ
ρρ
ρ
ρρ
ρ
piρ
ρ
,
 
 



=⇒
⋅
×
=∴
−
2zLz
9
L
m
C
 
2
45
42
10180 η
pipi
aDaD �
�
�
�
 (03) 
 
� Cálculo de PD
�
: 
 
 




=⇒
×
=∴
=⇒=
−
2zPz
9
P
zNNN
S
P
m
C
 
2
25
2
1025
A ponto do direcão na plano ao normal vetor o é onde
2
η
ρ
aDaD
aaaaD
�
�
�
�
����
�
,
 
 
 Substituindo (02), (03) e (04) em (01), temos: 
 
 



=⇒++=⇒++= 2zzzPLQ m
C
 04950
2
25
2
45
32
3 µη
pi
η
pi
µ
,DaaaDDDDD
�
���
�����
 
 
b) 
 
 Dados:
[ ]
[ ]
( )










=




=
=
=
421B
m
C
 25
m
C
 180
C 6Q
2S
L
,,
ηρ
ηρ
µ
 
 A densidade de fluxo total D
�
 produzida no ponto B será a soma das densidades de fluxo 
produzidas pela carga Q, carga Q, pela distribuição linear ρL e pela distribuição superficial ρS. 
 
 PLQPlanoLinhaCarga DDDDDDDD
��������
++=⇒++=∴ (01) 
(02) 
(04) 
 
– Página 3.13 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033
 
 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA 
� Cálculo de QD
�
: 
 





==
Ra
R
R
aD
�
�
�
�
�
�
 de unitário um é 
R
B ponto o para Q carga da dirigido vetor o é 
 onde
R4
Q
R
R2Q ,pi
 
 



++=∴







 ++
⋅
×
=







++
=
=++=
∴
−
2zyxQ
zyx6
Q
zyx
R
zyx
m
C
 8419929964
21
42
214
106
 
21
42
21R ; 42
 
η
pi
aaaD
aaa
D
aaa
a
aaaR
���
�
���
�
���
�
���
�
,,,
 
 
� Cálculo de LD
�
: 
 



+=⇒







 +
⋅
⋅
⋅
=∴







+
=
=+=
∴







=
=
−
2zyL
zy9
L
zy
zy
L
L
m
C
 735862
20
42
202
10180
20
42
20 ; 42 
 de unitário um é 
B ponto o para (1,0,0) ponto 
cargas, de linha da dirigido vetor o é 
 onde
2
η
pi
ρρ
ρ
ρρ
ρ
piρ
ρ
ρ
ρ
ρ
aaD
aa
D
aa
a
aa
a
aD
��
�
��
�
��
�
���
��
�
�
�
�
,,
,
 
 
� Cálculo de PD
�
: 
 




=⇒
⋅
=∴
=⇒=
−
2zPz
9
P
zNNN
S
P
m
C
 
2
25
2
1025
B ponto do direcão na plano ao normal vetor o é onde
2
η
ρ
aDaD
aaaaD
�
�
�
�
����
�
,
 
 
 Substituindo (02), (03) e (04) em (01), temos: 
 
 ( ) ( ) zzyzyxPLQ 2257358628419929964 aaaaaaDDDDD ������
�����
+++++=⇒++= ,,,,, 
 


++=∴ 2zyx m
C
 07387812964 ηaaaD ���
�
,,, 
(03) 
(04) 
(02) 
 
– Página 3.14 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0033
 
 –– DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA 
c) 
 
 
 O fluxo total que deixa a esfera será a soma 
dos fluxos produzidos pela carga Q, pela 
distribuição linear ρL e pela distribuição 
superficial ρS. 
 
 De acordo com a Lei de Gauss: internaQ=Ψ . 
 
 
 
 
PLPLPlanoLinhaCarga QQ6QQQ ++=Ψ⇒++=Ψ⇒Ψ+Ψ+Ψ=Ψ∴ µ (01) 
 
� Cálculo de LQ : 
 
 
[ ] [ ]C 1440Q8QxQdxQ
dx dL ondedLQ
LLL
4
4xLL
4
4x
LL
L
LL
ηρρρ
ρ
=⇒=⇒⋅=⇒=∴
==
−=
−=
∫
∫ ,
 
 
� Cálculo de PQ : 
 
 [ ]
[ ]C 400Q2Q
2
Qd d Q
d d dS ondedSQ
SSS
2
0
4
0
2
SS
2
0
4
0
SS
S
SP
ηpipiρ
φρρφρρρ
φρρρ
pi
φ
ρ
pi
φ ρ
=⇒=
⋅








⋅=⇒⋅=∴
==
=
== =
∫ ∫
∫ ,
 
 
 Substituindo (02) e (03) em (01), temos: 
 
 [ ]C 78 400 14406QQ6 PL µηpiηµµ ,=Ψ⇒++=Ψ⇒++=Ψ 
 
 
(02) 
(03) 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0044
 
 –– EENNEERRGGIIAA EE PPOOTTEENNCCIIAALL 
– Página 4.1 – 
CAPÍTULO 04 
 
ENERGIA E POTENCIAL 
 
 
4.1) A densidade de fluxo elétrico é dada por: [ ]2z mCz2310 aaaD ���� ρρ φρ −+= . Encontre o 
fluxo elétrico total efluente do volume cilíndrico limitado por um cilindro de 2 m de raio 
e 4 m de altura, cujo eixo é o eixo z e cuja base se encontra no plano z = 1 m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 Dados: 




=
−+=
dz d d dv
z2310 z
φρρ
ρρ φρ aaaD
���
�
 
 
 De acordo com o Teorema da Divergência e com a Lei de Gauss: 
 
 ∫∫ •∇=•=Ψ
volS
dvDdSD
��
 (02) 
 
� Cálculo de D
��
•∇ : 
 
 
( ) ( ) ( ) ρ
ρ
ρ∂
∂ρ∂φ
∂
ρ
ρ∂ρ
∂
ρ
∂
∂
∂φ
φ∂
ρ∂ρ
ρρ∂
ρ
210z2
z
31101
z
z11
−=•∇⇒−⋅+⋅+⋅=•∇
+⋅+⋅=•∇
DD
D
����
�� DD)D(
 
 
 Substituindo (01) e (03) em (02): 
 
 
( )
[ ] [ ] [ ]C 
3
352
 8
3
1610z
3
210
dzdd210dz d d 210
5
1z
2
0
2
0
3
2
0
5
1z
2
0
2
5
1z
2
0
2
0
pi
piφρρ
φρρφρρρ
ρ
pi
φ
ρ
pi
φρ
pi
φ ρ
=Ψ⇒⋅





−=Ψ⇒








−=Ψ
⋅⋅−=Ψ⇒





−=Ψ
==
=
= === = =
∫ ∫∫∫ ∫ ∫
..
 
(03) 
(01) 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0044
 
 –– EENNEERRGGIIAA EE PPOOTTEENNCCIIAALL 
– Página 4.2 – 
4.2) Dentro da esfera de raio r = 1 m, o potencial é dado por: 
]V[ sensenr150r50100V φθ++= 
a) Encontre E� em P (r =1; θ = 2pi ;φ = 0 ). 
b) Quanto de carga existe dentro da esfera de raio r = 1 m? 
 
Resolução: 
 
 Dados: ]V[ sensenr150r50100V φθ++= 
a) Sabe-se que 





∂φ
∂
θ
+
∂θ
∂
+
∂
∂
−=∇−= φθ a
V
senr
1
a
V
r
1
a
r
VV r
���
��
E (01) 
 
� Cálculo de ( ) φθ+=
∂
∂
⇒φθ++
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
sensen15050
r
V
sensenr150r50100
rr
V
:
r
V
 (02) 
 
� Cálculo de ( ) φθ=
θ∂
∂
⇒φθ++
θ∂
∂
=
θ∂
∂
θ∂
∂
sencosr150Vsensenr150r50100V:V (03) 
 
� Cálculo de ( ) φθ=φ∂
∂
⇒φθ++φ∂
∂
=φ∂
∂
φ∂
∂
cossenr150Vsensenr150r50100V:V (04) 
 
 Substituindo(02), (03) e (04) em (01): 
 
 
( ) ( ) ( )[ ]φθ φθ+φθ+φθ+−= aaaE ���� cossenr150sencosr150sensen15050 r (05) 
 
 Substituindo as coordenadas de P em (05) , temos: 
 
 
( ) ( ) ( )[ ] [ ]
m
V
 15050 11500150050
 0cos
2
sen1150 0sen
2
cos1150 0sen
2
sen15050
rr
r
φφθ
φθ
−−=⇒⋅+⋅++−=












°




 pi
⋅+





°




 pi
⋅+





°




 pi
+−=
aaEaaaE
aaaE
��
�
���
�
���
�
 
 
b) De acordo com a Lei de Gauss: 
 
 
( )
 
 d d senr
sensen15050
 onde ,Q 
r
2
rooo
esfS
interna




φθθ=
φθε+ε−=ε=
•= ∫
adS
aED
dSD
�
�
��
�
 (01) 
 
� Cálculo de :dSD •
�
 
 
 
( ) ( )
( ) φθθφθ+ε−=•
φθθ•φθε−ε−=•
d dsenrsensen15050
 d d senr sensen15050
2
o
r
2
roo
dSD
aadSD
�
��
�
 
 
Substituindo (02) em (01): 
 
 








φθφθ⋅+φθθε−= ∫ ∫∫ ∫
pi
=φ
pi
=θ
pi
=φ
pi
=θ=
2
0 0
2
2
0 0
2
o
1r
interna d d sensen3d d sen.r5Q 
(02) 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0044
 
 –– EENNEERRGGIIAA EE PPOOTTEENNCCIIAALL 
– Página 4.3 – 
 
[ ] [ ] [ ]
( )[ ] ( )[ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
 
C 56,5Qou C 200Q
d sen00311100Q
d sen0cos2cos320coscos50Q
d sencos3cos50Q
 
internaointerna
0
2
ointerna
0
2
ointerna
0
22
0
2
00ointerna
η−=piε−=∴
∫ θθ⋅+⋅++⋅piε−=
∫ θθ⋅°+pi−⋅+pi⋅°+pi−⋅ε−=
∫ θθ⋅φ−⋅+φ⋅θ−⋅ε−=
pi
=θ
pi
=θ
pi
=θ
pi
=φ
pi
=φ
pi
=θ
 
 
4.3) Uma carga pontual de 16 ηC está localizada em Q (2, 3, 5) no espaço livre, e uma linha 
de cargas uniforme de 5 η C/m está localizada na interseção dos planos x = 2 e y = 4. Se o 
potencial na origem é 100 V, encontrar V em P (4,1,3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 100VV100-VVVVV 0PPP0P0P0P +=⇒=⇒−= (01) 
 
 O potencial elétrico do ponto P em relação ao ponto 0 ( VP0 ) é a soma do potencial gerado 
pela carga em Q ( 
carga0PV ) com o potencial gerado pela distribuição linear ρL ( linha0PV ). 
Portanto, 
linha0Pcarga0P0P
VVV +
=
 (02) 
 
� Cálculo de 
carga0PV : 
 
 











−⋅=−=
Q. ponto ao 0 ponto do distancia a é r
Q. ponto ao P ponto do distância a é r
 onde 
r
1
r
1
4
QVVV
0Q
PQ
Q0PQo
Q0PQcarga0P ,piε
 (03) 
� Cálculo de PQr : 12r222r PQ222PQ =⇒++= (04) 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0044
 
 –– EENNEERRGGIIAA EE PPOOTTEENNCCIIAALL 
– Página 4.4 – 
� Cálculo de Q0r : 38r532r Q0222Q0 =⇒++= (05) 
 
 Substituindo (04) e (05) em (03), temos: 
 
 
[ ]V 21,18V
6524
16
8513
16V
38
1
12
1
4
QV
carga0P
oo
carga0P
o
carga0P
=⇒−=






−⋅=
piε
η
piε
η
piε
,,
 
 
� Cálculo de 
linha0P
V : 
 



−=
−=⇒⋅





−=




=
⋅−=
∫
∫∫
∫
=
P. ponto ao cargas de linha da distância a é 
0. ponto ao cargas de linha da distância a é 
 onde d
2
V
 d
2
V d
2
V
. d
. cargas delinear ãodistribuic 
pela gerado elétrico campo o é 
 onde V
0
0
o
L
linha0P
P
0 o
L
carga0P
P
0 o
L
linha0P
L
P
0
linha0P
ρ
ρ
ρ
ρ
piε
ρ
ρ
ρpiε
ρρρ
ρpiε
ρ
ρρ
ρ
ρ
ρρ
ρ
,
,
aa
adL
E
dLE
��
�
�
�
 
 
� Cálculo de 0ρ : 20042 02220 =⇒++= ρρ (08) 
 
� Cálculo de ρ : 13032 222 =⇒++= ρρ (09) 
 
 Substituindo (08) e (09) em (07), temos: 
 
 
[ ]
[ ]V 19,39V 
13
2090V
13
20
2
5V
13
20
2
V
2
V d
2
V
linhaP0linha0P
olinha
0P
o
L
linha0P
13
20o
L
linha0P
13
20o
L
linha0P
=⇒







=








⋅−=⇒







⋅−=
⋅−=⇒−=
=
=
∫
ln
lnln
ln
piε
η
piε
ρ
ρ
piε
ρ
ρ
ρ
piε
ρ
ρ
ρ
 
 
 Substituindo ( 06 ) e ( 10 ) em ( 02 ), temos: 
 
 [ ]V 37,60V39192118VVVV P00Plinha0Pcarga0P0P === ⇒+⇒+ ,, (11) 
 
 Substituindo (11) em (01), temos: 
 
 [ ]V 137,60V 1006037V100VV PP0PP =⇒+=⇒+= , 
(07) 
(10) 
(06) 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0044
 
 –– EENNEERRGGIIAA EE PPOOTTEENNCCIIAALL 
– Página 4.5 – 
4.4) Dado o campo potencial expresso por V e yx= −100 5050 sen [volts], no espaço livre. 
a) Mostrar que 0=•∇ D� ; 
b) Mostrar que y = 0 representa uma superfície equipotencial; 
c) Mostrar que E é perpendicular à superfície y = 0; 
d) Encontrar a carga total no plano y = 0, 0 < x < ∞, 0 < z < 1. Assumir que y < 0 é o 
interior do condutor; 
e) Encontrar a energia armazenada no cubo 0 < x < 1, 0 < y < 1 e 0 < z < 1. 
 
Resolução: 
 
 Dados: y50e100V x50 sen−= 
 
a) Sabe-se que: 





∇−=
=
V
e 
o
��
��
E
ED ε
 
 
� Cálculo do V∇
�
: 
 
 ( ) ( ) ( )
( ) ( ) yx50xx50
z
x50
y
x50
x
x50
zyx
 y50e5000 y50e5000V
 y50e100
z
 y50e100
y
 y50e100
x
V
z
V
y
V
x
VV
aa
aaa
aaa
��
�
���
�
���
�
cossen
sensensen
−−
−−−
+−=∇
++=∇
++=∇
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
 
 
 Substituindo (03) em (02): 
 
 
( ) ( )
( ) ( ) yx50xx50
y
x50
x
x50
 y50e5000 y50e5000
 y50e5000 y50e5000
aaE
aaE
��
�
��
�
cossen
cossen
−−
−−
−=∴
+−−=
 
 
 Substituindo (04) em (01): 
 
 
( ) ( )[ ]yx50xx50o y50e5000 y50e5000 aaD ��� cossen −− −= ε 
 
� Cálculo do D
��
•∇ : 
 
 
z
z
y
y
x
x
∂
∂
∂
∂
∂
∂ DDD
++=•∇ D
��
 
 
( ) ( )
( ) ( )
0
y5050e5000e50y505000
y50e5000
y
y50e5000
x
x50
o
x50
o
x50
o
x50
o
=•∇∴
−⋅⋅−−⋅⋅=•∇
⋅+⋅=•∇
−−
−−
D
D
D
��
��
��
sensen
cossen
εε
ε∂
∂
ε∂
∂
 
(01) 
(02) 
(03) 
(04) 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0044
 
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– Página 4.6 – 
b) Seja ( x, 0, z ) a representação dos pontos da superfície y = 0. Para estes pontos, temos 
V e yx= −100 5050 sen . 
Se V apresentar o mesmo valor para todos estes pontos, então V é uma superfície equipotencial. 
Assim, substituindo ( x, 0, z ) em V e yx= −100 5050 sen , conclui-se que V = 0 para todos os pontos 
da superfície y = 0. 
 
c) Da equação (04) do item (a), conclui-se que: 
 
 
( ) ( ) yx50xx50 y50e5000 y50e5000 aaE ��� cossen −− −= 
Para os pontos ( x, 0, z ) da superfície y = 0, ( ) yx50 e5000 aE �� −−= , o que prova que E� é 
perpendicular à superfície y = 0. 
 
d) x50oS
S
NSS e5000 onde dSQ −⋅−=⇒== ∫ ερρρ D, 
 
[ ]
[ ] [ ] [ ]C -0,885Qou C 100Q 110100Q
z
50
e5000Qdzdxe5000Q
oo
1
0z
0x
x50
o
0x
1
0z
x50
o
ηεε
εε
=−=⇒⋅−⋅=
⋅








−
−=⇒−=∴
=
∞
=
−
∞
= =
−
∫ ∫
 
 
 
e) ∫ ==
vol
2
o E onde dvE2
1W E
�
,ε (01) 
 
� Cálculo de E: 
 
 
( ) ( )
x5022x50
222x50
e5000Ey50y50e5000E
y50y50e5000E
−−
−
=⇒+⋅=
+⋅=
cossen
cossen
 
 
 Substituindo (02) em (01): 
 
 
( )∫ −=
vol
2x50
o dve50002
1W ε 
 [ ] [ ]
[ ] [ ]J 125000 W111e10512W
zy
100
e10512W
dxdydze10512W